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人教版必修5第三章第4节5.3.4基本不等式及应用

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高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)

高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)
2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。

人教A版高中数学必修5课件 3.4基本不等式的应用课件

人教A版高中数学必修5课件 3.4基本不等式的应用课件

若ab ≠0 ，则
ab
b
a
2即
a
b
2或 a
b
-2
ba
ba
ba
(当且仅当a=b时取“=”）
3.若a,b
∈
R，则
(
a
2
b
)2
a
2
2
b2
(当且仅当a=b时取“=”)
基本不等式的应用
【注意】
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最 小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的 最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范 围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
k
k
基本不等式的应用
【典型例题+变式训练】
应用四：均值定理在比较大小中的应用
例：若 a b 1, P lg a lg b,Q 1 (lg a lg b), R lg( a b),
2
2
则P,Q,R的大小关系是__________.
分析：∵a>b>1 ∴ lg a 0, lg b 0
x1
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分
子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离.
x2 7 x+10 ( x 1)2 5( x 1) 4
4
y
( x 1) 5
x+1
x+1
x+1
当x>-1 ,即x+1>0 时,
y 2 （x 1) 4 5 9 x1
（当且仅当x＝1时取“＝”号）
4
y
4
x

人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件

人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件

学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
精品PPT
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
精品PPT
a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
精品PPT
探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B

人教版高中数学必修五示范课课件：3.4 基本不等式的应用

人教版高中数学必修五示范课课件：3.4 基本不等式的应用

当且仅当 x 1 时, 即x =1时取等号, 所以当 x =1
时,
x 1
x 的值最小, 最小值为2.
x
变式 x <0 , 当 x 取什么值时, x 1 的值最大?
最大值是多少?
x
变式 x <0 , 当 x 取什么值时, x 1 的值最大?
最大值是多少?
x
解: 因为 x <0 , 所以 - x > 0.

81 x2
,
x

3时,
等号成立，
x2 8x12 的最小值为18.
练习:
下列函数中，最小值为4的是 C,E
A. f (x) x 4 x
B. f (x) sin x 4 sin x
C. f (x) 3x 4 3x D. f (x) lg x 4 logx 10
积xy有最大值 (xy)max

(
x
2
y
)2

1 4
S 2.
用极值定理求最值的三个必要条件 :
一“正”、二“定”、三“相等”
相乘 定值 最小值,相加 定值 最大值.
例2:(1)已知a,b,x,y

R且 a x

b y

1,
解: 求证：x y ( a b)2.
x y (x y) 1 (x y)( a b ) a b ay bx
造价最低, 最低总造价是多少?
解:
设水池底面一边的长度
ab2
ay

xb
x
(
y
a
b)2
xy
xy
当且仅当 ay xb ,即 x xy y

人教新课标版数学高二必修5课件3.4基本不等式

人教新课标版数学高二必修5课件3.4基本不等式

探究点2 用基本不等式证明不等式
例2 已知x、y都是正数. 求证：(1) yx＋xy ≥2；证明
∵x，y都是正数， ∴xy>0，yx>0， ∴yx＋xy≥2 yx·xy＝2，即yx＋xy≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明
∵x，y都是正数， ∴x＋y≥2 xy>0， x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥2 xy·2 x2y2·2 x3y3＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立.
引申探究 若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购 买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解答
名师点评
应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学 知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求 最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调 性求解.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解答
设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园 的面积为xy m2. 由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得xy≤81， 当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
A.6
√B.4 2
C.2 6
D.8
∵a＋b＝3， ∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2 8＝4 2，

高中数学 人教A版必修五 3.4 基本不等式、实际应用 课件、教学设计

高中数学 人教A版必修五 3.4 基本不等式、实际应用 课件、教学设计

ba·ab＝4.
(4)1＋1a1＋1b＝a1b＋1a＋1b＋1≥9.
【变式与拓展】 4．函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在
直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则m1 ＋1n的最小值为____4____． 解析：图象恒过定点 A(1,1)，有 m＋n＝1， m1 ＋1n＝m＋m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥4.
≥(
－
3)×(
－
4)
及
－3＋－4 2
≥
－3－4都成立吗？说明了什么？
答案：前者成立，后者不成立，说明了a2＋2 b2≥ab 与a＋2 b ≥ ab成立的条件不同．
2．(1)当两个正数 a，b，它们的和 a＋b 为定值时，ab 有 最小值还是最大值，它是多少？
(2)当两个正数 a，b，它们的乘积 ab 为定值时，a＋b 最小 值还是最大值，它是多少？
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
D. 1 2
1．对于任意实数 a，b，都要 ab≤a＋2 b成立吗？
答案：不一定，当 a，b 都为正数时，不等式才成立． 2．对于任意实数 a，b，这两个数的算术平均数一定存在 吗？那几何平均数呢？ 答案：任意两个数 a，b 的算术平均数一定存在，算术平均 数为a＋2 b. 几何平均数不一定．
2．已知 x>3，求x－4 3＋x 的最小值．
解：∵x>3，∴x－3>0. ∴x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3≥2 x－4 3·x－3＋3＝7， 当且仅当x－4 3＝x－3，即当 x＝5 时，取等号．
题型 2 基本不等式反用 ab≤a＋2 b 例 2：(1)函数 f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的值域为____________； (2)函数 f(x)＝x(1－2x)0<x<12的值域为____________．

高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)

基本不等式：
ab

a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。

人教版数学必修5第三章第四节基本不等式

D C
y
分析：
A
x
B
2 x y） min （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短： 知xy, 求（
2 x y） , 求xymax （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知（
解：设长为 x m,宽为 y m, (1)由题知， xy 100 ，而篱笆长为 2( x y) 由基本不等式知 x y
归纳总结
2 2 a b 2ab，当且仅当 a b 1、重要不等式：一般地，
时，等号成立。
2.基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有a b 2 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。 即 ab
2
例1：
（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3.4 基本不等式
温宿二中 曾艳萍
问题引入 如图，这是在北京召开的 第24届国际数学大会的会标， 会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客。
问题探索
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正 2 2 a b 方形的面积为S=————， 问2：Rt△AGB,Rt△BFC,Rt△CED,Rt△AHD 2ab 是全等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得， s > s’,即 a 2 + b2 > 2ab
2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两 直角边的和最小，最小值是多少？
x x0

高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式说课稿 新人教A版必修5(2021年最新整理)

高中数学第三章不等式3.4 基本不等式说课稿新人教A版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.4 基本不等式说课稿新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式3.4 基本不等式说课稿新人教A版必修5的全部内容。

基本不等式一、对课标要求和教材特点的分析基本不等式又称均值不等式，是人教A版必修5的第三章第四节的内容。

基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，在高中数学有着重要的地位。

1．课标对本节课的要求：①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小)值问题。

要求中明确提出了探索过程、应用解决等词汇，体现了数学探索发现、应用实际的学科特点。

2。

对教材中本节课的内容安排特点的理解●课程教材十分注重现实问题、实际例子的转化与解决，突出并强调数学的应用性。

●教科书以问题方式代替例题，强化问题意识，促使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系.●课程教材关注学生的发展，使学生在学习过程中感受、体验、认识、理解，培养学生学习数学的兴趣.●教科书更加注重学生数学思维的培养,十分注重借助几何直观(即用图形）来分析解决问题能力的培养和提高.3.学情分析：学生在初中学习了完全平方公式、圆，初步认识了不等式。

同时，在本章前三节学习了一元二次不等式、二元一次不等式(组）与线性规划问题，这些都给学习本节课提供了坚实的基础；。

但接触的不等式较为单一,灵活度不够，学生在练习时运用困难,而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。

人教A版高中数学必修五课件高一《3.4基本不等式》.pptx


分析:x2+(1-2x)不是=1常为数.
配凑系数
解:∵0<x<,∴12 1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=∙212x∙(1-2x)
≤∙12[]2
2x+(1-2x) 2
=.18
当且仅当时2x,=取(1“-2=x”), 号即.x=
1 4
∴当x=时14,函数y=x(1-2x)的最大值是.
1 8
若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时， 当且仅当x=y时， x+y有最小值___2__P__.
1．求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值． 解：设 t＝ x＋2≥0，从而 x＝t2－2. ∴y＝2t2＋t 1(t≥0)． 当 t＝0 时，y＝0.
当 t>0 时，y＝2t＋1 1t ≤2
1＝ 2t·1t
42.
当且仅当 2t＝1t ，即 t＝ 22，x＝－32时，y
有最大值 ymax＝ 42.
x 则当x+y的值是常数S时
，
• 当且仅当x=y时， • xy有最大值___14_S_2__
x xy≤
y

S

1 xy≤
S2
22
4
１．已知函数，求f 函(x)数的x最 1小值和此时x的
取值．
x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这 个条件．
所以a2 b2≥2ab.
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
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解：(1)由 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1， 可得 xy＝10. 2 5 2y＋5x 2 10xy 则 ＋ ＝ ≥ ＝2. 10 10 x y ∴zmin＝2. 当且仅当 2y＝5x，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 12 12 (2)∵x>0，∴f(x)＝ ＋3x≥2 · 3x＝12， x x
基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一 正”是指各项均为正数； “二定”就是若积为定值则和有最小 值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号 成立的条件，这也是最容易出错的最值．
基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化， 使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式， 往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)， 构造出基本不等式的形式再进行求解．
基本不等式及应用
马瑜崇
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 a＋b ab≤ 2
a＋b 其中 2 为 a，b 的算术平均数， ab为几何平均数，基 本不等式可叙述为： ．
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ b a (2) ＋ ≥ a b (3)ab a2＋b2 (4) 2 (5) (a，b∈R) (a，b 同号且不为零)
【思路启迪】 (1)利用 a＋b＝1 将要证不等式中的 1 代换， 即可得证． (2)用好 abc＝1 的条件，注意本题应用充分性、必要性两 方面来证． 【解析】 (1)证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
1 1 a＋b a＋b b a ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ a b a b a b ≥2＋2 ba 1 ·＝4(当且仅当 a＝b＝2时等号成立)． ab
1 1 ∴ ＋ ≥4.∴原不等式成立． a b
1 1 1 (2)∵abc＝1，∴a＋b＋c＝ ＋ ＋ ， bc ac ab ∵a，b，c∈R＋， 1 1 ∴ ＋ ≥2 bc ac 1 1 2 ＝2· ＝ ， abc2 c c ① ② ③
1 1 2 同理 ＋ ≥ ， bc ab b 1 1 2 ＋ ≥ ， ac ab a 当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”．
(2)显然 a≠2，当 a>2 时，a－2>0， 4 4 ∴ ＋a＝ ＋(a－2)＋2 a－2 a－2 ≥2 4 · a－2＋2＝6， a－2
4 当且仅当 ＝a－2，即 a＝4 时取等号， a－2
当 a<2 时，a－2<0，
4 4 4 ＋2－a ∴ ＋a＝ ＋(a－2)＋2＝－ ＋2 2 － a a－2 a－2
2 当且仅当 ＝ab 时等号成立． ab
1 1 2 所以 2＋ 2＋ab≥ ＋ab≥2 2， a b ab 1 1 a2＝b2， 当且仅当 2 ＝ab， ab 4
即 a＝b＝ 2时取等号.
(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． 4 (2)求 ＋a 的取值范围． a－2
【思路启迪】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最 值，然后确定取得最值的条件．
【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x x＋2－x ≤ 2· ＝ 2， 2 当且仅当 x＝2－x 即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2.
①＋②＋③得 1 1 1 a＋b＋c≥ ＋ ＋ ， a b c 1 1 1 故 abc＝1 是 ＋ ＋ ≤a＋b＋c 的充分条件． a b c 再令 a＝2，b＝c＝1， 1 1 1 满足 a＋b＋c≥ ＋ ＋ ， a b c 1 1 1 但 abc≠1，故 abc＝1 不是 ＋ ＋ ≤a＋b＋c 的必要 a b c 条件．故选 A.
利用基本不等式证明不等式， 应先观察题目的条件是否满 足基本不等式的使用条件，若不满足，则应通过添项、拆项、 配系数、“1”的代换等方法，使其满足，再结合不等式的基本 性质，达到证明的目的．
1 1 设 a，b 均为正实数，求证： 2＋ 2＋ab≥2 2. a b
1 1 证明： 由于 a、 b 均为正实数， 所以 2＋ 2≥2 a b 1 1 当且仅当 2＝ 2，即 a＝b 时等号成立． a b 2 又因为 ＋ab≥2 ab 2 · ab＝2 2. ab 1 1 2 ·＝ . a2 b2 ab
问题探究： 当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时， 如何处理？
提示：若最值取不到可考虑函数的单调性．
1 1 (1)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： ＋ ≥4. a b 1 (2)(2012 年湖北)设 a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“ ＋ a 1 1 ＋ ≤a＋b＋c”的 b c A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 ( )
a＋b 2 2 (a，b∈R) a＋b 2 2 (a，b∈R)
a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0，b>0) 2 2 1 1 ＋ a b
上述五个不等式等号成立的条件都是 a＝b.
3．利用基本不等式求最值 设 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P，那么当 2 P. (2)如果和 x＋y 是定值 S， 那么当 1 2 时积 xy 有最大值4S . 时和 x＋y 有最小值
≤－2
4 · 2－a＋2＝－2， 2－a
4 当且仅当 ＝2－a，即 a＝0 时取等号， 2－a 4 ∴ ＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． a－2
当和为定值时， 积有最大值如本例中(1)， 当积为定值时且 有最小值如本例(2)，但要注意等号成立的条件．
求下列各题的最值． 2 5 (1)已知 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求 z＝ ＋ 的最小值； x y 12 (2)x>0，求 f(x)＝ ＋3x 的最小值； x 4 (3)x<3，求 f(x)＝ ＋x 的最大值． x－3