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空间向量的坐标运算ppt课件

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空间向量及其运算的坐标表示_课件

空间向量及其运算的坐标表示_课件

数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____

空间向量运算的坐标表示ppt课件

空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=

a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若

空间向量及其运算(共22张PPT)

空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS

空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1

空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)

1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)

1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)

[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.

空间向量运算的坐标表示归纳.ppt

空间向量运算的坐标表示归纳.ppt

O
y
x
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.向量加减法和数乘的坐标表示 (1)加减法和数乘的坐标表示
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝_(_x_1＋__x_2_，__y_1_＋__y2_，__z_1_＋__z2_)__，a－b＝
___(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2，__z_1_－__z_2)____；
C．(0，1，5)
D．(－2，－1，5)
解析：选 B.
A→B＝(－1，0，4)－(1，1，1)＝(－2，－1，3)．
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何源自(2)空间向量平行的坐标表示
若 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①若 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，
y1＝λ y2， z1＝λ z2(λ∈ R)．
所以A→B ＝O→B－O→A＝ (x2，y2，z2)－ (x1，y1，z1) ＝ (x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1 )． 即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标 的___差___．
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何
2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示
(1)数量积的坐标表示
设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝ (x2 ， y2 ， z2) x1x，2＋y1则y2＋za1·z2b ＝
②若
x2，y2，z2 都不为
0，则
a∥ b⇔x1＝y1＝z1. x2 y2 z2
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何

空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。

空间向量的正交分解及其坐标表示、运算PPT优秀课件

空间向量的正交分解及其坐标表示、运算PPT优秀课件
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z1 )
|A B |A BA B(x 2x 1)2 (y2y 1)2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
五、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
a b(a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a, b,c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
四、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b(a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1

D1F1

A1B1 4
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(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的
向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关 义于 建 x,y立 ,z的
方程组 n•a0 n•b0
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
精品课件
10
例 2 ： 已 知 A B ( 2 ,2 ,1 ) ,A C ( 4 ,5 ,3 ) ,求 平 面 A B C 的 单 位 法 向 量 。
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)
∴ A B ( 1 , 2 , 4 ) ,A C ( 2 , 4 , 3 )
设平面 的法向量是 n(x,y,z)
依题意,有 n A B 0 且 n A C 0,即
x 2y 4z 0 2x 4y 3z 0
解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2
方程组 n•a0 n•b0
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
精品课件
8
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
则O（0，0，0）；A（2，0，0）； B（1，1，0）；
S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）； O
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
A
(1).cosSA,OBSAOB 2 10 SAOB 5 2 5
x
y
C
B
所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 10
解 ： 设 平 面 的 法 向 量 为 n （ x ， y ， z ） ，
则 n A B ， n A C （ x ， y ， z ） (2 ,2 ,1 ) 0 ， （ x ， y ， z ） (4 ,5 ,3 ) 0 ,
即24xx52yy3zz00,
取z
1，得
x
y
1 2 1
n (1,1,1), | n | 3
量m 是与平面平行或在平面
内，精则品课有件 nm0
5
垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
精品课件
6
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
精品课件
9
问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
B1
A1B (1 ,0,1 )A , C (1 ,1 ,0)
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
C1 A
则 nA1B 0,nAC 0
X1+z1=0 所以 X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1x
B C
故n=(1,-1,-1)
cosn,B1C1
nB1C1 0 1 0 n B1C1 1 3
直 线 l与 平 面 所 成 的 角 为 (0≤ ≤),sinau；
2
au
精品课件
13
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
D1
B1C1 (0,1,0),
2
2
求 平 面 A B C 的 单 位 法 向 量 为 (1 ， -2 ， 2 ）
333
精品课件
11
精品课件
12
六、夹角：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n ⊥ ，如果 n ⊥ ，那 么 向 量 n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n ,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都互
相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
∴平面 的一个法向量是 n(2,1,0)
精品课件
7
问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的
向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关 义于 建 x,y立 ,z的
B(3cosα，3sinα，1)，则| |的取值范围是 ( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]
解析：∵ ＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴| |∈[1,5]. 答案：B
精品课件
4
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
精品课件
1
1．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
精品课件
2
2．空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
AB＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1)
，
|AB|＝
精品课件
3
3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
3 3
故所求直线B1C1与平面AB1C所成精品的课角件 的正弦值为 3 3
D y
14
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z