数学物理方程第一章
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第一章+数学物理方程概述
第一章 数学物理方程概述数学物理方程，其定义是研究反映物理规律的数学方程。
由于一般的物理量基本都具有多个变量()t z y x ,,,，因此，它所满足的微分方程属于偏微分方程。
本章的目的，归纳出几个常见物理问题对应的数学物理方程。
§1.1 常见数学物理方程的导出1.1.1 常见的几个偏微分方程波动方程：数学上称双曲型方程，表现为场的波动性。
热传导方程或扩散方程：数学上称抛物型方程，表现为不可逆的输运过程。
拉普拉斯（Laplace ）方程和泊松方程：数学上称椭圆型方程，表现为场的稳定分布。
()⎪⎩⎪⎨⎧−=∇=∇zy x u u ,,022ρ其中，算符z y x e ze y e x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇，∇⋅∇=∇=Δ2称为拉普拉斯算子。
直角坐标系下， ()xx u xux u =∂∂=∇222一维yy xx u u y uxu y x u +=∂∂+∂∂=∇22222),( 二维 ()zz yy xx u u u zuy u x u z y x u ++=∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222,, 三维1.1.2 常见数学物理方程的导出一、波动方程的导出1、弦的横振动如图1所示，一根拉紧的弦在平衡位置（x 轴）附近做横向微小振动()1<<α。
已知弦的线密度为ρ，作用于弦单位长度的外力为()t x F ,，方向垂直x 轴，弦上的张力为T ，()t x u ,表示弦上x 点在时刻t 的距离平衡位置的垂直位移。
推导弦横向振动所满足的方程。
图1 弦的横振动将弦上任意一小段()x x x Δ+,作为研究对象，由牛顿第二定律，小弦纵向和横向的运动方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅Δ=Δ+−=2211222211sin sin cos cos t ul l F T T T T ραααα由于弦的振动幅度比较小（α较小），所以有如下近似条件： T T T ==⇒≈=21111cos cos αα,T 为常数； x x u ∂∂=⇒==1111sin sin tan αααα，xx xuΔ+∂∂=2sin α；弦长x dx x u l xx xΔ≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=Δ∫Δ+21。
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
第一章 数学物理中的偏微分方程
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
数学物理方程
方程 uxx uyy A5ux B5uy C5u D5, 称为椭圆型方程的 标准形。
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 a122 a11a22 ，根据判别式判 断方程的类型；
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11
(
dy dx
)
2
2a12
dy dx
a22
0
(2)
称为方程（1）的特征方
(2)当 0 时，特征线 (x, y) c. 令 (x, y), (x, y).
其中 (x, y)是与 (x, y)线性无关的任意函数，这样以, 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 (3)
dx
a11
称为特征方程，其解为特征线。
设这两个特征线方程的特征线为 (x, y) c1, (x, y) c2.
令 (x, y), (x, y).
第三步(1)当 0 时，令 (x, y), (x, y). 以 , 为 新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是, 的已知函数。
(3)若在(x0, y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 (x0, y0 ) 处为椭圆型方程。
例：波动方程 utt a2uxx f (x,t) a2 0 双曲型
热传导方程 ut a2uxx f (x,t) 0 抛物型
位势方程 uxx uyy f (x, y) 1
椭圆型
二、方程的标准形式
定义：方程
uxy A1ux B1uy C1u D1,
第1章 复数与复变函数数学物理方程
z平面
ω 平面
复变函数w =f(z)可以写成w =u(x,y)+iv(x,y)， 其中z=x+iy
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复变函数论
第1章 复数与复变函数
几类基本初等函数 幂函数
n为正整数
z n n (cos i sin ) n n (cosn i sin n ) n e in
z1
z2 p
区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为 D
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复变函数论
第1章 复数与复变函数
定义5：单连通域与多连通域
若在区域D内作任意闭合曲线，曲线所包围的所有点都属于D， 那么D称为单连通区域，否则，D称为复连通区域。 规定：若观察者沿边界线走时，区域总保持在观察者的左边， 那么观察者的走向为边界线的正向；反之，则称为边界线的 负向。
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
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复变函数论
第1章 复数与复变函数
z1 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i 2 2 2 2 z2 x2 y 2 x2 y 2 r1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) r2 r1 exp[i(1 2 )] r2
指数函数 e z e x cos y i sin y
e z e x , Arg e z y
z x iy
性质
周期性
y 0时, e z e x ; x 0时, eiy cosy isiny
exp(z i2 ) exp(z)
第1章 数学物理方程及定解问题
记 = a
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
数学物理方程答案谷超豪
数学物理方程答案谷超豪数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程u ?x.u?2u?ux2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?gxx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得2u??ug[(l?x)]。
x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程2222u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?y x,y,t有二阶连续偏导数。
且232u(t2?x2?y2)?tt35u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22t(t2x2?y2)32(2t2?x2?y2)u(t2?x2?y2)?x32x2u?x2t?x22352?2222?22?y?3t?x?yx52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2y所以即得所证。
2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2 2u2?u?2?a2t?x?ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5?t2?x2?y22t2?2x2?y22u?x22u?y2t?x?225?y222t2x?y22t2.2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。
第一章----波动方程
总之：
无外力作用的一维弦振动方程：
2u t 2
a2
2u x2
0
外力作用下的弦振动方程：
(1.4)
2u t 2
a2
2u x2
f (x,t)
(1.5)
其中 a2 T , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种 振动或波动现象，后面将给出解释。
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
第1章 绪 论
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
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3）定解条件: 将初始条件和边界条件称为定解条件 4）定解问题：一个偏微分方程连同相应的定解条件组成一
即：u(x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的位移） ut (x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的速度）
这里 (x),(x) 为已知函数。
2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移
变化。
即：u(0,t) g1(t), u(l,t) g2 (t) 这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 特别地当 g1(t) g2 (t) 0 时，称弦线具有固定端。
在空气中的传播，一般写成：
utt x, y, z,t a2 uxxx, y, z,tuyy(x, y, z,t) uzz (x, y, z,t) f x, y, z,t
4.定解条件与定解问题：
一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
第三类边界条件（Robin边界条件）：端点的位移与所 受外力的线性组合。
即：T 0ux (0,t) 1u(0,t) g1(t),这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 T0ux (l,t) 2u(l,t) g2 (t)（i 0,i (i 1,2) 表示弹性系数）
特别地：g1(t) g2 (t) 0 时，表示弦的两端固定在弹性支撑上
第一章 典型方程与定解条件
牛顿第二定律 方程的导出
能量守恒定律
弦振动方程 热传导方程
基本概念：题的适定性：解的存在、唯一、稳定性
一、牛顿第二定律与弦振动方程
1.物理模型：一根两端固定的拉紧的长为l 的均匀柔软的
细弦，在垂直于平衡位置的外力作用下在平衡位置附近
或声波在管中的传播，也可以表示杆的纵振动（即一均
匀细杆在外力的作用下延长杆方向作微小振动）。
当n=2时，为二维波动方程，表示膜的振动或水面上的水
波的传播，一般写成：
utt x, y,t a2 uxxx, y,t uyy(x, y,t) f x, y,t
当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波
称方程为弦的自由微小横振动方程。
称形如：
utt x1, x2 , xn , t a2u f x1, x2 , xn , t
的方程为n维波动方程，其中 x1, x2, xn 表示位置变量，
t表示时间变量，
n
i 1
2 xi 2
称为n维Laplace算子。
当n=1时，为一维波动方程或弦振动方程，表示弦的振动
做微小的横振动，求弦上各点的运动规律。
2.模型的假设说明（：忽略非本质因素，抓住本质）
1)弦本身：
均匀：体密度 (kg / m3)为常数；
线密度
细：弦的横截面直径相对于弦的长 度
(kg / m)
为常数
柔软可：以只忽抗略伸不长计不，抗弦弯近曲似，地即看各成点线的。张力沿各点的切
线方向。（解释：弯皮筋不费力，弯铁丝费力）
step1：证明弦上各点的张力大小T (x,t) 为常数（即与 x, t
无关）。 在弦上各点任取一小段弧 M1M 2 ，设其弧长为 s ，则有：
s
x2 x1
1 ux2 dx
ux 1
s x2 x1 ………（1）
由（1）的这段弦在振动过程中没有伸长，由Hooke定
律得到弦上各点所受张力在运动过程中保持不变，即
第二类边界条件（Neumann边界条件）：端点所受的垂 直于平衡位置外力的作用。
即：T 0ux (0,t) g1(t),T0ux (l,t) g2 (t) ，这里 g1(t), g2 (t) 已知
可写成 ux (0, t) 1(t), ux (l, t) 2 (t) 这里 1(t), 2 (t) 已知 特殊地：1(t) 2 (t) 0 时，称弦具有自由端。
2)弦运动： 横振动：弦的运动发生在同一平面内，且弦上各 点的位移与平衡位置垂直。
x 轴，且
弦上各点以横坐标表示。
如右图建立直角坐标系，则在
t 时刻，弦的形状为曲线u u(x,t)
微小：各点的位移小且 ux 1，即相对1可忽略不计 3.建立方程（利用牛顿第二定律和微分中值定理） 复习：微分中值定理：若函数f (x) 在[a,b]连续，(a,b)可 导，则存在c(a,b)有：f (b) f (a) (b a) f (c)
另一方面由于弦段 (x1, x2) 很小，其上各点的加速度相差也
太大，因此可用其中任一点 处的加速度 utt | 代替，
于是该小弦的质量与加速度的乘积为
utt | (x2x1) (x1 x2 )
垂直于平衡位置的力密度 f0 (x,t) 在 (x1, x2) 所产生的力为：
f0 ( ,t)( x2 x1) 由牛顿第二定律有：
T (x,t) 与 t 无关。
进一步设弦上 M1, M 2 两点所受张力的大小分别为T (x1),T (x2)
且弦在 M1, M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为1,2
由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T (x1) cos1 T (x2 ) cos2
ux 1
T (x1) T (x2 )
cos 1 1 ux2
即T (x,t)与 x无关，由上得到 T (x,t) 与 x, t 无关。以下记
之 T0 。 step2：利用牛顿第二定律来建立方程。 张力在u轴方向分量 的代数和为
fu T0 sin 2T0 sin 1 T0 tan 2T0 tan 1
T0 ux (x2,t) ux (x1,t) T0uxx(,t)(x2x1) (x1 x2)
T0uxx( ,t) f0 ( ,t) utt (,t)
令 x2 x1 则有：
Tu xx (x, t) f0 (x, t) utt (x, t) utt a2uxx f
其中
a2 T , f f0
………（2）
注： 称(2)为弦的强迫微小横振动方程；若无外力，则(2)式
显然为：utt a2uxx
即：u(x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的位移） ut (x,0) (x) (0 x l) （初始时刻的速度）
这里 (x),(x) 为已知函数。
2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移
变化。
即：u(0,t) g1(t), u(l,t) g2 (t) 这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 特别地当 g1(t) g2 (t) 0 时，称弦线具有固定端。
在空气中的传播，一般写成：
utt x, y, z,t a2 uxxx, y, z,tuyy(x, y, z,t) uzz (x, y, z,t) f x, y, z,t
4.定解条件与定解问题：
一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
第三类边界条件（Robin边界条件）：端点的位移与所 受外力的线性组合。
即：T 0ux (0,t) 1u(0,t) g1(t),这里g1(t), g2 (t) 为已知函数。 T0ux (l,t) 2u(l,t) g2 (t)（i 0,i (i 1,2) 表示弹性系数）
特别地：g1(t) g2 (t) 0 时，表示弦的两端固定在弹性支撑上
第一章 典型方程与定解条件
牛顿第二定律 方程的导出
能量守恒定律
弦振动方程 热传导方程
基本概念：题的适定性：解的存在、唯一、稳定性
一、牛顿第二定律与弦振动方程
1.物理模型：一根两端固定的拉紧的长为l 的均匀柔软的
细弦，在垂直于平衡位置的外力作用下在平衡位置附近
或声波在管中的传播，也可以表示杆的纵振动（即一均
匀细杆在外力的作用下延长杆方向作微小振动）。
当n=2时，为二维波动方程，表示膜的振动或水面上的水
波的传播，一般写成：
utt x, y,t a2 uxxx, y,t uyy(x, y,t) f x, y,t
当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波
称方程为弦的自由微小横振动方程。
称形如：
utt x1, x2 , xn , t a2u f x1, x2 , xn , t
的方程为n维波动方程，其中 x1, x2, xn 表示位置变量，
t表示时间变量，
n
i 1
2 xi 2
称为n维Laplace算子。
当n=1时，为一维波动方程或弦振动方程，表示弦的振动
做微小的横振动，求弦上各点的运动规律。
2.模型的假设说明（：忽略非本质因素，抓住本质）
1)弦本身：
均匀：体密度 (kg / m3)为常数；
线密度
细：弦的横截面直径相对于弦的长 度
(kg / m)
为常数
柔软可：以只忽抗略伸不长计不，抗弦弯近曲似，地即看各成点线的。张力沿各点的切
线方向。（解释：弯皮筋不费力，弯铁丝费力）
step1：证明弦上各点的张力大小T (x,t) 为常数（即与 x, t
无关）。 在弦上各点任取一小段弧 M1M 2 ，设其弧长为 s ，则有：
s
x2 x1
1 ux2 dx
ux 1
s x2 x1 ………（1）
由（1）的这段弦在振动过程中没有伸长，由Hooke定
律得到弦上各点所受张力在运动过程中保持不变，即
第二类边界条件（Neumann边界条件）：端点所受的垂 直于平衡位置外力的作用。
即：T 0ux (0,t) g1(t),T0ux (l,t) g2 (t) ，这里 g1(t), g2 (t) 已知
可写成 ux (0, t) 1(t), ux (l, t) 2 (t) 这里 1(t), 2 (t) 已知 特殊地：1(t) 2 (t) 0 时，称弦具有自由端。
2)弦运动： 横振动：弦的运动发生在同一平面内，且弦上各 点的位移与平衡位置垂直。
x 轴，且
弦上各点以横坐标表示。
如右图建立直角坐标系，则在
t 时刻，弦的形状为曲线u u(x,t)
微小：各点的位移小且 ux 1，即相对1可忽略不计 3.建立方程（利用牛顿第二定律和微分中值定理） 复习：微分中值定理：若函数f (x) 在[a,b]连续，(a,b)可 导，则存在c(a,b)有：f (b) f (a) (b a) f (c)
另一方面由于弦段 (x1, x2) 很小，其上各点的加速度相差也
太大，因此可用其中任一点 处的加速度 utt | 代替，
于是该小弦的质量与加速度的乘积为
utt | (x2x1) (x1 x2 )
垂直于平衡位置的力密度 f0 (x,t) 在 (x1, x2) 所产生的力为：
f0 ( ,t)( x2 x1) 由牛顿第二定律有：
T (x,t) 与 t 无关。
进一步设弦上 M1, M 2 两点所受张力的大小分别为T (x1),T (x2)
且弦在 M1, M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为1,2
由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T (x1) cos1 T (x2 ) cos2
ux 1
T (x1) T (x2 )
cos 1 1 ux2
即T (x,t)与 x无关，由上得到 T (x,t) 与 x, t 无关。以下记
之 T0 。 step2：利用牛顿第二定律来建立方程。 张力在u轴方向分量 的代数和为
fu T0 sin 2T0 sin 1 T0 tan 2T0 tan 1
T0 ux (x2,t) ux (x1,t) T0uxx(,t)(x2x1) (x1 x2)
T0uxx( ,t) f0 ( ,t) utt (,t)
令 x2 x1 则有：
Tu xx (x, t) f0 (x, t) utt (x, t) utt a2uxx f
其中
a2 T , f f0
………（2）
注： 称(2)为弦的强迫微小横振动方程；若无外力，则(2)式
显然为：utt a2uxx