导数复合函数求导法则(非常实用)
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复合函数的导数及导数的运算法则
练习、已知函数f x 在R上满足f x=2 f 2 x x2 8x 8,
则曲线y=f x 在点1，f 1 处的切线方程为 A
A.y=2x-1
B . y=x
C .y=3x-2
D.y=-2x+3
课堂小结
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
6.若f(x) = e x，则f ' (x) = e x
7.若f(x) =
loga x，则f ' (x) =
1 xlna
8.若f(x) = lnx，则f ' (x) = 1 x
复 习:
二,导数的运算法则:
法则1: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2: f (x)• g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
复 习:
一,基本初等函数的导数公式
1.若f(x) = c，则f ' (x) = 0
2.若f(x) = xn，则f ' (x) = nxn-1 (n R)
3.若f(x) = sinx，则f ' (x) = cosx
4.若f(x) = cosx，则f ' (x) = -sinx
5.若f(x) = a x，则f ' (x) = a x lna
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
（2）y e0.05 x1
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函 数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后， 就不必再写中间步骤。
复合函数的求导法则推导过程
复合函数的求导法则推导过程1.常数规则：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2. 变量规则：如果f(x) = x^n是一个幂函数，那么它的导数可以通过幂函数的微分公式计算得到，即f'(x) = nx^(n-1)。
3.和差规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的和与差的导数可以通过和差的基本性质得到，即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的乘积的导数可以通过乘积法则得到，即(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
在掌握了基本的导数规则后，我们开始推导复合函数的求导法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，并且它们都是可导的。
我们定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，即将g(x)作为输入，代入f(x)中得到输出。
我们希望求解h(x)的导数h'(x)。
为了推导复合函数的求导法则，我们采用数学归纳法的思想，从简单的情况开始考虑，逐步推导更一般的情况。
首先考虑最简单的情况，即g(x)=x。
我们将x作为输入代入f(x)中得到f(x)的导数f'(x)，同时，由于g(x)=x，所以g'(x)=1、根据乘积规则，可以得到h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)。
接下来，考虑g(x) = a（a为常数）。
由于g(x)是常数，所以g'(x) = 0。
根据乘积规则，可以得到h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) =f'(x)a = af'(x)。
考虑一般情况，即g(x)不再是一个常数。
我们假设g(x)的导数g'(x)存在，并且f(x)的导数f'(x)也存在。
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
Page 4
例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
Page 5
例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
Page 6
§2.1.3 复合函数的求导法则
3复合函数的求导法则,反函数的求导法则
例5
y
1
x
3
,
求 y.
1 x
河海大学理学院《高等数学》
例7 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1 )1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x2x13(x12)
河海大学理学院《高等数学》
且
dy f(u)(x) 或
dx
dy dy du dx du dx
f[(x )] f[(x ) ] (x )
河海大学理学院《高等数学》
推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
f[g(x) ]2ln x
f[g (x )]f[g (x ) ]g (x ) 2 ln x x
g[f(x)]x12
河海大学理学院《高等数学》
例11 设 f (x) 可导,且 yf(s2ixn )f(c2o x),s
求
dy d cos 2 x
解 令 u c2 o x ， sy f则 ( 1 u ) f( u )
dy
dy
d cos 2 x du
f(1u)f(u)
f(s2x i)n f(c2x o ) s
把 cos2 x 整体看作一个自变量
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二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x(y)在某区间 I y 上
单调、可导且 (y)0,则它的反函数 yf(x)
siyn coy s0
因此，在对应区间 Ix 1 , 1 内有
arcxsi nsi1n y
1
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。
在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。
对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。
假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。
我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。
首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。
根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。
由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。
最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。
2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)
A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
简单复合函数的求导法则
2u
6 x 4 ; ux
u y y yu x
' ' x
3 ;
' x
, u 分析三个函数解析式以及导数 yu x, y
之间的关系:
19:27:48
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
( x) y f ( u ) y y u ， 或 x x u x
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 ) 注意：
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
【解析】
复习检测
复习检测
复习检测
复习检测
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中， 水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的 函数为 y h(t ) 100 ，求函数在t=3时的导数，
2t 1
100 100 解：函数 y h(t ) f ( x) 是由函数 2t 1 x
并解释它的实际意义。
与
x (t ) 2t 1 复合而成的
yt h(t ) f ( x) (t )
100 200 2 x2 (2t 1) 2
将t=3代入 得：
200 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 cm/s。 49
200 h (3) 49
3 例2 求曲线y 3 (3x 2 1)在点（ 1， 4）处的切线方程。 练习
复合函数的导数
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
简单的复合函数的求导法则
简单复合函数的 求导法则
知识回顾 1、导数公式表
函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y cos x
x
y sin x
y x 1
导函数 y 0
y cos x
y sin x
x y e
Title ye y log a x(a 0, a 1)
y a x (a 0, a 1)
y a x ln a
y 1 x ln a
y ln x
y
1Leabharlann 2.导数的四则运算法则：设函数 f(x)、g(x) 是 x 的可导函数,则
1)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x) 2)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
1 1 1 2 1. y x( x 2 ), 求y '；y ' 2 x 2 x x x x x 1 2. y x sin cos , 求y '；y ' 1 cos x 2 2 2
2
二、讲授新课： 1.复合函数的概念:
对于函数y f ( ( x)), 令u ( x), 若y f (u )是中间变量u的函数， u ( x)是自变量x的函数，则称
求下列函数的导数.
(1) y (2 x 1) ；
5
(2) y ln(5 x 1)； 1 (3) y ； 3x 1 (4) y cos(1 2 x)；
复习检测
一般地，设函数u ( x)在点x处有导数u ' '( x), x 函数y f (u )在点x对应u处有导数y ' f '(u ), 则复合 u 函数y f ( ( x))在点x处也有导数，且y ' y ' u '， x u x 或写作 f ( ( x)) ' f '(u ) '( x). x
知识回顾 1、导数公式表
函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y cos x
x
y sin x
y x 1
导函数 y 0
y cos x
y sin x
x y e
Title ye y log a x(a 0, a 1)
y a x (a 0, a 1)
y a x ln a
y 1 x ln a
y ln x
y
1Leabharlann 2.导数的四则运算法则：设函数 f(x)、g(x) 是 x 的可导函数,则
1)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x) 2)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
1 1 1 2 1. y x( x 2 ), 求y '；y ' 2 x 2 x x x x x 1 2. y x sin cos , 求y '；y ' 1 cos x 2 2 2
2
二、讲授新课： 1.复合函数的概念:
对于函数y f ( ( x)), 令u ( x), 若y f (u )是中间变量u的函数， u ( x)是自变量x的函数，则称
求下列函数的导数.
(1) y (2 x 1) ；
5
(2) y ln(5 x 1)； 1 (3) y ； 3x 1 (4) y cos(1 2 x)；
复习检测
一般地，设函数u ( x)在点x处有导数u ' '( x), x 函数y f (u )在点x对应u处有导数y ' f '(u ), 则复合 u 函数y f ( ( x))在点x处也有导数，且y ' y ' u '， x u x 或写作 f ( ( x)) ' f '(u ) '( x). x
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个求导是微积分中的一个重要概念，是用来确定函数在其中一点的变化率的工具。
而复合函数则是由多个函数组合而成的新函数，其求导过程相对复杂一些。
下面将介绍16个常见的复合函数求导公式。
1.设有函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))。
对这个复合函数求导，可以使用链式法则。
链式法则给出了复合函数求导的一个基本公式：(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)这个公式表示，对于复合函数y=f(g(x))，其导数等于f'(g(x))*g'(x)。
2.平方函数的链式法则：设有函数y=f(u)=u^2，u=g(x)，则y=f(g(x))=g(x)^2、求导的结果为：(dy/dx) = 2 * g(x) * g'(x)3.倒数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=1/u，u=g(x)，则y=f(g(x))=1/g(x)。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) / (g(x))^24.指数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=e^u，u=g(x)，则y=f(g(x))=e^(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * e^(g(x))5. 对数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=ln(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=ln(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) / g(x)6. 正弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=sin(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=sin(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * cos(g(x))7. 余弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=cos(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=cos(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) * sin(g(x))8. 正切函数的链式法则：设有函数y=f(u)=tan(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=tan(g(x))。
高等数学《复合函数的求导法则》
例 8 设z f ( x2,e2x )，f 可微，求 dz . dx
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
简单复合函数的求导法则精华版
1 f ( ) x
×
1 1 2 f ( ) x x
( x 2 1 ) f
2x x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
100 y h(t ) 2t 1 求其在 t 3 时的导数，并解释其意义。解析
例4 求列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y a x (a 0, a 1)
y 0 y x 1
y a x ln a
ye
x
y e x
y 1 x ln a 1 y x
y log a x (a 0, a 1)
y ln x
y sin x
y cos x
Title
y cos x
y sin x
y 1 cos 2 x
1 sin 2 x
y tan x
y cot x
y
＊ 导数的加减法法则： f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x)
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
复合函数求导公式
复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。
复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。
二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。
链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。
三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。
解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。
根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。
【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。
解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。
2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。
【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。
解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。
根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式
在微积分学中，借助表达式，如复合函数的求导法则公式，可以推导出函数的导数，从而研究函数变化的规律。
复合函数的求导法则公式指的是：设有函数f(x)和g(x)，其中f为g的复合函数，g(x)的导数为g'(x)，f(x)的导数为f'(x)，则f(x)的导数的表达式为
f'(x)=g'(x)f′(g(x)).这一公式也可以被称作链式法则。
具体来讲，复合函数求导时，首先要确定函数f(x)和g(x)，然后将f(x)表示为g(x)的复合函数，将其根据链式法则表示为f′(x)=g′(x)f′(g(x))。
由于这里共有两个变量，因此当可以充分解释复合函数的求导公式时，就可以使用链式法则将其求导表达式化简为一个，最终求得函数f(x)的导数。
在使用链式法则求解复合函数求导公式时，要注意一个问题，就是对导函数的理解。
只有彻底理解了导函数的内容和作用，才能正确解释复合函数求导公式。
此外，由于这个公式既涉及函数f(x)的求导，也涉及函数g(x)的求导，因此要求读者在实际计算中，具有足够的推导过程和数学计算能力，才能给出正确的求解思路，最终得到准确的解决方案。
总而言之，复合函数求导法则公式是一种有效的链式求导方法，在研究函数变化规律时，它有着重要的作用。
但同时，由于复合函数的复杂程度也很大，因此读者在实际应用时，要加强对复合函数和链式法则的认识，以保证最终的正确求解。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则为了更好地理解导数的复合求导法则，我们先来回顾一下导数的定义。
如果函数f(x)在其中一点x=a处可导，那么其导数f’(a)表示了函数在该点处的切线斜率。
导数的定义可以表示为以下极限形式：（1）f’(a) = lim[ h->0 ] (f(a+h) - f(a))/h其中h是一个无穷小的实数，表示a周围的一个小的增量。
根据导数的定义，我们可以得出导数的一些基本性质，比如乘法规则和链式求导法则。
导数的链式求导法则是在复合函数中使用的求导法则。
复合函数由两个或更多的函数组合而成，形如f(g(x))。
在链式求导法则中，我们关注的是f关于g和g关于x的导数之间的关系。
链式求导法则可以表示为：（2）(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中(f(g(x)))'表示f(g(x))关于x的导数，f'(g(x))表示f关于g的导数，g'(x)表示g关于x的导数。
下面我们通过一些具体的例子来说明导数的复合求导法则。
例子1：计算函数f(x)=(3x^2+5)^4的导数。
首先，将函数f(x)写成复合函数的形式，即f(x)=h(g(x))，其中g(x)=3x^2+5，h(x)=x^4、然后，我们求g(x)和h(x)的导数：g'(x) = d/dx (3x^2 + 5) = 6xh'(x) = d/dx (x^4) = 4x^3最后，根据链式求导法则，我们可以求得f(x)关于x的导数：f'(x)=h'(g(x))*g'(x)=4(3x^2+5)^3*6x例子2：计算函数f(x) = e^(2sinx)的导数。
同样地，我们将函数f(x)写成复合函数的形式，即f(x) = h(g(x))，其中g(x)=2sinx，h(x)=e^x。
然后，我们求g(x)和h(x)的导数：g'(x) = d/dx (2sinx) = 2cosxh'(x) = d/dx (e^x) = e^x最后，根据链式求导法则，我们可以求得f(x)关于x的导数：f'(x) = h'(g(x)) * g'(x) = e^(2sinx) * 2cosx通过上述两个例子，我们可以看出，在复合函数中使用导数的复合求导法则可以简化求导的过程，特别是当我们遇到指数函数、三角函数以及其他复杂函数时。
复合函数的求导法则的合理证明及典型应用
复合函数的求导法则的合理证明及典型应用
复合函数求导，也被称为链式法则、联立法则，是指从给定的函数派生另一个函数的一种方法。
它有助于解决数学问题以及求解复杂函数，同时也是现代微积分领域中最重要的概念之一。
复合函数求导法则与一般求导法则有着类似的公理：如果y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du×du/dx。
以此推导，根据链式法则，它可以被看作两个相互独立的函数求导的结果的乘乘积，也就是f'(u)*g'(x)的结果。
进而可以证明，无论函数如何复杂、多层复合，一直到最底层元素，复合函数求导法则所得出的结果一致。
综上，复合函数求导法则可以明显地提升复杂函数求导的效率，无论函数有多少层，只要把一层一层的求解下去，总能得出正确的结果。
这也正是复合函数求导的一个相当重要的应用。
典型的应用可以比如，求解复杂的曲线上某一点的斜率，例如y=sin(x)^2,则dy/dx=2sin(x)cos(x)，显然，可以先解sinx的导数，再使用复合函数求导法则，先求出sinx的导数×cosx的导数，从而求出结果。
因此，复合函数求导法则具有广泛的应用，被用来求解数学问题以及复合函数求导。
只要严格遵守上述原理，利用它应用至多层复合函数，也可以将复杂的结果简单化。
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π
则y=sinu
y ' = [sin(2 x + )]' = 2(sin u )u ' 3 π
= 2 cos u = 2 cos(2 x + ) 3
π
通过点(1， 例3．已知抛物线 ．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点 ，1), 通过点 且在点(2，－ 处与直线 相切， ， 且在点 ，－1)处与直线 ，－ 处与直线y=x－3相切，求a， － 相切 b，c的值 ， 的值 的值. 函数y=ax2+bx+c的导数 ’=2ax+b， 的导数y’ 解：函数 的导数 ， 由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1， ， 由已知得 － ， ，
1 所以y’ 所以 ’= u
·(2x)
2x = 2 x +1
（3） y = e ）
−2 x −3
－ 解：y=e－2x－3
令u=－2x－3，则y=eu， － － ，
－ 所以y’ 所以 ’=eu·(－2)=－2e－2x－3 . － －
（4） y = sin(2 x + ) ） 解：令u=2x+
π
3
3
4．函数 ．函数y=(1+cosx)3是由 个函数复合而成． 个函数复合而成．
y=u3, u=1+cosx 两
5．函数y=3sin x＋l在点 5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方 在点(π，1)处的切线方 程是 y=1 .
6．求 y = 3 ax 2 + bx + c 的导数 ．
例2．求下列函数的导数 ． （1） y = (2 x 3) ）
5
解：（1）y=(2x+3)5， ：（ ） 令u=2x+3，则y=u5， ， 所以 [(5 x + 3) ]' = 5(u )u ' = 5 × 5u
5 5 4
=25(5x+3)4
（2） y = ln( x + 1) ）
2
解：（2）y=ln(x2+1) ：（ ） 令u=x2+1，则y=lnu， ， ，
a +b + c =1 ∴ 4a + 2b + c = −1 4a + b = 1
a=3 解得 b = −11 c=9
练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ C ） ．函数 － 的导数是（ （A）y’＝3(5x－4)2 ） ’ － （B）y’＝9(5x－4)2 ） ’ － （C）y’＝15(5x－4)2 ） ’ － （D）y’＝12(5x－4)2 ） ’ －
∴ －f ’(－x)=－f ’(x)， － － ， 即f ’(－x)=f ’(x)， － ， 是偶函数． ∴ f ’(x)是偶函数． 是偶函数
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数 ． ＝ （ ） 是（ ）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) ） ’ （B）y’=－Asin(ωx+φ) ） ’ － （C）y’=Aωcos(ωx+φ) ） ’ （D）y’=－Aωsin(ωx+φ) ） ’ －
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是 ．函数 ＋ 的导数是 （B ） （A）y’=cos(x2+1)－sin3x ） ’ － （B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x ） ’ － （C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x ） （D）y’=cos(x2+1)+sin3x ）
∆y ∆ y ∆u = ⋅ ∆ x ∆u ∆x
∆y ∆y ∆u lim lim lim 得 ∆x →0 ∆x = ∆u →0 ∆u ⋅ ∆x →0 ∆x
dy 而 = a[ f (u )]u ' 所以 dx dy 再将u=ax+b代入上式便得到 再将 代入上式便得到 dx
∆u lim = u '( x) = a ∆x → 0 ∆x
1 y ' = (ax 2 + bx + x) ⋅ (2ax + b) 3 (2ax + b) 3 ax 2 + bx + c = 3(ax 2 + bx + c)
− 2 3
7．求证：可导的奇函数f(x)的导函数 ．求证：可导的奇函数 的导函数 f ’(x)是偶函数． 是偶函数． 是偶函数 证明： 是奇函数， 证明：∵ f(x)是奇函数， 是奇函数 内任一个x， ∴ 对 f(x)定义域 D内任一个 ，有－x∈D, 定义域 内任一个 ∈ 且有f(－ － 且有 －x)=－f(x)． ． 分别对上式左、右两边求导： 分别对上式左、右两边求导： [f(－x)]’=f ’(－x)·(－x)’=－f ’(－x)， － ’ － － ’ － － ， [－f(x)]’=－f ’(x)， － ’ － ，
导数的四则运算法则 (复合函数求导法则 ) 复合函数求导法则
例1．已知可导函数 ．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a， ， ， dy b为常数，a≠0)，求 . 为常数， 为常数 ， dx 有一改变量△ ，则对应于u， 分 解：设x有一改变量△x，则对应于 ，y分 有一改变量 别有改变量△ ， ， 别有改变量△u，△y， 由