【数学】1.1.2 类比推理课件(北师大版选修2-2),

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高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)

( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．① B．①②
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适．从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．

北师大版选修1-2--第三章-1-1.2-类比推理----课件(27张)

2 + 3 + 4 ), 得r=
3
1 +2 +3 +4
3
.
命题(猜想).
知识梳理
名师点拨1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在
被研究中的事物的特征.所以由类比推理得出的结果具有猜测性,
不一定可靠.
2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.
知识梳理
【做一做1】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的
性质,可推知正四面体有下列性质:
比平面、由内切圆类比内切球、由平面图形面积类比立体图形的
体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.
1
2
3
4
解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是内
切球半径r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底
1
面的四个小三棱锥的体积之和,则四面体的体积为 VA-BC = (1 +
答案:①
1
2
3
4
4.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,
2
则 r=
. 类比这个结论可知, 四面体 − 的四个面的面积分
++
别为1 , 2 , 3 , 4 , 内切球半径为, 四面体 − 的体积为, 求.
分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比直线、由直线类
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
2
解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆 2

+
2

2
= 1( > > 0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条

1.1.2《类比推理》课件(北师大版选修2-2)

(A)一条中线上的点，但不是重心
(B)一条垂线上的点，但不是垂心 (C)一条角平分线上的点，但不是内心 (D)中心提示：选D.∵平面内的正三角形类比空间中正四面体，平面内
的圆类比空间中的球，正三角形各边中点类比空间正四面体各
面中心，因此选D.
典型例题精析
知能巩固提高
【解以看成是四个三角形的面积之和，
类比此方法，我们可以采用等体积法解决三棱锥的相应性质：如图，H1，H2，H3，H4依次是三棱锥Q-BCD、Q-ADC、Q-ABD和 Q-ABC的高，三棱锥的体积可以看成是这四个三棱锥的体积之和.
所以S1=K,S2=2K,S3=3K,S4=4K,
数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____，_______， T16 成等 T12 比数列. 【解题提示】等差数列与等比数列中的类比是“和”类比
到“积”，“差”类比到“商”.
【解析】
答案：
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.通过计算可得下列等式：
23-13=3×12+3×1+1;33-23=3×22+3×2+1;
二、填空题（每题5分，共10分） 4.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个
的某顶点在另一个的中心，则这
a 2 .类比到空间，有两个棱两个正方形重叠部分的面积恒为 4 长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这
两个正方体重叠部分的体积恒为______.
一、选择题（每题5分，共15分）
1.（2010·莆田高二检测）下面使用类比推理正确的是（）
(A)“若a·3=b·3，则a=b”,类比推出“若a·0=b·0,则a=b” (B)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“(a·b)c=ac·bc” (C)“若(a+b)c=ac+bc”,类比推出“ a b a b (c≠0)” c c c n=anbn”,类比推出“(a+b)n=an+bn” (D)“(ab) 【解析】选C.由类比推理的形式结合代数式的运算律可知C正确.

1.1.2 类比推理同步课件(北师大版选修2-2)

课前探究学习课堂讲练互动
[思路探索 ] 求1＋2＋3＋…＋n的和时，用了累加法，整体求其
值，累加前的各式用了平方差公式．类比此过程，猜想求12＋22
＋ 32 ＋ „ ＋ n2 时，也用累加法．累加前的式子用立方差公式表示．
课前探究学习
课堂讲练互动
解因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1， n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1， „ 23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋„＋n2)＋3(1＋2＋3＋„＋n)＋n，
1．2 类比推理
【课标要求】 1．通过具体实例理解类比推理的意义． 2．会用类比推理对具体问题作出推断．【核心扫描】
1．了解类比推理的含义．(重点)
2．合情推理含义的理解，归纳推理和类比推理含义的理解及两种推理的应用．(重点、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．类比推理 (1)类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根
2 1 3 n ＋5n 2 2 2 3 2 所以 1 ＋2 ＋„＋n ＝3n ＋3n ＋3n－ 2
2n3＋3n2＋n nn＋12n＋1 ＝＝ . 6 6
课前探究学习
课堂讲练互动
典型的数学方法往往可以解决一类问题，培养学生
总结、反思、举一反三的习惯，可以提高学生的知识迁移能力
据一类对象的其他特征其他特征
推断另一类对象也具有类似的
，这种推理过程称为类比推理．的推理．
类比推理是两类事物特征之间
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)类比推理的特征
类比推理是从特殊到特殊的推理，简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的．

北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.1 归纳与类比1.1.2

【例 3】有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线
都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径. 定理:过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条
直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
(1)写出定理在椭圆
��2 ��2
侧棱长分别为��, ��, ��”, 类比上述处理方法,
可得该三棱锥的外接球半径�� =
.
解析:由求直角三角形外接圆的半径的方法,通过类比得出求三
棱锥的外接球的半径的方法为:将三棱锥补全为长方体,而长方体的
对角线长就是三棱锥的外接球的直径,从而得出该三棱锥的外接球
半径 R=
1.2 类比推理
-1-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作用.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一题型二题型三
题型一等差数列与等比数列之间的类比
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
��3��
于是 bmbnbp=b1qm-1·b1qn-1·b1qp-1=�� 13qm+n+p-3=��13q3r-3=(b1qr-1)3=��3�� ,

北师大版高中数学选修2-2课件1.1.2类比推理课件4

• 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．
• 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
• 2．类比推理的定义
• 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也 _具__有_类__似_的__其_他__特__征_____________，这种推理方式称为类比推理(简称类比)．
(－1)n·nn2＋1 ，所以第n个式子可为12－22＋32－42 ＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn2＋1(n∈N＋)．
• 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图 (1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正
方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
• 5．合情推理的特点及一般步骤：
• (1)合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．
• (2)一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠．
(3)合情推理的一般步骤概括为：从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想
请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存
在什么类似的结论？并用体积法证明．
• [分析] 考虑到用“面积法”证明结论时，把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积的方法相应结论．
[结论] 在四面体V－BCD中，任取一点O，连接

【数学】1.1.2 类比推理课件(北师大版选修2-2)

它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类的老师」比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
单位元
a+0=a
通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.1.2 类比推理

1.2 类比推理
必备知识·自主学习
1.类比推理
定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理类比推理特征:①类比推理是两类事物特征之间的推理; ②利用类比推理得出的结论不一定是正确的
ha hb hc hd
【思路导引】中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,向量与实数, 空间与平面,圆与球等.
【解析】1.
pa
1 ＝2
BC
pa
＝S
PBC
ha
1 2
BC
ha
S ABC
同理, pb ＝S PAC ，pc ＝S PAB
hb S ABC hc S ABC
因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,
T10 T20 T30
差数列{an}中,若Sn是{an}的前n项和.可类比得到的结论是______________.
2.我们已经学过了等差数列,是否有等和数列呢? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义. (2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点?并加以说明. (3)在等和数列{an}中,如果a1=a,a2=b,求它的前n项和Sn.
于是
S2
ABC＝(
1 2
BC
AE)2＝( 1 2
BC
EM)
(1 2
BC
ED)
=S△BCM·S△BCD.
类型二数列中的类比
【典例】1.在公比为4的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有 T20 ，T30 ，T40 也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地,在公差为3的等

高三数学：1.1.2类比推理课件 (北师大选修2-2)

例如,法国数学家费马观察到 221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65 537都是质数,于是他用归纳推理提出
猜想 : 任何形如22n 1 n N 的数都是质
数 .这就是著名的费马猜想.半个世纪之后,
小结：线→面,平面→空间，圆→球.
例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果若a,bR则a+bR
若a,bR则a×bR
运算律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
ab=ba (ab)c=a(bc)
加法的逆运算是减法, 乘法的逆运算是除法,
逆运算使得方程a+x=0有唯使得方程ax=1有唯一
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理. (简称;类比)
移动n个金属片时，可分为下列3个步骤： (1)将上面(n-1)个金属片从1号针移到2号针； (2)将第n个金属片从1号针移到3号针； (3)将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.
递推公式：
a1 an
1 2an1
1(n
N*,
n
1).

1.1.2类比推理课件(北师大版选修2-2)

不是都有正 n 面体。我们知道正多面体只有五种。 4．类比推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径：如：平面上的直线可以和空间的平面进行类比；向量与数可以类比；平面图形的面积与空间几何体的体积可以类比；等差数列与等比数列可以类比等等；
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
例 3 如图，已知点 O 是 ABC 内任意一点，连结 AO, BO, CO, 并延长交对边于 A , B , C ，则 OA
1 1 1
1
AA1

OB1 OC1 1 BB1 CC1
（Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体V BCD ，
存在什么类似的结论（Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。分析：平面中的三角形可与空间的四面体进行类比，三角形内一点对应于四面体内一点，三角形的三个顶点类比四面体的四个顶点，三角形的三边类比四面体的四个面，于是可类比得到相应的结论（Ⅱ）；而证明，（Ⅰ）可用面积法，那么证明（Ⅱ）可类比使用体积法。注意：本题不仅用类比得到一个新的性质，而且证明方法上也运用了类比的方法
二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质： (1) a=b a+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=b a2=b2;等等。猜想不等式的性质： (1) a＞ b a+c＞ b+c; (2) a＞ b ac＞ bc; (3) a＞ b a2＞ b2;等等。
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

高中数学北师大版选修1-2 1.2 类比推理课件(32张)

两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所
在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
三角形的两边之和大于第三边
四面体
三角形的中位线的长等于第三边长的一半 , 且平
行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点 , 且这个点是
富的联想,利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难度 ,先解决较简单的问题 ,再类比到复杂问题 ,常常可达到柳暗花明的成效.
跟踪训练 2
1 设 f ( x) ＝ x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公 2＋ 2
式的方法,可求得 f(－5) ＋f(－ 4) ＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6) 的值是 3 2 ______.
§1 1.2
[学习目标]
归纳与类比类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出推断.
知识点一
类比推理
(1)类比推理的含义
由于两类不同对象具有某些类似的特征 , 在此基础上 , 根据一类对象的其他特征 ,推断另一类对象也具有类似的其他特征 , 这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.
(2)类比推理的特征类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
(4)思维过程流程图：
观察、比较 ― → 联想、类推 ― → 猜想新的结论
思考类比推理的结论能作为定理应用吗？
答不能.因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格
的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用.
n2＋2n－n nn＋1 所以 1＋2＋3＋„＋n＝＝ . 2 2

1.1 归纳与类比课件(北师大选修2-2)

[例 1]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 已知：1> ；1＋＋ >1；1＋＋＋＋＋＋ 2 2 3 2 3 4 5 6 7
3 1 1 1 > ；1＋＋＋…＋ >2；…… 2 2 3 15 根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
[思路点拨]
n
观察不等式左边最后一项的分母特点为
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构
成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合． (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质. 圆球
圆心与弦(非直径)中点的连球心与截面(不经过球心的小线垂直于弦圆面)圆心的连线垂直于截面
[一点通]
根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：
(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代
数式的相同或相似之处等；
(2)提炼出数、式的变化规律；
(3)运用归纳推理写出一般结论．
1．(2012· 陕西高考)观察下列不等式： 1 3 1＋ 2< ， 2 2 1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 …… 照此规律，第五个不等式为___________________．
2.演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
1.归纳推理的特点
（1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；（2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代

高中数学 1.2 类比推理同步课件北师大版选修22

易错易误辨析
当堂双基达标
课时作业
教师备课资源
BS·数学选修2-2
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教
当
学
堂
方案
1.了解类比推理的含义，能利用类比推理进行简
双基
设
达
计课标解读单的推理．(重点、难点)
标
课前
2.体会合情推理在数学发现中的作用.
课
自
时
主
作
导
业
学
课
教
堂
合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结论不一定正确．对于数学命题，需要通过___演__绎__推__理_____严格证明．
演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.
BS·数学选修2-2
教
易
学
错
教
易
法
误
分析
等差数列与等比数列的类比
辨析
教师备课资源
教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
课堂互动探究
菜单
BS·数学选修2-2
易错易误辨析
当堂双基达标
课时作业
教师备课资源
教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
课堂互动探究
学
【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四
课堂
个面的面积．
教师
互

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单位元
a+0=a
通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
第一章推理与证明 1.1.2 类比推理
1
复习
1.什么是归纳推理? 部分整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
2
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
14
练习2
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则图(2)有体积关系: PA PB PC VP ABC
B B
B
A
B
C
P
C
A
P
图(1)
A 图(2)
A
15
例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P 为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc, pb pc 我们可以得到结论: pa
ha
平面上图形结论

hb

hc
A P
1
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
空间中
A P pb pc pa B C
D C
B
pa pb pc 1 ha hb hc
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
16
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
问：这样猜星上是否有生命？
火星
地球
相似点: 相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命猜想火星上可能有生命
5
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其
中一类对象的某些已知特征，推出另一类
4 3
与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两截面面积相等与圆心距离不相等的两弦不相与球心距离不相等的两截面面积等,距圆心较近的弦较长不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
17
18
9
练习1 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度运算结果实数的加法若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
10
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a
12
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3 和1个“斜面” S
13
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较联想、类推猜想新结论
7
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆
弦直径周长面积
球
截面圆大圆表面积体积
8
利用圆的性质类比得出球的性质圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类的老师」比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。

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