专题04 解密三角函数之给值求值问题一、单选题
1．若0,
2 ，cos 2 2cos2
4
，则sin2 等于（）
A. 15
16
B.
7
8
C.
31
16
D.
15
32
【答案】 A
2．已知sin π 1
6 3
, 则cos 2
2π
3
的值是
A. 5
9
B.
8
9
C.
1
3
D.
7
9
【答案】 D
【解析】∵sin π 1 6 3
∴
1 cos a cos a
2 6
3 3
∴cos a
1 3 3
2
2π 1 7
2
cos 2 2cos a 2 1
3 3 3 9 故选 D
二、填空题
3．已知sin
3
4 5
，,
4 2
，则tan __________．
【答案】7
点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基
础题．一般sin cos ，sin cos ，sin *cos ，这三者我们成为三姐妹，结合 2 2
sin cos 1，可以知一求三。
4．已知sin 4
5
，，则cos
2 4
__________．
【答案】
2 10
【解析】sin 4
5
，，所以
2
cos
3
5
.
2 2 2
3 2
4 2
cos cos sin
4 2 2 2
5 2 5 10
.
答案为:
2 10
.
5．已知锐角, 满足tan 1 tan 1 2，则的值为________．3
【答案】
4
【解析】因为tan 1 tan 1 2 ，所以tan tan tan tan 1
因此
tan tan
tan 1
1 tan tan
因为0, 3 4
6．若sin cos 3, t an 2
sin cos , 则tan 2 ______.
【答案】4 3
点睛：这个题目考查了三角函数中，两角和差的正切公式的应用，考查了给值求值的应用；一般这种题目是尽量用已知三角函数值的角表示要求的角；在这种题型中需要注意角的范围，已知三角函数值的角的范围是否能通过值缩小。
7．若tan 3 cos 2 ,
2 2 2 ，则sin2 __________．
【答案】4 5 9
【解析】由题意，
1 3 cos 3cos 2
cos sin
tan 2 sin 2 3
，
又，所以0 cos
，得
2 2
5
3
，
所以sin2 2sin cos 4 5
9。
点睛：三角函数恒等关系的题型关键在于公式的掌握和应用。
本题中，首先应用诱导公式将条件化简，切
3
化弦，得到sin 2
3
，之后判断象限，得到0 sin2 2sin cos
，最后二倍角公式应用
2
4 5
9。
8．已知sin 2 3
5
，sin
12
13
，且,
2
，,0
2
,则s in 的值为________．
3 130 【答案】
130
【解析】∵π
<α<π，∴π<2α<2π. 2
∵－π
<β<0，∴0<－β<
2 π
，π<2α－β< 5π，而sin (2 α－β)＝3
2 2 5
>0，
∴2π<2α－β< 5π
，cos(2 α－β) ＝
2 4 5 .
又－π
<β<0 且sin β＝
2
12
13
，
∴cosβ＝ 5
13
，
∴cos 2 α＝cos[(2 α－β) ＋β]
＝cos(2 α－β) cosβ－sin (2 α－β)sin β
4 5 3 12 56
5 13 5 13 65
.
又cos 2 α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9
130
.
又
π
( , π)
2
，∴sin α＝
3130
130
.
9．若cos ＝1
7
，cos( ＋β) ＝－
11
14
，∈0,
2
，＋β∈,
2
，则β＝________.
【答案】
3
10．已知
4 3
cos sin
6 5
，0
2
，则cos 2
3
__________．7
【答案】
25
三、解答题
11．已知tan
4
3
，
3
2
，cos
12
13
，
2
.
（1）求sin 与cos 的值；（2）求sin 的值.
【答案】(1) sin α= - 4
5
、cosα= -
3
5
(2)
63
65
【解析】试题分析：(1) 利用同角基本关系即可得到sin 与cos 的值；
（2）利用配角法sin β=sin [ α-( α- β)] ，把问题转化为与的正余弦值问题. 试题解析：
(1) 因为π< α< 3
2 ，所以sin α= - 4
5
、cosα= -
3
5
;
5
(2) 因为<α- β<π, 所以sin ( α- β)= , 于是
2 13
sin β=sin [ α-( α-β)]= sin αcos( α- β)- cosαsin (α- β)
=(- 4
5 )×(- 12
13
)-(- 3
5
)× 5
13
=33
65 .
12．已知cos 3
4 5 ，sin 512
4 13
3
，,
，0,
4 4
4
，求
s in 的值.
【答案】sin 56 65
.
【解析】试题分析：根据三角函数的诱导公式得到sin sin ，用已知角表示未知角，
即sin sin 5
4 4
，按公式展开即可.。
