习题 1
1. 执行下列指令，观察其运算结果, 理解其意义： (1) [1 2;3 4]+10-2i
(2) [1 2; 3 4].*[0.1 0.2; 0.3 0.4] (3) [1 2; 3 4].\[20 10;9 2] (4) [1 2; 3 4].^2 (5) exp([1 2; 3 4]) (6)log([1 10 100]) (7)prod([1 2;3 4])
(8)[a,b]=min([10 20;30 40]) (9)abs([1 2;3 4]-pi)
(10) [1 2;3 4]>=[4,3;2 1]
(11)find([10 20;30 40]>=[40,30;20 10])
(12) [a,b]=find([10 20;30 40]>=[40,30;20 10]) (提示：a 为行号，b 为列号) (13) all([1 2;3 4]>1) (14) any([1 2;3 4]>1) (15) linspace(3,4,5) (16) A=[1 2;3 4];A(:,2)
2. 执行下列指令，观察其运算结果、变量类型和字节数，理解其意义： (1) clear; a=1,b=num2str(a),c=a>0, a= =b, a= =c, b= =c (2) clear; fun='abs(x)',x=-2,eval(fun),double(fun)
3. 本金K 以每年n 次，每次p %的增值率(n 与p 的乘积为每年增值额的百分比)增加，当增加到rK 时所花费的时间为
)
01.01ln(ln p n r
T +=
(单位：年)
用MA TLAB 表达式写出该公式并用下列数据计算：r =2, p =0.5, n =12.
4．已知函数f (x )=x 4
-2x
在(-2, 2)内有两个根。取步长h =0.05, 通过计算函数值求得函数的最小值点和两个根的近似解。（提示：求近似根等价于求函数绝对值的最小值点） ?
5. (1) 用z=magic(10)得到10阶魔方矩阵； (2) 求z 的各列元素之和；
(3) 求z 的对角线元素之和(提示：先用diag(z)提取z 的对角线)； (4) 将z 的第二列除以3;
(5) 将z的第3行元素加到第8行。
6. 先不用MA TLAB判断下面语句将显示什么结果？size(B)又得出什么结果?
B1={1:9;' David Beckham '};
B2={180:-10:100; [100,80,75,;77,60,92;67 28 90;100 89 78]};
B=[B1, B2];
B{1,2}(8)
D=cell2struct(B,{'f1','f2'},2);
[a,b]=D.f1
然后用MA TLAB验证你的判断。进一步，察看变量类型和字节数，并用Workspace工具栏显示B和D的具体内容。
习题 2
1. 设x 为一个长度为n 的数组，编程求下列均值和标准差
][11 ,121
21x n x n s x n x n
i i n i i --==∑∑==, n >1
2. 求满足∑=+m
n n 0
)1ln(>100的最小m 值。
3. 用循环语句形成Fibonacci 数列 F 1 = F 2 =1, F k = F k -1 + F k -2 , k =3,4,…。并验证极限
2
5
11+→
-k k F F . （提示：计算至两边误差小于精度 10-8） 4. 分别用for 和while 循环结构编写程序，求出∑
==
6
101
23
i i
K 。并考虑一种避免循环语句的程序设计，比较不同算法的运行时间。
6. 作出下列函数图象
(i) 曲线y = x 2 sin (x 2 - x - 2), -2 ≤ x ≤ 2 (要求分别使用plot 或fplot 完成) (ii) 椭圆x 2/4 + y 2/9 = 1
(iii) 抛物面z = x 2 + y 2 , ?x ?<3, ?y ?<3
(iv) 曲面 z =x 4+3x 2+y 2-2x -2y -2x 2y +6, |x |<3, -3 (vi) 半球面 x=2sin φcos θ, y=2sin φsin θ, z=2cos φ, 0≤θ≤3600, 0≤φ≤900 (vii) 三条曲线合成图y 1=sin x , y 2=sin x sin(10x ), y 3= -sin x , 0 7．作下列分段函数图 ?? ???-<-≤>=1.11.11.1||1.11 .1x x x x y 8. 查询trapz 的功能和用法：查找trapz.m 文件所在目录，查看trapz.m 的程序结构，查看trapz.m 文件所在目录还有哪些文件？ ? 9. 用MA TLAB 函数表示下列函数，并作图。 ?? ? ??≤+--≤-----=-1 )5.175.375.0exp(5457.01<1- )6exp(7575.01> )5.175.375.0exp(5457.0),(222222x+y x x y x+y x y x+y x x y y x p ? 10. 已知连续时间Lyapunov 方程为 AX +XA’= -C 其中A =? ?? ? ? ??087654321, C =????? ??--------165622562452252. 试通过lookfor 和help 的帮助用MA TLAB 求解。 习题3 1. 设a=(1,2,3),b=(2,4,3), 分别计算a./b, a.\b, a/b, a\b, 分析结果的意义。 2. 用矩阵除法解下列线性方程组，并判断解的意义 (1) 411 326 153 9 2 1 1 2 3 - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =- ? ? ? ? ? ? ? x x x (2) 433 326 153 1 2 1 1 2 3 - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = - - ? ? ? ? ? ? ? x x x (3) 41 32 15 1 1 1 1 2 - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? x x (4) 2111 1211 1121 1 2 3 1 2 3 4 - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? x x x x 3. 求第2题第(4)小题的通解。 4. （人口流动趋势）对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势，每年农村居民的5%移居城镇而城镇居民的1%迁出，现在总人口的20%位于城镇。假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么 （1）一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？ （2）很多年以后呢？ （3）如果现在总人口70%位于城镇，很多年以后城镇人口所占比例是多少？ （4）计算转移矩阵的最大特征值及对应的特征向量，与问题(2)(3)有何关系？ 5. （ 假设某经济年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业，农业及第三产业的产出（提示：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和Leontief 矩阵可视作不变）。 6. 求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量 （1）??? ?? ??---351623114 （2）???? ? ??---02112 0111 (3) ?????? ? ??1097591086781075675 （4） ? ?? ?? ?? ? ??5165165165 阶方阵n , n 分别为5, 50, 和500. 7. 判断第6题各小题是否可以相似对角化，如果是，求出对角矩阵和对应的相似变换矩阵。 8. 判断第6题各小题是否为正定矩阵。 9. 求下列向量组的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。 α1= (4, -3, 1,3), α2= (2, -1, 3, 5), α3= (1, -1, -1, -1), α4= (3, -2, 3, 4), α5= (7, -6, -7, 0) 10．（二次型标准化）用正交变换化下列二次型为标准形 f (x 1, x 2, x 3) = x 12 - 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 -2 x 22 +8 x 2 x 3 -2 x 32 ? 11. （电路网）图3.1是连接三个电压已知终端的电路网，求a, b, c 点的电压。 ? 12. (Hamilton-Carley 定理)就矩阵A = ???? ? ??087654321验证下列性质 (i) 设λ1, λ2, …, λn 为n 阶方阵A 的特征值，则 λ i i n =∑1 = a ii i n =∑1 (A 的迹), λ i i n =∏1 = (-1)n ?A ?; (ii) 设f (x )为A 的特征多项式, 则f (A ) = 0。 习题 4 1 求下列多项式的所有根, 并进行验算。 (1) x 2+x +1; (2) 3x 5-4x 3+2x -1; (3) 5x 23-6x 7+8x 6-5x 2; (4) (2x +3)3-4 (提示：先用conv 展开) 2 求方程05.01)1ln(22=---+-x x x x x 的正根。 3 用MATLAB 指令求解第一章习题4。 4 (超越方程) 超越方程的解有时是很复杂的，作出 f (x ) = x sin (1/x ) 在[ - 0.1, 0.1]内的图，可见在x = 0附近f (x ) = 0有无穷多个解，并设法求出它们的近似解，使计算结果误差不超过0.01。 5 求解下列非线性方程组在原点附近的根 ?? ???=---=--=++0162160 2023643692232 2222z y x x z y x z y x 6 求解下列方程组在区域 0<α, β<1内的解 ?? ?-=+=β αββ ααsin 2.0cos 7.0cos 2.0sin 7.0 7 (椭园的交点) 两个椭圆可能具有0～4个交点，求下列两个椭园的所有交点坐标 (x - 2) 2 + (y - 3 + 2x ) 2 = 5 2 (x -3)2 + (y /3) 2 = 4 8 作出下列函数图形，观察所有的局部极大, 局部极小和全局最大, 全局最小值点的粗略位置; 并用MATLAB 函数fminbnd 和fminsearch 求各极值点的确切位置 (1) f(x )=x 2sin(x 2-x -2), [-2,2]; (2) f(x )=3x 5-20x 3+10, [-3, 3]; (3) f(x )=? x 3-x 2-x -2? [0, 3]. 9 考虑函数 f (x,y )= y 3/9+3x 2y +9x 2+y 2+xy +9 (1)作出f (x,y )在-2 10. 假定某天的气温变化记录如第二章习题5，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。考虑下列类型函数, 作图比较效果，并计算均方误差。 (1) 二次函数； (2) 三次函数； (3) 钟形函数2 )14()(-=t b ae x f ； (4) 函数)12 sin( )(θπ +=t r x f . 11 (化学反应平衡) 一等克分子数一氧化碳(CO)和氧气(O 2)的混合物在300K 和5bar 压力下达到平衡，理论反应方程式为 CO + 0.5 O 2 → CO 2 实际反应方程式为 CO + N 2 → x CO + 0.5 (1 +x ) O 2 + (1 - x ) CO 2 剩余CO 比值x 满足化学平衡方程式 K x x x x p x p = -++<<().11052101 这里Kp = 3.06, p = 5 bar 求x . 12 (月还款额)作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在有个客户看中了你公司一套建筑面积为180平方米，每平方单价7500元的房子。他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率5.04%）。请你提供下列信息：房屋总价格、首付款额、月付还款额。如果其中10万元为公积金贷款（贷款年利率4.05%）呢？ 13（栓牛鼻的绳子）农夫老李有一个半径10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛栓在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，他想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？ ? 14 (弦截法)牛顿迭代法是一种速度很快的迭代方法，但是它需要预先求得导函数。若用差商代替导数，可得下列弦截法 x x x x f x f x f x k k k k k k k +--=- --11 1()() () 这一迭代法需要两个初值x 0, x 1，编写一个通用的弦截法计算机程序并用以解习题2。(提示: 函数参数求值用MATLAB 函数feval) ? 15 (线性迭代) 迭代过程 x k +1 = g (x k ) 的收敛性主要条件是在根的附近满足?g ‘ (x )?<1。从理论上证明线性迭代 x k +1 = a x k + 1 只有两种极限形态：不动点或无穷大。分别就a =0.9, -0.9, 1.1, -1.1 (取x 0 =1, 迭代20步)用图形显示迭代过程的不同表现(提示：用subplot 将4个子图放在一个图形窗口比较) ? 16 (通道中的细杆) 要运送一根细杆子通过由宽5cm 和宽10cm 的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持杆子是水平的(如图 4.6)，问这根细杆至多可有多长？又通道为园柱形的且细杆不必保持水平，细杆至多可有多长？ ?17 证明当且仅当3 ?18 作出习题15的蛛网图。 ? 19 (Henon 吸引子) 混沌和分形的著名例子，迭代模型为 x y x y x k k k k k ++=+-=?? ? 12 111403.. 取初值x 0 = 0, y 0 = 0, 进行3000次迭代，对于k >1000, 在(x k , y k ) 处亮一点(注意不要连线)可得 所谓Henon 引力线图. 习题5 1．某河床的横断面如图5.8所示，为了计算最大的排洪量，需要计算它的断面积，试根据图示测量数据（单位：米）用梯形法计算其断面积。 2．求图5.8各测量点的坡度。 3．作图表示函数3 2y x xe z --=( -1 4. 已知参数方程?? ? -==t t t y t x sin cos cos ln , 0 1 -=x dx dy 的数值解。 5. 求下列积分的数值解 (1) dx e x ? - 1 2 221π , (2) ? π 20 32)(cos dx x e x ， (3) ? 31 241arcsin )ln(dx x x x , (4)sin()x x dx 01?, (5)x dx x -?01 , (6) ? ?+π θθ20 1 2)sin(1dr r d ，(7)??++D dydx y x )1(2, D 为x 2+y 2≤2x 6 (椭园的周长) 用积分法计算下列椭园的周长 x y 22 49 1+= 7.(曲面的面积) 求函数2 2y x xe z --=( -1 图5.8 8 (假奇异积分)试求下列积分, 出现什么问题？分析原因，设法求出正确的解。 I= ? -1 1 2.0)cos(dx x x 9 考虑积分I(k) = sin()x dx k 0 π ? =2k , 试分别用trapz （取步长h =0.1或π）, quad 和quadl 求解I(8) 和I(32)。发现什么问题？ 10. (1) 用程序deriv.m 求f (x )=x 2sin(x 2+3x -4)在x =1.3和x =1.5的导数，使精度达到10-3。 (2) 编写用公式(5.21)求函数在某一点二阶导数达到指定精度的算法程序，并用此程序求f (x )=x 2sin(x 2-x -2)在x =1.4的二阶导数，使精度达到10-3。 11图5.9a 和图5.9b 中各有两条曲线(粗线为x 轴)，辨认每幅图中哪条是f (x )哪条是f (x )的导函数?为什么？ 12 (辛普生积分法) 编制一个定步长辛普生法数值积分程序。计算公式为 I ≈S n = h 3 (f 1+4f 2+2f 3+4f 4+…+2f n-1+4f n +f n +1) 其中n 为偶数，h =(b-a )/n , f i =f (a+(i -1)h ). 并取n =5，应用于解习题5(1)。 13 (摩托车)一个重5400kg 的摩托车在以速度v =30m/s 行驶时突然熄火，设滑行方程为 5400v dx dv =-8.276 v 2 - 2000 x 为滑行距离，计算要滑行多长距离后, 速度可降至15m/s 。 ? 14 一条长凳被牢牢固定在地上，凳面水平。考虑若干块砖在长凳一端叠成阶梯状而尽量向外延伸。一块砖放在长凳右端极端位置是砖的 图5.9b 图5.9a 一半在外，但第二块砖若仍放一半(如图5.9)必会倒下。应如何放置这两块砖。n 块呢？ ? 15 (电视机价格)由于市场竞争的影响，电视机售价p 越高，销售量x 就会越低， x = Me -ap (M,a >0) 其中M 为最大需求量，a 为价格系数。另一方面销售量越大，每台电视机成本c 就会越低， c=c 0-k ln x (c 0, k >0) 其中c 0是只生产一台电视机时的成本，k 为规模系数。应如何确定电视机售价才能获得最大利润？ ? 16 (水箱压力)洒水车上水箱是一个横放的椭园柱体，尺寸如图5.11所示，当水箱盛满水时，计算两个端面所受的压力。 ? 17(停产时间)某公司投资2000万元建成一条生产线。投产后，在时刻t 的追加成本和追加收益分别为G(t)=3 /225t +(百万元/年), H(t)= 3 /217t -(百万元/年)。试确定该生产线在何时停产 可获最大利润？最大利润是多少？ ? 18（教堂顶部曲面面积）某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m 。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多1.5%。据此，国王的财政大臣拨出了可制造5800m 2有规定厚度金箔的黄金。建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程。但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭球面，其半立轴恰是30m ，而半长轴和半短轴分别是30.6m 和29.6m 。这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至可能短缺。最后的结果究竟如何呢？ 习题 6 1 解下列微分方程。 (1) y’=x+y, y (0)=1, 0 (2) x’=2x +3y , y’=2x+y, x (0)=-2.7,y (0)=2.8, 0 (5) Vanderpol 方程y ’’+μ(y 2-1)y ’+y =0, y (0)=2, y’(0)=0, 0 (6) x’’=(-2/t )x’+(2/t 2)x +(10cos(ln(t )))/t 2, x (1)=1, x (3)=3. 输出t =1.5, 2, 2.5时x 的值, 并作x 的图。 2. 求下列常系数齐次微分方程的通解。 y (5)(t)+10 y (4)(t )+54 y (3)(t )+132 y ’’(t )+137 y ’(t )+50 y (t )=0, 3. 求解刚性方程组 ???-=+-==++-=1)0(,5.025.100075.9991 )0(,5.075.99925.1000221' 2 121'1y y y y y y y y , 0 4. 已知Appolo 卫星的运动轨迹(x , y )满足下面的方程 32 3 122323 1222)()(2r y r y y dt dx dt y d r x r x x dt dy dt x d μλλμμλ--+-=--+-+= 其中μ=1/82.45, λ=1-μ, 221)(y x r ++=μ,222)(y x r ++=λ, 试在初值x (0)=1.2, x’(0)=0, y (0)=0, y’(0)=-1.04935371下求解，并绘制Appolo 卫星轨迹图。 5 （解的“爆炸”）求一通过原点的曲线，它在(x,y)处的切线斜率等于2x+y 2,0 6 试求解 dx/dt = ax+b , x (0) = x 0 并分别对a , b , x 0 取正负值的8种不同情况，讨论解曲线的单调性及t →∞时的行为。用MATLAB 画出解曲线图形。将它们合理分类。 7 (温度过程)夏天把开有空调的室内一支读数为20℃的温度计放到户外，10分钟后读25.2℃, 再过10分钟后读数28.32℃。建立一个较合理的模型来推算户外温度。 8 (广告效应)某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。 (1) 建立该问题的数学模型，分别求其解析解和数值解，并作比较； (2) 厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达到80%？ 9 (肿瘤生长) 肿瘤大小V 生长的速率与V 的a 次方成正比，其中a 为形状参数，0≤a ≤1;而其比例系数K 随时间减小，减小速率又与当时的K 值成正比，比例系数为环境参数b 。设某肿瘤参数a=1, b=0.1, K 的初始值为2，V 的初始值为1。问 (1)此肿瘤生长不会超过多大？ (2)过多长时间肿瘤大小翻一倍？ (3)何时肿瘤生长速率由递增转为递减？ (4)若参数a=2/3呢？ ? 10. (Lorez 混沌) Lorez 系统是一类典型的混沌系统，具有强烈的初值依赖性和长期不可预测性。Lorenz 系统的状态方程是 ??? ??-=--=+-= )()()()()()()()()( )()()(321331212211t bx t x t x t x t x t x t x t rx t x t x t x t x σσ 设σ =10, r =28, b =8/3, 取初值x 1=10, x 2= -10, x 3= -10, 求t =20的解，并作出在0 11 (RLC 电路)在RLC 含源串联电路中，电动势为E 的电源对电容器C 充电。已知电阻R =100欧，电感L =0.1亨，C =0.2微法，E =20伏，试求合上开关K 后的电压u c (t )。 ? 12 (生态系统的振荡现象)第一次世界大战中，因为战争很少捕鱼，按理战后应能捕到最多的鱼才是。可是大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民大惑不解。 令x 1为鱼饵的数量，x 2为鲨鱼的数量，t 为时间。微分方程为 dx dt x a b x dx dt x a b x 1 111222221=-=--?????() () 式中a 1, a 2, b 1, b 2都是正常数。第一式鱼饵x 1的增长速度大体上与x 1成正比，即按a 1x 1比率增加, 而被鲨鱼吃掉的部分按b 1x 1x 2的比率减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然 死亡或互相咬食按a 2x 2的比率减少，但又根据鱼饵的量的变化按b 2x 1x 2的比率增加。对a 1=3, b 1=2, a 2=2.5, b 2=1, x 1(0)=x 2(0)=1求解。画出解曲线图和相轨线图，可以观察到鱼饵和鲨鱼数量的周期振荡现象。 ? 13 解微分方程初值问题(6.5)的四阶Runge-Kutta 格式为 ),() 2,2()2,2(),()22(6 342312143211 ???? ? ????? ? ++=++=++==++++=+hK y h t f K K h y h t f K K h y h t f K y t f K K K K K h y y n n n n n n n n n n 它具有四阶收敛精度。编写四阶Runge-Kutta 法程序并解习题1(1)。 ? 14 一个蹦极爱好者准备从一高空热气球跳下，所用橡皮带长为L . 为保证安全，必须要预知最大加速度、速度和总下落高度，确保使力不会太大而且气球足够高以保证蹦极者不会撞到地面。考虑空气动力学阻力，控制方程为 g L x u L x m k dt dx dt dx c dt x d J =--++)()())(/(sign 202 2 其中g =9.8m/s 2为重力加速度；c 0和阻力系数成比例，单位为m -1; k 为橡皮带的弹性系数，单 位为N/m; m J 为蹦极者的质量；sign(z)为符号函数，u (z )为单位阶跃函数，即 sign(z )=?? ? ??<-=>0z 10 00 1z z , u (z )=?? ?≤>0 00 1z z 如果L =150m, m J =70kg, k =10N/m, c 0=0.00324 m -1, 初始条件为零。试验证 (1) 11.47s 时，最大下落高度-308.47m; (2)5.988s 时，下落150m, 速度为-43.48m/s; (3)11.18s, 最大加速度-12.82m/s 2 画出位移，速度，加速度曲线。 习题 7 1. 用MATLAB 符号计算验证三角等式sin ?cos θ -cos ?sin θ=sin(?-θ). 2. 作因式分解 f (x )=x 4-5x 3+5x 2+5x -6. 3. 求矩阵A =??? ? ??a 221的逆和特征值。 4. 计算极限x x x x 1 )93(lim +∞ →，1 1lim 0-+→→xy xy y x 5. 计算∑=n k k 12 ， ∑∞ =121 k k 和∑∞ =+++0 1 2)12)(12(1n n x n 6. 求)sin(223 yz x y x ???|x =1, y =1,z =3. 7. (Taylor 展开)求下列函数在x =0的Taylor 幂级数展开式(n =8) e x , ln(1+x ), sin(x ), )1ln(2x x ++ 8. 试结合diff 和解方程求解第四章习题8及习题9. 9. (不定积分)用int 计算下列不定积分，并用diff 验证 e e dy y y 22 +? , x a x dx 222 -? , dx x x a x b a b (ln ln ) ()+++≠? 10. 计算积分? -+-= x x dy y x y x x I )2sin()()(3。 11. 试用int 求解第五章习题5 . 12. 试用solve 求解第四章习题1, 2, 5, 6, 7. 13. 试用dsolve 求解第六章习题1, 2, 3。 14. 试用简捷作图指令解第二章习题6。 ? 15. 调用Maple 求函数xy y x e x x y x f ----=22 )2(),(2在x =0, y=a 的二阶Taylor 展开. ? 16. (1)分别用数值和符号两种方法，编程计算100！，结果有何不同？哪个计算快？ (2) 用符号方法，编程计算200！，结果为多大数量级？能用数值方法计算吗？ ? 17. 连续周期函数f (x )在[a , b ]上(周期T =2L =b-a )的Fourier 级数展开式为 )sin cos (2)(10L x n b L x n a a x f n n n ππ∑∞=++= 其中Fourier 系数 ,2,1 ,sin )(1,2,1,0 ,cos )(1==== ??--n dx L x n x f L n n dx L x n x f L a L L n L L n ππ 试编程求Fourier 系数，并利用该程序求函数 y = x (x-π)( x -2π)的Fourier 级数展开式前7项。 习题8 1. 以下是100 次刀具故障记录，即故障出现时该刀具完成的零件数。分析这批数据是否服从正态分布，并求其均值和均方差。注意，由于纪录失误，其中可能有些数据是错误的,要对此进行适当处理。 459, 362, 624, 542, 509, 584, 433, 748, 815, 505, 612, 452, 434, 982,640782, 742, 565, 706, 593, 680, 926, 653, 164, 487, 734, 608, 428, 1153, 593, 844, 527, 552, 513, 781, 474, 388, 824, 538, 862, 659, 775, 859, 755, 649, 697, 515, 628, 954, 771, 609, 2, 960, 885, 610, 292, 837, 473, 677, 358, 638, 699, 634, 555, 570, 84, 416, 606, 1062, 484, 120, 447, 654, 564, 339, 280, 246, 687, 539, 790, 581, 621, 724, 531, 512, 577, 496, 468, 499, 544, 645, 764, 558, 378, 765, 666, 763, 217, 715, 310, 851 2. 表8.4给出了1930年各国人均年消耗的烟去数以及1950年男子死于肺癌的死亡率。(注：研究男子的肺癌死亡率是因为在1930年左右几乎极少的妇女吸烟，记录1950年的肺癌死亡率是因为考虑到吸烟的效应要有一段时间才能显现) 表8.4 各国烟消耗量与肺癌人数 国家1930年人均烟消耗量1950年每百万男子死于肺癌人数 澳大利亚480 180 加拿大500 150 丹麦380 170 芬兰1100 350 英国1100 460 荷兰490 240 冰岛230 60 挪威250 90 瑞典300 110 瑞士510 250 美国1300 200 (1)画出该数据散点图； (2) 该散点图是否表明在吸烟多的人中间肺癌死亡率较高？ (3)计算两列数据的相关系数。 3. 下图中的6个散点图分别具有如下相关系数 -0.85, -0.38, -1.00, 0.06, 0.60, 0.97 请将相关系数与散点图相配。 图8.10a 图8.10b 图8.10c 图8.10d 图8.10e 图8.10f 4. (掷硬币) 考虑将一枚均匀硬币掷N 次，当N 很大时，正面出现的机率接近0.5，设计一个随机模拟试验显示这一现象。 5. (二项分布随机数产生) 如何用最基本的随机数函数rand 产生二项分布B (n , p )的一个随机数呢？先考虑Bernoulli 试验，为此产生一个(0,1)上均匀分布随机数，若这个数小于p , 则试验结果记为1，否则记为0，那么试验结果服从0-1分布, n 个独立0-1分布随机数的和便是一个二项分布随机数。试根据这样的思路编写B (n , p ) 随机数生成函数。 6. (二项分布的正态近似) Demorvie-Laplace 中心极限定理指出，若η～B(n ,p ), n 很大, 则规范化随机变量η--np np p N ()101近似服从（，）。用计算机实验进行验证。 7. 用蒙特卡洛法计算积分 exp()-?x dx 2 01 22π，?π20 2)(sin )2/exp(dx x x ，exp()sin()--??x y dxdy x 2020π 8. 分别用蒙特卡洛法和fminsearch 求下列二元函数最大值，并通过图形作出评论。 f (x ,y )=(x 2+2y 2+xy )exp(-x 2-y 2), |x |<1.5,|y |<1.5 9. “任何二阶方阵都是可逆的”很明显是一个错误命题。例如12001224?? ???--?? ? ? ?,都是不可逆 第1章 MATLAB概论 1.1与其他计算机语言相比较，MATLAB语言突出的特点是什么？ MATLAB具有功能强大、使用方便、输入简捷、库函数丰富、开放性强等特点。 1.2 MATLAB系统由那些部分组成？ MATLAB系统主要由开发环境、MATLAB数学函数库、MATLAB语言、图形功能和应用程序接口五个部分组成。 1.3 安装MATLAB时，在选择组件窗口中哪些部分必须勾选，没有勾选的部分以后如何补安装？ 在安装MATLAB时，安装内容由选择组件窗口中个复选框是否被勾选来决定，可以根据自己的需要选择安装内容，但基本平台（即MATLAB选项）必须安装。第一次安装没有选择的内容在补安装时只需按照安装的过程进行，只是在选择组件时只勾选要补装的组件或工具箱即可。 1.4 MATLAB操作桌面有几个窗口？如何使某个窗口脱离桌面成为独立窗口？又如何将脱离出去的窗口重新放置到桌面上？ 在MATLAB操作桌面上有五个窗口，在每个窗口的右上角有两个小按钮，一个是关闭窗口的Close按钮，一个是可以使窗口成为独立窗口的Undock按钮，点击Undock按钮就可以使该窗口脱离桌面成为独立窗口，在独立窗口的view菜单中选择Dock ……菜单项就可以将独立的窗口重新防止的桌面上。 1.5 如何启动M文件编辑/调试器？ 在操作桌面上选择“建立新文件”或“打开文件”操作时，M文件编辑/调试器将被启动。在命令窗口中键入edit命令时也可以启动M文件编辑/调试器。 1.6 存储在工作空间中的数组能编辑吗？如何操作？ 存储在工作空间的数组可以通过数组编辑器进行编辑：在工作空间浏览器中双击要编辑的数组名打开数组编辑器，再选中要修改的数据单元，输入修改内容即可。 1.7 命令历史窗口除了可以观察前面键入的命令外，还有什么用途？ 命令历史窗口除了用于查询以前键入的命令外，还可以直接执行命令历史窗口中选定的内容、将选定的内容拷贝到剪贴板中、将选定内容直接拷贝到M文件中。 1.8 如何设置当前目录和搜索路径，在当前目录上的文件和在搜索路径上的文件有什么区别？ 当前目录可以在当前目录浏览器窗口左上方的输入栏中设置，搜索路径可以通过选择操作桌面的file 菜单中的Set Path菜单项来完成。在没有特别说明的情况下，只有当前目录和搜索路径上的函数和文件能够被MATLAB运行和调用，如果在当前目录上有与搜索路径上相同文件名的文件时则优先执行当前目录上的文件，如果没有特别说明，数据文件将存储在当前目录上。 1.9 在MATLAB中有几种获得帮助的途径？ Matlab 基础练习题 常量、变量、表达式 1、 MATLAB 中，下面哪些变量名是合法的？（ ） （A ）_num （B ）num_ （C ）num- （D ）-num 2、 在MA TLAB 中，要给出一个复数z 的模，应该使用（ ）函数。 （A ）mod(z) （B ）abs(z) （C ）double(z) （D ）angle(z) 3、 下面属于MATLAB 的预定义特殊变量的是？（ ） （A ）eps （B ）none （C ）zero （D ）exp 4、 判断：在MA TLAB 的内存工作区中，存放一个英文字符 'a' 需要占用1个字节，存放 一个中文字符‘啊’需要占用2个字节。（ 错，都是2个字节 ） 5、 判断：MA TLAB 中，i 和j （ 对 ） 6、 判断：MA TLAB 中，pi 代表圆周率，它等于3.14。（ 错，后面还有很多位小数 ） 7、 在MA TLAB 中，若想计算的5 1)3.0sin(21+= πy 值，那么应该在MA TLAB 的指令窗中 输入的MA TLAB 指令是__y1=2*sin(0.3*pi)/(1+sqrt(5))_。 8、 在MA TLAB 中，a = 1，b = i ，则a 占_8__个字节，b 占_16_个字节，c 占________字 节。 9、 在MA TLAB 中，inf 的含义是__无穷大__，nan 的含义是__非数（结果不定）___。 数组 1、 在MA TLAB 中，X 是一个一维数值数组，现在要把数组X 中的所有元素按原来次序 的逆序排列输出，应该使用下面的（ ）指令。 （A ）X[end:1] （B ）X[end:-1:1] （C ）X (end:-1:1) （D ）X(end:1) 2、 在MA TLAB 中，A 是一个字二维数组，要获取A 的行数和列数，应该使用的MATLAB 的命令是（ ）。 （A ）class(A) （B ）sizeof(A) （C ）size(A) （D ）isa(A) 3、 在MATLAB 中，用指令x=1:9生成数组x 。现在要把x 数组的第二和第七个元素都 赋值为0，应该在指令窗中输入（ ） （A ）x([2 7])=(0 0) （B ）x([2,7])=[0,0] （C ）x[(2,7)]=[0 0] （D ）x[(2 7)]=(0 0) 4、 在MA TLAB 中，依次执行以下指令：clear;A=ones(3,4); A(:)=[-6:5];这时， 若在指令窗中输入指令b=A(:,2)'，那么，MATLAB 输出的结果应该是（ ） （A ）b = -3 -2 -1 （B ）b = -2 -1 0 1 （C ）b = -5 -1 3 （D ）b = -5 -2 1 4 5、 在MA TLAB 中，A = 1:9，现在执行如下指令L1 = ~(A>5)，则MATLAB 的执行结果应 该是L1 =___ 1 1 1 1 1 0 0 0 0___。 %1、编制一个解数论问题的函数文件：取任意整数，若是偶数，则用2除，否则乘3加1，重复此过程，直到整数变为1。 function f=NO_1(X); Y(1)=X;k=1; while (X~=1) k=k+1; if (mod(X,2)==0) X=X/2; else X=3*X+1; end Y(k)=X; end plot(Y,'b.') end % 2、编制程序产生一个数组，满足：a1=1，a2=1，从第三个元素开始，每个元素等于前两个元素的和，直到数组的前后两个元素的比值比小于1e-4，并且以红色点线的形式画出这个数组。 clear; A(1)=1; A(2)=1; i=3; Z=1; while (abs(Z)>=1e-4) A(i)=A(i-1)+A(i-2); Z=A(i-1)/A(i); i=i+1; end plot (A,'r.') % 3、编写一个函数，能够产生分段函数。function y=test_3_1(X) if (X<=2) y=*X; elseif (X>6) y=; else y=调用分段函数，绘制曲线。 clear; i=1; for j=0::2; x(i)=j;y(i)=test_3_1(j)*test_3_1(j+2); i=i+1; end plot(x,y) % 4、在2pi周期内画正弦函数曲线，并加注坐标轴标识和标题，然后在3pi/4，pi，5pi/4处分别加入带箭头的说明性文本，最后加注图例。 clear; t = 0:pi/50:2*pi; n = length(t); y = sin(t); plot(t,y,'-bo','linewidth',1) xlabel('X');ylabel('Y'); title('正弦函数曲线'); text,, ' \leftarrow 3pi/4','FontSize',18); text,, ' \leftarrow 3pi/4','FontSize',18); text,,' \leftarrow 3pi/4','FontSize',18); hleg1 = legend('sin(x)'); % 5、A为任意一个n*m矩阵，写程序来计算A 中有多少个零元素，并输出个数。 A=input('输入一个矩阵 A = ') n=length(find(A==0)) % 6、A为任意一个向量，写程序找出A中的最小元素，并且输出这个最小元素。 A=input('输入一个向量 A = '); x=length(A); i=1; y=A(i); while (i 第2章符号运算 习题2及解答 1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度” 对象，还是“符号”符号对象？ 3/7+0.1; sym(3/7+0.1); sym('3/7+0.1'); vpa(sym(3/7+0.1)) 〖目的〗 ●不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。 〖解答〗 c1=3/7+0.1 c2=sym(3/7+0.1) c3=sym('3/7+0.1') c4=vpa(sym(3/7+0.1)) Cs1=class(c1) Cs2=class(c2) Cs3=class(c3) Cs4=class(c4) c1 = 0.5286 c2 = 37/70 c3 = 0.52857142857142857142857142857143 c4 = 0.52857142857142857142857142857143 Cs1 = double Cs2 = sym Cs3 = sym Cs4 = sym 2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认 为是自由符号变量. sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)') 〖目的〗 ●理解自由符号变量的确认规则。 〖解答〗 symvar(sym('sin(w*t)'),1) ans = w symvar(sym('a*exp(-X)'),1) ans = a symvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z 3 求以下两个方程的解 （1）试写出求三阶方程05.443 =-x 正实根的程序。注意：只要正实根，不要出现其他根。 （2）试求二阶方程022=+-a ax x 在0>a 时的根。 〖目的〗 ● 体验变量限定假设的影响 〖解答〗 （1）求三阶方程05.443 =-x 正实根 reset(symengine) %确保下面操作不受前面指令运作的影响 syms x positive solve(x^3-44.5) ans = (2^(2/3)*89^(1/3))/2 （2）求五阶方程02 2 =+-a ax x 的实根 syms a positive %注意：关于x 的假设没有去除 solve(x^2-a*x+a^2) Warning: Explicit solution could not be found. > In solve at 83 ans = [ empty sym ] syms x clear syms a positive solve(x^2-a*x+a^2) ans = a/2 + (3^(1/2)*a*i)/2 a/2 - (3^(1/2)*a*i)/2 4 观察一个数（在此用@记述）在以下四条不同指令作用下的异同。 a =@, b = sym( @ ), c = sym( @ ,' d ' ), d = sym( '@ ' ) 在此，@ 分别代表具体数值 7/3 , pi/3 , pi*3^(1/3) ；而异同通过vpa(abs(a-d)) , vpa(abs(b-d)) , vpa(abs(c-d))等来观察。 〖目的〗 ● 理解准确符号数值的创建法。 ● 高精度误差的观察。 〖解答〗 （1）x=7/3 x=7/3;a=x,b=sym(x),c=sym(x,'d'),d=sym('7/3'), a = 自动控制原理与系统课程实验报告 实验题目：利用MATLAB进行时域分析 班级：机电1131班姓名：刘润学号：38号 一、实验目的及内容 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。在此实验中，主要介绍时域法进行系统分析，包括一阶系统、二阶系统以及高阶系统,以及系统的性能指标。通过实验，能够快速掌握、并利用MATLAB及控制系统箱对各种复杂控制系统进行时域分析。 二、实验设备 三、实验原理 典型的二阶系统在不同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又大大增加了调整时间，下面通过此实验课题分析输出响应变化规律： 已知二阶振荡环节的传递函数为：G（s）=ωn*ωn/（s*s+2*ζ*ωn*s+ωn*ωn）， 其中ωn=0.4，ζ从0变化到2，求此系统的单位阶跃响应曲线，并分析当ζ发生变化时，二阶系统的响应有什么样的变化规律。 四、实验步骤编出程序如下图： 五、实验结果画出图表如下图： 六、结果分析 （1）当ξ=0（无阻尼）（零阻尼）时： 无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线。如图ξ=0曲线。 （2）当0<ξ<1（欠阻尼）时： 对应不同的ξ，可画出一系列阻尼振荡曲线，且ξ越小，振荡的最大振幅愈大。如图ξ=0.4曲线。 (3)当ξ=1（临界阻尼）时： 临界阻尼时的阶跃响应为单调上升曲线。如图ξ=1曲线。 （4）当ξ>1（过阻尼）时： 过阻尼时的阶跃响应也为单调上升曲线。不过其上升的斜率较临界阻尼更慢。如图ξ=1.6曲线 七、教师评语 【例1.3-5】图示复数i z i z 21,3421+=+=的和。 z1=4+3*i;z2=1+2i; z12=z1+z2 clf,hold on plot([0,z1,z12],'-b','LineWidth',3) plot([0,z12],'-r','LineWidth',3) plot([z1,z12],'ob','MarkerSize',8) hold off,grid on axis equal axis ([0,6,0,6]) text(3.5,2.3,'z1') text(5,4.5,'z2') text(2.5,3.5,'z12') xlabel('real') ylabel('image') shg z12 = a=-8; r_a=a^(1/3) p=[1,0,0,-a]; R=roots(p) MR=abs(R(1)); t=0:pi/20:2*pi; x=MR*sin(t); y=MR*cos(t); plot(x,y,'b:'),grid on hold on plot(R(2),'.','MarkerSize',30,'Color','r') plot(R([1,3]),'o','MarkerSize',15,'Color','b') axis([-3,3,-3,3]),axis square hold off r_a = 1.0000 + 1.7321i R = -2.0000 1.0000 + 1.7321i 【例1.3-10】画出衰减振荡曲线t e y t 3sin 3-=，t 的取值范围是]4,0[π。 t=0:pi/50:4*pi; y=exp(-t/3).*sin(3*t); plot(t,y,'r','LineWidth',2) axis([0,4*pi,-1,1]) xlabel('t'),ylabel('y') 第一章 M A T L A B 概况与基本操作 1.选择题（每题2分，共20分）： (1)最初的MATLAB 核心程序是采用D 语言编写的。 A.PASCAL B.C C.BASIC D.FORTRAN (2)即将于2011年9月发布的MATLAB 新版本的编号为C 。 A.MATLAB 2011Ra B.MATLAB 2011Rb C.MATLAB R2011b D.MATLAB R2011a (3)在默认设置中，MATLAB 中的注释语句显示的颜色是B 。 A.黑色 B.绿色 C.红色 D.蓝色 (4)如果要以科学计数法显示15位有效数字，使用的命令是A 。 A.format long e B.format long C.format long g D.format long d (5)在命令窗口新建变量a 、b ，如果只查看变量a 的详细信息，使用的命令为A 。 A.whos a B.who a C.who D.whos (6)如果要清除工作空间的所有变量，使用的命令为C 。 A.clear B.clear all C.两者都可 D.两者都不可 (7)在创建变量时，如果不想立即在命令窗口中输出结果，可以在命令后加上B 。 A.冒号 B.分号 C.空格 D.逗号 (8)如果要重新执行以前输入的命令，可以使用D 键。 A.下箭头↓ B.右箭头→ C.左箭头← D.上箭头↑ (9)如果要查询函数det 的功能和用法，并显示在命令窗口，应使用命令C 。 A.doc B.lookfor C.help D.三者均可 (10)如果要启动Notebook 文档，下列D 操作是可行的。 A.在命令窗口输入notebook 命令 B.在命令窗口输入notebook filename 命令 C.在Word 中启动M-book 文档 D.三者均可 2.填空题（每空1分，共20分）： (1)MATLAB 是matrix 和laboratory 两个单词前三个字母的组合，意为“矩阵实验室”，它的创始人是Cleve Moler 和Jack Little 。 (2)在MATLAB 的默认设置中，关键字显示的字体为蓝色，命令、表达式、计算结果显示的字体为黑色，字符串显示的字体为褐红色，注释显示的字体为绿色，错误信息显示的字体为红色。 (3)在命令窗口中，输出结果显示为各行之间添加空行的命令为format loose ，各行之间不添加空行的命令为format compact 。 (4)在MATLAB 中，各种标点符号的作用是不同的。例如，空格的作用是分隔数组每行各个元素，逗号的作用是分隔数组每行各个元素或函数的各个输入参数，分号的作用是作为不显示命令结果的命令行的结尾或分隔数组各列，冒号的作用是生成一维数组或表示数组全部元素，百分号的作用是引导一行注释，…的作用是连接相邻两行，感叹号的作用是调用操作系统命令。 3.程序设计题（每题10分，共40分） (1)以25m/s 的初速度向正上方投球（g=9.8m/s 2），计算到达最高点的时间tp 以及球从出发点到 最高点的距离hp 。 解：根据物理学知识，物体上抛运动的速度与经过的时间之间的关系为0p p v v gt =-，因此所需要的时间为0p p v v t g -=。而到达最高点时的速度0p v =，因此可根据此公式求出tp ： v0=25;g=9.8;vp=0; tp=(v0-vp)/g tp = 2.5510 五、某公司投资2000万元建成一条生产线。投产后，在时刻t 的追加成本和追加收益分别为3/225)(t t t G ++=（百万元/年），3/218)(t t H -=（百万元/年）。试确定该生产线在何时停产可获最大利润？最大利润是多少？ 提示：利用函数?=T G H t R 0t 20-d ))t (-)t (()(（百万元），由于H （t ）-G （t ）单调 下降，所以H （t ）=G （t ）时，R （t ）取得最大利润。 5.解：构造函数f(t)=H(t)-G(t)=13-t-3t 2/3=0 ; 令t 1/3=x,则f(t)=-t 3-3t 2+13 可得矩阵P=[-1,-3,0,13] 求最佳生产时间的源程序如下： p=[-1,-3,0,13]; x=roots(p); t=x.^3 运行结果如下： t = 3.6768 +21.4316i 3.6768 -21.4316i 4.6465 再分别将t 的三个值带入函数f(t)，比较大小后，得到最大利润与最佳生产时间。 求最大利润的程序代码如下： ① t=3.6768 +21.4316i; x=0:0.01:t; y=13-x-3*x.^(2/3); trapz(x,y) 运行结果： ans = 25.2583 ② t=3.6768 -21.4316i; x=0:0.01:t; y=13-x-3*x.^(2/3); trapz(x,y) 运行结果： ans = 25.2583 ③ t=4.6465; x=0:0.01:t; y=13-x-3*x.^(2/3); trapz(x,y) 运行结果： ans = 26.3208 比较以上三组数据，可知最佳生产时间t=4.6465年，可获得的最大利润 26.3208（百万元/年）。 clear; close; fplot('18-t^(2/3)',[0,20]);grid on;hold on; fplot('5+t+2*t^(2/3)',[0,20],'r');hold off; %发现t 约为4 课题一： 连续时间信号和系统时域分析及MATLAB实现 课题要求： 深入研究连续时间信号和系统时域分析的理论知识。利用MATLAB强大的图形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间信号和系统时域分析的仿真波形。 课题内容： 一、用MATLAB实现常用连续时间信号的时域波形（通过改变参数，分析其时域特性）。 1、单位阶跃信号， 2、单位冲激信号， 3、正弦信号， 4、实指数信号， 5、虚指数信号， 6、复指数信号。 二、用MATLAB实现信号的时域运算 1、相加， 2、相乘， 3、数乘， 4、微分， 5、积分 三、用MATLAB实现信号的时域变换（参数变化，分析波形变化） 1、反转， 2、使移（超时，延时）， 3、展缩， 4、倒相， 5、综合变化 四、用MATLAB实现信号简单的时域分解 1、信号的交直流分解， 2、信号的奇偶分解 五、用MATLAB实现连续时间系统的卷积积分的仿真波形 给出几个典型例子，对每个例子，要求画出对应波形。 六、用MATLAB实现连续时间系统的冲激响应、阶跃响应的仿真波形。 给出几个典型例子，四种调用格式。 七、利用MATLAB实现连续时间系统对正弦信号、实指数信号的零状态响应的仿真波形。 给出几个典型例子，要求可以改变激励的参数，分析波形的变化。 课题二： 离散时间信号和系统时域分析及MATLAB实现。 课题要求： 深入研究离散时间信号和系统时域分析的理论知识。利用MATLAB强大的图 形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现离散时间信号和系统时域分析的仿真波形。 课题内容： 一、用MATLAB绘制常用信号的时域波形（通过改变参数分析其时域特性） 1、单位序列， 2、单位阶跃序列， 3、正弦序列， 4、离散时间实指数序列， 5、离散时间虚指数序列， 6、离散时间复指数序列。 二、用MATLAB实现信号的时域运算 1、相加， 2、相乘， 3、数乘。 三、用MATLAB实现信号的时域变换（参数变化，分析波形的变化） 1、反转， 2、时移（超时，延时）， 3、展缩， 4、倒相。 四、用MATLAB实现离散时间系统卷积和仿真波形 给出几个典型例子，对每个例子要求画出e(k)，h(k)，e(i)，h(i)，h(-i)，Rzs(k)波形。 五、用MATLAB实现离散时间系统的单位响应，阶跃响应的仿真波形 给出几个典型例子，四中调用格式。 六、用MATLAB实现离散时间系统对实指数序列信号的零状态响应的仿真波形 给出几个典型例子，要求可以改变激励的参数，分析波形的变化。 课题三： 连续时间信号傅里叶级数分析及MATLAB实现。 课题要求： 深入研究连续时间信号傅里叶级数分析的理论知识，利用MATLAB强大的图形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。 课题内容： 一、用MATLAB实现周期信号的傅里叶级数分解与综合 以周期矩形波信号为例，绘出包含不同谐波次数的合成波形，观察合成波形与原矩形 波形之间的关系及吉布斯现象。 习题2.1 画出下列常见曲线的图形 y （1）立方抛物线3x 命令：syms x y; ezplot('x.^(1/3)') (2)高斯曲线y=e^(-X^2); 命令：clear syms x y; ezplot('exp(-x*x)') (3)笛卡尔曲线 命令：>> clear >> syms x y; >> a=1; >> ezplot(x^3+y^3-3*a*x*y) (4)蔓叶线 命令：>> clear >> syms x y; >> a=1 ezplot(y^2-(x^3)/(a-x)) (5)摆线:()()t sin- = , = - b y 1 t x cos t a 命令：>> clear >> t=0:0.1:2*pi; >> x=t-sin(t); >>y=2*(1-cos(t)); >> plot(x,y) 7螺旋线 命令：>> clear >> t=0:0.1:2*pi; >> x=cos(t); >> y=sin(t); >> z=t; >>plot3(x,y,z) (8)阿基米德螺线 命令：clear >> theta=0:0.1:2*pi; >> rho1=(theta); >> subplot(1,2,1),polar(theta,rho1) (9) 对数螺线 命令：clear theta=0:0.1:2*pi; rho1=exp(theta); subplot(1,2,1),polar(theta,rho1) (12)心形线 命令：>> clear >> theta=0:0.1:2*pi; >> rho1=1+cos(theta); >> subplot(1,2,1),polar(theta,rho1) 练习2.2 1. 求出下列极限值 （1）n n n n 3 lim 3 +∞ → 命令：>>syms n >>limit((n^3+3^n)^(1/n)) ans = 3 （2）)121(lim n n n n ++-+∞ → 命令：>>syms n >>limit((n+2)^(1/2)-2*(n+1)^(1/2)+n^(1/2),n,inf) ans = 0 （3）x x x 2cot lim 0 → 命令：syms x ； 第4章数值运算 习题 4 及解答 1 根据题给的模拟实际测量数据的一组t和)(t y试用数值差分 diff或数值梯度gradient指令计算)(t y'曲线 y'，然后把)(t y和)(t 绘制在同一图上，观察数值求导的后果。（模拟数据从prob_data401.mat获得） 〖目的〗 ●强调：要非常慎用数值导数计算。 ●练习mat数据文件中数据的获取。 ●实验数据求导的后果 ●把两条曲线绘制在同一图上的一种方法。 〖解答〗 （1）从数据文件获得数据的指令 假如prob_data401.mat文件在当前目录或搜索路径上 clear load prob_data401.mat （2）用diff求导的指令 dt=t(2)-t(1); yc=diff(y)/dt; %注意yc的长度将比y短1 plot(t,y,'b',t(2:end),yc,'r') （3）用gradent求导的指令（图形与上相似） dt=t(2)-t(1); yc=gradient(y)/dt; plot(t,y,'b',t,yc,'r') grid on 〖说明〗 ● 不到万不得已，不要进行数值求导。 ● 假若一定要计算数值导数，自变量增量dt 要取得比原有数据相对误差高1、2个量级 以上。 ● 求导会使数据中原有的噪声放大。 2 采用数值计算方法，画出dt t t x y x ? =0sin )(在]10 ,0[区间曲线，并计算)5.4(y 。 〖提示〗 ● 指定区间的积分函数可用cumtrapz 指令给出。 ● )5.4(y 在计算要求不太高的地方可用find 指令算得。 〖目的〗 ● 指定区间的积分函数的数值计算法和cumtrapz 指令。 ● find 指令的应用。 〖解答〗 dt=1e-4; t=0:dt:10; t=t+(t==0)*eps; f=sin(t)./t; s=cumtrapz(f)*dt; plot(t,s,'LineWidth',3) ii=find(t==4.5); s45=s(ii) s45 = 【例】水资源系统规划调度常应用系统分析方法处理，以一个水资源分配问题为例，讨论线性规划问题。例：有甲、乙两个水库同时给A、B、C三个城市供水，甲水库的日供水量为28万m3/d，乙水库的日供水量为35万m3/d，三个城市的日需水量分别为A≥10万m3/d，B≥15万m3/d，C≥20 万m3/d。由于水库与各城市的距离不等，输水方式不同，因此单位水费也不同。各单位水费分别为c11＝2000元/万m3、c12＝3000元/万m3、c13＝4000元/万m3、c21＝4500元/万m3、c22＝3500元/万m3、c23＝3000元/万m3。试作出在满足对三个城市供水的情况下，输水费用最小的方案。 设甲水库向三城市日供水量分别为x ll、x12、x13，乙水库向三城市日供水量分别为x2l、x22、x23。 建立约束条件： x11 + x21 ≥10 x12 + x22 ≥15 x13 + x23 ≥20 x11 + x12 + x13 ≤28 x21 + x22 + x23 ≤35 x11，x12，x13，x21，x22，x23，≥0 目标函数： fmin=c11x11+c12x12+c13x13+c21x21+c22x22+c23x23 这样的问题单纯求解是非常繁琐的，而MLTLAB求解是十分简单的，只要在命令行输入： 》f=[0.2 0.3 0.4 0.45 0.35 0.3]’； 》A=[-1 0 0 -1 0 0；0 -1 0 0 -1 0；0 0 -1 0 0 -1；1 1 1 0 0 0； 0 0 0 1 1 1]； 》B=[-10 -15 -20 28 35]； 》lb=zeros（6，1）； 》[X，Zmin]=linprog(f，A，B，[]，[]，lb,[]) 最后得出x=[10 15 0 0 0 20]万m3，Zmin=12.5万元。 第1章 MATLAB简介 1、MA TLAB的主要特点有：①语言简洁，编程效率高。②人机界面友善，交互性好。③绘图功能强大，便于数据可视化。④学科众多、领域广泛的MATLAB工具箱。⑤源程序的开放性。 MATLAB的典型应用领域有：①自动控制②汽车③电子④仪器仪表⑤生物医学⑥信号处理⑦通信等。 2、填空题 ⑴命令窗口、命令历史窗口、当前目录窗口 ⑵查阅、保存、编辑 ⑶清除图形窗、清除命令窗口中显示内容、清除MATLAB工作空间中保存的变量。 3、如果想查看某一变量具体内容或者对其修改操作，可以在工作空间中双击该变量名称，可以打开数组编辑器，在数组编辑器中可以查看变量的具体内容，也可以对其修改。如果想删除MATLAB内存中的变量，可以在工作空间中选中该变量，然后利用工作空间窗口的菜单命令或工具条中的快捷图标进行删除。 4、1+2+3+4+5+... （+ 后面可以直接跟...，也可以在+和...中加一个空格。） 6+7+8+9 1+2+3+4+5 ... （5后面必须跟一个空格，不能直接跟...，否则报错，这在预置一个+6+7+8+9 大数组时很重要。） 第2章矩阵与数值数组 1、填空题： ⑴非数、无穷大、机器零阈值，浮点数相对精度,eps= 2.2204e-016。 ⑵全下标、单下标。 2、阅读程序题： （本题主要考察数组的寻访、赋值和简单运算，提示：带；的语句不显示结果） ⑴ans = 2 3 7 Sa = 10 20 30 A = 1 20 5 30 9 10 4 6 8 10 ⑵ A = 1 3 5 7 9 11 13 15 2 4 6 8 10 12 14 16 ans = 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 A = 0 0 5 7 0 0 13 15 2 4 0 0 10 12 0 0 ⑶ ans = -1 -4 6 4 ans = 3 0 5 -2 ans = 3 6 9 12 ans = 3 6 9 12 3、A=magic(4)； L=A<10 L = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 4、省略。 第3章字符串、元胞和构架数组 1. 直接创建法：S1=['Where there is life,' 'there is hope. '] %注意第2行要加入6个空格使其与第一 行字符数相等，否则报错。 S2=str2mat('Where there is life,','there is hope.') S3=strvcat('Where there is life,','there is hope.') %后两种方法则不用考虑两行 字符的数目 2. 填空题：A（2，3）；A{2，3} 3. 阅读程序题： ⑴subch = ABc12 1、标点符号;可以使命令行不显示运算结果，%用来表示该行为注释行。 2、x为0～4pi，步长为0.1pi的向量，使用命令x=0:0.1*pi:4*pi创建。4、输入矩阵A= 错误！未找到引用源。 ，使用全下标方式用A(2,2)取出元素 “-5”，使用单下标方式用A(5)取出元素“-5”。 5、符号表达式sin(2*a+t)+m中独立的符号变量为t。 6、M脚本文件和M函数文件的主要区别是M脚本文件没有函数定义和M函数文件有函数定义。 7. 设x是一维数组，x的倒数第3个元素表示为 ______x(_end-2_)________________；要在x的第36和37个元素之间插入一个元素154，使用的命令(集)为_x=x(_1:36,[154],37:end)_；设y为二维数组，要删除y 的第34行和48列，可使用命令_y(34,:)=[];y(:,48)=[]_； 8. 将变量x以Ascii文本格式存储到文件fname.txt，应使用命令__save _x_；将Excel文件data.xls读入WorkSpace并赋值给变量x，可使用命令 _x=xlsread('data.xls')_； 9. 在while表达式,语句体,End 循环语句中，表达式的值__非零__时表示循环 条件为真，语句体将被执行，否则跳出该循环语句； 10. 打开Matlab的一个程序文件fname.m，以添加的方式进行读写，应当使用命 令_fid= fopen('fname.m','w+'); 11.要从键盘读入一个字符串并赋值给变量x，且给出提示“Who is she?”，应使用命令__x=input(…Who is she??,?s?)_；使用fprintf()函数以含有2位小数的6位浮点格式输出数值变量weight到文件wt.txt，使用的命令（集）为fid = fopen(…wt.txt?,??,_); fprintf () ；12．设A= 错误！未找到引用源。,和B= 错误！未找到引用源。 和 C=错误！未找到引用源。均为m*n矩阵，且存在于WorkSpace中，要产生矩阵D= matlab练习题和答案 控制系统仿真实验 Matlab 部分实验结果 目录 实验一MATLAB基本操作..................................................................... .......................1 实验二Matlab 编程..................................................................... ...............................5 实验三Matlab 底层图形控制..................................................................... .....................6 实验四控制系统古典分析...................................................................... .......................12 实验五控制系统现代分析..................................................................... . (15) 实验六PID 控制器的设计..................................................................... ......................19 实验七系统状态空间设计...................................................................... .......................23 实验九直流双闭环调速系统仿真..................................................................... . (25) 实验一MATLAB基本操作 习题： 1， 计算?? ????=572396a 与??? ???=864142b 的数组乘积。 2， 对于B AX =，如果???? ? ?????=753467294A ，??????????=282637B ，求解X 。 3， 已知：?? ?? ? ?????=987654321a ，分别计算a 的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。 4， 角度[]604530=x ，求x 的正弦、余弦、正切和余切。(应用sin,cos,tan.cot) 5， 将矩阵?? ?? ??=7524a 、??????=3817b 和??? ???=2695c 组合成两个新矩阵： （1）组合成一个4?3的矩阵，第一列为按列顺序排列的a 矩阵元素，第二列为按列顺序排列的b 矩阵元素，第三列为按列顺序排列的c 矩阵元素，即 ?? ??? ???? ???237 912685 574 （2）按照a 、b 、c 的列顺序组合成一个行矢量，即 []296531877254 6， 将(x -6)(x -3)(x -8)展开为系数多项式的形式。(应用poly,polyvalm) 7， 求解多项式x 3-7x 2+2x +40的根。(应用roots) 8， 求解在x =8时多项式(x -1)(x -2) (x -3)(x -4)的值。(应用poly,polyvalm) 9， 计算多项式9514124234++--x x x x 的微分和积分。(应用polyder,polyint ，poly2sym) 10， 解方程组???? ? ?????=??????????66136221143092x 。(应用x=a\b) 11， 求欠定方程组?? ? ???=???? ??5865394742x 的最小范数解。(应用pinv) 12， 矩阵???? ? ?????-=943457624a ，计算a 的行列式和逆矩阵。(应用det,inv) 13， y =sin(x )，x 从0到2π，?x =0.02π，求y 的最大值、最小值、均值和标准差。(应用max,min,mean,std) 14， 参照课件中例题的方法，计算表达式() 2 2 e 1053y x y x z ---=的梯度并绘图。(应用meshgrid, gradient, contour, hold on, quiver) 15， 用符号函数法求解方程a t 2+b*t +c=0。(应用solve) 16， 用符号计算验证三角等式：(应用syms,simple) 17， 求矩阵?? ? ? ??=2221 1211a a a a A 的行列式值、逆和特征根。(应用syms,det,inv,eig) 18， 因式分解：6555234-++-x x x x (应用syms, factor) 19， ? ??? ?? ?? =)sin()log(12 x x e x x a f ax ，用符号微分求df/dx 。(应用syms,diff) 20， 符号函数绘图法绘制函数x=sin(3t)cos(t)，y=sin(3t)sin(t)的图形，t 的变化范围为[0,2π]。(应用syms,ezplot) 21， 绘制曲线13++=x x y ，x 的取值范围为[-5,5]。(应用plot) 22， 有一组测量数据满足-at e =y ，t 的变化范围为0~10，用不同的线型和标记点画出a=0.1、a=0.2和a=0.5三种情况下的曲线,在图中添加标题-at e =y ，并用箭头线标识出各曲线a 的取值，并添加标题-at e =y 和图例框。(应用plot,title,text,legend) 23 24， x= [66 49 71 56 38]，绘制饼图，并将第五个切块分离出来。 第2章MATLAB概论 1、与其他计算机语言相比较，MA TLAB语言突出的特点是什么？ 答：起点高、人机界面适合科技人员、强大而简易的作图功能、智能化程度高、功能丰富，可扩展性强. 2、MA TLAB系统由那些部分组成？ 答：开发环境、MATLAB数学函数库、MATLAB语言、图形功能、应用程序接口 3、安装MATLAB时，在选择组件窗口中哪些部分必须勾选，没有勾选的部分以后如何补安装？ 答：在安装MATLAB时，安装内容由选择组件窗口中各复选框是否被勾选来决定，可以根据自己的需要选择安装内容，但基本平台（即MATLAB选项）必须安装.第一次安装没有选择的内容在补安装时只需按照安装的过程进行，只是在选择组件时只勾选要补装的组件或工具箱即可.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 4、MATLAB操作桌面有几个窗口？如何使某个窗口脱离桌面成为独立窗口？又如何将脱离出去的窗口重新放置到桌面上？ 答：在MATLAB操作桌面上有五个窗口，在每个窗口的右下角有两个小按钮，一个是关闭窗口的Close 按钮，一个是可以使窗口称为独立的Undock按钮，点击Undock按钮就可以使该窗口脱离桌面称为独立窗口，在独立窗口的view菜单中选择Dock，菜单项就可以将独立的窗口重新防止的桌面上. 5、如何启动M文件编辑/调试器？ 答：在操作桌面上选择“建立新文件”或“打开文件”操作时，M文件编辑/调试器将被启动.在命令窗口中键入edit命令时也可以启动M文件编辑/调试器. 6、存储在工作空间中的数组能编辑吗？如何操作？ 答：存储在工作空间的数组可以通过数组编辑器进行编辑：在工作空间浏览器中双击要编辑的数组名打开数组编辑器，再选中要修改的数据单元，输入修改内容即可.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 7、命令历史窗口除了可以观察前面键入的命令外，还有什么用途？ 答：命令历史窗口除了用于查询以前键入的命令外，还可以直接执行命令历史窗口中选定的内容、将选定的内容拷贝到剪贴板中、将选定内容直接拷贝到M文件中.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 8、如何设置当前目录和搜索路径，在当前目录上的文件和在搜索路径上的文件有什么区别？ 答：当前目录可以在当前目录浏览器窗口左上方的输入栏中设置，搜索路径可以通过选择操作桌面的file菜单中的Set Path菜单项来完成.在没有特别说明的情况下，只有当前目录和搜索路径上的函数和文件能够被MATLAB运行和调用，如果在当前目录上有与搜索路径上相同文件名的文件时则优先执行当前目录上的文件，如果没有特别说明，数据文件将存储在当前目录上.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 9、在MA TLAB中有几种获得帮助的途径？ 答：（1）帮助浏览器：选择view菜单中的Help菜单项或选择Help菜单中的MATLAB Help菜单项可以打开帮助浏览器.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 （2）help命令：在命令窗口键入“help”命令可以列出帮助主题，键入“help 函数名”可以得到鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 指定函数的在线帮助信息. （3）lookfor命令：在命令窗口键入“lookfor 关键词”可以搜索出一系列与给定关键词相关的命令和函数.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 （4）模糊查询：输入命令的前几个字母，然后按Tab键，就可以列出所有以这几个字母开始的命令和函数. 注意：lookfor和模糊查询查到的不是详细信息，通常还需要在确定了具体函数名称后用help命令显示详细信息.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。matlab课后习题及答案详解
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