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不等式第三章不等式§1不等关系1. 1不等关系1. 2不等关系与不等式研读•思考•尝试脅新匍提炼'1.不等式的有关概念(1)用数学符号〉、V、M、W、H连接两个数或代数式，形成不等关系的式子叫作不等式.(2)2 •实数的运算性质与大小顺序之间的关系a>0oa > b；a—b=Ooa = b；a—b<0^>a <b ・3.不等式的基本性质(1)对称性：a>b<^b <a.⑵传递性：a>b9 b>cna > c・⑶可加性：a>方Oa+c > b+c・⑷可乘性：a>b9 c>0wc > be a>b9 cV0=>ac V be.⑸加法法则：a>b9 c>d=^a^c > b+d.⑺乘方法则：a>b>O=^a n> b,l(n^^.(8)开方法贝!h a>〃>0=/〈仏 > 第(//EN+)・旳自我尝试,判断(正确的打“ J ”，错误的打“X”)⑴实数a不大于一2,用不等式表示为X)(2)不等式x^2的含义是指x不小于2.( J ) ⑶若或a=b之中有一个正确，则aWb正确.(' )(4)若a>b,则ac>bc —定成立.(X )(5)若a+c>b+d,则a>b, c>d.(X )某工厂在招标会上，购得甲材料兀吨，乙材料丿吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则小J应满足的不等关系是（）A. x+j>120 C・X+J^120答案：C B・ x+j<120 D・兀+yW120»=&+训，Q=\Ja+b,则P与0的大小关设a，b>0, f 系是() A. P^Q c・P>QB. PWQD. P<Q解析：选C.P2=(yJa^\[b)2=a+b^2\[ab9 Q2 = (y[a+b)2 =a + 仅因为a, b>0,所以P>°2•所以p>°.Q已知a>b>c9且a+方+c=0,则b2-4ac的值的符号为解析:为a+b+c=O,所以b = -(a-\-c)9所以b2=a2-\-c2+2ac.所以b1—4ac=a1+c1—2ac = (a—c^. 因为a>c,所以(a—c)2>0.所以b2—4ac>0f即b2-4ac的符号为正.答案：正1.对利用不等式的性质证明不等式的说明⑴不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数b 有a—b>Ona>b； a—b=O=>a=b； a_b<Qna<b・这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱.条件和结论之间的相互联系・2.运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，更不要想当然地运用一些不存在的性质.探究案▲讲练互动 -解惑「探究：突破探究点1用不等式（组）表示不等关系■1 配制A, B 两种药剂，需要甲，乙两种原料.已知配一 剂A 种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B 种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克，乙料25克，若4, B 两种药至少各配一剂，设儿B 两种药分别配小J 剂（小JGN ）,请写出X, Qi, jeN.y 所满足的不等关系. 3x+5j^20,【解】 根据题意可得S 5x+4yW25,x^l, x^N,QUEUES!（1）将不等关系表示成不等式（组）的思路①读懂题意，找准不等关系所联系的量;②用适当的不等号连接;③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示. （2）用不等式（组）表示不等关系时应注意的问题在用不等式（组）表示不等关系时，应注意, 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示•1 •雷电的温度大约是28 000 °C,比太阳表面温度的4・5倍还要高.设太阳表面温度为t °C,那么/应满"跟踪训练足的关系式是.解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 f<28 000.答案：4.5/<28 000.探究点2作差（商）法比较两数（式）的大小（1）当兀W1时，比较3/与3X 2-X +1的大小•⑵当兀，J, ZWR 时，比较5X 2+J 2+Z 2与2初+4X +2Z —2的大 小.比较下列各式的大小:・I +X —H E W H E M ^ 6W (I —X )(I +H E )1O ■I w x 氷E (I—X)+(HE—H H +—H(2)因为5X2+J2+Z2—(2xy+4x+2z—2)=4x2—4x+l+x2—2xy +j2+z2—2z+l = (2x—l)2+(x—j)2+(z—1)2^0,所以5x2 + j2 +z22xy+4x+2z—2,当且仅当x=j=|Kz=l时取到等号.(1)作差法的一般步骤①作差；②变形：常采用配方、因式分解等变形手段，将“差” 化成积；③定号：就是确定作差的结果是大于0,等于0,还是小于0；④得出结论，其中"定号”是目的，“变形”是关键.(2)作商法的一般步骤比较两代数式的大小时，若两式均为积的形式且同号，可釆用作商法比较，其步骤为作商一变形一判断(与1比较大小).y跟踪训练2•已知a >〃 >0,试比较a a b b与a b b a的大小.解：因为需=严・厂=［卽一0, 因为a>方>0,所以a—b>09 |>1, 所以^~b>lf 故泅>/胪・探究点3不等式的基本性质働3⑴以下结论一定能推出a<b的是() A. (a—b)a2<0B・a2<b21 1C.市D. ac<bc(2)若bc—ad^O, bd>0.求证：年岂W号£【解】⑴选A.对于A项，显然a2>0,必有ad；对于B项，a2<b2^\a\<\b\f当a, b均为负值时,有a>b；对于C项,若a>0, b<0,有〉#，但不能推出aS 对于D项，若c<0,显然有(2)证明：因为bc—adMQ,所以adWbc, 因为加>0,所以彳奇，所以舒1奇+1,所以字W字(1)运用不等式的性质判断真假的技巧①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质；②解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注简单，便于验证计算・(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则."跟踪训练3.(1)已知a+b>0, b<0,那么a, b,—b的大小关系是()A・a>b>——b>——a B. a>——b>——a>b C・a>——b>b>——a D・a>b>——a>——b (2)已知a>b>09 c<J<0, e<0,求证：土為解：⑴选c・法一：因为A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法.令a=29 b = — l9则有2>-(-1)>-1>-2,艮卩a>——b>b>——a.法二：因为b<09所以a>—b>09—a<b<09所以a>—b>O>b>—a9艮卩a>——b>b>——a.(2)证明：因为c<d<0.所以一c>—d>09又因为a>b>09所以« + (—c)>b+(—d)>0,即a—c>b—d>09所以又因为e<0,所以土>青・探究点4 利用不等式的性质求代数式的取值范围已知12<a<60, 15V方V36,求a~b和彳的取值范围. 【解】因为15VX36, 所以一36 V—b<—15.因为12<tz<60,所以12—36Va—bV60—15.所以一24 Va—b<45 ・占,所以喙鈴所以扌V#V4.1 d所以一24Va—方V45, 3＜方＜4・本例条件不变，试求3a_2b的取值范解：因为12<tz<60, 15VDV36，所以36<3tz<180, -72V-2bV-30・所以一36V3a-2〃V150・利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范4・(1)若1 VoV3，-4</?<2,则a+\p\的取A. (-3, 5)B. (-3, 7)值范围是（)C. (1, 7)D. (1, 5)r2r3⑵设小丿为实数，满足4W；W9,贝欣的最大值是解析：（1）因为一4</?<2,所以0W〃V4, Xl<a<3,所以1 <a+\p\<l.故选C・(2)由4得16W》W81.又3^XJ2^8,所以診古所以2W$W27.所以孑的最大值是27.答案：(1)C (2)27♦ ♦素I 團團因 ♦典例已知a, Q0,试比较与仞芦的大小. a — b b —a=a 2 b 2思想方法分类讨论思想在比较两代数式大小中的应用 【解】 a a b b(ab) a —b①若a=b＞0,贝|||=1, a—b=09/、所以彳—=1＞所以Q*=(ab)罟;②若a"＞0,则彳＞1, a—b＞o,由指数函数的性质, 可知囱呼＞1,所以曲＞(血)字；③若0<a<b9则0<|<1, a—b<09由指数函数的性质，/、可知切呼>4所以胪>3)进综上所述，a"bG(ab)进比较两代数式的大小时不论是作差法还是作商法比较大小，在对变形后的式子进行判断时，由于式中含有字母取值不同会导致结果不同的应进行分类讨论，分类时应做到不重不漏.♦ ♦当堂检测♦♦ 1-■■■■■■I1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩班单位：分）不低于95,文化课总分y （单位:分）高于380,体育成绩z （单位: 分）超过45,用不等式组表示为（）x^95B. \y>380、&45 貯95D ・ \y>380 2>45皆95 A, &380 2>45 (x>95 C.y>380lz>45解析：选D•“不低于”即“高于”即“〉”“超过”兀$95,即“>”，所以丁>380,Z>45・2・若加工2且兀工一19则M=m2^rn2—4/n+2n的值与一5的大小关系为（A・M>—5)B・M<-5C. M=-5D.不确定解析：选A.因为加工2, n^ — l9所以M=(/w—2)2 + (// + 1)2—5>—5・3.已知">b>c,则七+匕+匕的值为_________________________ (填“正数”“非正数” “非负数”)・解析：因为a>b>c9所以a—b>09 b—c>09 a—c>b—c>0.所以b-严a—c'b—c，1 11>0, —c^a-b+b~c~a所以乙+1c+：为正数.—a答案：正数4.已知1 <a<29 3<b<49求下列各式的取值范(1)2伉+加(2)a-b； (3)|. 解：⑴因为1 <a<2,所以2<2a<4・又3Cv4,所以5<2a+b<&⑵因为3<b<4,所以一4v—b<—3・又\<a<l.所以一3<a—b<—1.⑶因为3C V4,所以押弓.又l<a<2, 所以摇岭本部分内容讲解结束。
