集合中的常用数学思想
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集合中的数学思想思想1 补集思想对于某些问题,如果从正面求解比较困难,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体实为全集,求出使问题反面成立的集合A ,则A 的补集即为所求.补集思想的原理或依据是:C U (C U A )A =.例 1. 已知集合{}36>-<=x x x A 或,{}1+≤≤=k x k x B ,若∅≠B A ,求实数k 的取值范围.分析:∅≠B A 说明两个集合有公共元素,它们的解集在数轴上所对应的图形有公共部分.本题若从正面解答情形会比较复杂,考虑到∅≠B A 的反面为∅=B A ,我们可以先求出∅=B A 时实数k 的取值范围,然后再取补集,即可得到结果.解:当∅=B A 时,分为两种情况:①若∅=B ,则1+>k k ,显然不成立;②若∅≠B ,则有⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+≤3161k k k k ,解之得:6-≤k ≤2.综上,当∅=B A 时,实数k 的取值范围是{}26≤≤-k k .∴当∅≠B A 时,实数k 的取值范围是{}26>-<k k k 或.思想2 数形结合思想若给定的集合是用不等式刻画的数集,常用数轴来表示;若给定的集合其具体的数集,常用Venn 图来表示;若给定的集合是点集,常用平面直角坐标系来表示.借助于图形来解决集合问题,比较形象、直观,体现了数形结合思想.例2. 设全集为R ,集合{}43<<-=x x A ,{}92≤≤=x x B .(1)求B A , A (C R B );(2)已知集合{}11+≤≤-=a x a x C ,若C A C = ,求实数a 的取值范围.分析:两个用不等式表示的集合,求其并集时,结果为两个集合在数轴上对应图形所覆盖的全部范围;求其交集时,结果为两个集合在数轴上对应图形所覆盖的公共范围.解:(1)∵{}43<<-=x x A ,{}92≤≤=x x B∴B A {}93≤<-x x∴C R B {}92><=x x x 或∴ A (C R B ){}23<<-=x x ;(2)∵C A C = ,∴A C ⊆,分为两种情况:①当∅=C 时,有11+>-a a ,显然不成立;②当∅≠C 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧<+->-+≤-413111a a a a ,解之得:32<<-a .综上所述,实数a 的取值范围是{}32<<-a a .例3. 向50名学生调查对A , B 两件事的态度,有如下结果:赞成A 的人是全体人数的53,其余的不赞成;赞成B 的比赞成A 的多3人,其余的不赞成;另外,对A , B 都不赞成的学生比对A , B 都赞成的学生数的31多1人,问:对A , B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?分析:借助于Venn 图可以形象、直观地解决集合元素个数的问题.解:由题意可知:赞成A 的学生有305350=⨯(人),赞成B 的学生有()33330=+(人).记50名学生组成的集合为全集A ,赞成事件A 的学生组成集合A ,赞成事件B 的学生组成集合B .设对事件A , B 都赞成的学生人数为x ,则对A , B 都不赞成的学生人数为131+x ,画出Venn 图如图所示: 则可列方程为:()()501313330=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-x x x x解之得:21=x .812131=+⨯ 答:对A , B 都赞成的学生有21人,对A , B 都不赞成的学生有8人.思想3 分类讨论思想对于含参集合,在讨论集合之间的关系时,往往需要对集合的种类进行分类讨论,得到关于参数的方程或不等式(组),从而求得参数的值或取值范围.特别要注意空集的情况. 例4. 已知集合{}032<+=x x x A ,集合{}23<<-=x x B .(1)求B A ;(2)若集合{}12+≤≤=a x a x C ,且)(B A C ⊆,求实数a 的取值范围.解:(1)∵{}(){}{}0303032<<-=<+=<+=x x x x x x x x A∴B A {}03<<-=x x ;(2)∵)(B A C ⊆,∴分为两种情况:①当∅=C 时,有12+>a a ,解之得:1>a ;②当∅≠C 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧<+->+≤013212a a a a ,解之得:123-<<-a . 综上,实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<<-1123a a a 或.。
第1讲 集合思想及应用一、知识梳理1.元素与集合:把一些能够确定的不同的对象看作一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号:自然数集N ,正整数集+N 或*N ,整数集Z ,有理数集Q ,实数集R .不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.2.集合与元素的关系:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ,记作a ∈A ;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A ,记作a∉A . 3.集合表示法列举法:将元素一一列出并用花括号括起来表示集合.描述法:用集合所含元素的特征性质描述集合.{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的.4.集合的关系子集:如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素,我们称集合A 为集合B 的子集,记作A ⊆B ,读作A 含于B .空集是任何一个集合的子集.真子集:如果集合A ⊆B ,但存在元素x ∈B ,且x ∉A ,我们称集合A 为集合B 的真子集,记作A B .集合的相等:如果构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.集合A 与集合B 是相等的,记作A =B .集合关系与其特征性质之间的关系:设A ={})(x p x ,B ={})(x q x .如果A ⊆B ,则)()(x q x p ⇒.如果 )()(x q x p ⇒,则A ⊆B .5.集合的运算交集:由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A 与B 的交集,记作:A ∩B ,读作:A 交B .并集:由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作:A ∪B ,读作:A 并B .补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合,叫做集合A 在全集U 中的补集,记作:∁U A ,读作:A 在U 中的补集.二、方法归纳1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三个特征;对于用描述法给出的集合{})(x p x ,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ;在读懂集合的基础上尽可能化简集合,化难为易,化隐为显是常用技巧;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能,此时应分类讨论.3.数集的运算往往用数轴法.4.用Card (A )表示有限集A 的元素个数,则由A ⊆B ,可得Card (A )≤Card (B );由A =B ,可得Card (A )=Card (B );Card (∅)=0.5.容斥原理:Card(A ∪B )=Card(A )+Card(B )-Card(A ∩B )Card(A ∪B ∪C )=Card(A )+Card(B )+Card(C )-Card(A ∩B )-Card(B ∩C )-Card(C ∩A )+Card(A ∩B ∩C )6.n 个元素的集合所有子集个数为n 2,所有真子集个数为n 2-1. 三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =,}1,{2x B =,A ∩B ={1,4},则满足条件的实数x 的值为 ( )A .4B .2或-2C .-2D .2 解析:根据}1,{2x B =,得42=x ,2±=x ,但}4,,2,1{x A =,由元素的互异性2≠x .∴2x =-.答案:C【技巧提示】牵涉到集合中的元素,必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性. 又例:若3∉{1,a ,2a },求实数a 的范围.答案:a ≠0,±1,3,±3【例2】已知{}1+==x y y M ,{}1),(22=+=y x y x N ,则集合N M 中元素的个数是 ( )A .0B .1C .2D .多个 【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集,N 为单位圆122=+y x 上的点集,∴N M 中元素的个数是2,选C .解析:根据{}1+==x y y M ,得R M =,为数集,{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集, ∴=N M ∅.答案:A【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素,再看代表元素满足的条件.交集是由两个集合的公共元素组成的集合.又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ,{}1),(22=+=y x y x B ,则B A 的子集的个数是( )A .0B .2C .4D .8解析:显然B A ,都是坐标平面内的点集,抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点,即集合B A 有3个元素, ∴ B A 有8个子集.答案:D【例3】若C B A ,,为三个集合,A ∪B =B ∩C ,则一定有 ( )A .A ⊆CB .C ⊆A C .A ≠CD .A =∅解析:∵A ⊆(A ∪B ),(B ∩C )⊆ C又∵A ∪B =B ∩C ,∴A ⊆C , 故选A .答案:A【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键.A ⊆(A ∪B ),(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质.本题也可利用文氏图直接得出结论.集合中图形语言具有直观形象的特点,将集合问题图形化,利用Venn 图的直观性,可以深刻理解集合有关概念、运算公式,而且有助于显示集合间的关系.又例:已知全集U =R ,则正确表示集合M ={-1,0,1}和N ={x | x 2+x =0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )解析:∵N ={0,-1}, M ={-1,0,1},∴N M ⊆U .答案:B .【例4】设集合A ={x |x 2+ax -12=0},B ={x |x 2+bx +c =0},且A ≠B ,A ∪B ={-3,4},A ∩B ={-3},求a 、b 、c 的值.解析:∵A ∩B ={-3},∴-3∈A 且-3∈B ,将-3代入方程:x 2+ax -12=0中,得a =-1,从而A ={-3,4}.将-3代入方程x 2+bx +c =0,得3b -c =9.∵A ∪B ={-3,4},∴A ∪B =A ,∴B ⊆A .∵A ≠B ,∴B A ,∴B ={-3}.∴方程x 2+bx +c =0的判别式△=b 2-4c =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧3b -c =9 ①b 2-4c =0 ② 由①得c =3b -9,代入②整理得:(b -6)2=0,∴b =6,c =9.故a =-1,b =6,c =9.【技巧提示】 由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的,因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考.【例5】设集合A 、B 是非空集合,定义A ×B ={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B },已知A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =2x 2},则A ×B 等于 ( )A .(2,+∞)B .[0,1]∪[2,+∞)C .[0,1)∪(2,+∞)D .[0,1]∪(2,+∞)解析:A ={x |y =2x -x 2}={x |0≤x ≤2},B ={y |y =2x 2}={y |y ≥0},∴A ∪B =[0,+∞),A ∩B =[0,2] ,因此A ×B =(2,+∞),故选A .答案:A【例6】已知全集U =R ,集合A ={x |log 2(3-x )≤2},集合B ={x |5x +2≥1}.(1)求A 、B ;(2)求(∁U A )∩B .解析:(1)由已知得:log 2(3-x )≤log 24,∴⎩⎪⎨⎪⎧3-x ≤43-x >0,解得-1≤x <3,∴A ={x |-1≤x <3}. 由5x +2≥1,得(x +2)(x -3)≤0,且x +2≠0,解得-2<x ≤3.∴B ={x |-2<x ≤3}.(2)由(1)可得∁U A ={x |x <-1或x ≥3},故(∁U A )∩B ={x |-2<x <-1或x =3}.【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解.又例: 已知全集U =R ,集合A ={y |-2≤y ≤2},集合B ={y |y =2x },那么集合A ∩(∁U B )等于 () A .{y |-2≤y ≤0} B .{y |0≤y ≤2}C .{y |y ≥-2}D .{y |y ≤0}解析:由题意易得:B =(0,+∞),∁R B =(-∞,0],所以A ∩∁R B ={y |-2≤y ≤0}.答案:A【例7】已知集合A ={x |x 2-6x +8<0},B ={x |(x -a )(x -3a )<0}.(1)若A ⊆B ,求a 的取值范围;(2)若A ∩B =∅,求a 的取值范围;(3)若A ∩B ={x |3<x <4},求a 的值或取值范围.解析:∵A ={x |x 2-6x +8<0},∴A ={x |2<x <4}.(1)当a =0时,B =∅,不合题意.当a >0时,B ={x |a <x <3a },应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2,当a <0时,B ={x |3a <x <a },应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a ≥4即a ∈∅.∴当A ⊆B 时,43≤a ≤2.(2)要满足A ∩B =∅,当a >0时,B ={x |a <x <3a },∴a ≥4或3a ≤2,∴0<a ≤23或a ≥4;当a <0时,B ={x |3a <x <a },a ≤2或a ≥43,∴a <0时成立,当a =0时,B =∅,A ∩B =∅也成立.综上所述,a ≤23或a ≥4时,A ∩B =∅.(3)要满足A ∩B ={x |3<x <4},显然a >0且a =3时成立,∵此时B ={x |3<x <9},而A ∩B ={x |3<x <4},故所求a 的值为3.【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题,涉及集合的运算,其转化途径常通过两个方面:一是分析、简化每个集合;二是利用两集合元素的性质.(2)本题体现了分类讨论的思想,分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小,进而将集合B 表示出来. 又例:已知集合A ={x |mx 2-2x +3=0,m ∈R }.(1)若A 是空集,求m 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求m 的值;(3)若A 中含有两个元素,求m 的取值范围.解析:集合A 是方程mx 2-2x +3=0在实数范围内的解集.(1)∵A 是空集,∴方程mx 2-2x +3=0无解.∴△=4-12m <0,即m >13.(2)∵A 中只有一个元素,∴方程mx 2-2x +3=0只有一解.若m =0,方程为-2x +3=0,只有一个解x =32;若m ≠0,则△=0,即4-12m =0,m =13.∴m =0或m =13.(3)∵A 中含有两个元素,∴方程mx 2-2x +3=0有两解,满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0△>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠04-12m >0,∴m <13且m ≠0.四、课后训练1.已知集合P ={x |x 2=1},Q ={x |mx =1},若Q ⊆P ,则实数m 的数值为( )A .1B .-1C .1或-1D .0,1或-12.已知U ={2,3,4,5,6,7},M ={3,4,5,7},N ={2,4,5,6},则 ( )A .M ∩N ={4,6}B .M ∪N =UC .(∁U N )∪M =UD .(∁U M )∩N =N3.设I 为全集,S 1,S 2,S 3是I 的三个非空子集,且S 1∪S 2∪S 3=I ,则下面论断正确的是A .∁I S 1∩(S 2∪S 3)=∅B .S 1⊆( ∁I S 2∩∁I S 3)C.∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D.S1⊆(∁I S2∪∁I S3)4.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=_____5.已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为() A.mn B.m+n C.n-m D.m-n6.设集合A={x|-12<x<2},B={x|x2≤1},则A∪B=()A.{x|-1≤x<2} B.{x|-12<x≤1}C.{x|x<2} D.{x|1≤x<2}7.设全集为U,且2011∈U,与2011∉(A∪B)意义相同的是()A.2011∈A∪B B.2011∉A或2011∉BC.2011∈(∁U A)∩(∁U B)D.2011∈(∁U A)∪(∁U B)8.设P和Q是两个集合,又集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()A.{x|0<x<1{ B.{x|0<x≤1}C.{x|1≤x≤2} D.{x|2≤x<3}。
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识,希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集:如果集合A中所有元素都是集合B中的元素,则称集合A为集合B的子集。
2.真子集:如果集合AB,但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等:集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作:AB(或BA),读作“A包含于B”(或“B包含A”),这时我们说集合是集合的子集,更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集:以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳:1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
高中数学集合中的数学思想集合是近代数学中最基础、最重要的概念之一。
高考所考查的有关集合问题的主要类型有两种:一是直接考查集合本身的问题;二是以集合为载体,综合其他数学知识构成的综合问题。
下面举例说明蕴含在集合中的数学思想。
一、数形结合思想例1 集合},1)()(|),{(22R a a y a x y x A ∈≤-+-=,}2|||||),{(≤+=y x y x B ,a 为何实数时,B A ⋂表示的平面区域的面积最大?解析:集合A 表示的平面区域是圆心为(a ,a )、半径为1的圆及其内部,其位置由实数a 唯一确定。
集合B 表示的平面区域是以四个点(2,0)、(0,2)、(2-,0)和(0,2-)为顶点的正方形及其内部。
显然,当且仅当圆1)()(22=-+-a y a x 内切于正方形时,B A ⋂表示的平面区域面积最大。
此时,B A ≠⊂,如图所示。
由图可知此时圆心坐标为(0,0),即0=a 时,B A ⋂表示的平面区域的面积最大。
22 2- 2- yx点评:看似无从下手的一道综合题,通过采用数形结合的思想,便迎刃而解了。
运用数形结合思想时,要特别注意端点值,做到准确无误。
二、分类讨论思想例2 集合{}0103|2≤--=x x x A 与集合{}121|-≤≤+=m x m x B ,满足A B ⊆,求实数m 的取值范围。
解析:由A B ⊆可知B 有两种情况:其一,B 为非空集合,且B 中所有元素均为A 中的元素;其二,B 为空集。
易知{}52|≤≤-=x x A 。
①当Φ≠B 时,51212≤-≤+≤-m m ,解得32≤≤m 。
②当Φ=B 时,112+<-m m ,解得2<m 。
综合①②知,满足A B ⊆的实数m 的取值范围是3≤m 。
点评:解含有参数的集合问题时,最直接的办法就是运用分类讨论的思想,但在分类讨论时要注意不重不漏。
三、等价转化思想例3 设集合},1|{R x x y y M ∈+==,集合},1|{2R x x y y N ∈+==,求N M ⋂。
常用数学思想归类总结数学作为一门学科,涵盖了广泛的思想和方法。
在数学的发展过程中,数学家们提出了许多重要的思想,这些思想成为解决问题、推理和证明的基础。
在本文中,我将归纳总结一些常用的数学思想,并解释它们的应用以及重要性。
一、归纳法归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它通过证明基本情况成立,并假设对于某个自然数 n 成立,然后利用这个假设证明n+1 也成立。
归纳法不仅常用于证明自然数之间的关系,也可以用来证明其他一些性质和推断。
例如,我们可以使用归纳法来证明等差数列的求和公式或者斐波那契数列的性质。
二、反证法反证法是一种独特的证明方法,它假设待证明的命题为假,然后通过推导出矛盾的结论来得出结论为真的结论。
反证法常用于证明一些命题的唯一性或者存在性。
例如,我们可以使用反证法来证明无理数的存在性,即假设不存在无理数,然后通过推导出矛盾的结论来证明无理数的存在。
三、递归思想递归思想是一种将一个问题分解为一个或多个相同类型的子问题,并通过解决子问题来解决整个问题的思想。
递归思想在数学中的应用非常广泛,它常被用于定义数列、集合和函数等。
例如,斐波那契数列的定义就是一个递归定义,即前两项之和等于下一项。
递归思想也常用于解决组合数学和图论等领域的问题。
四、对称性对称性是指对象在某种变换下保持不变的性质。
在数学中,对称性经常被用于简化问题的求解过程。
例如,对称关系可以帮助我们推导出解方程的一些性质,对称图形可以帮助我们简化图形的分析过程。
对称性在代数、几何和数论等领域都有广泛的应用。
五、等价关系等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系。
在数学中,等价关系可以帮助我们将一些对象划分为不同的等价类,从而简化分析和求解问题的过程。
等价关系常用于集合、模运算和拓扑等领域的问题。
例如,同余关系在模运算中起着重要的作用,它将整数划分为不同的同余类。
六、极限思想极限思想是一种将无穷过程视为有限过程的思维方式。
在数学中,极限思想经常被用于定义和研究一些重要的概念,例如极限、连续性和导数等。
集合思想1. 集合的概念。
把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。
给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。
如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合,因为构成它的元素是不确定的;而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。
一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重复出现。
只要两个集合的元素完全相同,就说这两个集合相等。
集合的表示法一般用列举法和描述法。
列举法就是把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。
描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。
列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时,很难把所有的元素一一列举出来,这时描述法便体现出了优越性。
此外,有时也可以用封闭的曲线(文恩图)来直观地表示集合及集合间的关系,曲线的内部表示集合的所有元素。
一一对应是两个集合之间元素(这种元素不一定是数)的一对一的对应,也就是说集合A中的任一元素a,在集合B中都有唯一的元素b与之对应;并且在集合B中的任一元素b,在集合A中也有唯一的元素a与之对应。
数集之间可以建立一一对应,如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。
其他集合之间也可以建立一一对应,如五(1)班有25个男生,25个女生,如果把男生和女生各自看成一个集合,那么这两个集合之间可以建立一一对应;再如,中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合,北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合,这两个集合之间也可以建立一一对应。
2. 集合思想的重要意义。
集合理论是数学的理论基础,从集合论的角度研究数学,便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。
如数系的扩展,从小学的自然数到整数,再到中学的有理数、无理数和实数,都可以从集合的角度来描述。
有时用集合语言来表述有关概念更为简洁,如全体偶数的集合可表示为{x|x=2k,k∈Z}。
集合运算中蕴涵的数学思想方法江苏省姜堰中学 张圣官 (225500)2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中,特别提到“强调本质,注意适度形式化”,其中写道“要使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的数学思想方法”。
在数学教育的各个环节中渗透数学思想方法,不仅具有提高教学效果的近期功效,而且具有优化学生的认知结构、进而全面提高学生数学素质的远期功效,这已经成了大家的共识。
然而,对数学材料本身所蕴涵的数学思想方法进行挖掘和提炼,并在数学解题中加以运用和完善,这一方面还需要我们进行探索与研究。
本文拟就集合的交、并、补集运算中所蕴涵的数学思想方法作一点说明。
1.交集思想方法假设有两个集合A 和B ,A={x|x 具有性质P 1},B={x|x 具有性质P 2},则A ∩ B ={x|x 具有性质P 1和P 2}。
在研究同时具有性质P 1和P 2的对象时可以考虑运用交集思想方法。
从哲学意义上讲,A 和B 反映的是个性,A ∩ B 反映的是共性,而A ∩ B ⊆A 和A ∩ B ⊆B 则表明共性存在于个性之中这一基本原理。
例1设A={(x ,y )|x=m,y=3m+1,m ∈N + },B={(x ,y )|x=n,y=a(n 2-n+1),n ∈N + },问是否存在非零整数a 使得A ∩ B ≠Φ?证明你的结论。
分析:集合A 、B 可化简为A={(x ,y )|y=3x+1,x ∈N +},B={(x ,y )|y=a(x 2-x+1),x ∈N + }。
本题是探索性问题,先假设a 存在,然后开始研究。
简解:要使A ∩ B ≠Φ,即A 、B 有共同的元素,只要方程组⎩⎨⎧+-=+=)1(132x x a y x y 至少有一组正整数解,也即是方程ax 2-(a+3)x+a-1=0至少有一个正整数解。
∵a ≠0且a ∈Z ,由⊿≥0,得3a 2-10a-9≦0,∴3132531325+-≤≤a ,∴a=1,2,3,4 。
小学数学中常见的数学思想方法有哪些?答;1、集合思想。
集合思想对数学的影响巨大,很多的数学分支都需要用集合语言表达。
①教学中要注重集合概念的渗透。
例如,认识“2”的教学中,例举多个两个物体,这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。
又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。
这里的2、6就是集合的基数。
”②教学中要注重集合关系的渗透。
如:一一对应关系,包含关系等。
③教学中要注重集合运算的渗透。
如:加法运算其实就是并集,减法运算的结果就是差集。
2、数形结合思想。
数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。
数与形之间的联系即称为数形结合,或形数结合。
数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。
即“以形助数”或“以数解形”。
作为一种数学思想方法,数形结合的应用一般可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一,应用数形结合的思想,可以解决很多数学问题。
①利用数与形的对应来理解数学概念。
例如:认识分数的教学。
②利用数与形的对应解应用题。
例如:画线段图解应用题。
③坐标思想。
用方程表示图形,沟通数形之间的关系。
在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。
3、函数思想。
函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数的思想方法就是提取问题的数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系,并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。
在小学阶段学习的对应关系,正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。
4、变换与转化思想。
变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想,充分重视这种数学思想方法在解题中的应用,不但可使问题化繁为简、化难为易,而且还可以提高学生的思维品质,培养学生的创新能力。
集合中的数学思想数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是将知识转化为能力的桥梁,有着普遍应用的意义,是历年高考的重点.其包括:数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等.下面通过例题透视集合中的数学思想.一、数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的.【例1】已知}{10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=I 为全集,集合B A ,为I 的子集,且)(B C A I ⋂=}{7,4,1,}{3,2)(=⋂B A C I ,}{10,9,8,6)()(=⋂B C A C I I ,那么集合A 等于( )A }{10,9,8,7,6,5,4,1B }{,7,4,1C }{,7,5,4,1D }{,7,5,4,3,2,1解:由于集合B A ,将全集I 划分为四个子集: )()(B C A C I I ⋂、)(B C A I ⋂、B A C I ⋂)(、B A ⋂.所以借助于文氏图,可迅速做出判断,如图,易知I =()()(B C A C I I ⋂)⋃()(B C A I ⋂)⋃(B A C I ⋂)()I ⋃(B A ⋂).将已知元素填入相应的集合,易知B A ⋂∈5.即A ∈5,且B ∈5.故应二、等价转化思想等价转化思想就是在解答问题时,需要对所给定的条件进行转化,只有通过转化,给定的条件才能以有效利用.例2已知集合{}{}01,0652=+==+-=mx x B x x x A ,且A B A =⋃,则实数m 组成的集合是_______.解:{}}{3,20652==+-=x x x AB 是A 的子集 又B ∴是A 的真子集 Φ=∴B 或}{2=B 或}{3=B当Φ=B 时,0=m当}{2=B 时,012=+m 解得21-=m 当}{3=B 时,013=+m 解得31-=mm ∴的值组成的集合是{}31,21,0--三、分类讨论思想分类讨论的思想就是整体问题化为部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.例3设集合{}0232=+-=x x x A ,集合{}0432222=+-+-=p p px x x B .若B 是A 的子集,求实数p 的取值范围.解:{}}{2,10232==+-=x x x A是A 的子集∴B 可能为Φ、{}1、{}2或{}2,1方程0432222=+-+-p p px x 中, )4)(2(4---=∆p p⑴若2<p 或4>p ,则0<∆,Φ=∴B 为A 的子集⑵若2=p ,原方程为02422=+-x x ,}{1=∴B 为A 的子集 ⑶若4=p ,原方程为08822=+-x x ,}{2=∴B 为A 的子集⑷若42<<p ,则0>∆,原方程有两个相异实根由B 是A 的子集得}{2,1=B ,解得3=p 综上得,当}{),4[3]2,(+∞⋃⋃-∞∈p 时, B 是A 的子集四、函数与方程思想函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题,借助于二次方程的判别式列式求解.例4设{}01),(2=--=x y y x A ,{}05224),(2=--+=y x x y x B ,=C {}b kx y y x +=),(,是否存在N b k ∈,,使得Φ=⋂⋃C B A )(,证明此结论.解:Φ=⋂∴C A 且Φ=⋂C B0)1(4)12(2221<---=∆∴b k bk,01442<+-∴bk k 此不等式有解,其充要条件是016162>-b ,即12>b ①0)25(16)1(422<---=∆∴b k019822<-+-∴b k k 从而208<b即5.2<b ②由①②及N b ∈,得2=b 代入由01<∆和02<∆组成的不等式组,得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032018422k k k k 1=∴k故存在自然数,1=k 2=b ,使得Φ=⋂⋃C B A )(。
17种数学思想数学作为一门古老而又重要的学科,凝聚了人类智慧的结晶。
它的发展历程中产生了许多重要的数学思想,这些思想被广泛运用于各个领域,为人们解决问题提供了宝贵的工具和方法。
本文将介绍17种数学思想,并探讨其在现实生活中的应用。
一、集合论集合论是数学的基础,它研究元素的集合及其之间的关系与操作。
集合论的应用广泛,例如数据库的设计与管理、统计学中的样本集合选择等。
二、数论数论研究整数的性质和规律,是数学中最古老、最基础的分支之一。
数论的应用能够帮助我们解决许多与整数相关的问题,例如密码学、编码与解码等。
三、代数学代数学是数学中的一大支柱,研究符号运算、方程与代数结构等内容。
代数学的应用包括密码学、数据编码、工程控制等领域。
四、几何学几何学研究空间的形状、大小和性质,它是数学中最直观的分支之一。
几何学的应用广泛,例如建筑设计、计算机图形学、地理测量等。
五、拓扑学拓扑学研究空间的变形与连续性质,它关注的是空间的整体性质而非具体的度量和尺寸。
拓扑学的应用包括网络通信、形状识别等。
六、微积分微积分是数学中最重要的分支之一,研究函数的变化规律和极限运算。
微积分的应用广泛,例如物理学中的运动学、经济学中的边际分析等。
七、概率论与数理统计概率论与数理统计研究随机现象及其规律,用于描述和分析随机事件的发生概率。
这一数学思想在金融风险评估、医疗统计等领域有广泛应用。
八、线性代数线性代数研究向量空间和线性变换,是现代代数学的重要分支之一。
线性代数的应用广泛,例如图像处理、机器学习中的矩阵运算等。
九、群论群论是代数学的一个重要分支,研究代数结构中的对称性质和变换规则。
群论的应用包括密码学、量子力学等领域。
十、数值计算数值计算研究用计算机来近似求解各种数学问题的方法,它在科学计算、工程设计等领域发挥着重要作用。
十一、离散数学离散数学研究离散对象和离散结构,它在计算机科学、信息科学等领域有着广泛应用。
十二、动力系统与混沌理论动力系统与混沌理论研究非线性系统的演化和稳定性,它在天气预报、生态学模型等领域发挥着重要作用。
集合中的数学思想方法例析河北 赵春祥数学思想和数学方法是数学的灵魂,是知识转化为能力的桥梁,信息社会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想提出问题和用数学方法解决问题.近几年的高考数学试题,越来越注重对数学思想和数学方法的考查,这已成为高考热点问题.为帮助同学们更好地理解和掌握最常用的基本数学思想和数学方法,特结合同学们已经学过的集合中有关的数学思想方法要点归纳如下,以扩大读者的视野.一、等价转化思想在解集合问题时,当一种集合的表达式不好入手时,可将其先转化为另一种形式.比如:将A B I = B 或将A B U = A 转化为B A ⊆,将()()U U A B U uu 痧转化为()U A B I u ð,将()()U U A B I u u 痧转化为()U A B U uð等. 例1 已知M ={(x ,y)| y = x +a},N ={(x ,y)| x 2+y 2= 2},求使得M N I =φ成立的实数a 的取值范围。
解:M N I =φ等价于方程组22,2.y x a x y =+⎧⎨+=⎩无解。
把y = x +a 代入方程x 2+y 2= 2中,消去y ,得关于x 的一元二次方程2x 2+2ax +a 2-2= 0。
①问题又转化为一元二次方程①无实根,即△= (2a)2-4×2×(a 2-2)<0,由此解得a >2或a <-2。
故所求实数a 的取值范围是{a | a >2或a <-2}。
评析:在理解集合符号的基础上,准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题,然后用所学的知识和方法把问题解决.这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来,提高解题效率.二、分类讨论思想解答集合问题时常常遇到这样的情况:解题过程中,解到某一步时,不能再以统一的方法、统一的形式继续进行,因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能的情形,必须选定一个标准,根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一加以解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思想方法.例2 设集合A = {x | x 2+4x = 0,x ∈R},B = {x | x 2+2(a +1)x +a 2-1= 0,a ∈R ,x ∈R },若A B ⊆,求实数a 的取值范围。
高一秋季讲义说明1.暑秋讲义区别:⑴定位区别:暑期讲义侧重于知识的引入与概念的讲解,会有很多与实际生活相结合或是非常简单的小例子(有些在教师备案中,并有配套练习);秋季讲义侧重于知识点中的重点、难点与易错点,对常用方法与题型作系统说明与讲解.教师备案更多的是揭示概念与方法的本质,及需要重点说明的地方.⑵难度区别:暑假讲义的例题以一星与二星为主,难度不大;秋季讲义例题以三星为主,有少量二星与四星的题,对于暑假已经讲过的知识点有“暑假知识回顾”版块,老师可以结合这个版块进行复习与知识点梳理.讲义中所有四星级题都是思考与选讲类的题,可以在一开始对学生进行说明.2.升级后与原来讲义的区别:⑴暑假与秋季没有重复内容,暑假讲过的内容,除了极重要的内容(会单独说明)外,秋季都不会在例题中重复出现;⑵尖子班(提高班与尖子班讲义相同)与目标班区别度很大,每道例题都有区别,仅在目标班出现的例题与考点会标有“目标班专用”,知识点讲解的深度与难度更大,计算量也更大;⑶题量与以前相比也有所增加,老师可以根据班上学生的进度情况与学生的程度好坏可以调整与选择性讲解,这一点也可以在最开始作个说明;⑷对于暑假没有讲过的新知识点,有些会配上【练习】,有些难题前面配有【铺垫】,学生版都出现.个别例题后面备有较难的【备选】与【拓展】,学生版不出现,供老师选讲.3.我们是以知识模块划分的讲次,每讲内容的量有一些区别,以下附有建议课时表:讲次讲义名称建议课时第1讲集合中的常用数学思想3小时第2讲函数概念的深入理解 3.5小时第3讲函数的单调性与奇偶性(一)提高班、尖子班3.5小时目标班3小时第4讲函数的奇偶性(二)与对称性提高班、尖子班2小时;目标班3小时(有周期性)第5讲指数函数与相关复合函数3小时第6讲对数函数与相关复合函数3小时第7讲期中复习提高班、尖子班3小时目标班2.5小时4.课后演练教师版有,学生版没有,会给学生发一本练习册,并且网上有视频讲解.第1讲集合中的常用数学思想当前形势集合在近五年北京卷(理)考查5~18分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 集合的含义与表示√了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.集合间基本关系 √理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 在具体情境中,了解全集与空集的含义.集合基本运算 √理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.能使用Venn 图表达集合的关系及运算<教师备案> 可以调查一下班上学生上过暑期课的比例,以及学校当前的进度.对于集合,学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具,集合从高中开始一直渗透到高中结束,甚至在有些过程中,我们都没有意识到.集合是数学的语言,是一个对话的平台,语言的作用是为了沟通,集合的问题不在于基本的运算什么的你不会,而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意,或者当你试图表达一个条件时,你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来.集合的中还渗透着很多数学思想,比如要想确定一个由描述法表示的集合,可能需要对参数进行分类讨论;理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴,这便是集合中的数形结合;还有些集合问题直接解决比较困难,我们选择看它的反面,正难则反.这些数学思想在以后的高中数学学习中,还会常常遇到,也会贯穿我们这一讲.“给你一道集合相关的问题,你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明,可以用这个例子作为课堂的引入,调动学生的思维兴趣:新课标剖析已知集合{}12n M a a a =,,,,121n a a a <<<≤,若对于任意1i j n ≤≤≤,i j a a ,j ia a 中至少有1个在M 中,则称集合M 具有性质P .判断{}1234,,,(不具有)、{}1248,,,(具有)、{}24612,,,(不具有)是否具有性质P .(更进一步的问题见华山论剑)1.集合:一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示.元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示; 不含任何元素的集合叫做空集,记作∅. 2.元素与集合的关系:∈、∉; 34.元素的性质:确定性、互异性、无序性.5.集合的表示法 ⑴ 列举法.⑵ 描述法(又称特征性质描述法):形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素.A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈,.⑶ 图示法,又叫韦恩(Venn )图. ⑷ 区间表示法:用来表示连续的数集. <教师备案> ⑴ 元素的性质:元素的性质中最本质的属性是确定性,集合是有边界的,边界确定了,才能判断一个元素在还是不在集合中.正是因为有确定性,所以可以定义空集,因为所有元素都不在这个集合中,所以这也能构成一个集合,就是空集. ⑵ 集合的表示法:① 列举法一定要会用,当遇到陌生集合时,要会写出其中的元素.比如要想了解集合{|24}A x x k k ==+∈Z ,,{|42}B x x k k ==+∈Z ,的关系,可以用列举法把一个个元素写出来:{42024}A =--,,,,,,,{22610}B =-,,,,,,就知道B 是A 的真子集;② 描述法是集合的一个重点与难点:{|()}x A p x ∈,x A ∈表达x 的外延,即x 的最大讨论范围,以及集合中元素的形式,到底是数还是点,x 并不一定能取到A 中的所有,只是x 一定是A 中的元素,()p x 表示x 的内涵,是对x 的精确描述. 如:集合3123{()|{012}123}i S x x x x i =∈=,,,,,,,, 则3(212)S ∈,,,3(234)S ∉,,. ③ Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的;④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的,我们为了方便与统一把它放到知识点睛1.1 元素与集合集合中,当一个连续数集写成区间时,默认左端点是小于等于右端点的,如区间(213)a a -,,就表示213a a -<,即1a >-.这与{|213}x a x a -<<是有区别的,这个集合可以出现213a a -≥的情况,此时这个集合是空集.1.由实数a ,a -,a 所组成的集合里,所含元素个数最多..有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个【解析】C2.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A. 2{0}x x -=B. 2{|0}y y y -=C. 2{|}x y x x =-D. 2{|}y y x x =- 【解析】 B .3.若{}2123A =-,,,,{}2|B x x t t A ==∈,,则集合B 中的元素共有( ) A .3个 B .4个 C .7个 D .8个【解析】 A考点1:元素与集合的关系 【例1】 ⑴已知{}1021A x =-,,,且2x A ∈,求实数x 及集合A .⑵已知a ∈Z ,集合{}(,)3A x y ax y =-≤,且(2,1)A ∈,(1,4)A -∉,求满足条件的a 的值.⑶已知A 是数集,且满足:若x A ∈,则23A x-∈,则当x = 时,A 中仅有1个元素.若集合A 中有且仅有两个元素,集合A =_______.【解析】⑴ 当0x =时,{}101A =-,,;当1x =-时,{}103A =-,,. ⑵ 012,,;⑶ 1或2;{12},.备注:所有的【备选】在学生版都不出现........,只在教师版与课件上出现,供老师选讲. 【备选】设A 是非空数集,0A ∉,1A ∉,且满足条件:若a A ∈,则11A a∈-. 证明:⑴ 若2A ∈,则A 中必还有另外两个元素;⑵ 集合A 不可能是单元素集;⑶ 集合A 中至少有三个不同的元素.【解析】 ⑴ 若2A ∈,则1112A =-∈-,于是()11112A =∈--, 暑假知识回顾经典精讲故集合A 中还含有1-,12两个元素. ⑵ 若A 为单元素集,则11a a =-,即210a a -+=,此方程无实数解,∴11a a≠-,∴a 与11a-都为集合A 的元素,则A 不可能是单元素集.⑶ 由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a-∈⇒∈⇒=∈----. 现只需证明a 、11a -、1aa --三个数互不相等.①若21101a a a a =⇒-+=-,方程无解,∴11a a ≠-; ②若2110a a a a a -=⇒-+=-,方程无解;∴1aa a -≠-; ③若211101a a a a a -=⇒-+=--,方程无解,∴111a a a -≠--, 故集合A 中至少有三个不同的元素.【备注】集合离不开元素,元素是集合的核心,所以解决有关集合中的探索性问题,可以先从元素入手,作为解题的切入点.解此题关键在于由已知a A ∈,1a ≠,得到11A a ∈-,1111A a∈--,然后逐步探索,再根据集合中元素的互异性,从而将问题加以解决.⑵中用到反证法的解题思想.下面的例3中会进一步提到正难则反的思想.考点2:两个集合相等<教师备案> 两个集合相等是集合的关系中出现的概念,但对于由列举法表示的集合来说,两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同,所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些.下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合,通过互相包含得到相等关系.【例2】 ⑴设a b ∈R ,,集合{1}{0}a b =,,,则b a -=_____. ⑵若a ,b ∈R ,集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭,,,,,则b a -=_____.⑶由三个实数构成的集合,既可以表示为1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,,,也可表示为{}20a a b +,,,则20132013a b +=____.【解析】 ⑴ 1;⑵ 2; ⑶ 1-;点评:根据两集合的元素是相同的,可以列方程组分类讨论,但显然复杂又繁琐,这时从特殊元素出发,如发现0这个特殊元素和ba中的a 不为0的隐含信息,就能得到简便解法.考点3:集合中涉及到的数学思想<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想,如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想,例5与例6会涉及到数形结合的思想.例3是对集合的思想的集中体现,可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明.例3不同的方法对应不同的思考方式,直接解决需要分类讨论,间接解决就是考虑问题的反面.遇到至少有、至多有的问题,需要注意问题的反面的形式.【例3】已知集合{}2|320A x ax x =++=中至多有一个元素,则实数a 的取值范围是 .【解析】 0a =或98a ≥.解法一(按照A 的元素个数分类讨论):解法二(按照方程的次数分类讨论):解法三(先考虑问题的反面):备注:所有的【拓展】在学生版都不出现........,只在教师版与课件上出现,供老师选讲. 【拓展】已知{}2|0A x x x a =++≤,{}2|210B x x x a =-+-<,{}|49C x a x a =-≤≤,且A ,B ,C 中至少有一个不是空集,求实数a 的取值范围.【解析】 5|38a a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≥或.至少有1个不是空集,考虑方法有两种:第1种:A ≠∅或B ≠∅或C ≠∅也就是14a ≤,58a <和3a ≥取并集.第2种,至少有1个不是空集的反面是什么?如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生,也就是没有男生,∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”. “全都是空集”⇒取A =∅,B =∅,C =∅的公共部分也就是交集,再取个补集就行. 当遇到正面分类讨论比较多时,不妨考虑问题反面.若改成“至少有两个是空集”,那么反面是什么?最多有1个空集.比如某富二代说“我家至少有10栋房”,那么反面是他家至多有9栋房.1.子集:如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素,则A 是B 的子集,记作A B ⊆或B A ⊇;知识点睛1.2集合之间的关系与运算规定:∅是任意集合的子集.如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素,那么集合A 不包含于B ,记作A B Ú或B A Û. 2.真子集:如果集合A B ⊆,且存在x B ∈,但x A ∉,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作A ÜB (或B ÝA ),读作A 真包含于B (B 真包含A ).规定:∅是任意非空集合的真子集.3.集合相等:如果A B ⊆,且B A ⊆,我们说集合A 与集合B 相等,记作A =B . 4.交集:{}|A B x x A x B =∈∈且; 5.并集:{}|AB x x A x B =∈∈或;6.补集: ①全集:如果所研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,常用U 表示.②补集:A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉,且ð. 7.A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=.<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解,如果班上学生进度太慢,且没有预习,老师可以对后面的顺序进行调整,知识回顾1与例4是集合的关系,知识回顾2是集合的运算.1.⑴ 下列各个关系式中,正确的是( )A .{}0∅= BQ C .{}{}3553≠,, D .{}{}21|x x x ⊆= ⑵ 若集合{}1M x x =>-,则下列关系成立的是( )A .0M ⊆B .{}0M ⊆C .M ∅∈D .{}0M ∈⑶ 已知两个集合1M x y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ,1N y y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ,这两个集合的关系是( )A .M N =B .M N ∈C .M N 躰D .M N Ý ⑷ 设{}2S x x n n ==∈Z ,,{}42P x x n n ==+∈Z ,,则下列关系正确的是( ) A .S P ⊆ B .S P = C .S P Ý D .S P Þ【解析】 ⑴ D⑵ B ⑶ A ⑷ C2.⑴ 设集合{}|32M m m =∈-<<Z ,{}|13N n n =∈-Z ≤≤,则MN =___________.⑵ 设集合{}|||2M x x x =<∈Z ,,{210}N =--,,,则MN =_________.⑶ 已知全集{12345}U =,,,,,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈,,则集合()U A B ð中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4【解析】 ⑴ {}101-,,⑵ {}2101--,,, ⑶ B暑假知识回顾考点4:集合的关系 【例4】 ⑴设集合{}|61M x x k k ==+∈Z ,,{}|64N x x k k ==+∈Z ,,{|32}P x x k k ==-∈Z ,,则下列说法正确的有________.①M N P =Ü ②()M N P Ü ③M N =∅ ④P M N =ð⑵设集合1|24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ,,1|42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ,,则( )A .M N =B .M N ÜC .M N ÝD .M N =∅⑶已知集合1|6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ,,1|23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ,,1|26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ,,则M 、N 、P 满足的关系是( )A .M N P =ÜB .M N P =ÜC .M N P 苘D .N P M =Ü【解析】⑴ ③④; ⑵ B ;⑶ B ;考点5:集合的关系与运算<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算,其中⑴涉及一元二次方程的解集,是有限集问题;从⑵-⑷是连续数集问题,借助韦恩图会更容易解决.对于一般的集合问题,这里有个易错点,即空集是任何集合的子集,考虑子集问题先想空集!为了避免有部分学生没有上过暑期班,所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法.【例5】 ⑴已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中a ∈R ,如果A B B =,则实数a 的取值范围是_______.⑵已知集合{}|25A x x =-<<,{}|121B x a x a =+-≤≤,若A B B =,则实数a 的取值范围是 .⑶已知集合{}|40A x x x =><或,{}|10B x ax =->,若AB A =,则实数a 的取值范围是 .⑷设集合{}1A x x a x =-<∈R ,,{}15B x x x =<<∈R ,,若A B =∅,则实数a 的取值范围是___________. 【解析】⑴ {|1a a -≤或1}a =; ⑵ {|3}a a <; ⑶ 1|4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤;⑷ {|0a a ≤或6}a ≥;经典精讲【拓展】设集合{}|21A x a x a =+≤≤,{}|2151B x a x a =-+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是__________;若A B Ü,则实数a 的取值范围是___________.【解析】①{|1a a <-或01}a ≤≤; ② {|01}a a ≤≤;<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白,对于抽象的集合,要理解A B ⊆,需要从元素角度出发:即对任意的x A ∈,有x B ∈;这在证明抽象的集合的关系时很有用,见下面的德摩根律的证明.集合的运算满足德摩根律:①()U A B =ð()()U UA B 痧;②()U A B =ð()()U UA B 痧.对于德摩根律,可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明,如下:证明:① 对任意的()U x AB ∈ð,则x AB ∉,从而x A ∉且x B ∉;因为x A ∉,所以U x A ∈ð;因为x B ∉,所以U x B ∈ð,从而()()U Ux A B ∈痧;从而有()()()U U U A B A B ⊆痧?;对任意的()()U UA B x ∈痧,则U x A ∈ð且U x B ∈ð,从而x A ∉,且x B ∉.故()x AB ∉,即()U x A B ∈ð,故()()()U UU A B AB ⊆痧?.综上有()U AB =ð()()U UA B 痧;②对任意的()U x A B ∈ð,则x A B ∉,从而x A ∉或x B ∉;若x A ∉,则U x A ∈ð,从而()()U Ux A B ∈痧;若x B ∉,则U x B ∈ð,从而()()U Ux A B ∈痧;从而有()()()U U U AB A B ⊆痧?;对任意的()()U UA B x ∈痧,则U x A ∈ð或U x B ∈ð,即x A ∉或x B ∉,从而()x AB ∉,故()U x AB ∈ð,故()()()UUUA B A B ⊆痧?. 综上有,()U AB =ð()()U U A B 痧. 德摩根律的严格证明并不容易,学生需要时间慢慢适应高中的严格的推理有.德摩根律的正确性借助于韦恩图是很容易得到的,韦恩图在表示集合的关系与运算时非常直观.见例6.考点6:韦恩图 【例6】 ⑴设A 、B 、I 均为非空集合,且A B I ⊆⊆,则下列各式中错误的是( )A .()I AB I =ð B .()()I I A B I =痧C .()I A B =∅ðD .()()I I I A B B =痧?⑵若全集{}123456789U =,,,,,,,,,A 、B 为U 的子集,且(){}19U A B =,ð,{}2AB =,()(){}468U UA B =,,痧,求A 、B 和U B ð.【解析】⑴ B ; ⑵ {}2357A =,,,,{}129B =,,,{}345678U B =,,,,,ð.考点7:子集个数问题(尖子班选讲)若集合A 中有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.<教师备案> 这个结论可以归纳得到:当A 中有两个元素时,记为212{}A a a =,,2A 的子集有4个;当A 中有三个元素时,记为3A ,323{}A A a =,2A 的四个子集仍然为3A 的子集,且这些子集中加入元素3a 后会得到四个新的互不相同的子集,且3A 的每个子集都可以归在这两类中,从而3A 的子集个数是2A 的两倍,从而3A 有8个子集,可以归纳得到n A (含有n 个元素的集合)有2n 个子集.如果利用乘法原理(奥数学介绍过,在高二会进行系统学习),会很容易得到这个结论,要得到n A 的子集,只需考虑n A 的每个元素在或不在这个子集中,对n 个元素,可以通过n 步得到,每步有两种不同的方法,故共对应2n 个子集.【例7】 ⑴已知A B ⊆,A C ⊆,{01234}B =,,,,,{0248}C =,,,,则满足上述条件的集合 A 的个数是( )A .8B .32C .16D .4⑵已知{12310}A =,,,,,{12345}B =,,,,,若C 是A 的子集,且B C ≠∅,则子集C 共有_____个.⑶若集合A 满足:对任意x A ∈,都有1A x∈,就称A 是“和谐”集合.则在集合111012345632M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,,,,,,,,, 的所有非空子集中,“和谐”集合有_______个.【解析】 ⑴ A⑵ 992; ⑶ 15(2009年北京)已知数集{}12n A a a a =,,,()1212n a a a n <<<≤,≥具有性质:P 对任意的i j ,()1i j n ≤≤≤,i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .⑴ 分别判断数集{}134,,与{}1236,,,是否具有性质P ,并说明理由; ⑵ 证明:11a =,且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. 【解析】 ⑴ 由于34⨯与43均不属于数集{}134,,,所以该数集不具有性质P . 由于12⨯,13⨯,16⨯,23⨯,62,63,11,22,33,66都属于数集{}1236,,,, 所以该数集具有性质P .⑵ 因为{}12n A a a a =,,,具有性质P ,所以n n a a 与nna a 中至少有一个属于A . 由于121n a a a <<<≤,所以n n n a a a >,故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈,故11a =. 因为121n a a a =<<<,所以k n n a a a >,故()23k n a a A k n ∉=,,,. 由A 具有性质P 可知()123nka A k n a ∈=,,,,. 又因为121n n n n n n a a a aa a a a -<<<<,所以121121n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a --====,,,,.从而121121n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a --++++=++++,故1211112nn na a a a a a a ---+++=+++.【演练1】设集合{}113A =-,,,{}224B a a =++,,{}3AB =,则实数a =_____.【解析】 1.【演练2】⑴ 已知{}234567U =,,,,,,{}3457M =,,,,{}2456N =,,,,则( ) A .{}46,MN = B .MN U =C .()U N M U =ðD .()U M N N =ð⑵ 已知集合{}|1M y y x ==+,(){}|23N x y y x ==+,,则集合M N 中的子集个数为( )A .0B .1C .2D .4⑶ 集合{}101A =-,,,A 的子集中含有元素0的子集共有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个【解析】⑴ B ; ⑵ B ; ⑶ B .【演练3】已知集合{|25}A x x =-≤≤,{}|121B x m x m =+-≤≤,若A B A =,求实数m 的取值范围.【解析】 3m ≤.实战演练【演练4】已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ,其中a ∈R .⑴ 1是A 中的一个元素,用列举法表示A ;⑵ 若A 中有且仅有一个元素,求a 的值组成的集合B ; ⑶ 若A 中至多有一个元素,试求a 的取值范围.【解析】 ⑴ 1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.⑵ {01}B =,. ⑶ {}|10a a a =≥或.【演练5】设A B ,是两个非空集合,定义A 与B 的差集{|A B x x A -=∈且}x B ∉,⑴已知集合{1234}A =,,,,{2345}B =,,,,求它们的差集A B -与B A -;⑵已知{|4}A x x =>,{|6}B x x =<,求()A A B --及()B B A --,并猜测它们之间的关系;⑶若差集A B -与B A -是同一集合,证明A B =. 【解析】⑴ {1}A B -=,{5}B A -=; ⑵ (){|46}A A B x x --=<<,(){|46}B B A x x --=<<,由此猜测()()A A B B B A --=--.⑶ 对任意的x A ∈,若x B ∉,则x A B ∈-,但x B A ∉-,与已知条件矛盾, 故对任意的x A ∈,有x B ∈,从而A B ⊆;同理有,B A ⊆,故A B =.已知集合{}1234A a a a a =,,,,{}22221234B a a a a =,,,,i a ∈N (1234i =,,,),其中1234a a a a <<<,且{}14AB a a =,,1410a a +=,AB 的所有元素之和为124,求⑴14a a ,;⑵A .【解析】 ∵20i a ≥()1234i =,,,,{}14A B a a =,,∴211a a =,则10a =或11a =.若10a =,则410a =,又集合B 中必存在某个数的平方为10,即A这与(12345)i a i ∈=N ,,,,矛盾,因此有11a =,∴49a =. 由49a =知3A ∈,于是利用AB 的元素之和为124,分23a =或33a =进行讨论,①若23a =,则有23313981124a a +++++=,解得35a =或36a =-(舍), ②若33a =,则有22213981124a a +++++=,解得25a =或26a =-(舍),∵23a a <,∴2335a a ==,, 综上所述,{}1359A =,,,.大千世界。
数学常用的17种思想方法:小学初中都适用!数学如此简单!1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容,这就是符号思想。
如数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法,而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等,在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法,数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类,若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分,也可以按角分。
不同的分类标准就会有不同的分类结果,从而产生新的概念。
集合思想和方法高中数学新教材很重视“集合”概念,把它作为高中数学的基础,放在第一章,这是符合近代数学发展规律的。
实际上,集合是整个数学的基础,它不但为数学的不同分支提供了工具,还提供了重要的思想方法。
因此,如何在高中数学教学中教好“集合”的概念和思想方法就显得非常重要了。
但是,在数学教学中,我们很少自觉地运用集合的思想和方法去分析问题、解决问题,至于认真地发掘、研究它的应用就更少了。
我们认为,关键在于运用,就是在其它内容的教学和学习中贯彻和运用集合的思想方法,而这是一个薄弱环节。
下面谈一谈本人在这方面的一些思考和做法。
一、什么是集合思想简而言之,集合思想就是从集合的观点出发,把所研究的对象看成某个集合的元素。
但我们认为集合的本质是“分类”,是“求同辨异”。
“分类思想”是重要的数学思想,用于处理复杂的数学问题,可以化繁为简,化难为易。
分类时要求标准明确,这与集合的基本性质——确定性完全一致。
所以,集合是分类思想方法的极好的载体,其本质就是分类。
基于这样的认识,我们才能在数学教学和学习中自觉地运用集合思想和方法。
二、集合思想和方法的运用根据上面的叙述,我们可以在高中数学的任何一块内容中找到应用集合概念及其思想方法的天地。
函数、数列等自不待言,逻辑、不等式、排列组合概率、三角、解析几何乃至立体几何中都可以充分地运用集合的工具和思想方法。
1、从一个典型问题谈起例1 函数)12lg(2+-=ax x y 的值域为R ,求常数a 的取值范围。
分析:学生解该题时往往分不清值域为R 与定义域为R 的不同,错误率非常高。
错解如:2()210g x x ax =-+> ⇒ 0<∆ ⇒ a 取值范围是:(-1,1)。
正确的思考方法应是,欲使lg ()y g x =的值域为R ,必使()g x 的值域包含),0(+∞,而12)(2+-=ax x x g 的值域是),)([min +∞x g ,故应有min ()04g x -∆=≤,即0≥∆。