第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()
∂∂∂∂= ∂∂∂∂x u E x t u x t ρ
其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。现在计算这段杆在时
刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++
其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ
令
0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+
于是得运动方程
tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+
利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得
tt u x s x )()(ρx
∂∂
=
x ESu () 若=)(x s 常量，则得
22)(t
u x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u
(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x
u
x E t l T ∂∂=)
(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为
x
u
∂∂|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为
x
u
∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移
由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u −。由虎克定律有
x
u
E
∂∂∣)](),([t v t l u k l x −−== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
)(
u x u σ+∂∂∣)(t f l x == 其中E
k =σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件
)(
u x
u
σ+∂∂∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u
E
∂∂∣)](),0([0t v t u k x −== 即 )(u x
u
σ−∂∂∣).(0t f x −=
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2
222)
1(])1[(t u
h x x u h x x E ∂∂−=∂∂−∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：
h
x
l −=1
所以截面积2
)1()(h
x x s −
=π。利用第1题，得 ])1([)1()(2222x
u
h x E
x t u h x x ∂∂−∂∂=∂∂−ππρ 若E x E =)(为常量，则得
22
22)1(])1[(t
u h x x u h x x E
∂∂−=∂∂−∂∂ρ 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为
)()(x l g x T −=ρ
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为
)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+−−θρθρ
其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u tg ∂∂=≈θθ 于是得运动方程
x u x x l t
u x ∂∂∆+−=∂∂∆)]([22ρ∣x u
x l g x x ∂∂−−∆+][ρ∣g x ρ
利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得
])[(2
2x u
x l x g t
u ∂∂−∂∂=∂∂。 5. 验证 2
221),,(y x t t y x u −−=
在锥222y x t −−>0中都满足波动方程
222222y
u
x u t u ∂∂+∂∂=∂∂ 证：函数2
221),,(y x t t y x u −−=
在锥222y x t −−>0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t
u ⋅−−−=∂∂−23
222)(
22
52222
3
2222
2
)
(3)
(t y x t y x t t u
⋅−−+−−−=∂∂−
−
)2()(22223
222y x t y x t ++⋅−−=−
x y x t x
u
⋅−−=∂∂−
2
3222)(
()
(
)
2252222
32222
23x y x t y x t x
u −
−−
−+−
−=∂∂
(
)()222
252222y x t y x t −+−
−=−
同理 ()()222252222
22y x t y x t y u
+−−−=∂∂−
所以
(
)().2222
22
2
522
22
22
2t u
y
x t
y x t y
u x
u ∂∂=++−
−=∂∂+
∂∂−
即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)
与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.
解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()x x x ∆+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为t
u
b
∂∂−,故()x x x ∆+,上所受摩阻力为 ()()t
u
x
x s x p b ∂∂∆⋅⋅−
运动方程为:
()()()()t u x x s x b x x u ES t u ES t u
x x s x x x ∂∂∆⋅−∂∂−
∂∂=∂∂⋅
∆∆+ρρ2
2
