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第一章数学物理方程讲义的解法

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第1章 数学物理方程及定解问题

第1章 数学物理方程及定解问题
记 = a
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。

数学物理方程 第一章典型方程和定解条件

数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )

数学物理方程第一节

数学物理方程第一节
2 2
v 所满足的方程：
v v v LC 2 ( RC GL) GRv 2 x t t
2 2
上两方程称为传输线方程.
若在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的 效应忽略不计，就是说令 G R 0
2i 1 2i 2 t LC x 2
，
v 1 v 2 t LC x 2
S
n
M
S
V
热 场
图1-3
设在时刻 t 物体 内任一点M ( x, y, z ) 处的温度为
u ( x, y, z, t )．现在要建立u ( x, y, z , t ) 所满足的
微分方程．
热学中的付里叶（Fourier）定律
u dQ k dSdt k ( gradu )ndSdt n
2
2 2
u u u 2 f ( x , y , t ) a 2 2 2 t x y
2
2
2
3.由声波在介质中传播，可推导介 质的压强所满足的三维波动方程
2 2 2 u u u 2 u a 2 2 2 2 y z t x
第一章 一些典型方程和定解条件的 推导
§1.1 基本方程的建立 例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线 拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及 弦本身的重力外，不受外力影响．下面研 究弦作微小横向振动的规律．
• 1. 所谓“横向”是指全部运动出现在同一平面上， 而且弦上的点沿垂直于 x 轴的方向运动. • 2. 所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置 处切线的倾斜角都很小，以至它们的高于一次方的 项都可以忽略不计．
2
2
a
2
T

数学物理方程数学物理第一章

数学物理方程数学物理第一章

非线性微分方程的应用
总结词
非线性微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
详细描述
非线性微分方程在物理学中用于描述各种动态过程，如振荡、波动、控制等现象；在工程学中用于描 述控制系统、电路、机械振动等问题；在经济学中用于描述金融市场、人口动态等问题。此外，非线 性微分方程还在生物学、化学等领域有广泛应用。
数学物理方程通常包括微分方程、积 分方程、偏微分方程等类型，这些方 程式在数学和物理学中有着广泛的应 用。
数学物理方程的分类
根据变量的个数，数学物理方程可以分为常微分方程、偏微分方程等类 型。
根据方程的形式，数学物理方程可以分为线性方程和非线性方程。线性 方程是指方程中的未知数和参数之间是线性关系，而非线性方程则是指
总结词
求解非线性微分方程的方法包括分离变量法、积分变换法、幂级数解法等。
详细描述
求解非线性微分方程的方法有多种，其中分离变量法是将方程中的变量分离出来，转化为容易求解的常微分方程 ；积分变换法通过积分变换将非线性微分方程转化为容易求解的线性微分方程；幂级数解法是通过幂级数展开来 求解非线性微分方程。
数学物理方程数学物理第一 章
汇报人： 202X-12-29
contents
目录
• 数学物理方程的概述 • 线性常微分方程 • 非线性微分方程 • 偏微分方程
01
数学物理方程的概述
数学物理方程的定义
数学物理方程：描述物理现象中各个 量之间关系的方程式。它通常由变量 、参数和函数组成，能够反映物理系 统的状态和变化规律。
有限差分法
将偏微分方程转化为离散的差分 方程，通过迭代求解。
有限元方法
将偏微分方程的求解区域划分为 有限个小的子区域，每个子区域 用有限元近似表示，从而将偏微 分方程转化为线性方程组进行求

数学物理方程讲义

数学物理方程讲义
u
x x0 y 0

y
w (s , t )dsdt f ( x ) g ( y )
(f , g为任意连续可微函数)
(4)u u ( x , y ) : u x u y
作变量代换s x y , t x y u x us s x ut t x us ut u y us s y ut t y us ut ut 0 u f (s ) (f为任意函数) u(x, y ) f (x y ) 一般地，au x bu y 0 (a, b为常数)
x 2t， x 6 xt 满足热传导方程
2 3
(6)u u ( x , y ) : u xx u yy 0(调和方程)
可验证: y 3 3x 2 y , x 3 3xy 2 , sin nx sinh ny (n 0) 均为解
(7)u u ( x , y ) : u xxyy 0
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性 N 1 A ( x ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0
N
N
拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数本身是线性的 N 1 N 1 A ( x , u , Du , , D u ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0 完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的
§2.1 波动方程的定解问题 波动方 波动方程是描述振动与波的传播现象的一种发展方程 动 波 传 种发 方 弦的横振动（弦振动方程） 杆的纵振动 一维非线性弹性振动 报方程 电报方程 膜的横振动 声波方程 电磁波方程

数学物理方程第二版_第一章教案+

数学物理方程第二版_第一章教案+

基本假设： 1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。 （细弦）
2. 弦在某一个平面内作微小横振动。 弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线 的方向上作微小振动。 （微幅） 3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。 弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形与张力 的关系服从虎克(Hooke)定律。 （横振动）
基本规律：
牛顿第二定律: F=ma 作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度 冲量定律 : 作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化
研究对象： u ( x, t )
弦线上任意一点在 t 时刻沿y轴上的位移 在右图所示的坐标系，用u(x, t)表示 弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。 在这条弦上任意取一弦段(x, x+Δx)， 它的弧长为 ：
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u ( x,0) u ( x,0) ( x), ( x) (0 x l ) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分 方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
2u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) T gdx t 2 dx x x
2 u ( x, t ) a t 2
ds dx
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
回 答 下 列 方 程 是 线 性、 非 线 性 的 ？ 齐 次 非次 ？ 阶 数 ？ 的 齐

数学物理方程(谷超豪)课后答案

数学物理方程(谷超豪)课后答案

第一章．波动方程§1方程的导出。

定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(t x u ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。

ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。

现在计算这段杆在时x +x x ∆刻的相对伸长。

在时刻这段杆两端的坐标分别为：t t ),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令，取极限得在点的相对伸长为。

由虎克定律，张力等于0→∆x x x u ),(t x ),(t x T ),()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。

)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu ()若常量，则得=)(x s =22)(tu x ∂∂ρ)((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为l x x ==,0.0),(,0),0(==t l u t u (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边l x =l x =xux E t l T ∂∂=)(),(l x =界条件为|=0xu∂∂l x =同理，若为自由端，则相应的边界条件为∣0=x xu∂∂00==x (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移l x =由函数给出，则在端支承的伸长为。

数学物理方程第一章

数学物理方程第一章

u t
a
2
2u x2
2u y2
2u
z 2
f
x,
y, z,t
其中 f x, y, z,t F .
c
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
u
a2
(
2u
2u
2u )
0
t
x2 y2 z2
三维热传导方程
u t
a
2
(
2u x 2
2u y2
)
0
二维热传导方程
u t
a
2
(
u t
dt
dV
t2
t1
V
c
u t
dV
dt
由于所考察的物体内部没有热源, 根据能量守恒定律
可得 Q2 Q1 , 即
t2
t1
c
信息V工程学院
ut
x
kux
y
kuy
z
kuz
dV dt 0
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
由于时间 t1 ,t2 和区域 V 都是任意选取的,并且 被积函数连续, 于是得
i , j1
i 1
这里 aij ,bi , f和 g都是关于自变量 xi 的函数。
如果 g 0 ，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
主要内容
➢从不同的物理模型出发，建立三类典型方程； ➢根据系统边界所处的物理条件和初始状态列 出定解条件； ➢提出相应的定解问题
时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS

数学物理方程第一章

数学物理方程第一章
2 u 2u 2u 2 u a 2 f ( x, y, z, t ) 2 2 t y z x
2u 2u 2u u a2 2 f ( x, y, z, t ) 2 2 t y z x
2
utt x, y, t a uxx x, y, t u yy ( x, y, t ) f x, y, t


当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波
在空气中的传播，一般写成：
2
utt x, y, z, t a uxx x, y, z, t uyy ( x, y, z, t) uzz ( x, y, z, t) f x, y, z, t


4.定解条件与定解问题： 一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
u 即： ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的位移） u t ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的速度） 这里 ( x), ( x) 为已知函数。 2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移 变化。
且弦在 M 1 , M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为 1 , 2 由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T ( x1 ) cos1 T ( x2 ) cos 2
u x 1
cos 1 1 ux
2
T ( x1 ) T ( x2 )

数学物理方程---_1_数学建模与基本原理介绍 105页PPT文档

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学
定解问题的完整提法：
建 模
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在及其
给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
基 本
原
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
理 介
特殊性，即个性。
绍
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
西安交通大学理学院它反映了问题的共性。
T （ u xx d x u xx ） f 0 (x ,t) d x (d x ) u tt
数 学 物 理 方 程
T u xx d d x x u xx f0 (x ,t) T u x x f0 (x ,t)u tt
令 a2 T /
f(x,t)f0(x,t)/
学
建
模
及
其
基
本
原
理
介
绍
8
西安交通大学理学院
设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近
产生振幅极小的横振动
数
第
学 物 理 方
u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移
一 章
程
求：细弦上各点的振动规律
数 学
建
以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过弦
模 及
线的一个端点的直线为u轴建立坐标系。
u(x)
F
u+u
如考虑弦的重量： T2 2 沿x-方向，不出现平移
u
数
1
B
学
物 理
T1
gdx
0 方
程
x
x+x
T 2co s2 T 1co s10 （1第）

数理方程第一章-3讲解

数理方程第一章-3讲解

a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
深圳大学电子科学与技术学院
知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
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2021/2/23
2
课程内容：
第一章：微分几何（4） 第二章：线性空间（4） 第三章：渐近方法（5） 第四章：格林函数法（5） 第五章：积分方程的解法（5）
2021/2/23
3
课程学习目标：
1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数 集的应用； 2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函 数的应用； 3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌 握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。 4、学习和提高编程分析实际问题的能力。
1、三维空间中的曲线； 2、三维空间中的曲面； 3、曲面的第一、二基本形式； 4、曲面的曲率； 5、测地线； 6、张量简述。
2021/2/23
9
：第一章 微分几何
推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何讲义》陈省身 陈维恒著，北京大学出 版社
《微分几何》梅向明 黄敬之编，高等教育出版社
2021/2/23
10
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
一、曲线的表示
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下运动质点的位置为
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
其中 i , j, k 为单位正交基向量．
空间曲线定义： 区间(a, b)上点t 在映射：t (x(t), y(t), z(t)) 下像的集合
曲线C的表示：
C 可用向量形式的参数方程表示为
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k [x(t), y(t), z(t)]
或写为分量形式的参数方程 x x(t)
y y(t) , t(a, b) ．
2021/2/式23 中t 称为 C 的参数
z z(t)
11
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
dt 0
dt1
曲线202C1/2上/23 一点如取参数t 时为正则点，则在取t1表示时也为正14则点
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
周半径、角速率和向上速率．此时
r (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ，
说明该参数化使之成为正则曲线。
或者称该曲线是（－, ）上的正则曲线。
2021/2/23
13
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例3 半立方抛物线光滑曲线
r (t) (t3 , t2 , 0) , tR ， 则 r (t) (3t2 , 2t , 0) ，
仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值 对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例 子．
例2 半径为a，螺距为2πv的圆柱螺线，如视为动点的轨
迹，表示为 r (t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ，
其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的圆
2021/2/23
6
第一章 微分几何
微分几何是采用微积分的方法研究几何图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。
微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解 空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。
2021/2/23
7
第一章 微分几何
微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。
微分几何解决问题的一般出能说
明几何学某些性质 的几何量
给定某些微 分量
求解
确定几何体
2021/2/23
几何量
微分方程的解集即几何体
满足的条件（微分方程） 8
第一章 微分几何
二、正则
假定所研究的曲线 r (t) 至少是t 的一阶连续可微函数。
定义 ：如果给定参数曲线 C: r r (t) , t(a, b) ． • 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r (t0 ) 为 C 的一个正则点． • 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r (t0 ) 为 C 的一个奇点；
若曲线上所有点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t 为正 则参数． 几何意义：
• 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点
处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
2021/2/23
12
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例1 若参数曲线 C: r r(t) 常矢 , tR ，则其几何图形
故此时其奇点有且仅有一个：r(0) ． 该曲线是（－, 0）和（0, ）上的正则曲线。 三、同一曲线的不同参数表示
同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为r (t)，用t＝t (t1) 引入新参量t1，则r (t) r (t (t1)) ＝ r 1 (t1)，为保障t, t1一一对应且
为使t, t1增加的方向均相应于曲线正向，要求
2021/2/23
4
学习要求：
按时到课，完成作业，及时复习。
考核方法：30%平时+70%期末（闭卷） 推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何》梅向明 黄敬之 编，高等教育出版社
《物理学中的数学方法》拜伦著，1982年，科学出 版社
2021/2/23
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第一章 微分几何
微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的， 在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的 蒙日，德国的高斯、克莱因等。
经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具 特色，应用广泛的学科。
在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常 遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明 的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。
第一章数学物理方程的解法
精品jing
课程特点：
数学物理方法是物理学类、电子信息科学 类和通信科学类的重要公共基础课和工具。
主要特色在于数学和物理的紧密结合， 将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问 题的分析中，通过物理过程建立数学模型， 通过求解和分析模型，对具体物理过程的深 入理解。提高分析解决实际问题的能力。