三角函数中给值求值专题训练

1三角函数最值问题的几种常见解法一 配方法 例1 函数3sin 3cos 2+--=x x y 的最小值为及y=4cos 5sin 2-+x 的最小值和最大值例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值 二 引入辅助角法 例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

三 利用三角函数的有界性 例4求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 函数 y=3cos 4cos 2++x x例5 （2003年高考题）已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。

四 引入参数法（换元法）例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。

练习 求函数的最值。

五 利用基本不等式法 和利用均值不等式求解的最值 例7（1）函数的最值；（2） 求函数的最值。

（3）求函数xxy 22cos4sin1+=的最值。

六 利用函数在区间内的单调性 例8 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。

七 数形结合 例9 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值。

八 判别式法 例10 求函数xx x x y tan sectan sec 22+-=的最值。

2九 分类讨论法 例 11 设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a).三角函数 最值1设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m等于（ ）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2（2003北京春季）2、函数f(x)=2sin 1sin 3+-x x 的最大值是，最小值是3 求函数f(θ)=2cos 1--θθSin 的最大值与最小值是什么？（两种方法解答）4求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域5、(2000年高考)已知：212cos 12siny x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． ．6、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．37：已知[]πθ,0∈,f （θ）=sin(cos θ)的最大值为a,最小值为b ，g(θ)=cos(sin θ)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d 的大小顺序为 。

任意角三角函数定义1.(2019北京海淀)角θ终边经过点P(4,y),且sin θ=-35,则tan θ=( )2.(2019北京西城)已知角α的终边经过点(-3,4),则tan α= ;cos(α+π)= .3.(2020届北京四中)若角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边经过点P(-√2,1),则cos 2α=( )4.[2019四川攀枝花]已知角θ=8π3,且角θ的终边经过点P (x ,2√3),则x 的值为( )5.(2020届北京东直门中学期中,4)以角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角θ的终边过点P(2,4),则tan (θ+π4)=( ) A.-13 B.-3 C.13 D.36.(2018课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( )7.(2017北京)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= .8.(2020届北京海淀)如图,角α以Ox 为始边,它的终边与单位圆O相交于点P ,且点P 的横坐标为35,则sin (π2+α)的值为( ) A.-35 B.35 C.-45 D.459.(2019北京东城二模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,终边分别是射线OA 和射线OB.射线OA,OC 与单位圆的交点分别为A (35,45),C(-1,0).若∠BOC=π6,则cos(β-α)的值是( )A.3−4√310B.3+4√310C.4−3√310D.4+3√31010.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.同角三角函数关系与诱导公式（给值求值）考向一 直接应用1.(2019北京丰台)已知α∈(π2,3π2),且tan α=√2,那么sin α=( )2.(2020北京牛栏山)已知tan α= -2,且α为第二象限角,则sin α= ; cos α= .3.求下列各三角函数式的值：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)＝ . (2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°. 4.(2019课标全国∈)tan 255°=( )A.-2-√3B.-2+√3C.2-√3D.2+√3考向二 先化简再求值1.(2018广东惠州模拟)已知tan α= 12,且α∈(π,3π2),则cos (α-π2)= . 2．已知tanα=3，则cos (π2−2α)=3.[2019河南郑州] 已知cos(2019π2+α)=12,α∈(π2,π),则cos α = .4．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ .5．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝ .6.若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ .7.向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∈b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ． 8.已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为 ．考向三 关于sin α与 cos α的齐次分式的求值（构造tanθ）1．设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝ .2．若sin(π−θ)+cos(θ-2π)sinθ+cos(π+θ)= 12,则tan θ=( )3.[2016全国卷∈] 若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.16254.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.5．已知sin(θ-3π)＝2cos(θ-π)，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．两角和与差及二倍角公式（给值求值）考向一 公式的正用1.已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin2x ＝( )A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.1582．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝ .3．已知α是第三象限角求的值． 4.若sinα=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( )A.5B.-5C.51D.51-5.(2022·枣庄模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－4π3等于( ) A ．－59 B.59 C ．－13 D.136. 已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ .tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ . 7. 设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则sin(α－β)＝ . 8. 在锐角∈ABC 中，已知sinA=53,cosB=135，求cosC 的值. 9．(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.15310．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.5911．(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则( ) A ．tan(α－β)＝1 B ．tan(α＋β)＝1 C ．tan(α－β)＝－1 D ．tan(α＋β)＝－112．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( )A ．|OP 1―→|＝|OP 2―→|B ．|AP 1―→|＝|AP 2―→| C.OA →·OP 3―→＝OP 1―→·OP 2―→ D.OA →·OP 1―→＝OP 2―→·OP 3―→考向二 公式的逆用与变用1tan 2,3α=tan α1.计算：（1）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° （2）cos20°cos10°– sin160°sin10°(3)3＋tan 15°1－3tan 15°； (4)1tan151tan15︒︒+-2.化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx -6sinx.（3）f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 （4） f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (5) （6）f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba . φ所在象限由点（a ，b ）确定.考向三 凑角1.已知cos α＝55，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tan β的值为 ． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan2β＝ _________． 3.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 ． 4.(2019广东惠州模拟)已知sin (α+π3)= 1213,则cos (π6-α)= .. .7.已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋712π＝ . 8.已知π1sin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ . 9.已知cos(α－75°)＝13-，且α为第四象限角，则sin(105°＋α)＝ .10.已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( )x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=31245cos()sin(),cos 2=24135ππβααβαββ<<<-=+=-、已知，，则546cos()cos sin =135αββαβα+==、已知，，，均为锐角，则考向四 sinα与cosα的和差式与积式的互化（两边平方，平方再开根号）1．(2022·南京师大附中模拟)已知sin x ＋cos x ＝－15，α为第二象限角，则cos 2x 等于( )A ．－2425 B.725 C ．－725D ．±7252.[2017全国卷∈]已知sin α - cos α=43,则sin 2α=( ) 3.已知12sin cos ,(,0)254πααα⋅=-∈-则sin cos αα+＝ ，sin cos αα- . 4．已知cos(α+π4)=13，则sin2α=__________．5.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .6.已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，试求下列各式的值： （1）sin cos αα⋅ （2）sin cos αα- （3）44sin cos αα+ （4）33sin cos αα-。

)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。

第36课 三角函数的求值●考试目标 主词填空1.给角求值给角求值的要领是灵活选用有关公式，以便消去非特殊角的三角函数，从而化为特殊角的三角函数.2.给值求值给值求值的要领是找出已知式与欲求式之间的角，运算及函数的差异，一般可以适当变化已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3.给值求角给值求角的要领是先求出该角的某一三角函数式的值，然后判断该角在对应区间的单调性，最后求角.●题型示例 点津归纳【例1】 求下列各式的值. (1)tan20°+4sin20°; (2)︒∙︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ;(3)4cos 235°－cos170°－tan160°·sin170°. 【解前点津】 (1)化切为弦，通分合并; (2)∵15°－8°=7°,故应“积化和式”; (3)降次，并化切为弦.【规范解答】 (1)tan20°+4sin20°＝︒︒+︒=︒︒∙︒+︒20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ＝︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒+︒20cos 40sin 80sin 20cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin )40sin 20(sin ＝320cos 20cos 60sin 2=︒︒︒.(2)原式=3215tan 8cos 15cos 28cos 15sin 27cos 23cos 7sin 23sin )7cos 23(cos 217cos )7sin 23(sin 217sin -=︒=︒︒︒︒=︒+︒︒+︒=︒-︒+︒︒-︒+︒. (3)原式=2(1+cos70°)+cos10°+tan20°·sin10°=2+2cos70°+︒︒︒+︒∙︒20cos 10sin 20sin 20cos 10cos=2+2cos70°+︒︒+︒∙︒+=︒︒-︒20cos 10cos 20cos 70cos 2220cos )1020cos(=2+3220cos 20cos 30cos 2220cos 10cos 15cos +=︒︒︒+=︒︒+︒.【解后归纳】 此类问题属于“给角求值”，先从不同的视角观察对象，一看名称，二看运算结构.两角和与差是否产生“特殊角”，或产生可消除的非特殊角，这是选用公式的“着眼点”.【例2】 (1)已知cos(α+β)=－31,cos2α=－135,α、β都是钝角，求sin(α－β)之值. (2)已知cos 20,2,322sin ,912πβπαπβαβα<<<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-且,求cos(α+β)的值.【解前点津】 所求函数中的角与已知函数中的角，其运算结构不同，所以要作角的变形，使形式统一，在(1)中，作α－β=2α－(α+β),在(2)中,作⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222.【规范解答】 (1)∵2π<α<π,2π<β<π,∴π<α+β<2π,π<2α<2π.∵cos(α+β)=－31<0,cos2α=－135-<0,∴α+β,2α都在⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ内.于是:sin(α+β)=－3223112-=⎪⎭⎫⎝⎛--,∴sin(α－β)=sin ［2α－(α+β)］=sin2α·cos(α+β)－cos2α·sin(α+β)=3921012322135311312-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-. (2)∵2π<α<π,0<β<2π,∴4π<α－2β<π,－224πβαπ<-<,∴9549112sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα.cos 3532122=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα∴cos⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβαβαβαβαβα2sin 2sin 2cos 2cos 22cos 2=2757329543591=⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-.∴cos(α+β)=2cos 2729239127572122-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα. 【解后归纳】 此类问题属于“给值求值”，从考察条件与结论式子的差异入手，确定变形目标，是变名还是变角，此题就是着眼于角度变形的问题.【例3】 已知:tan(α－β)=21,tan β=－71,且α、β∈(0,π),求2α－β之值. 【解前点津】 此类问题属于“给值求角”，因条件等式是“正切形式”，故应考虑计算tan(2α－β)的值.【规范解答】 tan α=tan ［(α－β)+β］=31tan )tan(1tan )tan(=∙--+-ββαββα.又α∈(0,π),∴α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,而tan β=－71<0,0<β<π,∴2π<β<π,∴－π<α－β<－2π,∴2α－β=α+(α－β)∈(－π,0),从而由tan(2α－β)=tan ［α+(α－β)］=1)tan(tan 1)tan(tan =-∙--+αβαβαα得2α－β=－43π.【解后归纳】 对(2α－β)的取值范围,估算要精确，范围过大，容易产生错误，只有对条件进行深入“挖掘”，才能准确推导角度的取值范围.【例4】 是否存在锐角α和β,使得:(1)α+(2β)=32π; (2)tan2α·tan β=2－3同时成立?若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由.【解前点津】 由(1)可作角度形:2α+β=3π,两边取正切，与(2)联立，则可求出tan2α+tan β之值，联系一元二次方程根与系数关系，可看结论是否成立.【规范解答】 由(1)得:2α+β=3π,∴tan 3tan 2tan 1tan 2tan2=∙-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+βαβαβα， 将(2)代入上式得:tan2α+tan β=3－3,∴tan2α,tan β是一元二次方程;x 2－(3－3)x +(2－3)=0的两根，解之:x 1=1,x 2=2－3, 若tan 2α=1,但0<2α<4π,故此时α值不存在.若tan 2α=2－3,则tan β=1,∵0<β<2α,∴β=4π代入(1)得:α=6π.故存在锐角α=6π,β=4π,使(1)(2)同时成立.【解后归纳】 此类问题，常从“假设”存在入手，解后还须检验.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.若0<α<π,则αsin 10,lgsin α,sin 10α三个数之间的大小顺序是 ( ) A.sin 10α<αsin 10<lgsin α B.lgsin α<sin 10α<αsin 10C. αsin 10<lgsin α<sin 10αD.lgsin α<αsin 10<sin 10α2.若θ是锐角，且sin θ－cos θ=21,则sin 3θ+cos 3θ的值是 ( ) A.1675 B.167 C.811 D.873.设M =[][]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥πθθθπθθθ,0,21cos |,,0,21sin |N ,则M ∩N ( )A.MB.NC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ4.函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx －3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 6π的值域是 ( )A.［－5,5］B.[]37,37- C.［－1,37］ D.［－7,1］5.若f (tan x )=sin2x ,则f (－1)的值是 ( ) A.－sin2 B.－1 C.21D.1 6.已知cos α=21-,sin β=－23,α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2⎪⎭⎫⎝⎛∈ππβ2,23,则sin(α+β)的值为 ( ) A.23 B.－1 C.－23 D.－217.已知tan A ·tan B =1,则sin A ·sin B 的最大值是 ( )A.－43B.41C.21D.18.式子(1+tan21°)·(1+tan22°)·(1+tan23°)·(1+tan24°)的值是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.169.在①cos40°+3·sin40°=2cos20°,②1+2cos20°=4cos20°cos40°,③︒+︒40cos 140sin =c o t 70°,④︒+︒-40tan 140tan 1=tan20°这四个式子中，成立的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4 10.已知等腰三角形顶角的正弦为2524,则底角的余弦是 ( ) A.54 B.－53 C. 54或53 D.－54或－53 二、思维激活11.已知tan35°=a (a ≠0),则︒-︒20sin 120cos = .12.︒︒-︒70sin )20sin 80sin 2(= .13.︒+︒50cos 350sin 1的值为 .14.x =sin50°+cos50°,y =sin70°+cos70°,则x ,y 间的大小关系是 . 三、能力提高 15.已知tan x =2,tan y =31,求tan ［2(x +y )］的值. 16.设－6π≤x ≤4π,求y =l og 2(1+sin x )+l og 2(1－sin x )的最大值与最小值.17.已知1+cos α－sin β+sin αsin β=0,1－cos α－cos β+sin αcos β=0,求sin α的值.18.已知:tan α=1,sin(2α+β)=3sin β,求tan(α+β)的值.第7课 三角函数的求值习题解答1.B 取α=2π则αsin 10=10,sin 10α=1,lgsin α=0.故选B.2.A 由条件:1－2sin θcos θ=⇒41sin θcos θ=83.故sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)［sin 2θ－sin θ·cos θ+cos2θ］=(sin θ+cos θ)·85831=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(sin θ+cos θ)=⎪⎭⎫⎝⎛+θcos 22185.又∵θ为锐角.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-83cos sin 21cos sin θθθθ中消去sinθ167541722185417cos 83cos cos 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=-=⇒=∙⎪⎭⎫⎝⎛+故原式θθθ. 3.D 化简得:M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6.N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3，故M ∩N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,3.4.B f (x )=4⎪⎭⎫ ⎝⎛∙-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin cos 6cos sin 36sin cos 6cos sin ππππx x x x=7sin x ·23－cos x ·21,又∵2221237⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=37)(3737≤≤-x f 故. 5.B 令tan x =－1,则sin2x =1)1(1)1(2tan 1tan 222-=-+-=+x x. 6.A ∵cos α=21,∴sin α=23,∵sin β=－23,β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,23, ∴cos β=21故sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β=2323212123=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯. 7.C ∵tan A ·tan B =1,∴sin A ·sin B =cos A ·cos B ⇒cos(A +B )=0, ∴A +B =2k π+2π(k ∈Z ),于是:sin A ·sin =－21［cos(A +B )－cos(A －B )］=21cos(A －B )≤21. 8.B ∵tan(24°+21°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan ,∴tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1⇒(tan21°+1)·(1+ tan24°)=2,同理可得(1+tan22°)·(1+tan23°)=2,故原式=4. 9.C 逐一检验知，不成立.10.C 设底角为α,顶角为(π－2α),∵sin(π－2α)=sin2α=2524, ∴2sin αcos α=25242512cos 1cos 2=-∙⇒αα解之.cos α=53或54. 11.a135tan 170cos 170sin 20sin 120cos =︒=︒-︒=︒-︒.12.原式=［(sin80°－sin20°)+sin80°］÷sin10°=︒︒+︒︒70sin 80sin 30sin 50cos 2=320cos 20cos 370sin 20cos 60sin 270sin )40sin 80(sin =︒︒=︒︒∙︒=︒︒+︒. 13.原式=︒︒+∙︒=︒︒+︒100sin )50cos 212350(sin 4100sin 21)50cos 50sin 3( =480sin )3050sin(4100sin )30sin 50cos 30cos 50(sin 4=︒︒+︒=︒︒∙︒+︒︒.14.∵x >0,y >0,且x 2－y 2=(sin50°+cos50°)2－(sin20°+cos20°)2 =2(sin50°cos50°－sin20°cos20°)=sin(50°×2)－sin(20°×2) =sin80°－sin40°>0,∴x >y .15.∵tan2x =4391132)tan 1(tan 22tan ,34414tan 1tan 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-y y y x x , ∴tan[2(x +y )]=24724169121244334334143342tan 2tan 12tan 2tan -=-=+⨯-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙-+y x y x .16.y =log 2(1－sin2x )=2log 2|cos x |=2log 2cos x ,∵－6π≤x ≤4π,∴22≤cos x ≤1,∴－1≤y ≤0即最小值是－1,最大值是0. 17.由条件得:sin α－1≠0且sin β=ααsin 1cos 1-+,1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1c o s 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=ααααααβ故.化简得:3sin 2α－2sin α－3=0,解之:sin α=)101(31-. 18.∵sin ［(α+β)+α］=3sin ［(α+β)－α］,∴sin(α+β)·cos α+cos(α+β)·sin α =3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)·sin α4cos(α+β)·sin α =2sin(α+β)·cos α, ∴tan(α+β)=2tan α=2.。

专题07 三角函数求值【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+ 故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15 BC．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=， 故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【答案】10【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==， 因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4525210α-=+⨯=. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】一般在选择题或填空题中进行考查，分值5分，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力.【答题模板】已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．【方法总结】1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵.如1±sin2α＝(sinα±cosα)2有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2.余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的．3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4.熟知一些恒等变换的技巧（1）公式的正用、逆用及变形用．（2）熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，3α是23α的半角，2α是4α的倍角等．（3）在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝πtan4，1＝sin2α＋cos2α等．（4）在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学】A ．2- B ．2C ．12-D ．122．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学】已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为 A ．1825 B ．1825± C ．725D ．725±3．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】已知ππsin 3cos 36αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=A ．-B ．2-C ．D ．24．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（4月二模）考试】若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425- B ．725- C ．725D ．24255．【安徽省1号卷A10联盟2019()πcos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=A ．7B ．3CD6．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知平面直角坐标系下，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425 B ．2425- C ．2425或2425-D ．7257．【湖北省2019届高三4cos 2x x +=，则πcos 3x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12BC ．3D ．348．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学】若3sin cos 5αβ-=，4cos sin 5αβ+=，则s i n()αβ-=A ．3B ．2C ．13D ．129．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学】tan 20sin 20︒=︒A ．1B ．2C ．3D ．410．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学】若角α满足sin 51cos αα=-，则1cos sin αα+=A ．15B ．52C ．5或15D ．511．【山西省2019届高三百日冲刺考试数学】已知sin10cos102cos140m +=，则m =__________． 12．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷）】已知 为锐角，且，则 __________.13．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2m n +=4=___________.14．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学】平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP α∠=，若π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00x y +=__________．。

三角函数中给值求值专题训练（2009-2011）7.（2009北京文）“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A8.（2009北京理）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当时，，反之，当时，有，或，故应选A.【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.11.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则(A) (B) (C) (D)答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由选D23.（2009辽宁卷文）已知，则（A）（B）（C）（D）【解析】＝＝【答案】D【答案】A26.（2009宁夏海南卷理）有四个关于三角函数的命题：：x R, +=: x、y R, sin(x-y)=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosy x+y=其中假命题的是（A），（B），（3），（4），解析：：x R, +=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；是真命题，x,=sinx；是假命题，。

选A.27.（2009全国卷Ⅰ文）的值为(A) (B) (C) (D)【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

解：，故选择A。

7.（全国新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45-（B ）35-（C ） 35 （D ）4511.（辽宁理7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（A ）79-（B ）19-（C ）19（D ）7912.（福建理3）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．622.（全国大纲理14）已知a ∈（2π，π），，则tan2α=24.（江苏7）已知,24tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________19.（重庆理14）已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________28.（2009全国卷Ⅰ文）已知tan =4,cot =,则tan(a+)=(A) (B) (C) (D)【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。

专题15 三角函数求值问题【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.方法一 切化弦，弦化切万能模板 内 容使用场景一般三角求值类型解题模板第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1若，，则（ ）A ．BC ．D ．【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）冲刺预测试题2tan 3α=-1tan 3β=sin(22)αβ+=7130111303365-9130【变式演练1】【安徽省淮北市2020届高三下学期二模】若2tan tan 8απ=，则cos 8cos 8παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．13-B ．0C ．13D ．1【变式演练2】已知，则（ ）A ．B ．C ．1D ．2【来源】“陕西名校”2021届高三5月检测数学（理）试题方法二 统一配凑万能模板 内 容使用场景 一类特殊三角求值类型解题模板第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2【黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟】若540,0,sin ,cos 22325235πππαβπαβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2αβ-的值为（ ） A ．55B ．11525C ．255D ．7525【变式演练3】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题【变式演练4】【2020届江西省吉安、抚州、赣州市高三一模】已知3tan 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．817B ．817-C ．1517D ．1517-tan 3α=-sin 22cos2αα-=12-1-π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭79-29-2979方法三 公式活用万能模板 内 容使用场景 一般求值题解题模板第一步 观察已知式与待求式的特征； 第二步 选择合适的公式进行化简； 第三步 注意一些公式逆用的情况使用．例3【2020届河北省张家口市高三下学期第二次模拟】221tan 1051tan 105-︒=+︒（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-【变式演练5】若，则（ ）A 或B ．C ．D 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题【变式演练6】【2020届广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】若sin 78m =，则sin 6=（） A ．12m + B ．12m- C ．12m + D ．12m- 【高考再现】1．（2021·全国高考真题）若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数9】已知() 0,πα∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．53 B ．23 C ．13 D ．593.【2020年高考全国Ⅲ卷文数5】已知sin sin 13θθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．33 C ．23D ．2223sin22sin 0αα-=cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭27272222tan 2θ=-()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+65-25-25654.（2018年全国卷Ⅲ文）若sinα=13，则cos2α=A ． 89B ． 79C ． −79D ． −89 5. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16256.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.187.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8.（2018年全国卷II 文）已知tan(α−5π4)=15，则tanα=__________． 9.【2017北京理，12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知α,β为锐角，tanα=43，cos(α+β)=−√55．（1）求cos2α的值；（2）求tan(α−β)的值．11．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （−35，−45）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【反馈练习】1．已知()，则（ ）A ．B ．C ．D 【来源】湖南省永州市2021届高三高考押题卷数学试题（一）2．已知，则的值为（ ）π32sin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭0απ<<()sin c s 2o sin πααα+-=2754120-1641205271sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．【来源】江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试题（五） 3．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】专题5.8—三角恒等变换2-2022届高三数学一轮复习精讲精练4．已知为锐角，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题 5．设，，，则，，的大小关系为（ ） A ． B ． C ．D ．【来源】江苏省淮安市2021届高三下学期5月模拟数学试题6．若，则（ ） A ．B ．C ．D ． 【来源】安徽省宿州市泗县第一中学2021届高三下学期最后一卷文科数学试题 7．已知角满足，则（ ） A ．B C ．D ．【来源】河南省商丘市第一高级中学2020-2021学年高三5月月考理科数学试题 8．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高三下学期第九次模考数学（理）试题 9．已知，，则（ ）A B ． C D ． 【来源】浙江省宁波市效实中学2021届高三下学期高考模拟测试数学试题131979-79tan 2θ=-()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+65-25-2565,αβ11tan ,tan 63122ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()tan 2αβ+=913-139-1399132sin 46a =︒22cos 35sin 35b =︒-︒2tan321tan 32c ︒=-︒a b c b c a <<c a b <<a b c <<b a c <<1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2929-7979-θ()2sin cos sin cos θθθθ+=3tan 28θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12221-1sin cos 2αα+=2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭191838293cos 45απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭0a π-<<cos α=22727210．已知，若（ ） A ． B ． C ．D ．【来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第九次考前适应性训练数学（理）试题 11．已知，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】河南省安阳市2021届高三三模拟考试理科数学试题 12．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【来源】贵州省毕节市2021届高三二模数学（理）试题13．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】四川省雅安市2021届高三三模数学（理）试题14．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】云南省红河州2021届高三三模数学（理）试题 15．设，，化简（ ）A ．B ．C ．D ． 【来源】三角恒等变换2-2022届高三数学一轮复习精讲精练 16．已知，则（ ） A ． B ．C ．D ．【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（理）试题2sin18m =︒24m n +=2m n=14-12-1412π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2sin 21cos2αα+=1tan21tan 2αα-=+2535252653sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin 2θ7251515-725-1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭79-23-23791cos 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭7979-8989-sin 20m ︒=cos20n ︒=2tan10111tan1012sin 10︒+-=-︒-︒m nm n-n mn m-2cos 237sin ππ6αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭os 3πc α⎛⎫-= ⎪⎝⎭12-14272517．已知，则（ ）A ．B ．C D 【来源】内蒙古包头市2021届高三第二次模拟考试数学（文）试题 18，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2021届高三下学期第四次模拟考试理科数学试题 19．已知，若，则（ ）A ．或B ．C ．D ．【来源】文科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）20．已知，则的值为（ ）A ．B ．C D ．1【来源】江苏省南京市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题 21．已知角满足，则（ ）A ．或B ．C ．或D ．【来源】陕西省西安中学2021届高三下学期第九次模拟考试文科数学试题 22．已知，，则（ ）A B C D ．1【来源】宁夏回族自治区石嘴山市2021届高三二模数学（理）试题23，则（ ）A ．B ．2C ．D ．【来源】宁夏中卫市2021届高三第二次优秀生联考数学（理）试题24.【九师联盟2018-2019学年高三押题信息卷】若sin 2cos αα=，则()22sin 22cos 2sin 4ααπα-=-__________. 25．【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知1tan 2α=，则2cos sin 2αα+的结果为____. cos cos 13παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()cos 6πα-=131223233sin cos αα=+sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭1313-2323-3(,)2παπ∈123sin 2sin cos 225ααα++=-sin cos αα+=75-3575-35353cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 2cos 6212παπα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭141237α1cos211sin 22αα+=+tan α=13-11-330,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭331sin cos cos sin 8x x x x -=tan4x =3332sin tan 142πααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭tan α=2-12-1226．【辽宁省辽南协作校2020届高三（5月份)高考数学（理科)模拟】若2sin 13sin 2αα=，则22cos 3sin 2sin2ααα+-=_____.27.【2020届重庆市第八中学高三6月三诊】若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且10sin 2cos 2αα+=，则tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________.28.【吉林省示范高中2020届高三第四次模拟】若()tan tan tan 3αβαβ+=-+=，则tan tan αβ=____.。

（完整版）三角函数的运算经典习题以下是一些关于三角函数运算的经典题，希望能对大家的研究有所帮助。

题一：正弦函数的运算1. 求解 $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ 的解集。

2. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。

4. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

题二：余弦函数的运算1. 求解 $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$ 的解集。

2. 计算 $\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$。

4. 计算 $\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

题三：正切函数的运算1. 求解 $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$ 的解集。

2. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。

4. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。

一、三角函数基本概念1. 求sin60°的值2. 求cos45°的值3. 求tan30°的值4. 求sin(π/3)的值5. 求cos(π/4)的值6. 求tan(π/6)的值7. 求sin(π/2)的值8. 求cos(π/3)的值9. 求tan(π/4)的值10. 求sin(π)的值二、三角函数性质1. 若sinα = 1/2，求α的值2. 若cosβ = √3/2，求β的值3. 若tanγ = 1，求γ的值4. 若sinα = √2/2，求α的值5. 若cosβ = √3/2，求β的值6. 若tanγ = 1，求γ的值7. 若sinα = √2/2，求α的值8. 若cosβ = √2/2，求β的值9. 若tanγ = √3/3，求γ的值10. 若sinα = √3/2，求α的值三、三角函数的诱导公式2. 求cos(π β)的值3. 求tan(π γ)的值4. 求sin(π + α)的值5. 求cos(π + β)的值6. 求tan(π + γ)的值7. 求sin(2π α)的值8. 求cos(2π β)的值9. 求tan(2π γ)的值10. 求sin(3π α)的值四、三角函数的倍角公式1. 求sin2α的值2. 求cos2β的值3. 求tan2γ的值4. 求sin2(π/4)的值5. 求cos2(π/3)的值6. 求tan2(π/6)的值7. 求sin2(π/2)的值8. 求cos2(π/3)的值9. 求tan2(π/4)的值10. 求sin2(π)的值五、三角函数的半角公式1. 求sin(α/2)的值2. 求cos(β/2)的值4. 求sin(π/4/2)的值5. 求cos(π/3/2)的值6. 求tan(π/6/2)的值7. 求sin(π/2/2)的值8. 求cos(π/3/2)的值9. 求tan(π/4/2)的值10. 求sin(π/2/2)的值六、三角函数的化简1. 化简sin(α + β)2. 化简cos(α β)3. 化简tan(α/β)4. 化简sin(α/2 + β/2)5. 化简cos(α/2 β/2)6. 化简tan(α/2 β/2)7. 化简sin(α + β)/cos(α β)8. 化简cos(α + β)/sin(α β)9. 化简tan(α + β)/tan(α β)10. 化简sin(α/2 + β/2)/cos(α/2 β/2)七、三角函数的图像和性质1. 画出y = sinx的图像2. 画出y = cosx的图像3. 画出y = tanx的图像4. 画出y = sin(2x)的图像5. 画出y = cos(2x)的图像6. 画出y = tan(2x)的图像7. 求y = sinx在x = π/2时的值8. 求y = cosx在x = π时的值9. 求y = tanx在x = π/4时的值10. 求y = sin(π/4)的值八、三角函数的应用1. 若sinθ = 0.8，求θ的值2. 若cosφ = 0.6，求φ的值3. 若tanψ = 0.5，求ψ的值4. 若sinα = 0.4，求α的值5. 若cosβ = 0.7，求β的值6. 若tanγ = 0.3，求γ的值7. 若sinx = 0.9，求x的值8. 若cosy = 0.5，求y的值9. 若tanz = 0.2，求z的值10. 若sinw = 0.6，求w的值九、三角恒等变换1. 将sin(α + β) + cos(α β)化简2. 将cos(α + β) sin(α β)化简3. 将tan(α + β) / tan(α β)化简4. 将sin(α/2 + β/2) / cos(α/2 β/2)化简5. 将sin(α + β) cos(α β)化简6. 将cos(α + β) sin(α β)化简7. 将tan(α + β) tan(α β)化简8. 将sin(α/2 + β/2) cos(α/2 β/2)化简9. 将sin(α + β) / cos(α β) + cos(α + β) / sin(α β)化简10. 将tan(α + β) / tan(α β) + tan(α β) / tan(α + β)化简十、三角方程1. 解方程sinx = 1/22. 解方程cosx = √3/23. 解方程tanx = 14. 解方程sin(2x) = √2/25. 解方程cos(2x) = 1/26. 解方程tan(2x) = 17. 解方程sin(π/4 + x) = √2/28. 解方程cos(π/3 x) = 1/29. 解方程tan(π/6 + x) = 110. 解方程sin(π/2 + x) = 1十一、三角方程（续）1. 解方程sin(3x) = √3/22. 解方程cos(4x) = 1/23. 解方程tan(5x) = 14. 解方程sin(2x + π) = 15. 解方程cos(3x π/2) = 06. 解方程tan(x + π/4) = 17. 解方程sin(2x π) = 08. 解方程cos(3x + π) = 1/29. 解方程tan(5x π/2) = 110. 解方程sin(4x + π/3) = √3/2十二、三角函数的积分1. 计算积分∫sin(x)dx2. 计算积分∫cos(x)dx3. 计算积分∫tan(x)dx4. 计算积分∫sin(2x)dx5. 计算积分∫cos(3x)dx6. 计算积分∫tan(4x)dx7. 计算积分∫sin(x)cos(x)dx8. 计算积分∫cos(x)sin(x)dx9. 计算积分∫tan(x)sec^2(x)dx10. 计算积分∫sec(x)tan(x)dx十三、三角函数的微分1. 计算微分d(sin(x))/dx2. 计算微分d(cos(x))/dx3. 计算微分d(tan(x))/dx4. 计算微分d(sin(2x))/dx5. 计算微分d(cos(3x))/dx6. 计算微分d(tan(4x))/dx7. 计算微分d(sin(x)cos(x))/dx8. 计算微分d(cos(x)sin(x))/dx9. 计算微分d(tan(x)sec^2(x))/dx10. 计算微分d(sec(x)tan(x))/dx十四、三角函数的级数展开1. 将sin(x)展开为泰勒级数的前三项2. 将cos(x)展开为泰勒级数的前三项3. 将tan(x)展开为泰勒级数的前三项4. 将sin(2x)展开为泰勒级数的前三项5. 将cos(3x)展开为泰勒级数的前三项6. 将tan(4x)展开为泰勒级数的前三项7. 将sin(x)cos(x)展开为泰勒级数的前三项8. 将cos(x)sin(x)展开为泰勒级数的前三项9. 将tan(x)sec^2(x)展开为泰勒级数的前三项10. 将sec(x)tan(x)展开为泰勒级数的前三项十五、复合三角函数1. 求解方程sin(2x + π/3) = 02. 求解方程cos(3x π/4) = 13. 求解方程tan(4x + π/6) = 14. 求解方程sin(x + π/2) = √2/25. 求解方程cos(x π/3) = √3/26. 求解方程tan(x + π/4) = 17. 求解方程sin(2x π/6) = 1/28. 求解方程cos(3x + π/2) = 09. 求解方程tan(4x π/3) = √3/310. 求解方程si n(x + π) = 1十六、三角不等式1. 证明sinx + cosx ≤ √22. 证明sinx cosx ≥ √23. 证明tanx + cotx = 14. 证明sinx cosx ≤ 1/25. 证明tanx cotx = 16. 证明sinx sinx + cosx cosx = 17. 证明tanx tanx + 1 = sec^2x8. 证明sinx sinx + tanx tanx = 1/cos^2x9. 证明sinx cosx + cosx sinx = sin(2x)10. 证明tanx sinx + cotx cosx = sinx十七、三角函数的极值1. 求函数f(x) = sinx + cosx在[0, 2π]上的最大值和最小值2. 求函数g(x) = tanx cosx在(π/2, π/2)上的最大值和最小值3. 求函数h(x) = sin(2x) + cos(2x)在[0, π]上的最大值和最小值4. 求函数k(x) = tan(3x) + sin(x)在(π/3, π/3)上的最大值和最小值5. 求函数m(x) = cos(4x) sin(4x)在[0, π/2]上的最大值和最小值6. 求函数n(x) = tan(5x) cos(5x)在(π/5, π/5)上的最大值和最小值7. 求函数p(x) = sin(6x) + cos(6x)在[0, π/3]上的最大值和最小值8. 求函数q(x) = tan(7x) sin(7x)在(π/7, π/7)上的最大值和最小值9. 求函数r(x) = cos(8x) + tan(8x)在[0, π/4]上的最大值和最小值10. 求函数s(x) = sin(9x) cos(9x)在[0, π/9]上的最大值和最小值十八、三角函数的周期性1. 证明sin(x)是周期函数，并求其周期2. 证明cos(x)是周期函数，并求其周期3. 证明tan(x)是周期函数，并求其周期4. 证明sin(2x)是周期函数，并求其周期5. 证明cos(3x)是周期函数，并求其周期6. 证明tan(4x)是周期函数，并求其周期7. 证明sin(5x)是周期函数，并求其周期8. 证明cos(6x)是周期函数，并求其周期9. 证明tan(7x)是周期函数，并求其周期10. 证明sin(8x)是周期函数，并求其周期答案一、三角函数基本概念1. sin60° = √3/22. cos45° = √2/23. tan30° = 1/√34. sin(π/3) = √3/25. cos(π/4) = √2/26. tan(π/6) = 1/√37. sin(π/2) = 18. cos(π/3) = 1/29. tan(π/4) = 110. sin(π) = 0二、三角函数性质1. α = π/62. β = π/63. γ = 3π/44. α = 5π/65. β = 5π/66. γ = 3π/47. α = 5π/68. β = 5π/69. γ = 3π/410. α = 7π/6三、三角函数的诱导公式1. sin(π α) = sinα2. cos(π β) = cosβ3. tan(π γ) = tanγ4. sin(π + α) = sinα5. cos(π + β) = cosβ6. tan(π + γ) = tanγ7. sin(2π α) = sinα8. cos(2π β) = cosβ9. tan(2π γ) = tanγ10. sin(3π α) = sinα四、三角函数的倍角公式1. sin2α = 2sinαcosα2. cos2β = cos^2β sin^2β3. tan2γ = 2tanγ / (1 tan^2γ)4. sin2(π/4) = √2/25. cos2(π/3) = 1/46. tan2(π/6) = 1/37. sin2(π/2) = 18. cos2(π/3) = 1/49. tan2(π/4) = 110. sin2(π) = 0五、三角函数的半角公式1. sin(α/2) = ±√[(1 cosα)/2]2. cos(β/2) = ±√[(1 + cosβ)/2]3. tan(γ/2) = sin(γ/2)/cos(γ/2) = ±√[(1 cosγ)/(1 + cosγ)]4. sin(π/4/2) = √2/45. cos(π/3/2) = √3/46. tan(π/6/2) = 1/√37. sin(π/2/2) = 1/√28. cos(π/3/2) = √3/49. tan(π/4/2) = 1/√310. sin(π/2/2) = 1/√2六、三角函数的化简1. sin(α + β) + cos(α β) = sinαcosβ + cosαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ2. cos(α + β) sin(α β) = cosαcosβ sinαsinβ cosαsinβ + sinαcosβ3. tan(α/β) = sin(α/β)/cos(α/β)4. sin(α/2 + β/2) / cos(α/2 β/2) = (sinα +cosβ)/(cosα sinβ)5. sin(α + β) cos(α β) = (sinαcosβ +cosαsinβ)(cosαcosβ sinαsinβ)6. cos(α + β) sin(α β) = (cosαcosβsinαsinβ)(sinαcosβ + cosαsinβ)7. tan(α + β) / tan(α β) = (sinαcosβ +cosαsinβ)/(sinαcosβ cosαsinβ)8. sin(α + β)/cos(α β) + cos(α + β)/sin(α β) = (sin。

高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。

解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。

解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。

解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。

解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。

解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。

解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。

三角函数专项题型练习题型一：三角函数求值1.已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+=________. 2.已知 ，则________.3.设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin =________.4.若3cos()45πα-=，则sin2α=________.题型二：求三角函数的单调区间1.已知函数13cos 2sin 222y x x=--，则函数函数的单调递增区间为______;单调递减区间为______.2.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像.若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.3.已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2π．则函数)(x f 的单调增区间为______.4.函数()2cos tan xf x xsinx =的单调增区间为______.5.函数()()2f x sin x ϕ=+，其中2tan()3πα-=-为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且2tan()3πα-=-，则()f x 的单调递增区间是______.题型三：由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式 1.已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是________.2.函数f(x)=ωx(ω>0)图像的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4，则a 的值是( )A. 0B. 1C. -D. 33.如图所示，是函数sin()y A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的一部分，则函数解析式是________.4.要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象( )A. 向右平移π12个单位B. 向左平移π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位5.函数y=x+sinx -tanx -sinx 在区间(π23π2)内的图象是( )A. B. C. D.6.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点p0开始计算时间． (1)将点p 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？题型四：求三角函数的周期1.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.2.函数2tan()3πα-=-的最小正周期__________． 3.函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 .4.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为__________．5.已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-．则()f x 的最小正周期为 .题型五：三角函数的最值 1.函数2tan()3πα-=-的最小值为__________．2.已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为__________．3.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．4.已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π=，且当x θ=时，函数()sin ()g x x f x =+取得最大值，则cos θ= .5.已知的定义域为[].则 的最小值为__________．6.函数sin 52sin x y x +=-的最大值为__________．题型六：三角函数的对称性1.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝，则φ的值为__________．2.将函数f (x )＝2sin(2x －)的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，若所得的图象关于直线x ＝对称，则m 的最小值为__________．3.已知函数f (x )＝3sin(ωx －)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，]，则f (x )的取值范围是________．泉州一中高二数学三角函数专题复习题型一：三角函数求值1.已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+=________.15-2.已知 ，则________.3.设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin =________.314.若3cos()45πα-=，则sin2α=________.725-题型二：求三角函数的单调区间1.已知函数13cos 2sin 222y x x=--，则函数函数的单调递增区间为______;单调递减区间为______.2,,63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦27,,36k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦2.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像.若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.23.已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2π．则函数)(x f 的单调增区间为______.Z k k k ∈++-],6,3[ππππ4.函数()2cos tan x f x x sinx =的单调增区间为______.(),2k k k z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭5.函数()()2f x sin x ϕ=+，其中2tan()3πα-=-为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且，则()f x 的单调递增区间是______.()263k ,k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦题型三：由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式 1.已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是________.)48sin(4π+π-=x y ２.函数f(x)=ωx(ω>0)图像的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4，则a 的值是( A )A. 0B. 1C. -D. 3 3.如图所示，是函数sin()y A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的一部分，则函数解析式是________.2sin(2)16y x π=++4.要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象( A )A. 向右平移π12个单位B. 向左平移π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位 解：∵cos(2x-π3)=sin(2x-π3+π2)=sin(2x+π6)=sin[2(x-π12)+π3]，∴要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象向右平移π12个单位． 5.函数y=x+sinx -tanx -sinx 在区间(π23π2)内的图象是( D )A.B. C. D.6.解：函数分段画出函数图象如D 图示，故选D ．6.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点p0开始计算时间． (1)将点p 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1)依题意可知z 的最大值为6，最小为-，∴--2A+B=6⇒B=2A=4； ∵每秒钟内所转过的角为(52π60)=π6t ，得z=4(π6t+φ)+2，当t=0时，z=0，得sin-12，即φ=π6，故所求的函数关系式为z=4(π6t-π6)+2 (2)令z=4(π6t-π6)+2=6，得sin π6t-π6)=1，取π6-π6=π2，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4S ．题型四：求三角函数的周期1.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.π2.函数2tan()3πα-=-的最小正周期__________．π 3.函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 .π4.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.π5.已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-．则()f x 的最小正周期为.2π 题型五：三角函数的最值 1.函数 的最小值为．3-2.已知函数()3sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为__________．33.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．55-4.已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π=，且当x θ=时，函数()sin ()g x x f x =+取得最大值，则cos θ= .555.已知的定义域为[].则的最小值为．6.函数sin52sinxyx+=-的最大值为．6题型六：三角函数的对称性1.已知函数y＝A sin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为．kπ＋(k∈Z)2.将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为．3.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．[－，3]。

三⾓函数给⾓求值前⾔三⾓函数中的给⾓求值类问题，⼤多给定的是分式形式，或者可以化为分式形式的，⽐如含有弦和切，当切化弦后就变成了分式；并且这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后最后⼀步约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

注意⾼频变形：分式约分，和加减抵消；相关变形切化弦[整式变分式]，1的代换，分式通分约分，根式升幂；配⽅展开，提取公因式，公式的逆⽤，变⽤，常⽤的互余、互补代换：sin70^{\circ}=cos20^{\circ}，cos40^{\circ}=sin50^{\circ}；sin140^{\circ}=sin40^{\circ}，cos110^{\circ}=-sin70^{\circ}=-cos20^{\circ}；常见的⾓的拆分：47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}；8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}；1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}常见的互余，倍⾓等(\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})；2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})；常见的配⾓技巧：2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)；3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)；3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；\beta=\alpha-(\alpha-\beta)；\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi；难点变形常涉及“切化弦”，“分式通分”，“辅助⾓公式”等⾼频变形；\tan\theta-\sqrt{3}=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\cfrac{\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\sin\theta\cdot \cfrac{1}{2}-\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\ cos\theta}1+\sqrt{3}\tan\theta=\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}+\cfrac{\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\cos\theta\cd ot \cfrac{1}{2}+\sin\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}注：在具体题⽬中，⾓\theta可以是具体的值，⽐如\tan12^{\circ}-\sqrt{3}，或1+\sqrt{3}\tan21^{\circ}典例剖析№1求值：\cfrac{cos85^{\circ}+sin25^{\circ}cos30^{\circ}}{cos25^{\circ}}分析：这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

2021年12月30日高中数学作业姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题（共10小题）1. 化简√1-sin 23π5的结果是( ) A. cos 3π5B. sin 3π5C. -cos 3π5D. -sin 3π52. 已知tan α＝√3，α为第三象限角，则sin α＝( )A. 12B. －12C. √32D. －√323. 如果角θ的终边经过点(−35,45)，那么sin (π2+θ)＋cos (π－θ)＋tan (2π－θ)等于( )A. －43B. 43C. 34D. －344. 已知sin θ=15,则cos (450°+θ)的值是( )A. 15B. -15C. -2√65 D. 2√65 5. 化简： sin (θ−5π)cos(−π2−θ)cos (8π−θ)sin(θ−3π2)sin (−θ−4π)等于( )A. －sin θB. sin θC. cos θD. －cos θ6. 若sin θ·cos θ>0,则θ在 ( )A. 第一或第四象限B. 第一或第三象限C. 第一或第二象限D. 第二或第四象限7. 已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{1,3,5}，B ＝{1,2}，则∁U (A ∪B )等于( )A. {4,6,7}B. {4,6}C. {1,2,3}D. {2,3,5}8. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f (π)，c ＝f (－1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9. 给出三个数a ＝，b ＝3，c ＝log 3，则它们的大小顺序为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a10. 已知a ＝，b ＝log 2，c ＝log 3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >b >a二、多选题（共1小题）11. (多选题)若角α的终边过点P (-3,-2),则 ( )A. sin αtan α<0B. cos αtan α<0C. sin αcos α>0D. sin αcos α<0三、填空题（共10小题）12. 若sin α＝45，cos α＝35，则tan α＝________.13. 已知tan α＝12，α∈(0,π2)，则sin α－cos α＝________.14. 若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝ .15. 已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝ .16. 已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α−cos 2α＝ .17. 化简sin(15π2+α)cos(α−π2)sin(9π2−α)cos(3π2+α)＝________.18. 已知sin α是方程2x 2－x －1＝0的根，α是第三象限角，则sin(−α−3π2)cos(32π−α)cos(π2−α)sin(π2+α)·tan 2(π－α)＝________.19. 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，则t a n α＝________.20. 已知角α的终边经过点(－4，m )且cos α＝－45，则sin α＝________.21. 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.四、解答题（共4小题）22. 已知tan α＝2.(1)求sin α−3cos αsin α+cos α的值；(2)求2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α的值.23. 已知α的终边与单位圆交于点P (m,√154)，且α为第二象限角．求sin(α−π2)sin (π+α)−sin(3π2−α)+1的值．24. 已知f (α)=tan (π-α)·cos (2π-α)·sin(π2+α)cos (-α-π).(1)化简f (α). (2)若f (π2-α)=-35,且α是第二象限角,求tan α.25. 利用诱导公式化简： (1)sin (3π2+α)；(2)cos (3π2−α).1. 【答案】C【解析】√1-sin 23π5=√cos 23π5=|cos 3π5|, 因为π2<3π5<π,所以cos 3π5<0,所以|cos 3π5|=-cos 3π5, 即√1-sin 23π5=-cos 3π5. 2. 【答案】D【解析】∵tan α＝sin αcos α＝√3，∴cos α＝√33sin α.又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴sin α＝±√32.又α为第三象限角，∴sin α＝－√32.3. 【答案】B【解析】易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.4. 【答案】B【解析】cos (450°+θ)=cos (90°+θ)=-sin θ=-15.5. 【答案】A【解析】原式＝sin (θ−π)cos(π2+θ)cos θsin θsin (−θ)＝(−sin θ)(−sin θ)cos θsin θ(−sin θ)＝－sin θ.6. 【答案】B【解析】因为sin θ·cos θ>0,所以sin θ>0,cos θ>0或sin θ<0,cos θ<0,所以θ在第一象限或第三象限.7. 【答案】A【解析】∵A ＝{1,3.5}，B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{1,2,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁U (A ∪B )＝{4,6,7}．8. 【答案】D【解析】由函数f (x )是偶函数可知f (－1)＝f (1)，f (－3)＝f (3)．又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f (1)<f (3)<f (π)，即c <a <b ，故选D.9. 【答案】D【解析】因为a ＝>1,0<b ＝3<1，c ＝log 3<0，所以a >b >c .10. 【答案】A【解析】∵>30＝1，＝log 2<log 2<log 22＝1，log 3＝，∴a >b >c . 11. 【答案】ABC【解析】因为角α的终边过点(-3,-2),r =|OP |=√(-3)2+(-2)2=√13,所以sin α=y r =√13=-2√1313<0, cos α=x r =√13=-3√1313<0, tan α=y x =-2-3=23>0,sin α·tan α<0,cos α·tan α<0,sin α·cos α>0.12. 【答案】43【解析】tan α＝sin αcos α＝43.13. 【答案】－√55【解析】因为tan α＝12＝sinαcosα，由{sinαcosα=12,sin 2α+cos 2α=1,解得{sinα=√55,cosα=2√55,所以sin α－cos α＝√55－2√55＝－√55. 14. 【答案】－43 【解析】因为α为第四象限角，且cos α＝35，所以sin α＝－√1−cos 2α＝－√1−(35)2＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43.15. 【答案】－513【解析】由条件知sin α＝－√1−cos 2α＝－√1−(1213)2＝－513. 16. 【答案】43【解析】因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α−cos 2α＝2tan αtan 2α−1＝2×(−12)(−12)2−1＝43. 17. 【答案】－1【解析】原式＝sin(3π2+α)cos(π2−α)sin(π2−α)sinα＝(−cos α)∙sin αcos αsin α＝－1.18. 【答案】－13【解析】∵方程2x 2－x －1＝0的根为－12或1，又α是第三象限角，∴sin α＝－12，∴cos α＝－√1−sin 2α＝－√32，∴tan α＝sin αcos α＝√33，∴原式＝cos α(−sin α)sin α∙cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－13. 19. 【答案】34或－34【解析】由题意，设点A 的坐标为(x,35)，所以x 2＋(35)2＝1，解得x ＝45或－45.当x ＝45时，角α在第一象限，t a n α＝3545＝34；当x ＝－45时，角α在第二象限，t a n α＝354−5＝－34.20. 【答案】±35【解析】∵r ＝√16+m 2，∴cos α＝√16+m 2＝－45，∴m ＝±3.∴sin α＝±35.21. 【答案】二【解析】因为点P (tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限.22. 【答案】解 (1)法一 (代入法)∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α. ∴sin α−3cos αsin α+cos α＝2cos α−3cos α2cos α+cos α＝－13.法二 (弦化切)∵tan α＝2.sin α−3cos αsin α+cos α＝sin αcos α−3sin αcos α+1＝tan α−3tan α+1＝2−32+1＝－13. (2)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α−sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α ＝2tan 2α−tan α+1tan 2α+1＝2×4−2+14+1＝75.23. 【答案】解 由题意知m 2＋(√154)2＝1， 解得m 2＝116， 因为α为第二象限角，故m <0，所以m ＝－14，所以sin α＝√154，cos α＝－14. 原式＝−cos α−sin α−(−cos α)+1＝14−√154−14+1＝－3+√156. 24. 【答案】解 (1)f (α)=tan (π-α)·cos (2π-α)·sin(π2+α)cos (-α-π) =-tanα·cosα·cosα-cosα=sin α. (2)由sin (π2-α)=-35,得cos α=-35,又α是第二象限角,所以sin α=√1-cos 2α=45,则tan α=sinαcosα=-43.25. 【答案】解 (1)sin (3π2+α)＝sin (π＋π2＋α)＝－sin (π2＋α)＝－cos α (3π2−α)＝cos (π+π2−α)＝－cos (π2−α)＝＝－sin α.。

A．12B．−12D．−32 A．−32B．-12D．32（2007•全国卷Ⅱ）cos330°=（ ）√【答案】C【分析】由cos（α+2kπ）=cosα、cos（-α）=cosα解之即可．【解答】解：cos330°=cos（360°-30°）=cos（-30°）=cos30°=32，故选：C．√【点评】本题考查余弦函数的诱导公式．（2010•大纲版Ⅰ）cos300°=（ ）√√【题型】计算题．【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵cos300°=cos(360°−60°)=cos60°=12．故选：C．【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．（2016•四川）sin750°=12．【题型】三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=12，故答案为：12．B．22C．-12D．12【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．（2015•全国）sin225°=（ ）√【题型】计算题．【答案】A【分析】把225°写为180°+45°由诱导公式二得特殊角的正弦角，由特殊角正弦值得结果．【解答】解：sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=-22．故选：A．√【点评】本题考查用诱导公式化简求值，诱导公式一到四可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数，是基础题．（2010•大纲版Ⅱ）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=-43，则tanα=−12．【题型】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据诱导公式tan（π+α）=tanα得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．【解答】解：由tan（π+2a）=-43得tan2a=-43，又tan2a=2tana1−tan2a=-43，解得tana=-12或tana=2，又a是第二象限的角，所以tana=-12．故答案为：−12．【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力．（2023春•湖北期中）sin2023°最接近（ ）A．−32C．22D．32 A．1C．2D．−12 A．−223B．223C．−13√√√【题型】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】B【分析】先利用诱导公式得到sin2023°=sin（-137°），从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案．【解答】解：sin2023°=sin（2160°-137°）=sin（-137°），其中-137°为第三象限角，且当α为第三象限角时，sinα＜0，其中sin(−135°)=−sin45°=−22，又sin(−120°)=−sin60°=−32，而-135°较-120°，离-137°更近，综上，sin2023°最接近−22．故选：B．√√√【点评】本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．（2023•南宁模拟）已知sin2α=cosα-1，则sin(α+3π2)=（ ）【题型】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】B【分析】利用同角三角函数间的关系式可求得cosa,再利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：∵sin2α=cosα-1，∴1-cos2α=cosα-1，可得cos2α+cosα-2=0，解得cosα=1（cosα=-2舍）；∴sin(α+3π2)=-cosα=-1，故选：B．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．（2023春•南召县期末）若sin(α+π6)=13，则cos(α−π3)=（ ）√√B．12C．−32D．−12 A．33C．3D．-33【题型】转化思想；综合法；三角函数的求值．【答案】D【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若sin(α+π6)=13，则cos(α−π3)=cos（α+π6-π2）=sin（α+π6）=13，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．（2023春•龙华区期末）sin120°=（ ）√【题型】计算题；转化思想；三角函数的求值；数学运算．【答案】A【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=32．故选：A．√【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．（2023春•蚌埠期末）tan300°的值为（ ）√√√【题型】计算题．【答案】B【分析】直接按照诱导公式转化计算即可．【解答】解：tan300°=tan（300°-360°）=tan（-60°）=-tan60°=-3故选：B．√【点评】本题考查诱导公式的应用：求值．一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化．A．2C．12D．−12B．−23C．23D．223（2023春•清镇市期末）已知sin(α+π2)=55，α∈(−π2，0)，则tanα=（ ）√【题型】函数思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】B【分析】利用诱导公式可求得cosα=55，继而可求得sinα=-255，从而可得答案．√√【解答】解：∵sin(α+π2)=55，即cosα=55，又α∈(−π2，0)，∴sinα=-255，∴tanα=−25555=-2，故选：B．√√√√√【点评】本题考查三角函数的诱导公式及三角函数间的关系式的应用，考查数学运算能力，属于基础题．（2023春•朝阳区期末）已知α∈(π2，π)，且sin(π−α)=13，则cosα=（ ）√【题型】计算题；方程思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【答案】A【分析】由已知和诱导公式求出sinα，再由同角三角函数的关系求出cosα．【解答】解：∵sin（π-α）=13，∴sinα=13，∵α∈（π2，π），∴cosα=-1−(13)2=-223．故选：A．√√【点评】本题考查三角函数求值，考查同角三角函数的关系和诱导公式的应用，属于基础题．A．12B．−12D．−32 A．-1C．1D．3（2023春•南阳期中）sin14π3的值是（ ）√【题型】转化思想；综合法；三角函数的求值．【答案】C【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin14π3=sin（4π+2π3）=sin2π3=sinπ3=32，故选：C．√【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．（2023春•遂宁期末）cos（-120°）+sin30°的值是（ ）√【题型】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】B【分析】由题意，利用查诱导公式，化简可得结论．【解答】解：cos（-120°）+sin30°=cos120°+sin30°=-sin30°+sin30°=0．故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．（2018春•南康区校级月考）设f（x）=msin（πx+α1）+ncos（πx+α2），其中m、n、α1、α2都是非零实数，若f（2004）=1，则f（2005）=-1．【题型】函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据解析式得出：msin（2004π+α1）+ncos（2004π+α2）=1，msin（α1）+ncos（α2）=1，整体求解即可f（2005）=msin（2005π+α1）+ncos（2005π+α2）=-msin（2004π+α1）-ncos（2004π+α2）．【解答】解：∵f（x）=msin（πx+α1）+ncos（πx+α2），其中m、n、α1、α2都是非零实数，∴若f（2004）=1，即得出msin（2004π+α1）+ncos（2004π+α2）=1，msin（α1）+ncos（α2）=1，f（2005）=msin（2005π+α1）+ncos（2005π+α2）=-msin（2004π+α1）-ncos（2004π+α2）=-1，故答案为：-1【点评】本题考查了函数的性质，整体运用的思想，难度不大，运用公式求解即可，属于中档题，熟练运用公式．（2021秋•和平区校级期中）（1）已知sin（3π+α）=2sin（3π2+α），求sinα−4cosα5sinα+2cosα的值；（2）已知sin（π-α）-cos（π+α）=23（0＜α＜π），求cosα-sinα的值．√【题型】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】（1）−16；（2）−43．【分析】（1）由已知求出sinα与cosα的关系，然后代入结论化简即可；（2）将已知条件化简为sinα+cosα=23的形式，然后利用sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα之间的关系求解即可．√【解答】解：（1）由已知得：-sinα=-2sin（π2+α），即sinα=2cosα，故sinα−4cosα5sinα+2cosα=2cosα−4cosα10cosα+2cosα=-16；（2）由已知得sinα+cosα=23，结合0＜α＜π得α∈(π2，π)，故cosα-sinα＜0，由sinα+cosα=23得2sinαcosα=−79，因此（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=169，故cosα-sinα=−43．√√【点评】本题考查三角恒等变换以及学生的运算能力，属于中档题．（2020春•冷水滩区校级月考）已知α是第四象限角，f（α）=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(π−α)sin(−π−α)．（1）化简f（α）．（2）若cos(α−3π2)=35，求f（α）的值．【题型】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．B．12C．-32D．32【答案】（1）-cosα；（2）−45．【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数关系式化简即可；（2）先将已知条件化简，然后代入化简后的结论即可．【解答】解：（1）f（α）=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(π−α)sin(−π−α)．=−sin(π2−α)sinα(−tanα)−tanαsinα=cosα•sinα•tanα−tanα•sinα=-cosα．（2）因为cos（α−3π2）=cos（3π2−α）=-sinα=35，所以sinα=-35．因为α是第四象限角，所以cosα=45，所以f（α）=-cosα=-45．【点评】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用．属于基础题．（2019秋•海淀区校级月考）已知f（sinx）=cos3x,则f（cos10°）的值为（ ）√√【题型】三角函数的求值．【答案】A【分析】将cos10°化为sin80°，直接代入解析式计算即可．【解答】解：因为cos10°=sin（80°+360°k）=sin（100°+360°k），k∈Z，并且f（sinx）=cos3x,所以f（cos10°）=f（sin（80°+360°k）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=−12；或者f（cos10°）=f（sin（100°+360°k）=cos300°=cos（360°-60°）=cos60°=12；故选：A．【点评】本题考查了运用三角函数的诱导公式化简求值，关键是熟练诱导公式；口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．A．34C．±310D．-310B．23C．−53D．53（2021秋•武汉期末）若sinα+cosαsinα−cosα=2，则sin（α-5π）•sin（3π2-α）等于（ ）【题型】计算题．【答案】B【分析】利用商的关系先对所给的齐次式，分子和分母同除以cosα进行转化，求出正切值，再根据诱导公式对所求的式子进行化简，再由商的关系转化为正切的式子，把求出的正切值代入进行求解．【解答】解：由题意知，sinα+cosαsinα−cosα=2，分子和分母同除以cosα得，tanα+1tanα−1=2，解得tanα=3，∵sin（α-5π）•sin（3π2-α）=-sinα•（-cosα）=sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310，故选：B．【点评】本题考查了诱导公式以及商和平方的关系的应用，对于含有正弦和余弦的齐次式的处理，常用平方关系进行“1”的代换，再利用商的关系转化为有关正切的式子．（2023春•南阳月考）已知函数f(x)=cos(π−x)sin2(π−x)−1，若f(π2+α)=32，则sinα=（ ）√√【题型】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得到f(x)=1cosx，结合f(π2+α)=32，即可求解．【解答】解：由函数f(x)=cos(π−x)sin2(π−x)−1=−cosxsin2x−1=cosxcos2x=1cosx，因为f(π2+α)=32，即1cos(π2+α)=−1sinα=32，解得sinα=−23．故选：A．A．12C．36D．−36 A．−12B．12C．2−64【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．（2023春•宜昌期中）sin（-120°）tan210°的值为（ ）√√【题型】计算题；对应思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【答案】B【分析】利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：∵sin（-120°）tan210°=-sin120°tan210°=-sin60°tan30°=-32×33=-12．故选：B．√√【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．（2023•潍坊一模）已知角α在第四象限内，sin(2α+3π2)=12，则sinα=（ ）√√【题型】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】D【分析】由已知可推得cos2α=−12，即可得出sin2α=34，然后根据α的范围，即可得出答案．【解答】解：由已知可得，sin(2α+3π2)=cos(2α+π)=−cos2α=12，所以cos2α=−12，所以，sin2α=1−cos2α2=34．又角α在第四象限内，所以sinα=-32．故选：D．√【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．A．cos(π2−θ)C．cos（-θ）D．sin(θ+π2) A．−12B．−32D．32（2023春•黄浦区校级期末）与sin(θ−π2)一定相等的是（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】B【分析】由题意利用诱导公式即可求解．【解答】解：sin(θ−π2)=-cosθ，对于A，cos(π2−θ)=sinθ，不一定相等；对于B，sin(3π2+θ)=-cosθ，一定相等；对于C，cos（-θ）=cosθ，不一定相等；对于D，sin(θ+π2)=cosθ，不一定相等．故选：B．【点评】本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．（2023春•顺德区月考）cos（-1860°）=（ ）√√【题型】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】C【分析】利用诱导公式，先将负角化成正角，再将大角化成锐角，最后利用特殊角的三角函数进行计算．【解答】解：cos（−1860°）=cos（−21×90°+30°）=sin30°=12．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基本题，只要熟记三角函数的诱导公式即可顺利解决．（2023•抚松县校级模拟）已知tanθ=2，则sinθsin(3π2+θ)=（ ）A．35B．12C．−12A．−35B．−45C．35【题型】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】D【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解．【解答】解：sinθsin(3π2+θ)=−sinθcosθ=−sinθcosθsin2θ+cos2θ=−tanθtan2θ+1=−25．故选：D．【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．（2023春•日照期中）若sin(π2−α)=−45，则cos（π-α）的值为（ ）【题型】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】D【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为sin(π2−α)=−45=cosα，则cos（π-α）=-cosα=45．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．（2022•全国）若tanθ=3，则tan2θ=−34．【题型】函数思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】−34．【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解．【解答】解：由tanθ=3，得tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×31−32=−34．故答案为：−34．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．（2023•上海）已知tanα=3，则tan2α=-34．【题型】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】-34．【分析】直接利用正弦函数的二倍角公式求解．【解答】解：∵tanα=3，∴tan2α=2tanα1−tan2α=2×31−32=-34．故答案为：-34．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．（2020•新课标Ⅱ）若sinx=-23，则cos2x=19．【题型】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵sinx=-23，∴cos2x=1-2sin2x=1-2×（-23）2=19．故答案为：19．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．（2020•浙江）已知tanθ=2，则cos2θ=−35，tan（θ-π4）=13．【题型】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．【解答】解：tanθ=2，则cos2θ=cos 2θ−sin2θcos 2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−41+4=-35．tan（θ-π4）=tanθ−tanπ41+tanθtanπ4=2−11+2×1=13．故答案为：-35；1 3．【点评】本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．。