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空间曲线及其在坐标面上的投影(课堂PPT)

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微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影

微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影

方程组
所表示的曲线方程称为
空间曲线的一般方程. 特殊地，空间直线方程
三、空间曲线及其在坐标面上的投影
例1
方程组
x2
+
y2
+ z2
=
25,
表示什么曲线?
z= 3;
解 因为 x2 + y2 + z2 = 25是球心在原点, 半径为
5 的球面.
z
z = 3 是平行于 x y
坐标面的平面，
z=3
因而它们的交线是
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面
（2）椭圆柱面
（3）双曲柱面
（4）抛物柱面
统 称 为 二 次 柱 面 圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、 旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为 旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
定直线 L 称为旋转曲面的 旋转轴.
z
1.圆锥面方程
2. 旋转抛物面
O
y
x
第三节 空间曲线及其在 坐标面上的投影
第四节 二次曲面
第三节 空间曲线及其在坐标 面上的投影
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的概念
1、空间曲线 把空间曲线C看作是两曲面的交线.
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
二、空间曲线在坐标面上的投影

高等数学-空间曲线及其在坐标面上的投影PPT课件

高等数学-空间曲线及其在坐标面上的投影PPT课件

交线方程为
2 y2 x2
2
x2
z
z
消去z 得投影柱面 x2 y2 1
在xoy面上的投影为
x2 y2 1 z 0
例 求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
得交线L：
1
x2 y2 1 z 1
o
x
.
y
例 求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
.
x
y
z =0
2
一、填空题：
xoz平面上的投影方程是_______________；
4、方程组
y y
5 2
x x
1 3
在平面解析几何中表示______；
x2 5、方程组 4
y2 9
1在平面解析几何中表示_______
y 3
______，在空间解析几何中表示_______________；
6 、旋转抛物面z x2 y2 (0 z 4 ) 在xoy 面的投影为__________， 在 yoz 面的投影为____________， 在 zox 面上的投影为__________.
例 求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影。

8_4空间曲线

8_4空间曲线
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
第八章
三、空间曲线在坐标面上的投影
机动
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结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为
S2
S1
G ( x, y , z ) 0
L F ( x, y , z ) 0
z
例如,方程组 C
2
表示圆柱面与平面的交线 C.
机动
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结束
C:
消去 z 得柱面 H(x,y) = 0, 此柱面包含C; 柱面 H(x, y)=0与 xoy 面的交线
z
C
y
H ( x, y ) 0 z0
包含 C 在 xoy 面上的投影曲线C’.
x
C
机动
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结束
例如, 和锥面 上半球面 二者交线在xoy 面上的投影曲线. 二者交线
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
机动
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结束
o
x
机动 目录 上页
1 y
下页 返回 结束
又如, 方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
机动
目录
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返回
结束
二、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
z
C
y
x
C
以C 为准线，母线平行于 z轴的柱面 叫做 C 关于 xoy 面的投影柱面; 投影柱面与 xoy 面的交线 C’ 叫做C 在 xoy 面上的投影曲线.

空间曲线在坐标面上的投影

空间曲线在坐标面上的投影

z
0
x
0
y
0
空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, y,
z) z)
0 0
消去变量z后得： H( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线 H(x, y) 0 z 0
z
1 2
,
y 0
| x | 3 ; 2
板书
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
板书
例 2 求抛物面 y2 z2 x与平面 x 2 y z 0的截线在三个坐
标面上的投影曲线方程.
解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
yoz 面上的投影曲线
R( y, z) 0
x
0
zox 面上的投影曲线
T ( x, z) 0
y
0
x2 y2 z2 1
例1
求曲线
1
在坐标面上的投影.
z 2
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3,
4
在 xoy面上的投影为
x2
y2
3 4,
z 0
（2）因为曲线在平面 z 1 上，所以在 xoz 面上的投影为线段. 2
如图,
板书
（1）消去z 得投影
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y 得投影

第5章曲线和曲面的投影 PPT资料共22页

第5章曲线和曲面的投影 PPT资料共22页

5.2.4 锥状面
c'
c"
a' (d') d
b' d"
b"
a"
c
(b)
导平面
D
C 直导线
B 母线
a
P
A
直母线AB一端沿着直导线运动，另一端 沿着曲导线运动，并且始终平行于导平面P， 这样形成的曲面称为锥状面。
5.2.5 双曲抛物面
C
c'
b'
导线
B
母线 D
d
A
b
c
H
a
导线
d' X
d
c
a' O
b
a
一条直母线沿着两条交叉直线移动， 并始终与一导平面平行所形成的曲面称为 双曲抛物面。
5 曲线和曲面的投影
5.1 曲线 5.2 曲面
5.1 曲线
5.1.1 曲线的形成和分类 5.1.2 圆 5.1.3 圆柱螺旋线
5.1.1 曲线的形成和分类
曲线是一系列点的集合，也可以看 作是不断改变方向的点连续运动的轨迹。
曲线
规则曲线 不规则曲线
曲线
平面曲线——圆、椭圆、双曲线、抛物线 空间曲线——圆柱螺旋线
XII
VI
V
IV
III
IIIAS12'11' 10' 9'
8' 7'
5' 6'
2' 1'
4' 3'
a'
10 11
9 8
7
12
a
6
1 2 3

空间曲线在坐标面上的投影

空间曲线在坐标面上的投影
所围成，求它在xoy面上的投影・
解 半球面和锥面的交线为
」 J Z = 4 _ x 2 _ y 2 ,
C: < ___________
3 =」3( x x + y 2),
消去Z得投影柱面Xx + y2= 1,
则交线C在xoy面上的投影为 J X2 + y2 = 1, [z = 0. 所求立体在xoy面上的投影为
如图,
板书
(1)消戋得投影］
x x + 5 y1 + 4 xy 一 x =0
z=0
V
②消有得麒｛Xyz'一 一- 4x = 0
(3)消去x得投影
J y 2 + z 2 + 2 y - z = 0 [x =0
板书
二、空间立体或曲面在坐标面上的投影
例3设_个立体,由上半球面七=^14- x2 - y2和锥面七=^13(x2 + y2)
板书 x 2 + y 2 -1.
三、小结
空间曲线在坐标面上的投影.
| H (x, y) = 0 (R( y, z) = 0 (T (x, z) = 0
[z = 0 [ x = 0 [ y = 0
X 2 + y 2 = 4,
在xoy面上的投影为
z=0
、
1
(2 )因为曲线在平面Z =:上，所以在XO面上的投影为线段. 2
z =1 V4
| 2, Ix柘项；
板书
例2求抛物面y2 + z2 = X与平面X + 2y - z = 0的截线在三个坐
标面上的投影曲线方程.
解截线方程为
\ y2+Z2=X 、X + 2 y 一 z =0

高数空间曲线及其方程ppt课件

高数空间曲线及其方程ppt课件

解
由
z z

2 x2
x2 y2

y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .

.
z 0
.
o
.
x
y
z =0
2
9
例如,
C
:

x
2

x2 (y
y2 1) 2
空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线投影柱面的交消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线4x消去z空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线3x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习所围立体图作出曲面所围立体图作出曲面学画草图学画草图所围立体图作出曲面备用题求曲线轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
1
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.

曲线和曲面投影ppt课件

曲线和曲面投影ppt课件
5.2.1 曲面的形成和分类
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合
如图所示曲面， 是 由AA１沿着曲线 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 MN所形成的
曲面分类： 1.根据母线的形状可以分为：直纹曲面与非直纹曲面（ 双向曲面） 2.根据母线的运动方式可以分为：旋（回）转曲面与非 旋（回）转曲面
4）曲线切线的投影仍为其投影的切线
5.1.3 圆柱螺旋线
螺旋线的形成 一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面
2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。 作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线 如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。 一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面 如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。 作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线 按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。 曲线的形成一般有下列三种方式： 一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面 作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线 3）代数曲线的投影，其次数不变。 一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面 直母线l 沿着两条曲导线运动，且始终平行于某一导平面，这样形成的曲面称为柱状面。 作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线 曲导线可以是平面曲线或是空间曲线，可以闭合也可以不闭合。 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。 单叶双曲回转面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面 1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面垂直于投影面时，曲线投影为直线 按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回转面； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。

第四部分空间曲线及其方程教学课件

第四部分空间曲线及其方程教学课件

z z (t )
为空间曲线的参数方程.
例3 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω 绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上 升<其中ω、ν都是常数>,那么点M构成的图形叫做螺 旋线.试建立其参数方程. 解 ： 取时间t为参数.设当t=0时,动点位于x轴上的一
点A(a,0,0)处.经过时间t，动点由A运动到
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可以看作两个曲面的交线,设两个曲面 的方程为:
S1:F<x,y,z>=0 和 S2:G<x,y,z>=0
则：G Fxx,,yy,,zz00 为空间曲线C的一般方程.
例1
的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为：
x22y22y0
则
x2 2y2 2y 0
z0
即为交线C在xOy面上的投影方.程
例5 设一个立体由上半球面 z 4x2y2和锥面 z 3(x2y2)所围成， xO 面 求 y 上 它的 .在投影
解: 半球面和锥面的交线为:
C
:
z
z
4 x2 y2, 3(x2 y 2 ),
方程组
x2 y2 1
表示怎样的曲线?
2x 3z 6
解: x2 y2 1表示母线平行z轴于的圆柱面
2x3z 1表示一个平, 面
x2 y2 1 表示了平面与圆柱交面线的 . 2x3z 6
二、空间曲线的参数方程
若将曲线C上动点的坐标x、y、z 表示为参数t的 函数,则
x x(t)
y
y (t )
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曲线C的柱面，称此柱面为曲线C 关于 xO y 面的投影柱面。这个 柱面与 xO y 面的交线称为曲线C 在 xO y 面上的投影曲线，简
称投影。
.
2
3.投影曲线方程
在方程组
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0中消去变量
0
Z，得方程
F(x, y)0
。
上述方程缺变量Z，所以它是一个母线平行于 Z轴的柱面。又
z0
.
5
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
.
投影曲线
6
x2 y2 z2 1
例3
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x 2
y2
3 4,
z 0
.
7
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
所以在 xo面z 上的投影为线段.
x2 y2
在 xO y 面上的投影方程， 并问它
x2 y2 z2 1
在 xO y 面上是怎样一条曲线？
解
消去z变量得
x2
y2
1 2
，这是曲线C
关于 xO y坐标面的投影柱面方程，所以曲线C
在 xO y
坐标面上的投影方程为
x
2
y2
1 2
,
z 0
它是 xO y 坐标面上的一个圆（见图8-29）。
.
4
例2 求空间曲线C 方程。
z z
x2 y2
在
2(x2 y2 )
xO
y 坐标面上的投影曲线
解 由所给方程组消去 Z 即得曲线 C 关于 xO y 坐标面的投影
柱面方程为 x2 y2 1，此柱面与xO y 坐标面的交线：
x 2 y 2 1 即为曲线C在坐标面的投影曲线（见图8-30）。
同理，若分别从方程组
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
中消去变量x或y，分别得
.
3
方程G(y,z)0 或 H(x,z)0，则曲线C 在 yO z 面与 zO x 面的
投影方程分别为
G ( y , z ) 0 x 0
与
H (x , z ) 0 y 0
。
例1
求曲线
C:
z
.
1
因此，联立方程组
FF12
(x (x)
0 0
程，它称为空间曲线的一般式方程。 2.投影柱面及投影曲线
即为空间曲线C 的方
设空间曲线C
的方程为
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,过曲线C
上的每一点作
xO y 坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于z轴且过
空间曲线及其在坐标面上的投影
1.空间曲线的一般式方程
前面我们曾经把空间直线看作是两平面的交
线，类似地，也可以把空间曲线看作是两张曲面
的交线。
设曲面
的方程是
1
F1(x,y,z)0，曲面
2
的方
程是 F2(x,y,z)0，则其交线 C 上的点必定同
时满足 1 ， 2 的方程。不在 C 上的点一定不能
同时满足这两个方程。
z
1 2,
y 0
| x| 3; 2
（3）同理在 yoz面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y| 3. 2
.
8
空间图形的界定（略）
.
9
因为C上的点的坐标满足方程组
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,当然也满足方
程 F(x,y)0，所以C上的点都在此柱面上。方程 F(x,y)0 就是曲线C 关于xO y 面的投影柱面方程。它与 xO y 面的交线
F (x , y ) 0 z 0
就是C 在 xO y 面上的投影方程。