2020-2021年高二数学第七章 第四节线性规划的实际应用 新课标 人教版

一、选择题1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y解析：设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车． 则运输货物的吨数为z ＝6x ＋4y ， 即目标函数z ＝6x ＋4y . 答案：A2．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N*求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．答案：B3．设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心．若集合S ＝{P |P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i ＝1,2,3}，则集合S 表示的平面区域是( )A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域解析：由|PP 0|≤|PP i |，知P 落在线段P 0P i 的中垂线上及靠近P 0的一侧．又P 在△P 1P 2P 3内部．故表示的平面区域为六边形区域．答案：D4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y＝0至经过点(4,2)时，z 取得最小值2 200.答案：B 二、填空题5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：906．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为____________(百万元)．解析：设购买铁矿石A 、B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y由⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值，且最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：157．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m 3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．解析：设甲种产品装x 件，乙种产品装y 件(x ，y ∈N)，总利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，y ≥0且z ＝10x ＋20y .作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l 0：10x ＋20y ＝0，即x ＋2y ＝0.当l 0向右上方平移时z 的值变大，平移到经过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点(4,1)时，z max ＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．答案：60万元8．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：由点到直线的距离公式得|4m －3×3＋1|42＋(－3)2＝4，即|m －2|5＝1，∴m ＝7或m ＝－3，又∵2m ＋3<3即m <0，∴m ＝－3. 答案：－3 三、解答题9．某工厂用两种不同的原料均可生产同一种产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90 kg ；若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可得产品100 kg.如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么工厂每月最多可生产多少产品？解：将已知数据列成下表：每吨甲原料 每吨乙原料 费用限制 成本(元) 1 000 1 500 6 000 运费(元) 500 400 2 000 产品(kg)90100设此工厂每月甲、乙两种原料各用x (t)、y (t)，生产z (kg)产品，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1 000x ＋1 500y ≤6 000，5 00x ＋400y ≤2 000.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤12，5x ＋4y ≤20.z ＝90x ＋100y .作出以上不等式组表示的平面区域，即可行域． 作直线l ：90x ＋100y ＝0，即9x ＋10y ＝0.把l 向右上方移动到位置l 1时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝90x ＋100y 取得最大值．∴z max ＝90×127＋100×207＝440 因此工厂最多每天生产440 kg 产品．10．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25，z D＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。

高二数学线性规划应用研究 曲线与方程 知识精讲 人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 1. 线性规划应用研究 2. 曲线与方程［知识点］1. 线性规划问题的数学模型线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题，一般地，线性规划问题的数学模型是：已知（这里也可以为或号）a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m m m n n nm m n11112211211222221122+++≤+++≤+++≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪≤≥=..............."""""" 其中a ij （i ＝1，2，…，n ，j ＝1，2，…，m ），b j （j ＝1，2，…，n ）都是常数，x j （j ＝1，2，…，m ）是非负变量，求z ＝c 1x 1＋c 2x 2＋…＋c m x m 的最大值或最小值，这里c j （j ＝1，2，…，m ）是常量。

前面讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解。

2. 线性规划在实际中的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

常见的问题有： （1）物资调运问题。

例如，已知A 1、A 2两煤矿每年的产量，煤需经B 1、B 2两个车站运往外地，B 1、B 2两个车站的运输能力是有限的，且已知A 1、A 2两煤矿运往B 1、B 2两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小？ （2）产品安排问题。

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位的甲种或乙种产品所能获得的利润都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？（3）下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？ 3. 曲线的方程和方程的曲线的定义 对于曲线C 和方程f （x ，y ）＝0，若（1）C 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则称曲线C 是方程f （x ，y ）＝0的曲线，方程f （x ，y ）＝0是曲线C 的方程。

高二数学第七章 第五节线性规划的实际应用教学目的：1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题王新敞2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点王新敞教学重点：求得最优解 王新敞教学难点：求最优解是整数解王新敞授课类型：新授课王新敞课时安排：1课时王新敞教 具：多媒体、实物投影仪王新敞教材分析：线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小王新敞教学过程：一、复习引入：1．二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）王新敞2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解王新敞3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）; （2）设t =0，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解),(),,(1100y x B y x A ; （4）最后求得目标函数的最大值及最小值王新敞4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解王新敞二、讲解新课：判断可行区域的方法： 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）王新敞王新敞三、讲解范例例1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?解：设甲煤矿向东车站运l 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z =x +1.5(200－x )+0.8y +1.6(300－y )(万元) 王新敞即z =780－0.5x －0.8y .x 、y 应满足：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤-+-≤+≥-≥-≥≥360)300(2002800300020000y x y x y x y x 作出上面的不等式组所表示的平面区域王新敞设直线x+y =280与y 轴的交点为M ，则M (0，280) 王新敞把直线l ：0.5x +0.8y =0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小王新敞∵点M 的坐标为(0，280)，∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少 王新敞例2 设实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧-≥+≤+≤.322,41x y y x （1）求点(x ,y )所在的平面区域；（2）设1->a ，在（1）所求的区域内，求函数ax y y x f -=),(的最值王新敞导析：必须使学生明确，求点),(y x 所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手王新敞解：（1）已知的不等式组等价于)2(.032,232,41)1(.032,322,41⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+≤+≤⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+≤+≤x x y y x x x y y x 或 解得点),(y x 所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）王新敞其中，4:;52:=+-=y x BC x y AB1:;12:=++-=y x DA x y CD（2）ax y y x f -=),(表示直线k ax y l =-:在y轴上的截距，且直线l 与（1）中所求区域有公共点王新敞∵1->a ,∴当直线l 过顶点C 时，ax y y x f -=),(最大王新敞∵C 点的坐标为（-3，7），∴ax y y x f -=),(的最大值为a 37+王新敞如果-1＜a ≤2，那么当直线l 过顶点A （2，-1）时，ax y y x f -=),(最小，最小值为-1-2a .如果a ＞2，那么当直线l 过顶点B （3，1）时，ax y y x f -=),(最小，最小值为1-3a 王新敞说明：由于直线l 的斜率为参数a ，所以在求截距k 的最值时，要注意对参数a 进行讨论，方法是直线l 动起来王新敞例3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y 吨，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x z =600x +900y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域王新敞作直线l ：600x +900y =0，即直线l ：2x +3y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +900y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ,得M 的坐标为x =3350≈117，y =3200≈67王新敞答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大王新敞例4 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少王新敞解：设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+001841631322y x y x y x y x 作出可行域(如图)： 目标函数为z =x+y ,作出一组平行直线x+y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y =18和直线x +3y =16的交点A (1146,1138)，直线方程为x+y =1184.由于1138和1146都不是整数，所以可行域内的点(1146,1138)不是最优解王新敞经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y =8,经过的整点是B (4，4)，它是最优解王新敞答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根王新敞四、课堂练习：图中阴影部分的点满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00625y x y x y x 王新敞在这些点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是_____王新敞参考答案：(0，5) 王新敞五、小结王新敞求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解王新敞六、课后作业：1.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石8t 、B 种矿石8t 、煤5t;生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石8t 、煤10t.每1t 甲种产品的利润是500元，每1t 乙种产品的利润是400元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过320t 、B 种矿石不超过400t 、煤不超过450t.甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?2.某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A 、C 、D 、E和最新发现的Z .甲种胶囊每粒含有维生素A 、C 、D 、E 、Z 分别是1mg 、1mg 、4mg 、4mg 、5mg ；乙种胶囊每粒含有维生素A 、C 、D 、E 、Z 分别是3mg 、2mg 、1mg 、3mg 、2mg.如果此人每天摄入维生素A 至多19mg ，维生素C 至多13mg ，维生素D 至多24mg ，维生素E 至少12mg ，那么他每天应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素Z 王新敞3.张明同学到某汽车运输队调查，得知此运输队有8辆载重量为6t 的A 型卡车与6辆载重量为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员.此车队承包了每天至少搬运720t 沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车16次，B 型卡车12次.每辆卡车每天往返的成本费为A 型车240元，B 型车378元.根据张明同学的调查写出实习报告，并回答每天派出A 型车与B 型车各多少辆运输队所花的成本最低?4.某厂生产A 与B 两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A 产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B 产品需要电力3鱭、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100鱭，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?5.某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢.第一种炼法每炉用a 小时(包括清炉时间)；第二种炼法每炉用b 小时(包括清炉时间).假定这两种炼法，每炉出钢都是k 公斤，而炼1公斤钢的平均燃料费第一法为m 元，第二法为n 元.若要在c 小时内炼钢的公斤数不少于d ，问应怎样分配两种炼法的任务，才使燃料费用最少?(kac +kbc －dab ＞0，m ≠n ) 王新敞参考答案：1.甲产品30t 、乙产品20t 王新敞2.5粒甲种胶囊，4粒乙种胶囊王新敞3.A 型车5辆，B 型车2辆王新敞4.A 产品20公斤、B 产品20公斤王新敞5.当m ＞n 时，第一种炼法应炼b kc bd -公斤，第二种炼法应炼b kc 公斤；当m ＜n 时，第一种炼法应炼akc公斤，第二种炼法应炼akcad -公斤王新敞七、板书设计（略）王新敞八、课后记：王新敞王新敞。

高二数学线性规划知识精讲 人教版一. 本周教学内容线性规划二. 重点、难点1. 二元一次不等式0>++c by ax 表示平面区域2. 准确理解：约束条件，线性约束条件，目标函数，线性目标函数，可行解，可行域，最优解[例1] 直线l ：0=++C By Ax )0(22≠+B A 两点),(111y x P ，),(222y x P 不在l 上，21P P 交l 于P ，求P 分21P P 之比λ的值。

解：P 分21P P 之比为λ ∴ )1,1(2121λλλλ++++y y x x PP 在l 上 ∴ 0112121=++++++C y y B x x A λλλλ 得：CBy Ax CBy Ax ++++-=2211λ1P 、2P 在l 两侧 0>λ，)(11C By Ax ++，)(22C By Ax ++符号不同。

1P 、2P 在l 同侧 0<λ，)(11C By Ax ++，)(22C By Ax ++符号相同。

[例2] 实数x 、y 满足条件⎪⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-≥--01202023y x y x y x ，求下列各式的最值。

min 2max =z （E 处）③ 作直线421z x y -=同理]27,21[4+∈-z ∴ 14min -=z （C 处） 2max -=z （线段AE ）④ 作直线z x y +-= ]10,2[∈z 2min =z （A 处） 10max =z （D 处）⑤ 作直线332z x y += ]3,31[3∈z 1min =z （A 处） 9max =z （C 处）⑥ z x y --=2 ]15,3[∈-z ∴ 15min -=z （D 处） 3max -=z （A 处）[例3] 满足下列条件的整点的个数有多少个⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥≥≤+060014y x y x y x0=y 140≤≤x1=y 131≤≤x ，2=y ，121≤≤x ……共99个 12=y 2=x[例4] 某工厂生产A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板作外壳，现有两种规格的薄钢板，甲：200元/张可作3个A ，5个B 。