二面角的求法(教师版)

立体几何二面角的求法立体几何是数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形和其性质。

其中，二面角是立体几何中的一个重要概念，它是由两个平面所围成的角。

本文将介绍二面角的定义、性质以及求法。

一、二面角的定义二面角是由两个平面所围成的角，其中一个平面称为顶面，另一个平面称为底面，二面角的两个边分别位于顶面和底面上。

二面角常用字母α表示。

二、二面角的性质1. 二面角的大小是以顶点为中心，两个边所围成的平面角的大小，即α=∠POQ。

2. 二面角的大小是由顶面和底面的位置关系决定的，与边的长度无关。

3. 二面角的度量范围是0到180度。

4. 如果两个平面平行，则它们所围成的二面角为0度。

5. 如果两个平面相互垂直，则它们所围成的二面角为90度。

6. 如果两个平面相交于一条直线，则它们所围成的二面角为180度。

三、二面角的求法1. 通过向量法求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值可以通过两个法向量的点乘公式求解：cosα=n1·n2/(|n1||n2|)，其中·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模。

2. 通过平面法向量求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值等于两个法向量的模的乘积与它们的点乘的商：cosα=(|n1|·|n2|)/(n1·n2)。

3. 通过平面方程求解二面角：设顶面的平面方程为Ax+By+Cz+D1=0，底面的平面方程为Ax+By+Cz+D2=0，二面角的余弦值等于两个平面方程的D1、D2的差值与它们的模的乘积的商：cosα=(D1-D2)/(√(A^2+B^2+C^2)·√(A^2+B^2+C^2))。

四、二面角的应用1. 二面角常用于计算空间中的体积和表面积。

2. 在物理学中，二面角常用于描述力的方向和大小。

3. 在几何光学中，二面角常用于计算光的反射和折射。

4. 在工程中，二面角常用于计算材料的强度和稳定性。

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。

笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。

一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。

以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。

例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。

例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。

二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。

如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。

例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。

例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。

三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。

求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。

求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。

对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。

二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。

具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。

平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。

2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。

2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。

具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。

3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。

3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。

3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。

四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。

具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。

求二面角大小的直接计算法肖德凯利用向量求二面角，如何判断所求二面角是锐角或钝角？现行中学数学教材或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定；常见的大学数学教材亦未涉及此问题.由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量，所以两个平面所成二面角的平面角的大小与其法向量所成之角可能相等, 也可能互补；而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的, 点积法的缺陷是不能控制法向量的方向, 所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角.本文介绍一种利用向量外积控制平面法向量方向,借助两平面法向量所成角与两平面所成二面角的关系,直接计算二面角并判断其为锐角或钝角的方法. 为此我们首先介绍向量外积概念及运算法则. 1 二阶行列式的概念及运算法则由于二阶行列式与向量外积的计算密切相关,故我们先简要介绍二阶行列式. 二阶行列式源于解二元一次方程组,它的定义是:11122122x y x y x y x y =-例1.1 计算 3437(2)42182927=⨯--⨯=+=-.2 向量外积2.1设a 、b 为同一平面内起点重合的非共线向量，则a 、b 外积n 表示为n =a ⨯b ,其结果n 仍然是一个向量,方向与a 、b 所在平面垂直.向量外积的确切的方向根据右手法则确定(如图2.1):伸开右手掌，使拇指与其余四指垂直，将手腕与a 和b 的始端重合,拇指之外的四指与a 同向,使得手掌弯曲指向b ,但这时a 到b 的角度必须小于180 ,此时大拇指指向的方向就是a ⨯b 的方向,即a 、b 所在平面的法向量的一个方向[一个平面的法向量的方向共有两个(共线的两个),指向平面的两侧,通常并不确定是其中哪一个方向].2.2 向量外积的计算法则 若()111x ,y ,z a=,()222x ,y ,z b =,则()()()111222111111222222122112211221x ,y ,z x ,y ,z y z x z x y ,,y z x z x y y z y z ,x z x z ,x y x y .a b ⨯=⨯⎛⎫=- ⎪⎝⎭=--+-例2.1 已知11(,,1)22a =-,11(,,1)22b =---;求a b ⨯.11,,12211,,1221111112222,,111111222211,0,.2ab ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭⎛⎫--⎪ ⎪=- ⎪------ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭解3 求二面角大小的直接算法如图1, 设二面角C-AB-E 的大小为θ,平面ABEF 的法向量为n , 平面ABCD 的法向量为m 1;n 、m 1的夹角为1θ,那么θ=π-1θ,1cos cos n m n mθθ⋅=-=-.如图2, 设二面角C-AB-E 的大小为θ,平面ABEF 的法向量为n , 平面ABCD 的法向量为m ; n 、m 的夹角为2θ,则2θθ=,2cos cos n m n mθθ⋅==.那么,如何确定两平面的法向量才能保证其所成之角恰好就是我们所要求的二面角呢?其实,只要利用向量外积概念,我们就可以做到这一点.在图2中,按照如下顺序求出n 、m ，我们就可保证所求二面角与计算结果完全一致,nAB AF =⨯ ,mA B A D =⨯ , cos n mn mθ⋅=.上述方法的要点是: ① 确立公共点A(每个向量都以点A 为起始点); ② 确定公共向量AB(每个法向量的计算都以AB为基础); ③ 遵守严格的运算顺序(nAB AF =⨯ ,m AB AD =⨯)求法向量n 与m.例 3.1 (2010全国高考理科试题(I 卷)第19题) 如图3, 四棱锥S-ABCD中,SD ⊥底面ABCD,AB//DC ，AD ⊥DC, AB=AD=1,DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC.(1) 证明：SE =2EB ；(2) 求二面角A-DE-C 的大小.解 以D 为坐标原点,DA ﹑DC ﹑DS 边所在直线为x 轴﹑y 轴﹑z 轴建立空间直角坐标系(图4),相应各点坐标为D ()0,0,0,A ()1,0,0, C ()0,2,0, S ()0,0,2.(1) (略)(2) 由(1) 得E 222,,333⎛⎫⎪⎝⎭, 于是222(,,)333D E = ,(1,0,0)D A =,(0,2,0)D C = ,那么,平面DEA 的法向量222(,,)333(1,0,0)222222,,3333330011022(0,,)33nD E D A =⨯=⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭=-平面DEC 的法向量222(,,)333(0,2,0)222222,,33333320244(,0,)33mD E D C =⨯=⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭=-若平面DEA 与平面DEC 所成的角为θ, 则81cos 0233n mn mθ-⋅===-<. 又 []0,θπ∈，所以23θπ=.例3.2(2005高考江苏试题 第21题 第3问) 如图5，在五棱锥S —ABCDE 中,SA ⊥底面ABCDE,SA=AB=AE =2，3==DE BC ,︒=∠=∠=∠120CDE BCD BAE .求二面角B-SC-D 的大小(用反三角函数值表示解 连接BE ,延长BC 、ED 交于点F (图6), 则∠DCF=∠CDF =600,∴△CDF 为正三角形, ∴CF=DF . 又BC=DE, ∴BF=EF , 故△BFE 为正三角形, 因为△ABE 是等腰三角形,且∠BAE =1200, ∴∠ABC =900.以A 为坐标原点, AB 、AS 棱所在的直线分别为x 轴、z 轴, 以平面ABC 内垂直于AB 的直线为y 轴,建立空间直角坐标系(图6), 相应各点坐标为A (0,0,0),B (2,0,0),S (0,0,2),且()2,0C,1,,022D ⎛⎫⎪⎪⎝⎭. 于是()2,2C S =-,()0,0C B =,3,022C D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 平面CSB 的法向量()()2,20,02222,,00000,nC S C B =⨯=-⨯⎛--=-⎝= ;平面CSD 的法向量()2,230222222,,33002223,2mC S CD =⨯=-⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎛-- =- -- ⎝⎛=-- ⎪⎝⎭ .若平面CSB 与平面CSD 所成的角为θ,即二面角B —SC —D 的大小为θ, 则cos 082n m n mθ⋅===-<.又 []0,θπ∈，arccos82θπ=-例3.3 （2005高考重庆理科试题 第20题 第2问）如图7，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB =2，BB 1=2，BC =1，∠BCC 1=3π，求：二面角A—EB 1—A 1的平面角的正切值.解 以B 为坐标原点, BB 1 、BA 棱所在的直线分别为y 轴、z 轴,以平面BCC 1B 1内垂直于BB 1的直线为x 轴,建立空间直角坐标系(图8),相应各点坐标为B (0,0,0),B 1(0,2,0), A (0,0,2), A 1 (0,2,2), 且可根据已知条件设,02E a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则12,022EA EB a a ⎛⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23204a a =+-=. 解之12a =(或3,2a =若3,2a =则点E 在棱CC 1之外,故舍去),故1,,022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.于是13,022EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,122EA ⎛=-- ⎝⎭, 13,22EA ⎛=- ⎝⎭. 平面EB 1A 的法向量13,0221,22332222112222,22nEB EA ⎛⎫=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⨯-- ⎝⎭⎛⎫--⎪ ⎪=- ⎪---- ⎪⎝⎭⎛= ⎝⎭; 平面EB 1A 1的法向量113,02232233222233222222m EB EA⎛⎫=⨯=-⎪⎪⎝⎭⎛⨯-⎝⎭⎛⎫--⎪⎪=-⎪--⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.若平面EB1A与平面EB1A1所成的角为θ,即二面角A-EB1-A1的大小为θ,则cos03n mn mθ⋅===>.又[]0,θπ∈，tan2θ=.DEAB 4练习1.（2009全国1文）19. 如图,四棱锥S A B C D -中,底面A B C D 为矩形,SD ⊥底面A B CD ,AD =2D C SD ==,点M 在侧棱S C 上,∠ABM=60.（I ）证明：M 是侧棱S C 的中点；()II 求二面角SA MB --的大小。

平面角定义法例题2:已知正方体 ABCD-ABCD 中，E 、 所成的二面角二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二 面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角 大小方法的典型几何体。

笔者通过探求正方体中有关二面角， 分析求二面角大小的八种方法：（1） 平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间 距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。

此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。

以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内 分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角， 如图二面角a -l- B 中，在棱I 上取一点O,分别在a 、B 两个平面内作AC L I ，BOLI ，/ AOB 即是所求二面角的平面角例题1:已知正方体ABCD-AB i CD 中，C O 是上下底面正方形的中心，求二面角 O-BC-O 的大小。

C iC利用三垂线定理法此方法是如图二面角a -l- B 中，在平面a 内取一点A, 过A 作AB 丄平面B ，B 是垂足，由B （或A ）作B0（或AO 丄l ，连接A0（或B0即得A0是平面B 的斜线，B0是 A0在平面B 中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得 A0LI ， B0LI ， 即/ A0B 是 a -I- B 的平面角。

例题3 :已知正方体 ABCD-A i C l D 中，求二面角 B-AC-B 的大小。

线面垂直法例题4:已知正方体ABCD-ABiGD 中，求平面 ACD 与平面BDC 所成的二面角。

此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。

方法是 过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平 面角。

如图在二面角a -I- B 的棱上任取一点0过0作平面丫丄I ， a G 丫 =A0 B G Y =B0得/ A0B 是平面角, v I 丄丫，I 丄 A0I 丄 B0•••/ A0B是二面角的平面角。

学科教师辅导讲义
讲义编号SH15ltjh00004
学员编号：年级：高三课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长签名及日期
剩余课时数
课题
平面与平面之间的位置关系
授课时间：
备课时间：
教学目标
掌握求二面角的常用方法,掌握平面与平面之间的位置关系及其相关判定定理
重点、难点
二面角的求法,面面之间的位置关系
考点及考试要求
会用文字语言、图形语言、符号语言、集合语言表示这些位置关系。会用演绎法对空间有关问题进行证明和推算，具有一定的演绎推理能力
教学内容
一、复习巩固
上节课课后习题评讲
二、课程讲授
一、知识要点：
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
2．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若 , , ,则 B．若 , , ,则
C．若 , , ,则 D．若 , , ,则
【答案】D
3.已知 为异面直线, 平面 , 平面 .直线 满足 ,则（D）
A． ,且 B． ,且
C． 与 相交,且交线垂直于 D． 与 相交,且交线平行于
例4如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC
求证：PB⊥平面AEF
课后思考题
1．关于直线 、 与平面 、 ，有下列四个命题：D
①若 ， 且 ，则 ；
②若 ， 且 ，则 ；
③若 ， 且 ，则 ；
④若 ， 且 ，则 。
其中真命题的序号式

正四⾯体⼆⾯⾓8种求法（教师版）⼆⾯⾓求法例题1：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底⾯正⽅形的中⼼，求⼆⾯⾓O 1-BC-O 的⼤⼩。

解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ，易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三⾓形。

∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ，∴∠OEO 1是⼆⾯⾓O 1-BC-O 的平⾯⾓，连OO 1，OO 1⊥平⾯ABCD ，∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=21∴tan ∠OEO 1=22111==OE OO∴所求⼆⾯⾓θ=arctan2。

例题2：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 1D 1的中点，求平⾯EFCA 与底⾯ABCD 所成的⼆⾯⾓。

解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂⾜，连GO ，易证GO ⊥AC ，⼜BD ⊥AC∴∠GOH 是所求⼆⾯⾓的平⾯⾓， GH=1，OH=42∴tan ∠GOH=22421==OH GH ∴所求⼆⾯⾓θ=arctan 22。

利⽤平⾯⾓定义法求⼆⾯⾓⼤⼩，在棱上取⼀点常常是取特殊点。

例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。

例题3：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求⼆⾯⾓B-AC-B 1的⼤⼩。

解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1，∵BB 1⊥平⾯ABCD ，BO ⊥AC ∴B 1O ⊥AC ，∠BOB 1是⼆⾯⾓B-AC-B 1的平⾯⾓，tan ∠BOB 1=22211==BO BB ∴所求⼆⾯⾓θ=arctan 2. 例题4：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平⾯ACD 1与平⾯BDC 1所成的⼆⾯⾓。

解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求⼆⾯⾓B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平⾯BDC 1，垂⾜为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G∵EF ∥AD 1，OC ⊥AD 1 ∴OC ⊥EF 即CG ⊥EF 。

求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。

它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。

在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。

方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。

首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。

具体步骤如下：1. 找到两个平面或曲面上的法向量。

2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。

3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。

例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。

首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。

底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。

然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。

将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。

方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。

它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。

具体步骤如下：1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。

2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。

3. 根据正弦定理计算出二面角。

例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。

首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。

可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。

几何法求二面角的四种方法嘿，咱今儿个就来唠唠几何法求二面角的那四种方法！这可是数学里挺重要的一块儿呢！第一种，咱可以通过找垂线来搞定。

就好比你要去一个地方，得先找到条直直的路一样。

在二面角的图形里，努力找找看有没有能和两个面都垂直的线，要是找到了，那可就像找到了宝贝！这条垂线和两个面的交点，还有其他一些关键的点，连起来，就能大概知道二面角的样子啦。

第二种呢，是找垂面。

这就好像给二面角盖了个小房子，这个垂面和那两个面的交线，就是二面角的边呀！通过研究这个垂面和其他线的关系，不就能慢慢把二面角给揪出来了嘛。

再来说说第三种，定义法。

这就像是按照规矩办事儿，根据二面角的定义，直接去量量角的大小。

虽然可能有点麻烦，但有时候还真挺管用呢！就像有些事情，虽然简单直接，但效果可不差呀。

最后一种，投影法。

哇，这个可有意思了！就好像是把一个东西的影子投到另一个地方，通过研究这个影子，就能知道原来那个东西的一些情况。

在二面角里，找到一个面在另一个面上的投影，然后通过一些计算，就能求出二面角啦。

你想想看，数学的世界多奇妙呀！这四种方法就像是四把钥匙，能打开求二面角这个大门。

每把钥匙都有它独特的用处，咱得根据不同的题目情况，选对钥匙去开锁呀！比如说，遇到一个特别复杂的图形，可能就得先从找垂线入手，一点点理清楚；要是图形比较有规律，那定义法说不定就能快速解决问题呢。

这就跟咱生活中做事一样，得灵活应变，不能死板对吧？而且啊，学会了这四种方法，那在解几何题的时候，可就有底气多啦！就像战士有了厉害的武器，还怕打不赢仗吗？哎呀，这几何法求二面角，真的是很有意思呢，只要咱用心去学，肯定能掌握得牢牢的！总之，这四种方法都很重要，都得好好琢磨琢磨。

咱可不能小瞧它们，要把它们变成咱解题的好帮手！加油吧，朋友们，让我们在几何的海洋里畅游，把二面角这些难题都轻松拿下！。

二面角的求法
—高三一轮复习专题讲座
海阳市第二中学高三数学组 侯振良
青苗辅导
1
前言：
二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，
是历年高考考查的重点内容。 二面角的求解有很多种不同的方法，在探究其解
法的过程中，能同时对学生考察空间作图能力、空间 想象能力、逻辑推理能力等，能通过对二面角的考查 来考查学生对立体几何中大多数知识的掌握和运用情 况。
求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
D1 A1
FD A
C1 B1
C B
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
3、小组交流展示；4、总结。
青苗辅导
13
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线。
∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中 点，∴AP=AB,
1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。
其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的 方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量 法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。
青苗辅导
19
点评
这几种方法是现在求二面角的常用 的方法，在高考中经常被考查；尤其是 向量法，更有着广泛的被考查性，在应 用的时候主要注意以下两点： 1、合理建系。本着“左右对称 就地取 材”的建系原则。 2、视图取角。由于法向量的取定有人为 的因素，其夹角不一定正好是二面角的 平面交的大小，我们要视原图形的情况 和题意条件进行正确的选择大小，即要 么是这个角，要么是它的补角。
同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱 的棱长为2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即为 所求。

在厶GAB中，AG AB = 2 , GAB 二900,cos —BFG 二GF2 FB2 -BG22GF FB丄3-112 22厂2 32-2 63五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S—AM —B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）;在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF）,这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1 （2009全国卷I理）如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD _底面ABCD, AD=2DC 二SD =2，点M 在侧棱SC上，.ABM =60°（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）求二面角S-AM -B的大小。

证（I）略解（II）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM中过点B作BF _ AM交AM于点F，则点F为AM的中点，过F点在平面GF交AS于G ,连结AC ,•••△ AD3A ADS 二AS-AC,且M是SC的中点，••• AML SC, GF 丄AM 二GF// AS,又T F 为AM 的中点，••• 6卩是厶AMS的中位线，点G是AS的中点。

贝U ■ GFB即为所求二面角T SM 二2，则GF SA = AC »6 ,• AM =2T AM 二AB =2, . ABM =60°ABM 是等边三角形，• BF *3练习1 （2008山东）如图，已知四棱锥 P-ABCD ，底面ABCD为菱形，PA 丄平面ABCD ,.ABC =60 ,E , F 分别是BC, PC 的中点.（I ）证明：AE 丄PD;（n ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面RAD 所成最大角的正切值为 —1 2 3 4 5 6，求二面角E — AF — C 的余弦值.2分析：第1题容易发现，可通过证AE 丄AD 后推出AE 丄平 面APD 使命题获证，而第 2题，则首先必须在找到最大 角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点面角的余弦值。

解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。

五法求二面角定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S—AM —B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）;在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF）,这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1 （2009全国卷I理）如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD, AD .2DC SD 2，点M 在侧棱SC上，ABM =60（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）求二面角S AM B的大小。

证（I）略解（II）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM中过点B作BF AM交AM于点F，则点F为AM的中点，过F点在平面GF交AS于G ,连结AC ,•••△ AD3A ADS 二AS-AC,且M是SC的中点,••• AML SC, GF 丄AM 二GF// AS,又T F 为AM 的中点，••• 6卩是厶AMS的中位线，点G是AS的中点。

贝U GFB即为所求二面角T AM AB2, ABM600• △ ABM是等边三角形,• BF 3在厶GAB中, AG.6T，AB2, GAB 900, •BG , 2411.2cos BFG GF2FB2BG21c 112 3 5 262GF FB2 23 6232求二面角B-FC1-C的余弦值。

证（1）略SA AC AM 2面角S AM B的大小为arccos（平面角，在△ BCF 为正三角形中，OB 」3,在 Rt △ CC 1F 中，△ OPFCC 1F, •/练习1 （2008山东）如图，已知四棱锥 P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA 丄平面ABCD ,ABC 60 ,E , F 分别是BC, PC 的中点.（I ）证明：AE 丄PD;（n ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面RAD 所成最大角的正切值为 二3 2 * 4 5 6，求二面角E — AF — C 的余弦值.2分析：第1题容易发现，可通过证AE 丄AD 后推出AE 丄平 面APD 使命题获证，而第 2题，则首先必须在找到最大 角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 面角的余弦值。

二面角求法例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底面正方形的中心，求二面角O 1-BC-O 的大小。

解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ，易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三角形。

∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ，∴∠OEO 1是二面角O 1-BC-O 的平面角， 连OO 1，OO 1⊥平面ABCD ， ∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=21∴tan ∠OEO 1=22111==OEOO∴所求二面角θ=arctan2。

例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 1D 1的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。

解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂足，连GO ，易证GO ⊥AC ，又BD ⊥AC∴∠GOH 是所求二面角的平面角， GH=1，OH=42∴tan ∠GOH=22421==OH GH ∴所求二面角θ=arctan 22。

利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。

例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。

例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。

解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BO ⊥AC ∴B 1O ⊥AC ， ∠BOB 1是二面角B-AC-B 1的平面角，tan ∠BOB 1=22211==BO BB ∴所求二面角θ=arctan 2. 例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。

解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G ，连GH 。

二面角的求法一、基本观点(一).求二面角的主要方法：（1） 定义法：①找（作）二面角的平面角；【先证】②解三角形求出角。

【后算】 （2） 公式法：设二面角的度数为θ，则侧面三角形射影三角形S S =θcos多用于求无棱二面角。

(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.二、求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.例题解析题3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。

（1）求证AM //平面BDE ；（2）求二面角A -DF -B 的大小； （3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60︒。

解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE 。

∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE 。

(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF 。

∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角。

在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º。

几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 6题型三补形平移法求线线角 8题型四作垂线法求线面角 10题型五等体积法求线面角 13题型六定义法求二面角 15题型七三垂线法求二面角 17题型八垂面法求二面角 19题型九补棱法求二面角 22题型十射影面积法求二面角 25知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。

1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。

3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。