[高中数学]10A-15-教师-集合与命题

第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】❖ 知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:❖ 例题讲解 例1(1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD.AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合. 例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，AB =∅.❖ 回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。

高中数学命题知识点分享高中数学命题知识点分享重点：①集合的表示及专用符号.用描述法表示集合{x|x∈P}，要正确理解竖线前代表元素及其具有的性质P;②集合之间的运算：能够熟练地求两个或几个集合的交集、并集合，并掌握利用数轴、文氏图解决集合的方法.一、计数型题型特点：是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等。

破解技巧：常用解法是子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等。

例6⑴(2003年安徽春季高考题)集合S={a，b，c，d，e}，包括{a，b}的S的子集共有(A) 2个 (B) 3个(C) 5个 (D) 8个⑵设集合M={(x，y)|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={(x，y)|x2-y=0，x∈R，y∈R}，，则集合中元素的个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4⑶设集合 N}的真子集的个数是(A) 16(B) 8;(C) 7(D) 4解：⑴本题等价于求集合{c，d，e}的子集个数，即为23=8，选(D).⑵本题只要将集合语言转换成图形语言即可.本题实质就是单位圆与抛物线y=x2的交点个数，画图知2个，故选(B).⑶A={0，1，2}，故A的真子集个数是23-1=7，选(C).二、逆向型题型特点：已知集合的.运算结果，写出集合运算的可能表达式，这类题往往具有一定的开放性.例7⑴(2000年上海春季高考题)设U是全集，非空集合P、Q 满足P、Q、U，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______(只要写出一个表达式).⑵(2002年上海春季高考题)若全集U=R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P= ，则不等式组的解集可用P、Q表示为。

解：⑴此题是开放性试题，如图，极易得到其多种答案：①UQ∩P;②P∩(UP∩Q);③UQ∩(P∪Q);等等.⑵由补集定义，得UQ=x│g(x)<0，则不等式组的解集就是P与UQ的交集，即表示为P∩UQ.三、基本型题型特点：主要考查集合的基本概念和基本运算，这是高考考查集合的主要方式，几乎每年必考.破解技巧：常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等.例1若集合M={ y| y=2x}，P={ y| y= }，则M∩P=(A) { y| y>1} (B) { y| y≥1}(C) { y| y>0}(D) { y| y≥0}分析：本题的错误率极高，主要是缺乏语言互化能力.其实是求“两个函数值域的交集”.解：本题集合M与P中的代表元素是y，则M∩P即是求函数y=2x 与y= 的值域的公共部分，显然M={ y| y>0}，P={ y| y≥0}，故选(C).例2设全集是实数集R，，，则M∩N等于A.B.C.D.分析：本题分步计算即得，先算补集，再求交集.解：先计算补集M={x|x<-2或x>2}，再继续求交集，即M∩N={x|x<-2}，故选(A).例3 设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是(A) ( A)∪B=I(B) ( A)∪( B)=I(C) A∩( B)=(D) ( A)∩( B)= B点通1运用韦恩图画出韦恩图(如右图)，从图中易验证，选项(B)错误.故选(B).点通2运用特殊集合设A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，则A={2，3}，B={3}易验证(B)错误.故选(B).例4(2005年北京高考题)设全集U=R，集合M={x| x>1}，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是(A)M=P(B) P M(C) M P(D)解：P={x|x>1或x<-1}，m={x|x>1}，易知M P，而选(C).点评：判断集合之间关系问题，应先简化集合，再判断.有时还可结合图象加以观察.四、交汇型题型特点：主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何等知识进行交汇，形成多知识点的综合问题.破解技巧：解题的关键在于灵活运用有关知识.例5⑴(2005年山东高考题) 设集合A、B是全集的两个子集，则A B是的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件⑵(2005年上海高考题)已知集合，，则等于A.B.C. D.分析：第⑴小题是集合与简易逻辑进行交汇，用推出法即可解决.第⑵小题是集合与不等式的交汇.解：⑴由，即A=B或A B，设p：A B;q：，则有p q，但q p.故选(A).⑵集合M = { x |-1≤x≤3，x}，P = { x |-1点评：对于⑵是集合与绝对值不等式及分式不等式的交汇，对分式不等式到整式不等式的转化.在这里，要注意分母不为零的条件限制.五、阅读理解型题型特点：以集合内容为背景即时设计一个陌生的问题情景，要求学生在理解的基础上作答.例8设f(n)=2n+1(n∈N)，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，记={n∈N|f(n)∈P}，={n∈N|f(n)∈Q}，则( ∩ )∪( ∩ )=(A) {0，3} (B){1，2}(C) (3，4，5}(D){1，2，6，7}解：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q= ，则P+Q中元素的个数是A.9B.8C.7D.62. 是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是 .[答案：1.(B)2. ]六、命题趋向集合内容将以集合运算为重点进行考查，在2006年高考中将仍以选择题或填空题的形式出现，其难度在0.7左右，同时要注意集合思想的应用及集合与其它知识的交汇，展示以集合语言为背景的应用性、开放性试题，具有构思巧妙、新颖、解法灵活特点，将会是未来高考“出活题、考能力”的命题趋向.【注意内容】：备考建议一、注重基础，注意辨析对于集合的复习，首先要注重基础，熟练掌握集合间的关系(子集与真子集)的判定方法，集合间的运算;同时，还要对集合的有关概念和符号进行辨析，只有准确把握它们，才不会在高考中掉进命题者设计的陷阱之中.首先，要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素所组成，这就需要对集合的文字语言，符号语言，图形语言进行相互转化.其次，由于集合知识概念新，符号多，往往顾此失彼，因此需要注意如下几个方面的问题：一是注意集合元素的三性(确定性，互异性，无序性);二要注意0，{0}，，{}的关系，数字0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}则是以为元素的集合;三要注意空集的特殊性，空集是任何非空集合的真子集，它在解题过程中极易被忽视;四要注意符号“∈”与“”(或)的区别，符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，“” (或)表示集合与集合之间的包含关系.二、不可忽视集合的交汇性及创新性问题对集合的重点复习是集合间的关系判定以及集合间的运算问题.其中关系判定以及集合间的运算问题，常常是集合内容与不等式等内容进行交汇，故应熟练掌握一元一次(二次、高次)不等式，分式不等式，三角不等式，含参不等式，指对数不等式等的解法.但也有可能考查较为灵活的非常规的开放题，探究题，信息迁移题等创新题.其实也是近年高考在集合方面的一个新命题背景，特别是定义新运算.如已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a b，a∈A，b∈A}，则A※A=_________.此类关键是理解新运算，易得a，b可以相同，知填{0，6，4，9}.。

高中数学第一轮复习01集合与命题·知识梳理·模块01：集合的概念和性质1、集合概念能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

集合常用大写字母、、、C B A …来表示，集合中的元素用、、、c b a …表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。

全体自然数组成的集合，即自然数集，记作：N ；不包含零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ；实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作：∅。

2、集合的表示法集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法。

模块02：集合之间的关系与运算1、集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以B A ⊆不要忘记Φ=A 。

集合、常用逻辑用语与不等式第1讲集合课标要求命题点五年考情命题分析预测1.（1）了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.（2）能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.（3）了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.（3）能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合的概念2022全国卷乙T1；2020全国卷ⅢT1本讲是高考必考内容.命题热点有集合的交、并、补运算，集合的含义及集合间的基本关系，常与不等式、函数等相结合命题，考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn 图.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.集合间的基本关系2023新高考卷ⅡT2；2021全国卷乙T2集合的基本运算2023新高考卷ⅠT1；2023全国卷乙T2；2023全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全国卷乙T1；2022全国卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全国卷甲T1；2021全国卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全国卷ⅠT2；2020全国卷ⅡT1；2020全国卷ⅢT1；2019全国卷ⅠT1；2019全国卷ⅡT1；2019全国卷ⅢT1集合中的计数问题2019全国卷ⅢT3集合的新定义问题学生用书P0011.集合的概念集合中元素的特征①确定性、②互异性、无序性集合的表示方法③列举法、④描述法、图示法常见数集的记法自然数集（非负整数集），记作⑤N ；正整数集，记作⑥N *或⑦N ＋；整数集，记作⑧Z；有理数集，记作⑨Q；实数集，记作⑩R元素与集合之间的关系“属于”或“不属于”，分别记为“⑪∈”或“⑫∉”2.集合间的基本关系关系定义符号语言子集一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中⑬任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A为集合B 的子集A ⊆B （或B ⊇A ）真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且⑭x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集⑮A ⫋B （或B ⫌A ）相等若A ⊆B ，且⑯B ⊆A，则A ＝BA ＝B空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规律总结（1）A ⊆B （子集）＝（相等）⇔⊆且⊇，κ（真子集）⇔⊆且≠u（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即⌀⊆A ，⌀⫋B （B ≠⌀）.（3）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身.（4）含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2.（5）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C .3.集合的基本运算运算集合语言图形语言符号语言并集{x ｜x ∈A ，或x ∈B }⑰A ∪B 交集{x ｜x ∈A ，且x ∈B }⑱A ∩B 补集{x ｜x ∈U ，且x ∉A }⑲∁U A常用结论集合的运算性质（1）A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .（2）∁U （A ∩B ）＝（∁U A ）∪（∁U B ），∁U （A ∪B ）＝（∁U A ）∩（∁U B ）.1.下列说法正确的是（D）A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}B.方程－2024＋（y＋2025）2＝0的解集为{2024，－2025}C.若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1D.对任意两个集合A，B，（A∩B）⊆（A∪B）恒成立2.若集合P＝{x∈N｜x≤2025}，a＝22，则（D）A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.集合{a，b}的真子集的个数为3.解析解法一集合{a，b}的真子集为⌀，{a}，{b}，有3个.解法二集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝1.∴a－b＝－1－（－2）＝1.解析∵P＝Q，∴＝－1，－=2，5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝{2，4}，（∁U A）∩（∁U B）＝{6}.解析∵∁U A＝{1，3，6，7}，∁U B＝{2，4，6}，∴A∩（∁U B）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（∁U A）∩（∁U B）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.学生用书P002命题点1集合的概念例1（1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁U M＝{1，3}，则（A）A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M解析由题意知M＝{2，4，5}，故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（C）A.2B.3C.4D.6解析由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.方法技巧1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义集合{x｜f（x）＝0}{x｜f（x）＞0}{x｜y＝f（x）}{y｜y＝f（x）}{（x，y）｜y＝f（x）}代表元素方程f（x）＝0的根不等式f（x）＞0的解函数y＝f（x）的自变量的取值函数y＝f（x）的函数值函数y＝f（x）图象上的点训练1（1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ABD）A.0B.1C.2D.4解析当a＝0时，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合题意；当a≠0时，由题意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.故选ABD.（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列关系正确的是（AB）A.（1，3）∈BB.（0，0）∉BC.0∈AD.A＝B解析∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，则实数m的值为1或4.解析因为A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.当m＝2时，m2－5m＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m＝2不符合题意.当m2－5m＋6＝2时，m＝1或m＝4，若m＝1，A＝{0，1，2}符合题意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合题意.所以实数m的值为1或4.命题点2集合间的基本关系例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a ＝（B）A.2B.1C.23D.－1解析依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B ＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}的集合A的个数是（C）A.5B.6C.7D.8解析解法一因为集合{1，2}⊆A ⫋{1，2，3，4，5}，所以集合A 可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7个.故选C.解法二问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C.方法技巧1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.注意在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A 、非空集合B 满足A ⊆B 或A ⫋B ，则有A ＝⌀和A ≠⌀两种情况.训练2（1）设集合P ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，M ＝{x ｜y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是（D）A.M ＝PB.P ∈MC.M ⫋PD.P ⫋M解析∵P ＝{y ｜y ＝x 2＋1}＝{y ｜y ≥1}，M ＝{x ｜y ＝x 2＋1}＝R ，∴P ⫋M .故选D.（2）已知集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为（－∞，3].解析因为B ⊆A ，所以分以下两种情况：①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2；②若B ≠∅，则2－1≥+1，+1≥－2，2－1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为（－∞，3].命题点3集合的基本运算角度1集合的交、并、补运算例3（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M ＝{－2，－1，0，1，2}，N ＝{x ｜x 2－x －6≥0}，则M ∩N ＝（C）A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}C.{－2}D.{2}解析解法一因为N ＝{x ｜x 2－x －6≥0}＝{x ｜x ≥3或x ≤－2}，所以M ∩N ＝{－2}，故选C.解法二因为1∉N ，所以1∉M ∩N ，排除A ，B ；因为2∉N ，所以2∉M ∩N ，排除D.故选C.（2）[2023全国卷甲]设全集U ＝Z ，集合M ＝{x ｜x ＝3k ＋1，k ∈Z }，N ＝{x ｜x ＝3k ＋2，k ∈Z }，则∁U （M ∪N ）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.解法二集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.角度2已知集合运算结果求参数例4（1）[全国卷Ⅰ]设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（B）A.－4B.－2C.2D.4解析易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－2}，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－2＝1，解得a＝－2.故选B.（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（∁R A）∪B＝R，则实数a的取值范围为（B）A.（1，＋∞）B.[1，＋∞）C.（－∞，1）D.（－∞，1]解析由题可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，∁R A＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（∁R A）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.方法技巧1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.训练3（1）[2023全国卷乙]设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（A）A.∁U（M∪N）B.N∪∁U MC.∁U（M∩N）D.M∪∁U N解析由题意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以∁U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故选A.（2）[2023江西省联考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx －y－2＜0}.若A∩B＝A，则实数k的取值范围是（A）A.（－∞，34）B.（34，3）C.（34，＋∞）D.（－∞，34]解析因为A∩B＝A，所以A⊆B，则圆（x－1）2＋y2＝1在直线y＝kx－2的上方，则×1－2<0，｜H1－0－2｜2＋（－1）2>1，解得k＜34.命题点4集合中的计数问题例5[全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（C）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8解析解法一由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.解法二用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.方法技巧集合中元素的个数问题的求解策略关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.训练4向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的35，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对观点A，B都赞成的学生有21人.解析赞成观点A的学生人数为50×35＝30，赞成观点B的学生人数为30＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为3＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为30＋33－x.依题意30＋33－x＋3＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人.命题点5集合的新定义问题例6（1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M（A）的和记为S，则S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.（2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为（1，2）.解析由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以>0，－＜－1<<2，解得1＜t＜2.所以实数t的取值范围为（1，2）.方法技巧解决集合新定义问题的关键紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.训练5[多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，正确结论为（ACD）A.2023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]解析由2023÷5＝404……3，得2023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确.故选ACD.1.[命题点1]设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2024＋b2025＝2.解析由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a ＝－1，b＝1.故a2024＋b2025＝1＋1＝2.2.[命题点2]已知集合A＝{x｜x2－2x－3≤0}，集合B＝{x｜｜x－1｜≤3}，集合C＝{x｜－4r5≤0}，则集合A，B，C的关系为（D）A.B⊆AB.A＝BC.C⊆BD.A⊆C解析因为x2－2x－3≤0，即（x－3）（x＋1）≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3].因为｜x－1｜≤3，即－3≤x－1≤3，所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4].因为－4r5≤0⇔（－4)(+5）≤0，+5≠0，所以－5＜x≤4，则C＝（－5，4]，所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.3.[命题点2，3/2024四川省绵阳中学模拟]设集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2}，B＝{（x，y）｜y＝x2}，则A∩B的子集个数是（B）A.2B.4C.8D.16解析由＋=2，＝2，解得=1，=1或＝－2，=4，故A∩B＝{（1，1），（－2，4）}，所以A∩B的子集个数是22＝4，故选B.4.[命题点3角度1/2023南京六校联考]若集合M＝{x｜y＝＋lg（4－x）}，N＝{x｜x2≤1}，则M∪N＝（C）A.{x｜0≤x＜4}B.{x｜0≤x≤1}C.{x｜－1≤x＜4}D.{x｜1≤x＜4}解析M＝{x｜y＝＋lg（4－x）}＝{x｜0≤x＜4}，N＝{x｜x2≤1}＝{x｜－1≤x≤1}，所以M∪N＝{x｜－1≤x＜4}，故选C.5.[命题点5/2024宁夏银川一中月考]已知集合A＝{x｜－1＜x≤1，x∈Z}，B＝{x｜2≤｜x｜≤3，x∈N}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）｜x1，y1∈A，x2，y2∈B}，则A⊕B中元素个数为（D）A.6B.7C.8D.9解析A＝{x｜－1＜x≤1，x∈Z}＝{0，1}，B＝{x｜2≤｜x｜≤3，x∈N}＝{2，3}，由A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）｜x1，y1∈A，x2，y2∈B}，得x1＋x2可取2，3，4，y1＋y2可取2，3，4，所以A⊕B＝{（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）}，有9个元素.故选D.学生用书·练习帮P2591.[2024武汉部分学校调考]已知集合A＝{x｜x2－2x－8＜0}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝（B）A.{－2，－1，0，1，2}B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－2，－1，0，1}解析因为A＝{x｜x2－2x－8＜0}＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}，故选B.2.[2024南昌市模拟]已知集合P＝{x｜y＝}，Q＝{y｜y＝2x}，则（A）A.Q⊆PB.P⊆QC.P＝QD.Q⊆∁R P解析由已知，得P＝[0，＋∞），Q＝（0，＋∞），所以Q⊆P，故选A.3.[2024辽宁联考]设全集U＝{1，2，m2}，集合A＝{2，m－1}，∁U A＝{4}，则m＝（D）A.3B.－2C.4D.2解析因为∁U A＝{4}⊆U，且A⊆U，所以4∈U，m－1∈U，则2=4，－1=1，解得m＝2.故选D.4.[2024江西南昌模拟]已知集合A＝{x｜2x≤8，x∈N}，B＝{x｜－2＜x＜5}，则A∩B中元素的个数为（B）A.3B.4C.5D.6解析因为A＝{x｜2x≤8，x∈N}＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1，2，3}，则A∩B 中元素的个数为4.故选B.5.[2023全国卷乙]设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁U N＝（A）A.{0，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.U解析由题意知，∁U N＝{2，4，8}，所以M∪∁U N＝{0，2，4，6，8}.故选A.6.[2024山东模拟]已知集合M＝{x｜x2－2x≤0}，N＝{x｜log2（x－1）＜1}，则M∩N＝（B）A.[0，2]B.（1，2]C.（0，3）D.[2，3）解析解法一因为M＝{x｜x2－2x≤0}＝{x｜0≤x≤2}，N＝{x｜log2（x－1）＜1}＝{x｜0＜x－1＜2}＝{x｜1＜x＜3}，所以M∩N＝（1，2]，故选B.解法二因为1∉N，所以1∉（M∩N），故排除A，C；又52∉M，所以52∉（M∩N），故排除D.综上，选B.7.[2024重庆渝北模拟]设集合A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x｜ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为（C）A.2B.3C.7D.8解析由x2－8x＋15＝0，得（x－3）（x－5）＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3，5}.当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A.当a≠0时，B＝{1}，因为B⊆A，所以1＝3或1＝5，故a＝13或a＝15.综上，实数a取值的集合为{0，13，15}，所以实数a取值集合的真子集的个数为23－1＝7，故选C.8.[2023辽宁名校联考]设集合A＝{x｜x＞a}，集合B＝{0，1}，若A∩B≠∅，则实数a 的取值范围是（C）A.（－∞，1]B.（－∞，0]C.（－∞，1）D.（－∞，0）解析因为集合A＝{x｜x＞a}，集合B＝{0，1}，若A∩B＝∅，则a≥1，故当A∩B≠∅时，a＜1.故选C.9.[2024江西吉安模拟]若全集U＝{3，4，5，6，7，8}，M＝{4，5}，N＝{3，6}，则集合{7，8}＝（D）A.M∪NB.M∩NC.（∁U M）∪（∁U N）D.（∁U M）∩（∁U N）解析因为M＝{4，5}，N＝{3，6}，所以M∪N＝{3，4，5，6}，M∩N＝∅，所以选项A，B不符合题意；又因为U＝{3，4，5，6，7，8}，所以（∁U M）∪（∁U N）＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，（∁U M）∩（∁U N）＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此选项C不符合题意，选项D符合题意，故选D.10.[全国卷Ⅱ]已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（A）A.9B.8C.5D.4解析解法一由x2＋y2≤3，知－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，当x＝－1时，y＝－1，0，1；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝－1，0，1.所以A中元素的个数为9，故选A.解法二根据集合A中的元素特征及圆的方程x2＋y2＝3在平面直角坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即集合A中元素的个数为9，故选A.11.[2023广东六校联考]已知全集U＝R，集合A＝{x｜－3r1＞0}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（D）A.[－1，3]B.（3，＋∞）C.（－∞，3]D.[－1，3）解析集合A＝{x｜－3r1＞0}＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故选D.12.[2023江西五校联考]设集合A＝{x｜m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x｜log2x＜2}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（D）A.∅B.[－3，－1]C.（－1，3）D.[－1，3]解析由题意可知，B＝{x｜log2x＜2}＝{x｜0＜x＜4}，由A∪B＝A，可得B⊆A，所以－3≤0，2+6≥4，－3<2+6，可得－1≤m≤3.故选D.13.[2021全国卷乙]已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（C）A.⌀B.SC.TD.Z解析解法一在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T⫋S，所以T∩S＝T，故选C.解法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⫋S，所以T∩S＝T，故选C.14.[2023河南安阳名校联考]已知非空集合A，B，C满足（A∩B）⊆C，（A∩C）⊆B.则（D）A.B＝CB.A⊆（B∪C）C.（B∩C）⊆AD.A∩B＝A∩C解析解法一由非空集合A，B，C满足（A∩B）⊆C，（A∩C）⊆B，作出符合题意的三个集合之间关系的Venn图，如图所示，故排除A，B，C，选D.解法二根据题意，取A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{2，3，4}，则A∩B＝{2}，A∩C＝{2}，B∪C＝{2，3，4}，B∩C＝{2，3}，所以B≠C，A⊈（B∪C），（B∩C）⊈A，故排除A，B，C，选D.15.某校举办运动会，某班的甲、乙、丙三名运动员共报名参加了13个项目，其中甲和丙都报名参加了7个项目，乙报名参加了6个项目，甲、乙报名参加的项目中有2个相同，甲、丙报名参加的项目中有3个相同，同一个项目，每个班级最多只能有2名运动员报名参加，则乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为（C）A.0B.1C.2D.3解析三人各自报名参加的项目个数之和为7＋7＋6＝20，重复报名参加的项目个数为20－13＝7，又甲、乙报名参加的项目有2个相同，甲、丙报名参加的项目有3个相同，所以乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为7－2－3＝2.故选C.16.[多选/2024辽宁朝阳模拟]设S为实数集R的非空子集.若对任意x，y∈S，都有x＋y，x －y，xy∈S，则称S为封闭集.下列说法正确的是（BCD）A.自然数集N为封闭集B.整数集Z为封闭集C.集合S＝{a＋2b｜a，b为整数}为封闭集D.若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集解析对于A，取1，2∈N，则1＋2∈N，1－2＝－1∉N，故自然数集N不是封闭集，A 错误；对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集，B正确；对于C，设x＝a1＋2b1，y＝a2＋2b2，a1，b1，a2，b2都是整数，则a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，故x＋y＝a1＋a2＋2（b1＋b2）∈S，同理x－y＝a1－a2＋2（b1－b2）∈S，xy＝（a1＋2b1）（a2＋2b2）＝（a1a2＋2b1b2）＋2（a1b2＋a2b1）∈S，故集合S＝{a＋2b｜a，b为整数}为封闭集，C正确；对于D，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，则0－1∈S，1＋2＝3∈S，以此类推可得所有整数都属于S，则S一定为无限集，D正确，故选BCD.17.[条件创新]已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，若集合A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是（A）A.（2，4]B.（2，4）C.（2，3]D.[2，4]解析由题意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，因为集合A∩B中只有一个元素，所以a＞0，故B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，所以2＜a≤4，故选A.。

高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。

通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。

本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。

一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。

在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。

下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。

2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。

3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。

4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。

5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。

在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。

幂集的元素个数为2^n。

2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。

除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。

2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。

通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。

二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。

在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。

1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。

2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。

教学内容【知识精要】1、元素与集合的关系：属于，不属于2、元素的特征：①确定性；②互异性；③无序性3、集合的表示方法：①列举法；②描述法4、集合之间的关系：①子集：错误!未找到引用源。

②真子集：A B ③相等集合：错误!未找到引用源。

5、集合的运算：（1）交集：错误!未找到引用源。

且错误!未找到引用源。

（2）补集：错误!未找到引用源。

且错误!未找到引用源。

（2）并集：错误!未找到引用源。

且错误!未找到引用源。

6、四种命题：如果用错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

分别表示原命题的条件和结论，用错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

分别表示错误!未找到引用源。

和 错误!未找到引用源。

的否定，那么四种命题形式就是： 原命题：如果错误!未找到引用源。

，那么错误!未找到引用源。

逆命题：如果错误!未找到引用源。

，那么错误!未找到引用源。

否命题：如果错误!未找到引用源。

，那么错误!未找到引用源。

逆否命题：如果错误!未找到引用源。

，那么错误!未找到引用源。

7、原命题与逆否命题同真（假）；逆命题与逆否命题同真（假）8、充分条件，必要条件，充要条件如果错误!未找到引用源。

，那么错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的充分条件，错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的必要条件 如果错误!未找到引用源。

，那么错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的充要条件，也就是说，命题错误!未找到引用源。

与命题错误!未找到引用源。

是等价命题【热身练习】1. 用适当的符号填空：0__∈__{0,，1}；{1，2}__⊆____{1，3，2，4}；0 _∉__ ∅；A ⋂B A AU A ðU A B A B U A B A BUA B A B U 为 逆 互否 互 互 逆 原命题 若错误!未找到引用逆命题 若错误!未找到引用否命题 若错误!未找到引用源。

逆否命题若错误!未找到引用源。

互 逆互 否 互 为 逆否否5. 设*{8,},{1,3,4,5,6,7}I I x x x N A C B =≤∈⋃=，{1,2,4,5,6,8}I C A B ⋃=，{1,5,6}I I C A C B ⋂=，求集合A 和集合B解：显然I={1,2,3,4,5,6,7,8}，因为{1,3,4,5,6,7}I A C B ⋃=，由集合运算律的反演律{2,8}I C A B ⋂=，同理{3,7}I A C B ⋂=，{2,3,4,7,8}A B ⋃=由文氏图可知，A={3,4,7}，B={2，4，8}1,5,62,843,7B A I6. 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？分析 画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)r 是q 的充要条件；(r q ，q s r) p 是q 的必要条件；(q s r p)【巩固练习】1. 已知集合{,,lg()},{0,,}M x xy xy N x y ==，且M=N ，求：2200822008111()()...()x x x y y y++++++的值解：由集合元素的互异性可得lg 0xy =，1xy =. 在根据集合相等可得11x ory == 当y=1，由集合M 元素的互异性可推出矛盾 当1x =，x=1时由1xy =可推出y=1由互异性矛盾 X=-1,则y=-1，符合条件 带入答案为0。

1.1 集合与命题一、解答题。

1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。

高一数学《集合与命题》基本概念与逻辑教案一、引言数学是一门需要逻辑思维和抽象概念的学科，而数学中的集合论和命题逻辑是数学思维的基石。

本教案旨在介绍高中一年级数学课程中的《集合与命题》章节，帮助学生掌握基本概念和逻辑推理方法，为后续数学学习打下坚实的基础。

二、集合的基本概念集合是数学中最基本的概念之一，它是由元素组成的整体。

在集合中，元素是指集合中的个体，可以是数字、字母、图形等。

学生需要了解如下概念：1. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

2. 元素的特点：每个元素在集合中是唯一的，元素的顺序不影响集合。

3. 子集和真子集：一个集合的元素都属于另一个集合，则前者是后者的子集；同时，子集中至少有一个元素不属于父集，则前者是后者的真子集。

4. 交集、并集和差集：交集是指两个或多个集合共有的元素构成的集合；并集是指两个或多个集合中所有元素构成的集合；差集是指从第一个集合中去掉和第二个集合共有元素后剩下的元素构成的集合。

三、命题和逻辑运算1. 命题的定义：命题是陈述性句子，可以被判断为真或假。

2. 命题联结词：非、与、或、蕴含、等价等联结词的使用和推理规则。

3. 命题的真值表：通过真值表可以列出所有可能的情况，判断复合命题的真假。

4. 命题的合取范式和析取范式：将复合命题转化为逻辑表达式，方便推理和判断。

四、集合和命题的应用1. 集合和命题在数学证明中的应用：通过集合和命题的运用，可以简化数学证明过程，提高证明的严谨性。

2. 集合和命题在概率统计中的应用：使用集合和命题的方法，可以更加清晰地描述和分析随机事件和概率问题。

3. 集合和命题在算法设计和编程中的应用：集合和命题的逻辑推理方法有助于优化算法设计和编程过程，提高程序的效率和可靠性。

五、教学策略与方法1. 理论与实践相结合：通过讲解基本概念和运算规则的同时，引导学生进行实际的例题探究和思考。

2. 合作学习：通过小组合作学习和讨论，促进学生之间的合作、交流和思维碰撞，激发学生的兴趣和潜能。