复合函数的求导法则教案

当堂检测1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4x x y =； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）sin cos cos sin x x x y x x x-=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4x x x x x x x x x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====， '1ln 44xx y -=。

（2）''''2211ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++ '22(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅，'2(24)x y x x e =--⋅。

（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x-=+ ''2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin )x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--⋅+=+ 2(cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+⋅+--⋅-++=+ 2sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ⋅+--⋅=+ 22(cos sin )x x x x =+。

§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。

二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。

泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。

油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。

∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。

又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。

课时：2课时教学对象：大学数学专业学生教学目标：1. 理解复合函数的概念及其求导方法。

2. 掌握复合函数求导的基本法则，包括链式法则、反函数求导法则等。

3. 能够运用复合函数求导法则解决实际问题。

教学重点：1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导的基本法则。

教学难点：1. 复合函数求导法则的应用。

2. 复合函数求导过程中中间变量的确定。

教学准备：1. 教学课件2. 例题和习题教学过程：第一课时一、导入1. 回顾一元函数求导的基本方法。

2. 引入复合函数的概念，说明复合函数求导的重要性。

二、讲解1. 复合函数的概念：由两个或多个函数复合而成的函数称为复合函数。

2. 复合函数求导的基本法则：a. 链式法则：设函数f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x))，则y对x的导数为y' = f'(g(x)) g'(x)。

b. 反函数求导法则：设函数f(x)的反函数为g(y)，则g(y)对y的导数为g'(y) = 1 / f'(x)。

三、例题讲解1. 例1：求函数y = sin(2x)的导数。

解：y' = cos(2x) 2 = 2cos(2x)。

2. 例2：求函数y = ln(x^2)的导数。

解：y' = 1 / (x^2) 2x = 2/x。

四、课堂练习1. 求函数y = e^sin(x)的导数。

2. 求函数y = ln(cos(x))的导数。

第二课时一、复习上节课所学内容1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导的基本法则。

二、讲解复合函数求导过程中中间变量的确定1. 确定中间变量的方法：a. 从内层函数开始，逐层向外层函数求解。

b. 观察复合函数的结构，找出中间变量。

三、例题讲解1. 例1：求函数y = ln(2x+3)的导数。

解：y' = 1 / (2x+3) 2 = 2 / (2x+3)。

2. 例2：求函数y = sin(e^x)的导数。

高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。

2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。

这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。

二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。

2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。

芯衣州星海市涌泉学校§1.2.2复合函数的求导法那么教学目的理解并掌握复合函数的求导法那么．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，纯熟，正确．一．创设情景〔一〕根本初等函数的导数公式表 〔二〕导数的运算法那么〔2〕推论：[]''()()cf x cf x =〔常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数〕二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，假设通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．假设()()y f g x =，那么()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin 〔tanx2〕的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的构造，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】此题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin4x ＋cos4x 的导数．【解法一】y ＝sin4x ＋cos4x ＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x ＝1－21sin22x ＝1－41〔1－cos4x 〕＝43＋41cos4x ．y′＝－sin4x ． 【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx ＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x －cos2x)＝－2sin2xcos2x ＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x 〔x ＋1〕〔2－x 〕有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的间隔．【解】y ＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x ＋2令y′＝1即3x2－2x －1＝0，解得x ＝－31或者者x ＝1． 于是切点为P 〔1，2〕，Q 〔－31，－2714〕， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即x －y ＋1＝0．显然两切线间的间隔等于点Q 到此切线的间隔，故所求间隔为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求以下函数的导数(1)y=sinx3+sin33x ；〔2〕122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回忆总结六．布置作业。

2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。

但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。

二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。

错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。

我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。

x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。

第二步：逐一分步求导。

复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。

简单复合函数的求导法则1．理解复合函数的概念，了解简单符合函数的求导法则 2．会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数重点：简单复合函数的求导法则难点：复合函数的导数应用一、新课导入 复习：常见函数的导数公式1. C ′=________ (x n )′=________ (sinx )′=________ (cosx )′=________2.[u (x )+v (x )]′=________ [u (x )v (x )]′=_________ [u (x )v (x )]′=________二、新知探究问题：海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜油膜的面积 S (单位:m 2)与油膜的半径r (单位:m )的函数关系为S =f (r )=πr 2,油膜的半径r 随着时间t (单位:s )的增加而扩大,设r 关于t 的函数解析式为r =φ(t )=2t +1,油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少?分析:由题意知,时间t 决定油膜的半径r ,进而决定油膜的面积S ,所以可得S 关于t 的函数解析式为S =f(φ(t ))=π(2t +1)2,油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数S =f(φ(t ))的导数.因为f(φ(t ))=π(2t +1)2=π(4t 2+4t +1) ,根据导数公式表和导数的四则运算法则,可得[f(φ(t ))]′=π(8t +4)=4π(2t +1),所以油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率为4π(2t +1).另外,f ′(r )=2πr , φ′(t )=2我们可以观察到4π(2t +1)=2πr ∙2即[f(φ(t ))]′=f ′(r )φ′(t ). 新知：一般地,对于两个函数y =f (u )和u =φ(x )=ax +b ,如果给定x 的一个值,就得到了u 的值,进而确定了y 的值,那么y 可以表示成x 的函数,称这个函数为函数x 和u =φ(x ) 的复合函数,记作y =f(φ(x )),其中u 为中间变量.复合函数y =f(φ(x ))对x 的导数为y x ′=[f(φ(x ))]′=f ′(u )φ′(x ),其中u =φ(x ). 三、应用举例例1求函数y =√3x +1的导数.◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程分析：引人中间变量u =μ(x )=3x +1,则函数y =√3x +1是由函数f (u )=√u =u 12与u =φ(x )=3x +1复合而成的.解：由复合函数的求导法则,可得y x ′=(√3x +1)′=f ′(u )φ′(x )=(√u)′(3x +1)′=2√3x+1 设计意图：内层为一次函数，外层为12幂的幂函数的复合函数，运用复合函数求导法则. 例2 求函数y =(2x −1)30的导数.分析：引人中间变量u =φ(x )=2x −1,则函数y =(2x −1)30是由函数f (u )=u 30与u =φ(x )=2x −1复合而成的.解：由复合函数的求导法则,可得y x ′=[(2x −1)30]′=f ′(u )φ′(x )=(u 30)′(2x −1)′=30u 29∙2=60(2x −1)29设计意图：内层为一次函数，外层为30幂的幂函数的复合函数，运用复合函数求导法则.例3一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度ℎ (单位:cm )关于时间t (单位:s )的函数解析式为ℎ=ℎ(t )=1002t+1,求函数在t =3时的导数,并解释它的实际意义分析：函数ℎ(t )=1002t+1是由函数f (u )=100u 和函数u =φ(t )=2t +1复合而成的,其中u 是中间变量. 解：由复合函数的求导法则,可得ℎt ′=f ′(u )φ′(t )=(100u )′(2t +1)′=−100u 2∙2=−200(2t +1)2 将t =3代人ℎ′(t ),得ℎ′(3)=−20049(cm/s)设计意图：内层为一次函数，外层为反比例函数的复合函数，运用复合函数求导法则.方法总结：复合函数求导的关键在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆.四、课堂练习1.下列函数求导数,正确的是___.（1）(e2x)′=e2x（2）[(x2+3)8]′=8(x2+3)7∙2x（3）(ln2x)′=2x（4）(a2x)′=2a2x2.设f(x)=ln(2−3x),则f′(13)=________3.若y=(1−2x)2,则y′=________；(e1−2x)′=________.4.求下列函数的导数:(1)y=(1−3x)3（2）y=e2x(3)y=ln1x y=1(3x−1)2答案：1.（2）2. −3 3.y′=8x−4；−2e1−2x4.(1)y′=−9(1−3x)2 (2)y′=2e2x (3) y′=−1x(4) y′=−6(3x−1)−2五、课堂小结1.复合函数求导的关键在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；2.弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆;六、布置作业教材第70、71页练习。

课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的方法。

2. 使学生能够熟练运用复合函数求导公式，解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

教学重点：1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导公式。

教学难点：1. 复合函数求导公式的推导过程。

2. 复合函数求导公式的应用。

教学准备：1. 复习导数的基本概念。

2. 复习函数的复合。

3. 准备相关例题和习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的基本概念，如导数的定义、导数的性质等。

2. 引入复合函数的概念，让学生理解复合函数的含义。

二、新课讲解1. 复合函数的概念：- 定义：由两个或两个以上的函数复合而成的函数称为复合函数。

- 举例：y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))为复合函数。

2. 复合函数求导公式：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。

- 举例：求y = ln(x^2)的导数。

解：令u = x^2，则y = ln(u)，根据复合函数求导公式，有y' = (1/u) 2x = 2x/x^2 = 2/x。

三、例题讲解1. 例题1：求y = sin(2x)的导数。

解：令u = 2x，则y = sin(u)，根据复合函数求导公式，有y' = cos(u) 2 = 2cos(2x)。

2. 例题2：求y = e^(3x^2)的导数。

解：令u = 3x^2，则y = e^u，根据复合函数求导公式，有y' = e^u 6x = 6xe^(3x^2)。

四、课堂小结1. 复合函数的概念。

2. 复合函数求导公式。

第二课时一、复习1. 回顾复合函数的概念。

2. 回顾复合函数求导公式。

二、新课讲解1. 复合函数求导公式的推导过程：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。

情境一：复习 ：1.基本初等函数有哪些？2.求下列函数的导数：（1）()324y x x =-（2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+ 问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?问题3：函数()ln 2y x =+有什么结构特点？情境二：分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？复合函数的概念：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

情境三：复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？复合函数的导数：复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构 ②关键是正确分清函数的复合层次③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 ④要善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）【典例分析】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。

变式训练：求下列函数的导数（1）cos 3x y = （2）y 3）x x y 44cos sin += 解（3）时注意方法的灵活性，多样性。

教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。

2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。

3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。

教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。

2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。

教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。

2. 复合函数求导的复杂情况分析。

教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。

2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。

教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。

2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。

2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。

3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。

4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。

- 例2：求y=sin(x^2)的导数。

- 例3：求y=e^sinx的导数。

三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。

- 求y=tan(x^2)的导数。

- 求y=e^(1/x)的导数。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。

2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。

五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。

2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。

- 求y=e^(x^2)的导数。

教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。