二面角大小的几种求法(归类总结分析)复习过程

二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。

求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。

I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 ) 一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。

例 空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。

解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600， ∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a1. 在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。

PB α CA E FD2. 如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA ⊥α，A ∈α，PB ⊥β，B ∈β，求∠APB 的大小。

3. 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。

例 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。

具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。

通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。

二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。

这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。

三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。

通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。

这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。

四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。

如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。

这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。

五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。

如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。

这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。

六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。

通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。

这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。

七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。

通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。

这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。

四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。

（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

注：o 点在棱上，用定义法。

(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。

注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。

(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。

注：点O 在二面角内，用垂面法。

(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。

（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。

解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。

设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。

例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。

（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。

求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。

求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。

对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。

二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。

具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。

平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。

2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。

2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。

具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。

3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。

3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。

3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。

四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。

具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。

二面角求值方法八种摘要】在奥妙无穷的空间形式里，二面角的平面角总是以量的大小决定着某些图形的空间形式，使得立体几何研究中，求二面角的大小成为了一个“角量计算”的重要内容。

那么怎样去求二面角的大小呢？笔者通过自身的实践，总结出常见的八种求法。

【关键词】二面角；二面角求值；八种1定义法11定义：二面角求值的“定义法”就是依二面角的平面角的定义，通过对线线垂直关系的研究，首先将空间角转化为平面角，然后依据解三角形的相关知识或某些公理体系的保证求出这个平面角，从而达到求二面角大小的数学方法。

它体现了“回到定义中去”是数学解题的根本方法。

12用“定义法”求二面角大小的解题思路是：求作二面角的平面角→证明这个平面角是所求→解出这个二面角。

13求作二面角的平面角应把握的原则：先找后作。

常见的作法有两种：其一，根据定义或图形的特征作。

其二，根据三垂线定理（或逆定理）作。

此法难点在于找到平面的垂线，解决的办法：先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理找到面的垂线，作棱的垂线，连接垂足与面的垂线的端点，利用线线垂直得出所求角是二面角的平面角。

14常见的线线垂直的判断方法有：①三垂线定理及逆定理。

②等腰三角形“中线是高线”的性质。

③勾股定理的逆定理。

④菱形对角线互相垂直的性质。

⑤线面垂直则线线垂直的性质。

⑥同一法（有公共边的全等三角形中，公共边上的垂足相同）例1（2005年全国卷Ⅰ.18）：已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点，求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小。

解：过点A作AN⊥CM，垂足为N，连BN，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，连QN，QC，由三垂线的逆定理知：MC⊥NQ，由三垂线定理知：BN⊥MC，故∠ANB为所求二面角的平面角。

由勾股定理的逆定理知：BC⊥AC，再由三垂线定理知：BC⊥PC，由直角三角形中线的性质有：MA=MC，由等面积求高法知：AN=NB=305，在△ANB中，由余弦定理有：cos∠ANB=AN2+BN2-AB22AN·BN=-23，从而所求二面角的大小是：π-arccos23题评：本例也可以先证△AMC≌△BMC，再利用“同一法”得出BN⊥MC。

好资料学习-----二面角大小的几种求法二面角的大小往往转化一般而言，二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，主要是利用平面几何、立体在其求解过程中，为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选几何、三角函数等重要知识。

求二面角大小的关键是，择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。

) 寻找有棱二面角的平面角的方法( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法I.，过该点在两个半一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点）要注意用这是一种最基本的方法。

两射线所成的角就是二面角的平面角，平面内作垂直于棱的射线，来找出平面角。

二面角的平面角定义的三个“主要特征”oo ACB=90的大小。

，求二面角CB、CP、，∠PCA=∠PCB=60B-PC-A，∠例空间三条射线CA PD AE CαB FEF.上的点D分别作，连BCDF⊥于FDE⊥AC于E，PC解：过0 PCB=60，B-PC-AEDF为二面角的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠∴∠0DE=DF=，∴，，又∵∠ACB=90，∴CE=CF=2aEF=a22a32221a3a3?a8?EDF=∴∠?23a?320 A-PB-C，求二面角的余弦值。

CPA=60APB=1. 在三棱锥P-ABC中，BPC=P QMNA BC更多精品文档．-----好资料学习的大小。

β，求∠APBPB⊥β，B∈α-β等于120°，PA⊥，A∈α，а2. 如图，已知二面角α-PAOB的PA=AB=a，求二面角B-PC-DPA3. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，⊥平面ABCD，大小。

PHDAjBC用三垂线定理或逆定理作出二面已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，二、三垂线法：角的平面角。

，，∠ABC=30°⊥平面ABCD，PA=AB=a 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA 例P-BC-A的大小。

DCBAE二面角的求法求二面角的大小是立体几何的一个重要内容，是高考的一个重点和热点，本文就二面角的求法谈谈自己的看法，希望同学们合理选择，熟练掌握，以提高解题速度。

一、 几何法：即作出二面角的平面角，再求解，此法解题过程为：作——证——算——答根据辅助线的做法又可分为定义法、垂面法、三垂线法。

⑴定义法在棱上找一点O 在两个平面内分别作棱的垂线AOBO, AOB ∠为βα--CD 的平面角，此法较多适用于两面是共底的等腰三角形或全等三角形。

例1在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小解：取BC 的中点E ，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ，∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体的棱长为1，则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠=∴AED ∠=arccos 31. （2）垂面法过二面角内一点作棱的垂面，则这个垂面与二面角的两个面的交线的夹角就是二面角的平面角。

例2．自二面角内的一点到两个平面的距离都是6cm,两个垂足间的距离也是6cm,求此二面角的度数。

如图，P 是二面角βα--L 内的一点，PA βα⊥⊥PB ,,A,B 分别为垂足，PA=PB=AB=6cm,L 为二面角的棱，所以∠APB=60,因为PA βα⊥⊥PB ,，且PA,PB 相交于P 点，过PA 和PB 作平面分别交βα， 两个平面于AC 和CB,则平面PACB ⊥L,所以∠ACB 是二面角的平面角。

又PA ⊥AC,PB ⊥CB, 所以∠PAC=∠PBC=90 所以由APB=60，得∠ACB=120,即所求二面角的度数为120L(3)三垂线法利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角，其特征是过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，然后过垂足或斜足作棱的垂线 ，从而构造二面角的平面角。

例3．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作DEAC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ，则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =，同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin DF FED DE ∠===，所以，二面角B AC D --的正弦值为5． 二、 射影面积法：通常使用于无棱的二面角的大小的计算。

立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。

3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。

4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。