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人教版必修5第三章第4节5.3.4基本不等式及应用

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高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)

高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)

2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
人教A版高中数学必修5课件 3.4基本不等式的应用课件

人教A版高中数学必修5课件 3.4基本不等式的应用课件


若ab ≠0 ，则
ab
b
a
2即
a
b
2或 a
b
-2
ba
ba
ba
(当且仅当a=b时取“=”）
3.若a,b
∈
R，则
(
a
2
b
)2
a
2
2
b2
(当且仅当a=b时取“=”)
基本不等式的应用
【注意】
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最 小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的 最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范 围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
k
k
基本不等式的应用
【典型例题+变式训练】
应用四：均值定理在比较大小中的应用
例：若 a b 1, P lg a lg b,Q 1 (lg a lg b), R lg( a b),
2
2
则P,Q,R的大小关系是__________.
分析：∵a>b>1 ∴ lg a 0, lg b 0
x1
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分
子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离.
x2 7 x+10 ( x 1)2 5( x 1) 4
4
y
( x 1) 5
x+1
x+1
x+1
当x>-1 ,即x+1>0 时,
y 2 （x 1) 4 5 9 x1
（当且仅当x＝1时取“＝”号）
4
y
4
x
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件

人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件


学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
精品PPT
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
精品PPT
a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
精品PPT
探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B
人教版高中数学必修五示范课课件：3.4 基本不等式的应用

人教版高中数学必修五示范课课件：3.4 基本不等式的应用


当且仅当 x 1 时, 即x =1时取等号, 所以当 x =1
时,
x 1
x 的值最小, 最小值为2.
x
变式 x <0 , 当 x 取什么值时, x 1 的值最大?
最大值是多少?
x
变式 x <0 , 当 x 取什么值时, x 1 的值最大?
最大值是多少?
x
解: 因为 x <0 , 所以 - x > 0.

81 x2
,
x

3时,
等号成立，
x2 8x12 的最小值为18.
练习:
下列函数中，最小值为4的是 C,E
A. f (x) x 4 x
B. f (x) sin x 4 sin x
C. f (x) 3x 4 3x D. f (x) lg x 4 logx 10
积xy有最大值 (xy)max

(
x
2
y
)2

1 4
S 2.
用极值定理求最值的三个必要条件 :
一“正”、二“定”、三“相等”
相乘 定值 最小值,相加 定值 最大值.
例2:(1)已知a,b,x,y

R且 a x

b y

1,
解: 求证：x y ( a b)2.
x y (x y) 1 (x y)( a b ) a b ay bx
造价最低, 最低总造价是多少?
解:
设水池底面一边的长度
ab2
ay

xb
x
(
y
a
b)2
xy
xy
当且仅当 ay xb ,即 x xy y
人教新课标版数学高二必修5课件3.4基本不等式

人教新课标版数学高二必修5课件3.4基本不等式


探究点2 用基本不等式证明不等式
例2 已知x、y都是正数. 求证：(1) yx＋xy ≥2；证明
∵x，y都是正数， ∴xy>0，yx>0， ∴yx＋xy≥2 yx·xy＝2，即yx＋xy≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明
∵x，y都是正数， ∴x＋y≥2 xy>0， x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥2 xy·2 x2y2·2 x3y3＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立.
引申探究 若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购 买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解答
名师点评
应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学 知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求 最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调 性求解.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解答
设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园 的面积为xy m2. 由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得xy≤81， 当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
A.6
√B.4 2
C.2 6
D.8
∵a＋b＝3， ∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2 8＝4 2，
高中数学 人教A版必修五 3.4 基本不等式、实际应用 课件、教学设计

高中数学 人教A版必修五 3.4 基本不等式、实际应用 课件、教学设计


ba·ab＝4.
(4)1＋1a1＋1b＝a1b＋1a＋1b＋1≥9.
【变式与拓展】 4．函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在
直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则m1 ＋1n的最小值为____4____． 解析：图象恒过定点 A(1,1)，有 m＋n＝1， m1 ＋1n＝m＋m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥4.
≥(
－
3)×(
－
4)
及
－3＋－4 2
≥
－3－4都成立吗？说明了什么？
答案：前者成立，后者不成立，说明了a2＋2 b2≥ab 与a＋2 b ≥ ab成立的条件不同．
2．(1)当两个正数 a，b，它们的和 a＋b 为定值时，ab 有 最小值还是最大值，它是多少？
(2)当两个正数 a，b，它们的乘积 ab 为定值时，a＋b 最小 值还是最大值，它是多少？
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
D. 1 2
1．对于任意实数 a，b，都要 ab≤a＋2 b成立吗？
答案：不一定，当 a，b 都为正数时，不等式才成立． 2．对于任意实数 a，b，这两个数的算术平均数一定存在 吗？那几何平均数呢？ 答案：任意两个数 a，b 的算术平均数一定存在，算术平均 数为a＋2 b. 几何平均数不一定．
2．已知 x>3，求x－4 3＋x 的最小值．
解：∵x>3，∴x－3>0. ∴x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3≥2 x－4 3·x－3＋3＝7， 当且仅当x－4 3＝x－3，即当 x＝5 时，取等号．
题型 2 基本不等式反用 ab≤a＋2 b 例 2：(1)函数 f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的值域为____________； (2)函数 f(x)＝x(1－2x)0<x<12的值域为____________．
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)

高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)

基本不等式：
ab

a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版数学必修5第三章第四节基本不等式

人教版数学必修5第三章第四节基本不等式

D C
y
分析：
A
x
B
2 x y） min （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短： 知xy, 求（
2 x y） , 求xymax （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知（
解：设长为 x m,宽为 y m, (1)由题知， xy 100 ，而篱笆长为 2( x y) 由基本不等式知 x y
归纳总结
2 2 a b 2ab，当且仅当 a b 1、重要不等式：一般地，
时，等号成立。
2.基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有a b 2 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。 即 ab
2
例1：
（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3.4 基本不等式
温宿二中 曾艳萍
问题引入 如图，这是在北京召开的 第24届国际数学大会的会标， 会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客。
问题探索
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正 2 2 a b 方形的面积为S=————， 问2：Rt△AGB,Rt△BFC,Rt△CED,Rt△AHD 2ab 是全等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得， s > s’,即 a 2 + b2 > 2ab
2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两 直角边的和最小，最小值是多少？
x x0
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式说课稿 新人教A版必修5(2021年最新整理)

高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式说课稿 新人教A版必修5(2021年最新整理)

高中数学第三章不等式3.4 基本不等式说课稿新人教A版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.4 基本不等式说课稿新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式3.4 基本不等式说课稿新人教A版必修5的全部内容。

基本不等式一、对课标要求和教材特点的分析基本不等式又称均值不等式，是人教A版必修5的第三章第四节的内容。

基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，在高中数学有着重要的地位。

1．课标对本节课的要求：①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小)值问题。

要求中明确提出了探索过程、应用解决等词汇，体现了数学探索发现、应用实际的学科特点。

2。

对教材中本节课的内容安排特点的理解●课程教材十分注重现实问题、实际例子的转化与解决，突出并强调数学的应用性。

●教科书以问题方式代替例题，强化问题意识，促使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系.●课程教材关注学生的发展，使学生在学习过程中感受、体验、认识、理解，培养学生学习数学的兴趣.●教科书更加注重学生数学思维的培养,十分注重借助几何直观(即用图形）来分析解决问题能力的培养和提高.3.学情分析：学生在初中学习了完全平方公式、圆，初步认识了不等式。

同时，在本章前三节学习了一元二次不等式、二元一次不等式(组）与线性规划问题，这些都给学习本节课提供了坚实的基础；。

但接触的不等式较为单一,灵活度不够，学生在练习时运用困难,而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。

人教A版高中数学必修五课件高一《3.4基本不等式》.pptx

人教A版高中数学必修五课件高一《3.4基本不等式》.pptx


分析:x2+(1-2x)不是=1常为数.
配凑系数
解:∵0<x<,∴12 1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=∙212x∙(1-2x)
≤∙12[]2
2x+(1-2x) 2
=.18
当且仅当时2x,=取(1“-2=x”), 号即.x=
1 4
∴当x=时14,函数y=x(1-2x)的最大值是.
1 8
若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时， 当且仅当x=y时， x+y有最小值___2__P__.
1．求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值． 解：设 t＝ x＋2≥0，从而 x＝t2－2. ∴y＝2t2＋t 1(t≥0)． 当 t＝0 时，y＝0.
当 t>0 时，y＝2t＋1 1t ≤2
1＝ 2t·1t
42.
当且仅当 2t＝1t ，即 t＝ 22，x＝－32时，y
有最大值 ymax＝ 42.
x 则当x+y的值是常数S时
，
• 当且仅当x=y时， • xy有最大值___14_S_2__
x xy≤
y

S

1 xy≤
S2
22
4
１．已知函数，求f 函(x)数的x最 1小值和此时x的
取值．
x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这 个条件．
所以a2 b2≥2ab.
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
人教版高中数学必修5第三章不等式-《3.4基本不等式》教案

人教版高中数学必修5第三章不等式-《3.4基本不等式》教案

课题: §3.42a b + 授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】1.课题导入2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +2）2a b +≤ 用分析法证明：要证 2a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。

人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件

人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。

过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。

情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。

本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。

课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。

本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。

030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。

不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。

对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。

若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。

同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。

若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。

特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。

柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。

高中数学 3.4 基本不等式课件 新人教版必修5


(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由2xxy＝ ＝32y4， ， 解得xy＝ ＝64， .
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值； 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的
最小值．因此，使用均值定理解决．
解析:设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－ b)2________0，因此a2＋b2________2ab，当且仅 当________时，取等号． 答案： ≥ ≥ a＝b
引例： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 证明: a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
分别用 a , b 代替引例中的a,b, 即可得 ab2 ab
基本不等式的代数解释
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 不等式
3.4 基本不等式

高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(共16张PPT)


3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
代数方法：
证明:当
a0,b0时,
a
b 2
ab .
证明:要证 ab ab ① 分析法
2
只要证 ab ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 ab(2 ab ) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b ) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
相等”
三、应用 当两正数积为定值时，求其和的最小值
abab（ a0,b0） ab2a（ ba0,b0）
2
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若
x0求
y 3x12的最小值.
x
练习2:若
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab0 求
yab ba
的最小值.
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
(1)(a1)(b1)4 ab
何时相等？
A
Ea F cb
a2 b2 B
D
D
a2 b2
b
G
F
a
C
a
A 当且仅当a =b时，等号成立.
E
H （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
A
E(FGH) b
C
则AB=
则正方形的面积为S=
。
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
() 得最小值为（ ）
4 C.
x＞0, 当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？

高中数学第三章不等式3.4基本不等式课件新人教A版必修5


利用基本不等式求最值
(1)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值； (3)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值； (4)已知 x>1，y>2，且 x＋y＝15，求 z＝(x－1)(y－2)的最大值． [思路点拨] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不 等式解之．
方法二：由1x＋9y＝1，得 (x－1)(y－9)＝9(定值)． 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(3)∵0<x<13， ∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112， 当且仅当 x＝16时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值112.
(4)∵x>1，y>2， ∴x－1>0，y－2>0. 又由 x＋y＝15，得(x－1)＋(y－2)＝12 ∴z＝(x－1)(y－2)≤x－1＋2 y－22＝36. 当且仅当 x－1＝y－2 时，z 有最大值 36.
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一 是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
2．(1)函数 y＝2x＋2x(x>0)的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6

人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件


由������
������
+
������=1,得������
������
������
+
������≥2
������
������ ������
·
������ ������
=
������ ,
������������
∴xy≥36.∴x+y≥2 ������������=12.
这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不
剖析:应用基本不等式
������������
≤
������+������ ������
求最值的条件是“一正、二定、
三相”等,具体如下:
2. 基本不等式
一正:
a,b都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误的答案.
例如,当x<0时,函数f(x)=x+������������≥2 ������ × ������������=2,所以函数f(x)的最小值是2.由于f(-2)=-2+−������������=-������������<2, 那么显然这是一个错误的答案.其原因是当x<0时,������<0,不符合基本不等式中a,b均为正数.
4. 例题学习
解析:∵a>0,b>0,a≠b,∴������+������
������
>
������������,
∵a2+b2>2ab,∴
������������+������������ ������
>
������������,
∴选项A,B,C中, ������������最小.
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解：(1)由 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1， 可得 xy＝10. 2 5 2y＋5x 2 10xy 则 ＋ ＝ ≥ ＝2. 10 10 x y ∴zmin＝2. 当且仅当 2y＝5x，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 12 12 (2)∵x>0，∴f(x)＝ ＋3x≥2 · 3x＝12， x x
基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一 正”是指各项均为正数； “二定”就是若积为定值则和有最小 值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号 成立的条件，这也是最容易出错的最值．
基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化， 使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式， 往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)， 构造出基本不等式的形式再进行求解．
基本不等式及应用
马瑜崇
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 a＋b ab≤ 2
a＋b 其中 2 为 a，b 的算术平均数， ab为几何平均数，基 本不等式可叙述为： ．
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ b a (2) ＋ ≥ a b (3)ab a2＋b2 (4) 2 (5) (a，b∈R) (a，b 同号且不为零)
【思路启迪】 (1)利用 a＋b＝1 将要证不等式中的 1 代换， 即可得证． (2)用好 abc＝1 的条件，注意本题应用充分性、必要性两 方面来证． 【解析】 (1)证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
1 1 a＋b a＋b b a ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ a b a b a b ≥2＋2 ba 1 ·＝4(当且仅当 a＝b＝2时等号成立)． ab
1 1 ∴ ＋ ≥4.∴原不等式成立． a b
1 1 1 (2)∵abc＝1，∴a＋b＋c＝ ＋ ＋ ， bc ac ab ∵a，b，c∈R＋， 1 1 ∴ ＋ ≥2 bc ac 1 1 2 ＝2· ＝ ， abc2 c c ① ② ③
1 1 2 同理 ＋ ≥ ， bc ab b 1 1 2 ＋ ≥ ， ac ab a 当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”．
(2)显然 a≠2，当 a>2 时，a－2>0， 4 4 ∴ ＋a＝ ＋(a－2)＋2 a－2 a－2 ≥2 4 · a－2＋2＝6， a－2
4 当且仅当 ＝a－2，即 a＝4 时取等号， a－2
当 a<2 时，a－2<0，
4 4 4 ＋2－a ∴ ＋a＝ ＋(a－2)＋2＝－ ＋2 2 － a a－2 a－2
2 当且仅当 ＝ab 时等号成立． ab
1 1 2 所以 2＋ 2＋ab≥ ＋ab≥2 2， a b ab 1 1 a2＝b2， 当且仅当 2 ＝ab， ab 4
即 a＝b＝ 2时取等号.
(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． 4 (2)求 ＋a 的取值范围． a－2
【思路启迪】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最 值，然后确定取得最值的条件．
【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x x＋2－x ≤ 2· ＝ 2， 2 当且仅当 x＝2－x 即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2.
①＋②＋③得 1 1 1 a＋b＋c≥ ＋ ＋ ， a b c 1 1 1 故 abc＝1 是 ＋ ＋ ≤a＋b＋c 的充分条件． a b c 再令 a＝2，b＝c＝1， 1 1 1 满足 a＋b＋c≥ ＋ ＋ ， a b c 1 1 1 但 abc≠1，故 abc＝1 不是 ＋ ＋ ≤a＋b＋c 的必要 a b c 条件．故选 A.
利用基本不等式证明不等式， 应先观察题目的条件是否满 足基本不等式的使用条件，若不满足，则应通过添项、拆项、 配系数、“1”的代换等方法，使其满足，再结合不等式的基本 性质，达到证明的目的．
1 1 设 a，b 均为正实数，求证： 2＋ 2＋ab≥2 2. a b
1 1 证明： 由于 a、 b 均为正实数， 所以 2＋ 2≥2 a b 1 1 当且仅当 2＝ 2，即 a＝b 时等号成立． a b 2 又因为 ＋ab≥2 ab 2 · ab＝2 2. ab 1 1 2 ·＝ . a2 b2 ab
问题探究： 当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时， 如何处理？
提示：若最值取不到可考虑函数的单调性．
1 1 (1)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： ＋ ≥4. a b 1 (2)(2012 年湖北)设 a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“ ＋ a 1 1 ＋ ≤a＋b＋c”的 b c A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 ( )
a＋b 2 2 (a，b∈R) a＋b 2 2 (a，b∈R)
a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0，b>0) 2 2 1 1 ＋ a b
上述五个不等式等号成立的条件都是 a＝b.
3．利用基本不等式求最值 设 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P，那么当 2 P. (2)如果和 x＋y 是定值 S， 那么当 1 2 时积 xy 有最大值4S . 时和 x＋y 有最小值
≤－2
4 · 2－a＋2＝－2， 2－a
4 当且仅当 ＝2－a，即 a＝0 时取等号， 2－a 4 ∴ ＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． a－2
当和为定值时， 积有最大值如本例中(1)， 当积为定值时且 有最小值如本例(2)，但要注意等号成立的条件．
求下列各题的最值． 2 5 (1)已知 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求 z＝ ＋ 的最小值； x y 12 (2)x>0，求 f(x)＝ ＋3x 的最小值； x 4 (3)x<3，求 f(x)＝ ＋x 的最大值． x－3