集合运算中蕴涵的数学思想方法

高一数学集合的浪漫知识点数学一直以来都被视为一门冷冰冰的学科，但其实，数学里也蕴含着一些浪漫的知识点。

尤其是在高中数学的集合部分，我们能够找到一些看似冰冷的符号背后隐藏的浪漫之意。

让我们一起走进数学的世界，探寻其中的浪漫知识点。

一、无穷大和无穷小的浪漫之约在集合论中，我们经常会涉及到无穷大和无穷小的概念。

和浪漫有什么关系呢？想象一下，当两个人相爱时，他们的感情是无穷大的，包容了彼此的一切。

而当两个人分开时，他们心中的伤痛却变成了无穷小，无尽地折磨着他们的内心。

进一步深入研究，我们可以发现无穷大和无穷小之间又有许多浪漫的联系。

无穷大可以看作是大自然的宽容，它是对一切可能性的包容。

而无穷小则是对微小细节的关注，它是浪漫中重要的细微之处。

正因为有了无穷大和无穷小，浪漫才变得更加丰富多样。

二、集合运算的浪漫炫技在集合论中，我们常见到并集、交集、差集等集合运算符号。

虽然这些符号看起来枯燥无味，但它们实际上蕴含了浪漫的意味。

以并集为例，它代表了两个集合的结合，正如两个相爱的人走到一起般。

并集的结果是一个更加丰富的集合，包含了彼此的共同点和个性特征。

交集则代表了两个集合的共同之处，它象征着两个人之间的契合和默契。

当两个集合的交集为空集时，也可以引发一种浪漫的猜想，即两个人各有各的特长，互相补足，组成了完美的一对。

而差集则体现了人际关系中的差异和个体的独立性。

它让我们想到，即使两个人在一起，仍然能够保持自己独特的个性和思想。

三、映射的浪漫对应映射是数学中常见的一个概念，它可以看作是一个对应关系。

当我们将映射与现实中的情感对应起来时，也能够找到其中的浪漫之意。

想象一下，当两个人相爱时，他们之间就形成了一种映射关系。

每一个人的情感都可以映射到另一个人的心中，形成一种美妙的心灵对话。

这种对应关系不仅仅是指感情上的契合，还包括了思想和人生观的一致。

四、二元关系的浪漫联系在数学中，二元关系是一种非常重要的概念。

它描述了两个集合之间的对应关系。

高一数学学习集合要注意哪些集合是近代数学中的一个重要概念，它不仅与高中数学的许多内容有着紧密的联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。

下面给大家分享一些关于高一数学学习集合要注意哪些，希望对大家有所帮助。

一、准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点，例如交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等等。

这些概念、关系和表示方法，都可以作为求解集合问题的依据、出发点甚至是突破口。

因此，要想学好集合的内容，就必须在准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫。

二、注意弄清集合元素的性质，学会运用元素分析法审视集合的有关问题众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。

集合中的元素具有“三性”：(1)、确定性：集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可。

(2)、互异性：集合中的元素应该是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个。

(3)、无序性：集合中的元素是无次序关系的。

集合的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。

因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。

三、体会集合问题中蕴含的数学思想方法，掌握解决集合问题的基本规律布鲁纳说过，掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路” 。

集合单元中，含有丰富的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。

在学习过程中，注意对这些数学思想进行挖掘、提炼和渗透，不仅可以有效地掌握集合的知识，驾驭集合问题的求解，而且对于开发智力、培养能力、优化思维品质，都具有十分重要的意义。

四、重视空集的特殊性，防止由于忽视空集这一特殊情况导致的解题失误空集是一个十分重要的特殊集合，它具备“空集虽空，但空有所为”的功能。

小学数学中常见的数学思想方法有哪些？答;1、集合思想。

集合思想对数学的影响巨大，很多的数学分支都需要用集合语言表达。

①教学中要注重集合概念的渗透。

例如，认识“2”的教学中，例举多个两个物体，这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。

又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。

这里的2、6就是集合的基数。

”②教学中要注重集合关系的渗透。

如：一一对应关系，包含关系等。

③教学中要注重集合运算的渗透。

如：加法运算其实就是并集，减法运算的结果就是差集。

2、数形结合思想。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数与形之间的联系即称为数形结合，或形数结合。

数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

即“以形助数”或“以数解形”。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用一般可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题。

①利用数与形的对应来理解数学概念。

例如：认识分数的教学。

②利用数与形的对应解应用题。

例如：画线段图解应用题。

③坐标思想。

用方程表示图形，沟通数形之间的关系。

在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。

3、函数思想。

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。

函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。

在小学阶段学习的对应关系，正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。

4、变换与转化思想。

变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想，充分重视这种数学思想方法在解题中的应用，不但可使问题化繁为简、化难为易，而且还可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。

高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。

分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。

应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。

如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。

《的概念》教案《集合的概念》教案在教学工作者开展教学活动前，时常会需要准备好教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。

写教案需要注意哪些格式呢？以下是小编整理的《集合的概念》教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

《的概念》教案1一、教材1、教材的地位和作用《集合的概念》是人教版第一章的内容(中职数学)。

本节课的主要内容：集合以及集合有关的概念，元素与集合间的关系。

初中数学课本中已现了一些数和点的集合，如：自然数的集合、有理数的集合、不等式解的集合等，但学生并不清楚“集合”在数学中的含义，集合是一个基础性的概念，也是也是中职数学的开篇，是我们后续学习的重要工具，如：用集合的语言表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集，曲线上点的集合等。

通过本章节的学习，能让学生领会到数学语言的简洁和准确性，帮助学生学会用集合的语言描述客观，发展学生运用数学语言交流的能力。

2、教学目标（1）知识目标：a、通过实例了解集合的含义，理解集合以及有关概念；b、初步体会元素与集合的“属于”关系，掌握元素与集合关系的表示方法。

（2）能力目标：a、让学生感知数学知识与实际生活得密切联系，培养学生解决实际的能力；b、学会借助实例分析，探究数学问题，发展学生的观察归纳能力。

（3）情感目标：a、通过联系生活，提高学生学习数学的积极性，形成积极的学习态度；b、通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

3、重点和难点重点：集合的概念，元素与集合的关系。

难点：准确理解集合的概念。

二、学情分析（说学情）对于中职生来说，学生的数学基础相对薄弱，他们还没具备一定的观察、分析理解、解决实际问题的能力，在运算能力、思维能力等方面参差不齐，学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高，有厌学情绪。

三、教法针对学生的实际情况，采用探究式教学法进行教学。

首先从学生较熟悉的实例出发，提高学生的注意力和激发学生的学习兴趣。

在创设情境认知策略上给予适当的点拨和引导，引导学生主动思、交流、讨论，提出问题。

高三数学集合的概念及运算【本讲主要内容】集合的概念及运算【知识掌握】 【知识点精析】集合的基本概念及其表示法掌握之后，研究集合的关系，运算是后续基础知识，与第一讲的知识点构成集合的整体；为以后运用集合工具形成集合思想打基础。

1. 集合间的关系是包含与不包含，相等与不相等的关系，集合A 与集合B 之间的关系很直观地用文代图示于：A 是B 的子集⇔A 包含于B （B 包含A ）A 不是B 的子集⇔A 不包含于B （B 不包含A ）A 是B 的子集且B 是A 的子集⇔A 、B 相等客观存在很多如上关系，如数集之间的关系2. 集合的运算，由已知集合中的元素构造出与之相关的新集合，可以写作是已知集合的运算结果，定义运算是人为的，常用的集合运算有：（以两个集合为例）① 交集——由两个集合中的公共元素构成的集合。

② 并集——由两个集合中的所有元素构成的集合。

③ 补集——存在于全集中的某个集合的补集是由非本集合中的全集中其它元素构成的集合。

三. 要认识到以下几点：第一，从运算的角度认识“交集”、“并集”、“补集”运算的对象与结果都是集合。

第二，从相互间的联系认识运算的结果，结果又是集合家族的繁衍。

第三，运用变化的联系的观点认识不同关系下各种运算的结果，有怎样的联系。

第四，定义从两个集合的运算为基础，可扩展到多个集合间的运算。

四. 知识讲解程序： （一）集合间的关系1. 子集：设A 、B 是两个集合，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则称这两个集合有包含关系，且称A 是B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇）（读作A 包含于B 或B 包含A ）说明：① 两个集合具有包含关系亦即一个集合是另一个集合的子集。

② 符号语言：A 是B 的子集⇔B A ⊆（读作A 包含于B ）⇔A B ⊇（B 包含A ）⇔A x ∈∀，都有B x ∈。

③ 图形语言（Venn 图示）思考：两图是否符合子集定义？2. 相等：如果A 是B 的子集，且B 是A 的子集，则称两个集合相等，记作A=B 。

数学的思想方法有哪些数学的思想方法有哪些・小学篇一、集合的思想方法把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。

在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。

让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。

利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

二、对应的思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。

小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

三、数形结合的思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。

“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。

我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

四、函数的思想方法恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。

有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。

高一数学集合之间的关系与运算【本讲主要内容】集合之间的关系与运算子集、全集、补集、交集、并集等概念，集合的运算性质。

【知识掌握】 【知识点精析】1. （1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。

记作：A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能： （1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。

（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B 或B A ，读作A 真包含于B 或B 真包含A 。

注：空集是任何集合的子集。

Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集。

Φ A 若A ≠Φ，则Φ A任何一个集合是它本身的子集。

A A ⊆ 易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。

如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。

如Φ⊆{0}。

不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0}2. 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

3. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A ＝},|{A x S x x ∉∈且4. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集。

《集合的基本运算》说课稿一、说教材1、教材的地位和作用集合的基本运算是高中新课标A版实验教材第一册第一章第一节第三课时的内容，在此之前，学生已学习了集合的概念和基本关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用，本节内容在近年的高考中主要考核集合的基本运算，在整个教材中存在着基础的地位，为今后学习函数及不等式的解集奠定了基础，数形结合的思想方法对学生今后的学习中有着铺垫的作用。

此部分主要介绍集合的两类基本运算—-并集和交集,是对集合基本知识的深入研究．在此，通过适当的问题情境，使学生感受、认识并掌握集合的两种基本运算．集合作为现代数学的基本语言，它可以简洁、准确地表达数学内容，因而只有掌握和理解了集合的基本知识，学会用集合语言表示有关数学对象，才能进一步刻画函数概念．可见,此部分的学习是以后研究函数的必然要求．2、教学目标及确立依据根据教材结构及内容以及教材地位和作用，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标制定以下教学目标：（1)知识与技能目标:根据集合的图形表示,理解并集与交集的概念，掌握并集和交集的表示法以及求解两个集合并集与交集的方法。

（2）过程与方法目标：通过复习旧知,引入并集与交集的概念，培养学生观察、比较、分析、概括的能力，使学生的认知由具体到抽象的过程.（3）情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们用数学解决实际问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究的数学精神以及合作交流的意识。

教学目标确立的依据:（1)由高中数学大纲所确定的。

即进一步培养学生的思维能力、解决实际问题的能力，进一步培养学生的良好的个性品质和辨证唯物主义观点。

（2）由学生的基础和生理、心理特征确定的。

高中阶段的教学，应以提高学生数学素养、培养学生思维能力及创新意识为重。

3、教学重点与难点根据上述地位与作用的分析及教学目标，我确定了本节课的教学重点及难点。

重点：并集与交集的概念的理解，以及并集与交集的求解。

当前形势集合在近五年北京卷（理）考查5～18分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 集合的含义与表示√了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．集合间基本关系 √理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 在具体情境中，了解全集与空集的含义．集合基本运算 √理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．能使用Venn 图表达集合的关系及运算北京 高考 解读2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标） 第20题13分第1题5分 第20题13分第1题5分第1题5分第1题5分<教师备案> 可以调查一下班上学生上过暑期课的比例，以及学校当前的进度．对于集合，学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到．集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来．集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可能需要对参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反．这些数学思想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲．“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明，可以用这个例子作为课堂的引入，调动学生的思维兴趣：已知集合{}12n M a a a =，，，，121n a a a <<<≤，若对于任意1i j n ≤≤≤，i j a a ，jia a 中至少有1个在M 中，则称集合M 具有性质P ．判断{}1234，，，（不具有）、{}1248，，，（具有）、{}24612，，，（不具有）是否具有性质P ．(更进一步的问题见华山论剑)新课标剖析集合中的常用数学思想1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示； 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 2．元素与集合的关系：∈、∉； 3．常见的数集的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集N *N 或N + Z Q R 4．元素的性质：确定性、互异性、无序性．5．集合的表示法 ⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集． <教师备案> ⑴ 元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集． ⑵ 集合的表示法：① 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合{|24}A x x k k ==+∈Z ，，{|42}B x x k k ==+∈Z ，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：{42024}A =--，，，，，，，{22610}B =-，，，，，，就知道B 是A 的真子集；② 描述法是集合的一个重点与难点：{|()}x A p x ∈，x A ∈表达x 的外延，即x 的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x 并不一定能取到A 中的所有，只是x 一定是A 中的元素，()p x 表示x 的内涵，是对x 的精确描述．如：集合3123{()|{012}123}i S x x x x i =∈=，，，，，，，，则3(212)S ∈，，，3(234)S ∉，，． ③ Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的；④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(213)a a -，，就表示213a a -<，即1a >-．这与{|213}x a x a -<<是有区别的，这个集合可以出现213a a -≥的情况，此时这个集合是空集．知识点睛1.1 元素与集合1．由实数a ，a -，a 所组成的集合里，所含元素个数最多．．有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】C2．下列集合中恰有2个元素的集合是（ ）A. 2{0}x x -=B. 2{|0}y y y -=C. 2{|}x y x x =-D. 2{|}y y x x =-【解析】 B ．3．若{}2123A =-，，，，{}2|B x x t t A ==∈，，则集合B 中的元素共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．7个 D ．8个【解析】 A考点1：元素与集合的关系 【例1】 ⑴已知{}1021A x =-，，，且2x A ∈，求实数x 及集合A ．⑵已知a ∈Z ，集合{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，求满足条件的a 的值．⑶已知A 是数集，且满足：若x A ∈，则23A x-∈，则当x = 时，A 中仅有1个元素．若集合A 中有且仅有两个元素，集合A =_______．【解析】 ⑴ 当0x =时，{}101A =-，，；当1x =-时，{}103A =-，，． ⑵ 012，，；⑶ 1或2；{12}，．备注：所有的【备选】在学生版都不出现．．．．．．．．，只在教师版与课件上出现，供老师选讲． 【备选】设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a∈-． 证明：⑴ 若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；⑵ 集合A 不可能是单元素集；⑶ 集合A 中至少有三个不同的元素．【解析】 ⑴ 若2A ∈，则1112A =-∈-，于是()11112A =∈--， 故集合A 中还含有1-，12两个元素． ⑵ 若A 为单元素集，则11a a =-，即210a a -+=，此方程无实数解，∴11a a≠-，∴a 与11a-都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集．暑假知识回顾经典精讲⑶ 由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a-∈⇒∈⇒=∈----．现只需证明a 、11a -、1a a--三个数互不相等． ①若21101a a a a =⇒-+=-，方程无解，∴11a a ≠-； ②若2110a a a a a -=⇒-+=-，方程无解；∴1aa a -≠-； ③若211101a a a a a -=⇒-+=--，方程无解，∴111a a a -≠--， 故集合A 中至少有三个不同的元素．【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知a A ∈，1a ≠，得到11A a ∈-，1111A a∈--，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．考点2：两个集合相等<教师备案> 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．【例2】 ⑴设a b ∈R ，，集合{1}{0}a b =，，，则b a -=_____． ⑵若a ，b ∈R ，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=_____． ⑶由三个实数构成的集合，既可以表示为1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，也可表示为{}20a a b +，，，则20132013a b +=____．【解析】 ⑴ 1；⑵ 2； ⑶ 1-；点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和ba中的a 不为0的隐含信息，就能得到简便解法．考点3：集合中涉及到的数学思想<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与例6会涉及到数形结合的思想．例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明．例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面．遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式．【例3】已知集合{}2|320A x ax x =++=中至多有一个元素，则实数a的取值范围是 ．【解析】 0a =或98a ≥．解法一（按照A 的元素个数分类讨论）：解法二（按照方程的次数分类讨论）：解法三（先考虑问题的反面）：备注：所有的【拓展】在学生版都不出现．．．．．．．．，只在教师版与课件上出现，供老师选讲． 【拓展】已知{}2|0A x x x a =++≤，{}2|210B x x x a =-+-<，{}|49C x a x a =-≤≤，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 5|38a a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≥或．=∅ ≠∅ A 14a >14a ≤B58a ≥58a < C3a <3a ≥至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：A ≠∅或B ≠∅或C ≠∅也就是14a ≤，58a <和3a ≥取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”． “全都是空集”⇒取A =∅，B =∅，C =∅的公共部分也就是交集，再取个补集就行． 当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房．1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇； 规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ． 4．交集：{}|A B x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|AB x x A x B =∈∈或；6．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且． 知识点睛1.2集合之间的关系与运算7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=．<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾1与例4是集合的关系，知识回顾2是集合的运算．1．⑴ 下列各个关系式中，正确的是（ ）A ．{}0∅=B ．2∈QC ．{}{}3553≠，，D ．{}{}21|x x x ⊆= ⑵ 若集合{}1M x x =>-，则下列关系成立的是（ ）A ．0M ⊆B ．{}0M ⊆C ．M ∅∈D ．{}0M ∈⑶ 已知两个集合1M x y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，1N y y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，这两个集合的关系是（ ）A ．M N =B ．M N ∈C ．M ND ．M N ⑷ 设{}2S x x n n ==∈Z ，，{}42P x x n n ==+∈Z ，，则下列关系正确的是（ ） A ．S P ⊆ B ．S P = C ．S P D ．S P【解析】 ⑴ D⑵ B ⑶ A ⑷ C2．⑴ 设集合{}|32M m m =∈-<<Z ，{}|13N n n =∈-Z ≤≤，则MN =___________．⑵ 设集合{}|||2M x x x =<∈Z ，，{210}N =--，，，则MN =_________．⑶ 已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ⑴ {}101-，， ⑵ {}2101--，，， ⑶ B考点4：集合的关系 【例4】 ⑴设集合{}|61M x x k k ==+∈Z ，，{}|64N x x k k ==+∈Z ，，{|32}P x x k k ==-∈Z ，，则下列说法正确的有________．①M N P = ②()M N P ③M N =∅ ④P M N =⑵设集合1|24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则（ ）A ．M N =B ．M NC ．M ND ．M N =∅暑假知识回顾经典精讲⑶已知集合1|6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M 、N 、P 满足的关系是（ ）A ．M N P =B ．M N P =C ．M N PD ．NP M =【解析】 ⑴ ③④；⑵ B ； ⑶ B ；考点5：集合的关系与运算<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从⑵－⑷是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决．对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法．【例5】 ⑴已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a ∈R ，如果A B B =，则实数a 的取值范围是_______．⑵已知集合{}|25A x x =-<<，{}|121B x a x a =+-≤≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是 ．⑶已知集合{}|40A x x x =><或，{}|10B x ax =->，若A B A =，则实数a 的取值范围是 ．⑷设集合{}1A x x a x =-<∈R ，，{}15B x x x =<<∈R ，，若A B =∅，则实数a 的取值范围是___________．【解析】 ⑴ {|1a a -≤或1}a =；⑵ {|3}a a <；⑶ 1|4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤；⑷ {|0a a ≤或6}a ≥；【拓展】设集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|2151B x a x a =-+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是__________；若AB ，则实数a 的取值范围是___________．【解析】 ①{|1a a <-或01}a ≤≤；② {|01}a a ≤≤；<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解A B ⊆，需要从元素角度出发：即对任意的x A ∈，有x B ∈；这在证明抽象的集合的关系时很有用，见下面的德摩根律的证明．集合的运算满足德摩根律：①()U A B =()()U U A B ；②()U A B =()()U U A B ． 对于德摩根律，可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明，如下： 证明：① 对任意的()U x A B ∈，则x A B ∉，从而x A ∉且x B ∉；因为x A ∉，所以U x A ∈；因为x B ∉，所以U x B ∈，从而()()U Ux A B ∈；从而有()()()UU U AB A B ⊆；对任意的()()U UA B x ∈，则Ux A ∈且U x B ∈，从而x A ∉，且x B ∉．故()x A B ∉，即()Ux AB ∈，故()()()U UUA B A B ⊆．综上有()UA B =()()UUA B ；②对任意的()Ux A B ∈，则x AB ∉，从而x A ∉或x B ∉；若x A ∉，则U x A ∈，从而()()U Ux A B ∈；若x B ∉，则U x B ∈，从而()()UUx A B ∈；从而有()()()UU U AB A B ⊆；对任意的()()U UA B x ∈，则U x A ∈或U x B ∈，即x A ∉或x B ∉，从而()x AB ∉，故()U x A B ∈，故()()()U U U A B A B ⊆． 综上有，()U A B =()()UUA B ．德摩根律的严格证明并不容易，学生需要时间慢慢适应高中的严格的推理有．德摩根律的正确性借助于韦恩图是很容易得到的，韦恩图在表示集合的关系与运算时非常直观．见例6．考点6：韦恩图 【例6】 ⑴设A 、B 、I 均为非空集合，且A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是( ) A ．()I A B I = B ．()()I I A B I = C ．()I A B =∅ D ．()()I I I A B B = ⑵若全集{}123456789U =，，，，，，，，，A 、B 为U 的子集，且(){}19UA B =，，{}2AB =，()(){}468UUA B =，，，求A 、B 和UB ．【解析】 ⑴ B ； ⑵ {}2357A =，，，，{}129B =，，，{}345678UB =，，，，，．AA∩C U B B A∩B B∩C U AC U (A ⋃B )UU4,6,81,92B3,5,7A考点7：子集个数问题(尖子班选讲)若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．<教师备案> 这个结论可以归纳得到：当A 中有两个元素时，记为212{}A a a =，，2A 的子集有4个；当A 中有三个元素时，记为3A ，323{}A A a =，2A 的四个子集仍然为3A 的子集，且这些子集中加入元素3a 后会得到四个新的互不相同的子集，且3A 的每个子集都可以归在这两类中，从而3A 的子集个数是2A 的两倍，从而3A 有8个子集，可以归纳得到n A (含有n 个元素的集合)有2n 个子集．如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到n A 的子集，只需考虑n A 的每个元素在或不在这个子集中，对n 个元素，可以通过n 步得到，每步有两种不同的方法，故共对应2n 个子集．【例7】 ⑴已知A B ⊆，A C ⊆，{01234}B =，，，，，{0248}C =，，，，则满足上述条件的集合 A 的个数是（ ）A ．8B ．32C ．16D ．4⑵已知{12310}A =，，，，，{12345}B =，，，，，若C 是A 的子集，且B C ≠∅，则子集C 共有_____个．⑶若集合A 满足：对任意x A ∈，都有1A x∈，就称A 是“和谐”集合．则在集合111012345632M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，，，，，， 的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个．【解析】 ⑴ A⑵ 992； ⑶ 15（2009年北京）已知数集{}12n A a a a =，，，()1212n a a a n <<<≤，≥具有性质:P 对任意的i j ，()1i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．⑴ 分别判断数集{}134，，与{}1236，，，是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++． 【解析】 ⑴ 由于34⨯与43均不属于数集{}134，，，所以该数集不具有性质P ． 由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，62，63，11，22，33，66都属于数集{}1236，，，， 所以该数集具有性质P ．⑵ 因为{}12n A a a a =，，，具有性质P ，所以n n a a 与n naa 中至少有一个属于A ．由于121n a a a <<<≤，所以n n n a a a >，故n n a a A ∉．从而1n naA a =∈，故11a =．因为121n a a a =<<<，所以k n n a a a >，故()23k n a a A k n ∉=，，，． 由A 具有性质P 可知()123nka A k n a ∈=，，，，． 又因为121n n n n n n a a a aa a a a -<<<<，所以121121n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a --====，，，，．从而121121n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a --++++=++++，故1211112nn na a a a a a a ---+++=+++．【演练1】设集合{}113A =-，，，{}224B a a =++，，{}3AB =，则实数a =_____．【解析】1．【演练2】⑴ 已知{}234567U =，，，，，，{}3457M =，，，，{}2456N =，，，，则（ ） A ．{}46，MN = B ．MN U =C ．()U N M U =D ．()U M N N =⑵ 已知集合{}|1M y y x ==+，(){}|23N x y y x ==+，，则集合MN 中的子集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4⑶ 集合{}101A =-，，，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【解析】 ⑴ B ；⑵ B ； ⑶ B ．【演练3】已知集合{|25}A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+-≤≤，若A B A =，求实数m 的取值范围．【解析】 3m ≤．【演练4】已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R ．⑴ 1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；⑵ 若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ； ⑶ 若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围．【解析】 ⑴ 1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．⑵ {01}B =，．⑶ {}|10a a a =≥或．【演练5】设A B ，是两个非空集合，定义A 与B 的差集{|A B x x A -=∈且}x B ∉，⑴已知集合{1234}A =，，，，{2345}B =，，，，求它们的差集A B -与B A -；⑵已知{|4}A x x =>，{|6}B x x =<，求()A A B --及()B B A --，并猜测它们之间的关系；⑶若差集A B -与B A -是同一集合，证明A B =．【解析】 ⑴ {1}A B -=，{5}B A -=；⑵ (){|46}A A B x x --=<<，(){|46}B B A x x --=<<，实战演练由此猜测()()A A B B B A --=--．⑶ 对任意的x A ∈，若x B ∉，则x A B ∈-，但x B A ∉-，与已知条件矛盾，故对任意的x A ∈，有x B ∈，从而A B ⊆；同理有，B A ⊆，故A B =．已知集合{}1234A a a a a =，，，，{}22221234B a a a a =，，，，i a ∈N （1234i =，，，），其中1234a a a a <<<，且{}14A B a a =，，1410a a +=，A B 的所有元素之和为124， 求⑴14a a ，；⑵A ．【解析】 ∵20i a ≥()1234i =，，，，{}14A B a a =，，∴211a a =，则10a =或11a =．若10a =，则410a =，又集合B 中必存在某个数的平方为10，即A 中存在10，这与(12345)i a i ∈=N ，，，，矛盾，因此有11a =，∴49a =．由49a =知3A ∈，于是利用A B 的元素之和为124，分23a =或33a =进行讨论，①若23a =，则有23313981124a a +++++=，解得35a =或36a =-（舍），②若33a =，则有22213981124a a +++++=，解得25a =或26a =-（舍），∵23a a <，∴2335a a ==，，综上所述，{}1359A =，，，．大千世界。