函数的单调性(定义法)

函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。

函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：1.1 定义法1x 、x 2)时，称f )2 )(x 在给（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。

例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。

证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x则f )上是例(=又0当x 当x 综上函数xk x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。

此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。

在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。

函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。

对于一些常见的简单函数的单调性如下表：是增（减）函数；当)f)g(x(xg在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(xf、)(x在D上是减（增）函数。

⑹．设)(xy=,Dfx∈为严格增（减）函数，则f必有反函数1-f，且1-f在其定义域)(D f 上也是严格增（减）函数。

第三讲：函数单调性与应用一．知识点梳理 1. 函数单调性的定义(1) 一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)),那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数).(2) 如果函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数),那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个区间叫作f(x)的单调区间.若函数是单调增函数,则称该区间为单调增区间;若函数为单调减函数,则称该区间为单调减区间. 2. 复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x ∈(a,b)时,u ∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:同增异减（即内外函数的单调性相同则为增 ，内外函数的单调性相反则为减） 3.和函数的单调性 同增为增，同减为减，不同步不确定。

4. 积函数的单调性 （1） 同增同正，得增；（2） 同增同负，得减；（3） 同减同正，得减；（4） 同减同负，得增； （5） 一增一减，一正一负，单调性与原函数中函数值为负的函数相同； （6） 其余情况，可增可减，亦可为常数函数.5. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法:(1) 函数单调性的定义法; (2) 函数的图象法; (3) 导函数法；（4）利用已知函数的单调性法 二．考点突破 1.函数单调性的判断例1：判断下列函数在区间(0,2)上的单调性:(1) y=-x+1; (2) y=; (3) y=x 2-2x+5; (4) y=2x .例2：设函数()f x =()f x 的单调性；例3：求下列函数的增单调区间（1）2()(3),(1))x f x x e x =-⋅∈-⋃+∞； （2）22()log (1)(2)f x x x x =+++变式：1. 函数f(x)=x 2-2x 的单调增区间为 . 2.给定下列函数:①y=12x ;②12log (1)y x =+;③y=-|x-1|;④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数是 .(填序号)3.求函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .4.求函数2()23f x x x =-++的单调增区间5.若函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，2()()g x x f x =⋅，求函数()g x 的单调减区间6.已知函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的单调减函数,那么实数a 的取值范围是 。

证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。

证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。

判断函数单调性的方法函数的单调性是指函数在定义域内是否递增或递减。

判断一个函数的单调性需要观察它的导数或增减性，下面将详细介绍判断函数单调性的方法。

一、定义函数的单调性假设函数f(x)定义在区间[a, b]上，如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递增；如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递减。

二、判断函数单调性的准则1. 函数导数法函数的导数能够反映函数的增减性，因此我们可以通过观察函数的导数来判断函数的单调性。

1.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；1.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≤0，则函数在该区间上单调递减；1.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；1.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。

2. 函数零点法2.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于零，即f(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；2.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于零，即f(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减；2.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于等于零，即f(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；2.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于等于零，即f(x)≤0，则函数在该区间上单调递减。

3. 函数一阶导数与二阶导数法如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≥0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≤0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。