数理方法第一章

课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。

该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。

故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。

如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。

本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。

其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。

第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。

《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。

所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。

对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。

因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。

本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。

近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。

概率论与数理统计第一章思维导图概率论与数理统计第一章思维导图：
1、统计学：统计学是研究发生在实际或理论中事件的过程，用于估计实际可能发生的情况和结果的科学。

2、概率：概率是描述实际事件发生的可能性的一种计量方法，它是一种相对的度量。

3、不确定性：不确定性是模型构建中的基本要素，它反映了模型在实际应用中不能精确描述实际情况，而要做出可能与实际有所偏差的预测。

4、随机变量：随机变量是统计分析中的基本概念，它表示一类事件发生时观测到的可能结果。

5、概率分布：概率分布是描述事件发生的概率特性的方法，通过它可以掌握事件可能发生某种结果的概率大小。

6、离散型概率分布：离散型概率分布的核心思想是将随机变量的取值划分为一些互斥的概率事件，并为每个概率事件提供发生概率。

7、连续型概率分布：连续型概率分布是在随机变量的取值期间取得连续概率分布及其密度函数的方法，它提供了一种可靠的可量化的方法来描述随机事件的发生可能性。

8、期望：期望是统计学中的一种有效度量，它反映了随机变量取不同值时的期望值大小，期望也是统计分析的基础。

9、方差：方差是衡量随机变量发生结果的变异程度的重要参数，它还可以衡量偏差量与期望量之间的差异。

10、协方差：协方差是衡量两个随机变量发生结果之间的线性相关性的参数，它可以用来衡量两个变量之间发生的相关性大小。

第一章 随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件，用A 、B 、C …表示。

事件A 的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。

A 中的某个样本点出现了，事件A 发生，否则，A 不发生。

因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。

样本空间S 有两个特殊的子集；S 自身和空集φ。

S 含所有的样本点，每次试验，必然发生；φ不含样本点，每次试验一定不发生。

在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。

每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。

必然事件S ，不可能事件φ是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，S A ⊂⊂φ。

此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。

样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。

2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。

其运算规律也同集合间的运算规律。

(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B (或B 包含A )，记B A ⊂(或A B ⊃)。

若B A ⊂且A B ⊃，则称事件A 与事件B 相等，记B A =。

(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，记作B A ，称为A 与B 的和事件，有{}B e A e e B A ∈∈=或 。

同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件，记作 ni i A 1=，称为有限个事件的和事件。

可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件，记作 ∞=1i i A ，称为可列多个事件的和事件。

(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件，记作B A (或AB )，称为A 与B 的积事件，{}B e A e e AB ∈∈=且 类似地，有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件，记作 ni i A 1=。

第一章数理逻辑1.1 命题1. 设P是命题“天下雪”；Q是命题“我去镇上”；R是命题“我有时间”。

(a) 用逻辑符号写出以下命题：(i) 如天不下雨和我有时间，那么我去镇上；(ii) 我去镇上，仅当我有时间；(iii) 天不下雪；(iv) 天正在下雪，我也没去镇上。

(b) 对下述命题用中文写出语句：(i) ()↔∧⌝；Q R P(ii) R Q∧；(iii) ()()→∧→；Q R R Q(iv) ()⌝∨。

R Q2. 否定下列命题：(a) 上海处处清洁；(b) 每一个自然数都是偶数。

3. 说出下述每一命题的逆命题和逆反命题：(a) 如果天下雨，我将不去；(b) 仅当你去我将逗留；(c) 如果n是大于2的正整数，则方程n n n+=无正整数解（费尔马最后定理）；x y z(d) 如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。

4. 给P和Q指派真值T，给R和S真值F，求下列命题的真值：(a) (()())∧∧∨⌝∨∧∨；P Q R P Q R S(b) ()(())⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝；P Q R Q P R S(c) ()∨→∧⌝↔∨⌝。

P Q R P Q s5. 构成下列公式的真值表：(a) ()∧→→；Q P Q P(b) ()∨→∧→∧⌝。

P Q Q R P R6. 证明下列公式的真值与它们的变元值无关：(a) ()∧→→；P P Q Q(b) ()()()→∧→→→。

P Q Q R P R7. 对P和Q的所有值，证明P Q⌝∨有同样的真值。

证明()()→与P Q→↔⌝∨总是P Q P Q 真的。

8. 设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z**逻辑等价，那么运算**与()x y z符*是可以结合的，(a) 确定逻辑运算符∧∨→↔、、、哪些是可结合的；(b) 用真值表证明你的断言。

9. 指出一下各式哪些不是命题公式，如果是命题公式，请说明理由：(a) )()))(((；⌝→∧∨P P Q R(b) ()))∧→→((。

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。

2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。

3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。

5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。

2018考研数学（三）：概率论与数理统计第一章复习重点总结一、第一章随机事件与概率1.重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。

2.难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。

3.常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。

事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。

注意事件与概率之间的关系。

本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。

近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。

相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。

大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。

考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。

应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。

【评注】本题是典型的根据全概率公式及条件概率的解题的题型，这类题型一直都是考查的重点。

三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。

但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。

一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。

概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。

在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。