6-三角函数的化简与求值(练习)

三角函数的恒等变换及化简求值精选题一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．16252．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．34．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．455．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3- 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45-B ．35-C ．3-D ．3-7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题（共15小题）9．设当x θ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=．11．1s in 10c o s 10-=︒︒．12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=．13．4c o s 50ta n 40︒-︒=．14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒．15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=．16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=．17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=．18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为 ．19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m =︒，若24m n +=，si n 63=︒．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为 ．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：3ta n 4α=，22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 2．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-【分析】法1︒：利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得s in c o s αα+的值，再平方，即得s in2α的值【解答】解：法31:c o s ()45πα︒-=，297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=，∴19(1s in 2)225α+=，97s in 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】由题意可得a b ⋅=，即解得ta n 2θ=，再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++，运算求得结果．【解答】解：由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=，即ta n 2θ=．222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 4．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将ta n θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1ta n 3θ=，22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3-【分析】先根据已知条件得到ta n α，再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果．【解答】解：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1ta n 2α=-，则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45- B ．35-C．3-D．3-【分析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可． 【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()s in (2)65f x x π=-=，得14c o s (2)65x π-=，∴124s in ()5x x -=-，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题． 7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值．【解答】解：由1ta n 4ta n θθ+=，得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=，即224s in c o s s in c o s θθθθ+=，1s in c o s 4θθ∴=，∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．二．填空题（共15小题） 9．设当xθ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时函数()f x 取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+；当xθ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，kz∈；∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2+．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=1 ．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为：1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 11．1s in 10c o s 10-=︒︒4 ．【分析】s in 10c o s 10得结果．【解答】解：12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为：4【点评】本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简． 12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒，再利用三角恒等变换求得它的值． 【解答】解：由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 13．4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【解答】解：4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键． 15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=25．【分析】由1ta n 31ta n αα+=-，我们可计算出ta n α的值，由于2sin α2c o s +α1=，所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++，然后化弦为切，代入求值．【解答】解：1ta n 31ta n αα+=-，1ta n 2α∴=．22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++． 故答案是：25．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数间的基本关系，解题的关键是将角的弦化切，属于中档题． 16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=13．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：1sin ()43πα-=，∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=．故答案为：13．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=23-．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(c o s s in )in 2θθθ+=，平方后整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，进而解得s in 2θ的值． 【解答】解：o s 22c o s()4θθπθ=+，∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=，∴平方可得：24(1sin 2)3sin 2θθ+=，整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，∴解得：2s in 23θ=-，或2（舍去）．故答案为：23-．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为310-．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于ta n 3α=，所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+，1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+．故答案为：310-【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=5．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值，然后展开两角差的余弦求解．【解答】解：由ta n 3α=，得s in 3c o s αα=，即s in 3c o s αα=．又22sin c o s 1αα+=，且(0,)2πα∈，解得：s in 10α=，c o s 10α=．∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=．故答案为：5．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m=︒，若24m n +=，则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可． 【解答】解：2s in 18m =︒，∴由24m n +=，得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒，则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=12-．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案． 【解答】解：2s in 18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒，∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒，故答案为：12-．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈，可得：32[44x ππ-∈，7]4π，进而利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈，可得：32[44xππ-∈，7]4π，s in (2)[14x π∴-∈-，2，可得()in (2)4f x x π=-+-，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值；（Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-，又()in ()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数in ()3y x π=-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到in ()43yx ππ=+-的图象，∴函数()in ()12yg x x π==-；当[4x π∈-，3]4π时，[123xππ-∈-，2]3π，s in ()[122x π∴-∈-，1]，∴当4xπ=-时，()g x取得最小值是322-=-．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得s in α，c o s α的值，再由倍角公式得c o s 2α的值； （2）由（1）求得t a n 2α，再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+，利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24s in 22s in c o s 25ααα==，则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-．α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，s in ()5αβ∴+==．则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+．ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：2()3f π的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==，（Ⅱ）2ω=，故Tπ=，即()f x 的最小正周期为π，由72[262xk πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z∈得：5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，kZ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，kZ∈．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档。

日期：2009年 月 日星期,能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．用．1常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦,异名化同名,异角化同角；③ 三角公式的逆用等;2化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：1给角求值：一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题；2给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论；3给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角;3、三角等式的证明：1三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”；2三角条件等式的证题,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明;．三角函数的求值： ,化非特殊角为特殊角； 2．正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 1．三角函数式的化简： 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明： 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常1、已知θ是第三象限角,且4459sin cos θθ+=,那么2sin θ等于 AA 、3B 、3-C 、23D 、23-2、函数222y sin x x =--+的最小正周期 BA 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 DA 、1B 、2C 、－1D 、－24、已知46sin (4)4m m m αα-=≠-,则实数m 的取值范围是＿＿－1,73＿＿＿;5、设10,sin cos 2απαα<<+=,则cos2α＝＿＿4-＿＿＿;例1．已知3sin 5m m θ-=+,42cos 5m m θ-=+2πθπ<<,则tan θ= C ()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512-略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =舍,∴5sin 13θ=,∴5tan 12θ=-．例2．已知1cos(75)3α+=,α是第三象限角,求cos(15)sin(15)αα-+-的值．解：∵α是第三象限角,∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+k Z ∈,∵1cos(75)3α+=,∴75α+是第四象限角,∴sin(75)α+==,∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3αααα+=---=+-+=-． 例3．已知2sin sin 1θθ+=,求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．解：由题意,22sin 1sin cos θθθ=-=,∴原式223sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=,求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++,()βαβα=+-, ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=,得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+,若cos()cos 0αβα+≠,则13tan()tan 3αβα+⋅=,若cos()cos 0αβα+=,tan()tan αβα+⋅无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性,如()()βαβαβαα=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()αβαβα+=++等,解题过程中应充分利用这种变形．例5．已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈,求：1sin cos1cot 1tan θθθθ+--的值；2m 的值；3方程的两根及此时θ的值． 解：1由根与系数的关系,得sin cos sincos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩, ∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---．2由①平方得：12sincos θθ+⋅=sin cos θθ⋅=即2m =,故m =．3当221)0x x -=,解得1212x x ==, ① ②∴sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∵(0,2)x π∈,∴3πθ=或6π．例1．化简：23tan123sin12(4cos 122)--； 2(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<． 解：1原式213sin12cos12)3sin123cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos24--==- sin 482==-2原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin coscos ααααααα-=+=+-=．3原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<,∴022θπ<<,∴|cos |cos 22θθ=,∴原式cos θ=-．例3．证明：1222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；2sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=．证：1左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+==22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x xx x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边,∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”；若“从右证到左”,必定要用倍角公式．2左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B AA+-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边,∴得证．1．若cos130a =,则tan 50=D()A()B± ()C()D 2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=B()A 2 ()B 4 ()C 8()D 163．化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 答案：1cos 22x 4．设3177cos(),45124x x πππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值;答案：2875- 6．已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=<<,求β的值;答案：2π7．05北京卷已知tan 2α=2,求I tan()4πα+的值；II 6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：I ∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； II 由I, tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.8．05全国卷已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合. 解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分1)4x π=-…………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)4x π⇔->…………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+…………………………8分 34k x k πππ⇔<<+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………12分9．05浙江卷已知函数fx ＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．Ⅰ 求f 256π的值； Ⅱ 设α∈0,π,f 2α＝41－2,求sin α的值．解：Ⅰ25125sin,cos626ππ==225252525()sin cos 06666f ππππ=+=Ⅱ 1()2sin 2222f x x x =-+11()cos sin 222242f ααα∴=+-=-011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=α 0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a 1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+-B()A cot α ()B cot 2α()C tan α()D tan 2a2．已知()f x =当53(,)42ππα∈时,式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 D()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期 一、选择题1、已知1sin()43πα-=,则cos()4πα+的值等于 D A、3 B、3- C 、13 D 、13-2、已知tan α、tan β是方程240x ++=的两根,且(,)22ππαβ∈-、,则αβ+等于BA 、3π B 、23π- C 、3π或23π- D 、3π-或23π3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42x xx x ππ+---为 BA 、sin xB 、cos xC 、tan xD 、cot x4、全国卷Ⅲ22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB A tan α B tan 2αC 1 D125、山东卷函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ,若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为 BA1 B 22,1-C 22-D 22,1二、填空题6、全国卷Ⅱ设a 为第四象限的角,若513sin 3sin =a a ,则tan 2a =_____43-_________. 7、北京卷已知tan 2α=2,则tanα的值为－34,tan ()4πα+的值为 -718、已知tan()34πθ+=,则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿45-＿＿＿＿;9、已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝＿2-＿. 三、解答题 10、求证：21tan 1sin 2.12sin 1tan 22αααα++=--11、已知2sin 22sin ()1tan 42k ααππαα+=<<+,试用k 表示sin cos αα-的值;12、求值：23)csc12.4cos 122--答案：-13、已知tan tan αβ=,求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值;答案：3备用题参考资料。

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。

（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。

【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。

三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中，不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简10.函数（）的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。

)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。

三角函数化简求值典型例题三角函数，哎呀，这可真是个既神秘又有趣的世界！我们在生活中，常常能看到三角函数的身影，像是在建筑、导航，甚至是音乐中，都有它的身影。

你有没有想过，三角函数其实就像一个调皮的小孩，时不时就会给你带来一些意想不到的挑战。

今天，我们就来聊聊这些三角函数的化简与求值，带你一起深挖这个“秘密花园”。

咱们得了解一下三角函数的基本概念。

最常见的，可能就是正弦、余弦和正切了。

别看它们名字听起来复杂，其实它们就是个“角”的游戏。

就像在游乐园里，正弦和余弦这对好朋友总是一起玩耍。

你想象一下，正弦就像是一个在过山车上尖叫的小孩，余弦则是那个在旁边冷静地观察的朋友。

他们的关系其实很微妙，正弦的最高点和余弦的最低点，总是能碰到一起，真是有趣得很！我们来说说这些三角函数的化简。

化简就像是把一个复杂的拼图变得简单明了。

比如说，咱们有一个表达式，像是sin²(x) + cos²(x)，这看起来是不是有点复杂？但它有个神秘的特性，就是总能化简成1。

这就好比你在忙碌的一天中，突然发现原来生活中的小确幸其实一直都在。

每次看到这个化简，我都忍不住想笑，真是简单又快乐！再看看这个正切函数，tanj = sinj/cosj。

这个家伙有点特别，常常让人捉摸不透。

有时候它显得那么高深莫测，但只要你理解了正弦和余弦的关系，正切就乖乖听话了。

比如说，当你求一个角的正切值时，记得去找它的对边和邻边，这样你就能轻松地求出结果。

这种感觉，就像是揭开了一个谜底，瞬间明亮了许多。

不过，三角函数不仅仅是计算，它背后有个更深层次的故事。

比如，当我们在计算某个角的值时，其实是在寻找这个角在生活中的意义。

它就像一个指引，让我们能在复杂的世界中找到方向。

记得有一次，我在爬山的时候，忽然想到三角函数，心里有种说不出的亲切感。

仿佛每一步的攀登，都与这些函数息息相关。

山的高度、斜率，甚至每一个呼吸，都与三角函数有着千丝万缕的联系。

[基础巩固]1．(多选)如果α是第二象限的角，下列各式不正确的是( )A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α解析 由商数关系可知A 、D 均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．答案 ACD2．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( ) A ．74 B ．－916C ．－932D ．932 解析 因为sin α－cos α＝－54， 平方可得1－2sin αcos α＝2516， 所以2sin αcos α＝－916， 即sin αcos α＝－932. 答案 C3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 答案 D4．若α是第三象限角且cos α＝－33，则sin α＝________，tan α＝________.解析 ∵α是第三象限角且cos α＝－33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63， ∴tan α＝sin αcos α＝ 2. 答案 －63 2 5．已知cos θ＝13，则⎝⎛⎭⎫tan θ＋1tan θ·sin θ的值为________． 解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin θcos θ＋cos θsin θ·sin θ ＝sin 2θ＋cos 2θcos θ·sin θ·sin θ ＝1cos θ＝3.答案 36．已知tan α＝2，求下列代数式的值：(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 解析 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. [能力提升]7．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )A ．14B ．12C ．1D ．32解析 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.答案 C8．已知cos α＝－35，且tan α>0，则sin αcos 2α1－sin α＝____________ . 解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－45， 故原式＝sin αcos 2α1－sin α＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α)＝⎝⎛⎭⎫－45·⎝⎛⎭⎫1－45＝－425. 答案 －4259．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m 的值为________．解析 由题意知Δ＝4(m ＋1)2－16m ≥0，解得m ∈R .不妨设sin A ＝x 1，cos A ＝x 2，则x 1＋x 2＝12(m ＋1)，x 1·x 2＝14m ， 即sin A ＋cos A ＝12(m ＋1)，sin A cos A ＝14m ， 所以1＋2×14m ＝14(m ＋1)2， 解得m ＝3或m ＝－ 3.当m ＝－3时，sin A cos A ＝－34<0，不合题意，舍去，故m ＝ 3. 答案 3 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根．求：(1)sin 3θ＋cos 3θ；(2)tan θ＋1tan θ. 解析 根据题意，方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，所以a ≤0或a ≥4，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a . 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0，所以a ＝1－2(1＋2舍去)．所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝11－2＝－2－1. [探索创新]11．设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．解析 假设存在实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，①∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－34m ＜0，② sin αcos α＝2m ＋18＞0.③ 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.把②③代入上式得 ⎝⎛⎭⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－109. ∵m 1＝2不满足条件①，舍去；m 2＝－109不满足条件③，舍去． 故满足题意的实数m 不存在．。

三角函数的化简与求值 （2）一、小题训练1．（A ）已知tan α=4，tan β=3，那么tan(α+β)= .2．（A ）计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= .3．（A ）已知tan -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=37，tan +6πβ⎛⎫ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= . 4．（B ）已知sin α=35，那么cos 2α= .5．（B ）已知α为第二象限角，且sin α+cos α=3，则cos 2α= . 6.（B ）已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，则βαtan tan 的值为 .二、例题选讲例1．（A）目标角与已知角之间的变换已知α，β均为锐角，且sin α=35，tan(α-β)= 1-3.(1)求sin(α-β)的值；(2)求cos β的值.3 5，cos(α+β)=5-13，求sin β的值.变式（B）已知α，β均为锐角，且sin α=例2．（B）二倍角的三角函数公式的简单应用已知sin α=1213，且α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.变式（A ） (1)已知sin 2 cos α= . (2)设α为第二象限角，sin α=35，则sin2α= .例3．（B ） 二倍角的化简与求值(1sin cos )sin -cos θθθθ⎛⎫++ ⎪0<θ<π.变式 （B ） (1)化简：0205-cos203-cos 10= .(2)求证：= 21sin4cos41-tan θθθ++1sin4-cos42tan θθθ+例4 ．（C ）二倍角公式的简单应用已知函数f (x )2x cos 2x 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[-π，0]上的最小值.变式 （C ）已知函数f (x )=sin 2x-sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例5．与三角函数的图象与性质综合运用已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f(α)=32，求sin26πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.ππ0022A Aωϕωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭其中，，为常数，且，，变式 已知函数f (x )=12sin 2x 2x . (1) 求f (x )的最小正周期和最小值；(2) 将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变， 得到函数g (x )的图象，当x ∈2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，求g (x )的值域.四、巩固练习1．（A ）计算：sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= .2．（A ）若α，β为锐角，cos α=17，cos(α+β)=-1114，则β= .3．（A ）已知α，β均为锐角，且tan β=cos -sin cos sin αααα+，则tan(α+β)= .4．（A ）已知sin2θ=45，cos 2θ =3-5，那么角θ在第 象限. 5．（A ）已知sin α+2cos α=0，则sin 2α+cos 2α= .6．（B ）已知sin -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=13，那么cos 2+23πα⎛⎫⎪⎝⎭= .7．（B ）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4).(1)求sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)若点P 关于x 轴的对称点为点Q ，求OP ·OQ 的值.8．（B ）设α为锐角，若cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，求sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.9．（B ）已知sin α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tan β=13.(1)求tan α的值； (2)求tan(α+2β)的值.10．（C ）设函数f (x )=A cos 46x π⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈R ，且f 3π⎛⎫⎪⎝⎭(1)求A 的值；(2)已知α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且f443πα⎛⎫+⎪⎝⎭=3017-，f 243πβ⎛⎫-⎪⎝⎭=85， 求cos(α+β)的值.参考答案一、小题训练1．7-11 2 3．1 4．725 5．6．23 二、例题选讲 例1．【解析】(1)因为α，β∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以-2π<α-β<2π，又tan(α-β)= 1-3<0，所以-2π<α-β<0，所以sin(α-β)=-10.(2)由(1)可得cos(α-β).因为α为锐角，sin α=35，所以cos α=45，所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β). 变式．【解析】因为sin α=35，α为锐角，所以cos α=45， 又α，β均为锐角，cos(α+β)=5-13，所以0<α+β<π，所以sin(α+β)=1213，所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=6365. 例2．【解析】 【思维引导】直接使用二倍角公式即可.因为α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，sin α=1213，所以cos α=5-13， 所以sin 2α=2sin αcos α=120-169， cos 2α=cos 2α-sin 2α=119-169， tan 2α=sin2cos2αα=120119．【精要点评】求cos α的值时，要注意正负的判断.变式【解析】(1)13 (2)2425- (1)cos α=1-2sin 22α=13.(2)直接求得cos α=45-，代入正弦的二倍角公式即可.例3．【解析】 【思维引导】考虑通过把角θ统一化为2θ，同时去掉根号.因为0<θ<π，所以0<2θ<2π，所以cos2θ>0，原式22cos 2sin cos sin -cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=2cos sin cos sin -cos 222222cos2θθθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=sin 22θ-cos 22θ=-cos θ.变式．【解析】 (1) 2【解析】0205-cos203-cos 10=005-cos201cos203-2+=002(5-cos20)5-cos20=2例4．【解析】(1)因为f (x )=2sinx-2(1-cos x )=sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0，所以34π-≤x+4π≤4π. 当x+4π=-2π，即x=-34π时，f (x )取得最小值，所以f (x )在区间[-π，0]上的最小值为f 34π⎛⎫⎪⎝⎭=-1-2. 变式【解析】(1)由题意得f (x )=1cos 2x 2--1cos 232x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=11cos 2222x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 22x -=1sin 226x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)当2k π-π2<2x-π6<2k π+π2，k ∈Z ，即k π-π6<x<k π+π3(k ∈Z )时，f (x )单调递增；当2k π+π2<2x-π6<2k π+3π2，k ∈Z ，即k π+π3<x<k π+5π6(k ∈Z )时，f (x )单调递减，所以f (x )在区间π,36π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，f -3π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-4，f -6π⎛⎫ ⎪⎝⎭=12-，f 4π⎛⎫ ⎪⎝⎭=4，所以f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为12-.例5．【解析】(1) 由图可知，A=2，T=2π，故ω=1，所以f (x )=2sin (x +φ).又f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=2sin 2π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，且-π2<φ<π2，故φ=-π6，于是f (x ) =2sin π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2) 由f (α)=32，得sin π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以sin π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π2-62πα⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos π26α⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =1-2sin 2π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-2×234⎛⎫ ⎪⎝⎭=-18.变式：【解答】(1) f (x )=12sin 2x2x =12sin 2x-(1+cos 2x )=12sin 2x-cos 2x-=sinπ2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-， 故f (x )的最小正周期为π，最小值为-.(2) 由条件可知g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-2.当x ∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，有x -π3∈π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 从而sin π1-132x ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为，，所以g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的值域为⎣⎦. 巩固练习 1．122．3π 3．1 4．θ是第三象限角 5．7-5 6．7-97．(1)因为角α的终边经过点P (3，4)，所以sin α=45，cos α=35，所以sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sinαcos4π+cos αsin 4π. (2)因为P (3，4)关于x 轴的对称点为Q ，所以Q (3，-4).所以OP =(3，4)，OQ =(3，-4)，所以OP ·OQ =3×3+4×(-4)=-7． 8．由cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，得cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2cos 2+6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=725. 因为cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，α为锐角，所以2α+3π∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2425，所以sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π234πα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=50.9．(1)因为sinα∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cosα=tan α=sin cos αα=12.(2)因为tan β=13，所以tan 2β=22tan 1-tan ββ=212311-3⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以tan(α+2β)=tan tan21-tan tan2αβαβ+=1324131-24+⨯=2．10．(1)fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=A cosππ126⎛⎫+⎪⎝⎭=A cosπ4=A=2．(2)f4π43α⎛⎫+⎪⎝⎭=2cosππ36α⎛⎫++⎪⎝⎭=2cosπ2α⎛⎫+⎪⎝⎭=-2sin α=-3017，即sin α=15 17.f2π4-3β⎛⎫⎪⎝⎭=2cosππ-66β⎛⎫+⎪⎝⎭=2cos β=85，即cos β=45.因为α，β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cosα=817，sin35，所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsinβ=817×45-1517×35=-1385.。

三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。

三角函数公式的应用1、已知tan()34πα+=-，求22sin cos sin sin cos 1ααααα-+的值。

解：∵tan()14tan tan()2441tan()4παππααπα+-=+-==++， ∴222222sin cos 2sin cos 2tan 47sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 1ααααααααααααααα===-+-++-+ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

2、 已知α为第二象限角，且15sin 4α=，求πsin 4sin2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值． 解：原式22(sin cos )2(sin cos )22sin cos 2cos 4cos (sin cos )αααααααααα++==++当α为第二象限角，且15sin 4α=时，sin cos 0αα+≠，1cos 4α=-，所以πsin 242sin2cos 214cos αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-++． 评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．3、求值：︒︒︒+︒-480sin 20sin 220sin 820sin 433 解：原式：＝︒︒-︒-20sin 3)20sin 21(20sin 432＝︒︒︒-20sin 340cos 20sin 43 =︒︒︒-︒+︒20sin 340cos 20sin 4)2040sin(2=︒︒︒-︒︒20sin 320sin 40cos 20cos 40(sin 2＝︒︒-︒20sin 3)2040sin(2＝332 4、化简βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222-+。

解：原式βαβαβα2cos 2cos 21)2cos 1)(2cos 1(41)2cos 1)(2cos 1(41-+++--= )2cos 2cos 2cos 2cos 1(41)2cos 2cos 2cos 2cos 1(41βαβαβαβα+++++--=βα2cos 2cos 21- 212cos 2cos 21)2cos 2cos 1(21=-+=βαβα 5.求值（21cos 80o —23cos 10o ）·1c o s 20o 解：∵21cos 80o —23cos 10o ＝2222cos 103cos 80cos 80cos 10o o o o －＝223cos 10sin 10o oo o o o （cos10+3sin10）（cos10－sin10） ＝22cos10cos 10sin 10o o o o o o o o o o 4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10） ＝24sin 40sin 201sin 204o o o ＝16sin 40sin 20oo ＝32cos20o ∴原式＝32 6.已知k =++αααtan 12sin sin 22 )24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值。

三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。

三角函数化简练习题及答案1．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明2．掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。

1．cosαcosβ=sinαcosβ=2．sinθ+sinφ= ；sinθ-sinφ= ；cosθ+cosφ= ； cosθ-cosφ=1cos2a1.已知tan ? ? ,则sin2a?2的值是4cos2a-4sin2a5A.B.?22C. 1D.?114142.?sin22?cos4等于A.C. sin B.D.4?cos?3coscos. 1 a等于 cosa-sina?sin2asinA.C. cosa sina B. cos2aD sin2a4.化简2?sin4?2?2cos4的结果是sin? sin?]可化简为. ? ?)cosa ?[sin?sin?B. ?sinC. sin?D. 0?)??)等于.化简4北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125 xx??x2xx A. tanx B.tanxtan2tan222cos100-sin200的值是 D.1 A. C.2. tan700?cos100等于化简 ??a?cos?a-cos?a10. cos sina a?sin???11.如果tana,tna?是方程x2?3x?3?0两根，则。

cossin12．2cos2a?1化简2?a)sin24413．求证： sinsin??2cos?sina sina1214．讨论函数f?cos?cos??2coscosxcos?的值域、周期性、2奇偶性及单调性北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125515．设sin??msin?2?????m?0?,????k??k?z?，求证：tan??????无论是化简还是证明都要注意：角度的特点函数名的特点化切为弦是常用手段升降幂公式的灵活应用1?mtan? 1?m3.2.2三角函数化简及证明111．[cos+cos]；[sin+sin]；22．2sin3．2cos???2coscos???22；2cos；-2sin???22sinsin???22； ???2?????????1.C2.D3.B4.2sin25.C.6.B北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 7.C8.C9.-210.cos?11.?12.cos2a?1-a)??cos2＝2cosa?113. ?a)?-a)442cos2a-1cos2a? ? 1 cos2acos2a2证明∵sin?2cossina=sin[?a]?2cossina＝sincosa?cossina?2cossina＝sincosa?cossina＝sin[-a]＝sin?.sinsin?两边同除以sina?2cos＝.sinasina12214.解：f?[2cos?1]?cos??2coscosxcos?12 =cos??2coscosxcos??cos?12=cos[cos?2cosxcos?]?cos??12=cos[sinxsin??cosxcos?]?cos??11=cos[?cos]?cos2? ??cos2x211∴f的值域为[?,]，周期为π，是偶函数，2??当x?[k?,k??]时f是增函数，当x?[k??,k?]时f是减函22北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 数。

一、题型选讲
题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。

在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
求tan()
αβ
-的值．
题型二探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。

应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
．
题型三、运用构造法化简与求值
2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．。

2016年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】 热点六 三角化简求值 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】；2.【2013⋅新课标全国】已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（ ）（A ）10（B ）9（C ）8（D ）5【答案】D ；【解析】因为225cos 10A -=,且锐角△ABC,故1cos 5A =,故2222cos a b c bc A =+-,解得5b =.3.【2014高考全国1文】若0tan >α,则（ ）A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 【答案】C 【解析】试题分析：由sin tan 0cos ααα=>,可得：sin ,cos αα同正或同负,即可排除A 和B,又由sin 22sin cos ααα=⋅,故sin 20α>.4.【2014全国1高考理】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C5.【2015全国1理】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）.A.．12- D ．12B.原式sin 20cos10cos 20sin10=+=1sin 302=.故选D ． 【热点深度剖析】三角函数的化简、求值及最值问题,主要考查同角三角函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别突出算理方法的考查． 2013年试题主要考查三角恒等变换,及倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力. 2014年的试题文主要考查三角函数的同角的三角函数关系,理科考查三角函数的同角的三角函数关系,三角恒等变换.2015主要考查两角和与差的三角函数公式.通过三年试题来看,二倍角公式,同角的三角函数关系是考试的重点．从近几年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、三角形中三角恒等变化,向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题．预测2016年会加大对三角客观题考查的力度,同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角恒等变换是考查重点． 【重点知识整合】 一．三角函数诱导公式1.对于形如2,,()k a a a k Z ππ±-±∈即满足2nπα+中n 取偶数时：等于角α的同名三角函数,前面加上一个把α看成是锐角时,该角所在象限的符号； 2.对于形如3,()22a a k Z ππ±±∈即满足2nπα+中n 取奇数时：等于角α的余名三角函数,前面加上一个把α看成是锐角时,该角所在象限的符号.3.口诀：奇变偶不变,符号看象限（看原函数,同时可把α看成是锐角）.4.运用诱导公式转化角的一般步骤：(1)负化正：当已知角为负角时,先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值；(2)正化负：当已知角是大于360的角时,可用360k α⋅+的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间0360→内的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90到360内的角时,可利用180,270,360ααα---的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90内的角. 二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±. 变形式：()()sin sin αβαβ++-=2sin cos αβ()();sin sin αβαβ+--=2cos sin αβ；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ变形式：()()cos cos αβαβ++-=2cos cos αβ；()()cos cos αβαβ+--=2sin sin αβ；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、.变形式：tan tan αβ±=()()tan 1tan tan αβαβ±.注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.三．二倍角公式的正弦、余弦、正切1.二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin cos αα；二倍角的余弦公式:cos 2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-；二倍角的正切公式:tan 2α=　22tan 1tan αα- .2. 降幂公式：sin cos αα=1sin 22α；2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 22α+. 3.升幂公式：1sin 2α+=2(sin cos )αα+;1cos 2α+=22cos α;1cos 2α-=22sin α.注意：在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2α是α的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用,⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换. 【应试技巧点拨】1. 利用诱导公式求值：给角求值的原则和步骤 (1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π:之间角的三角函数,然后求值,其步骤为：给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系,通过相加或相减建立联系,若出现2π的倍数,则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形,再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 4. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起,即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±,2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. 5.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式,这样减少了变量,统一为“切”得表达式,进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候,采用此技巧.6.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等. (2)三角函数名互化：切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定,θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.【考场经验分享】1．在利用三角函数定义时,点P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点．OP r =一定是正值．2．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍．3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k ∈Z)的形式时,需要对k 的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负．4.重视三角函数的“三变”： “三变”是“变角”,“ 变名”,“ 变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．4．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角如()ββαα-+=,()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等； （3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围（5）化简要求熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等.5．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等.6．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”.（2）寻找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系.（3）合理转化：选择恰当的公式,促使差异的转化.7．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅,不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系,造成思维障碍,思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 8．变为主线、抓好训练变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律.针对高考中题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.三角函数求值中要特别注意角的范围,如根据21cos2sin2αα-=求sinα的值时,sinα=中的符号是根据角的范围确定的,即当α的范围使得sin0α≥时,取正号,反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．9.本热点一般难度不大,属于得全分的题目,一般放在选择题与填空题的中间位置,但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面,容易一时的思路堵塞,需冷静处理,如果一时想不到化简的方向,可暂且放一放,不要钻牛角尖,否则可能造成心理负担,情绪受到影响,因新课标高考对这个热点考查难度已经降低,学生应有必胜的信心.【名题精选练兵篇】ns s i2cos B ＋2sin B =,B.tanα=2,则=． B ． C ． D ．=sinαcosα===,tanx=,（+x ．B ．C ．D ．tanx=+x==+ ++=,10．【2016届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考】已知sin 2cos αα=,则tanα=2tan则= 【答案】：∵tanα=2tan,======== ,故答案为：．sincos22sin cos22παπαπαπα++-=---（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B.【解析】由题意3sin 5α=-,因为α是第三象限的角,所以4cos 5α=-,因此222sincoscossin(cossin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin 222222παπααααααπαπαααααα++-+++====------. 13. 【惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三上学期联合考试】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点()1,2P --,则sin 2θ 等于（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】D.【解析】根据任意角的三角函数的定义,sin θ=,cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ==.14. 【宿迁市2015届高三年级摸底考试】若1cos()33απ-=,则sin(2)απ-6的值是 ． 【答案】97-. 【解析】9719121)3(cos 2)322cos()2322sin()62sin(2-=-⨯=--=-=+-=-παπαππαπα.15. 【浙江省效实中学2015届高三上学期期末考试】化简：22cos ()12πα--=A ．cos αB ．cos α-C ．cos 2αD ．cos 2α- 【答案】D 【解析】22cos ()12πα--=ααπαπ2cos )2cos()2(2cos -=-=-,答案D.16. 【拉萨中学高三年级（2015届）第三次月考试卷】若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππθ，, 8732sin =θ,则θsin =（ ）A. 53B. 54C. 47D. 43或47【答案】D.17. 若202παβπ<<<<-,1cos()43πα+=,cos()42πβ-=则cos()2βα+= A ．33B ．33-C ．935 D ．96-【答案】C. 【解析】因为202παβπ<<<<-,1cos()43πα+=,所以4344παππ<+<,且322)4sin(=+απ；又因为cos()42πβ-=且02<<-βπ,所以2244πβππ<-<,且36)24sin(=-βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+,所以)24sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+935363223331=⨯+⨯=．故应选C. 18. 【北京101中学2014—2015学年度高三第一学期期中模拟】在ABC ∆中,若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 .【答案】2【解析】因为C B A cos cos 2sin =,所以()2tan tan cos sin cos sin sin cos cos 2=+⇒+=+=C B B C C B C B C B【名师原创测试篇】1. 若锐角θ满足3sin 5θ=,则tan(2)4πθ-的值为（ ） A.1731 B.1625 C.3117- D.2516- 【答案】A2. 已知1sin 22α=,则11tan tan 2αα-=____． 【答案】2【解析】由已知得2222sin cos 2tan 1sin 2sin cos 1tan 2ααααααα===++,所以11tan tan 2αα-=2211tan 1tan 2tan 2tan 2tan ααααα-+-==． 3. 已知第三象限角α的终边经过点P ()3,4a a ,则cos α=( ) A.35 B.45 C.35- D.45- 【答案】C【解析】由题可得,因为角α是第三象限角,所以0a <,根据三角函数的概念可得33cos 55a a α===--,故选C. 4. 执行如图所示的程序框图,则输出结果S 的值为（ ）C.12- D.12cos3。

三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。