2010初三数学竞赛题

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案、选择题(共 5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的 •请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分)j- = 10 a+b1.若「C则匚的值为().1121110 210 (A )［一(B ) 11(C) 21(D) 1 .a+b a .-+ 1 20+l 210解: L-b+cl + £b1 + — 1011代数式变形，同除 b1 】-a^ab+ir + 2 = 02•若实数a , b 满足二，贝y a 的取值范围是().(A ) al _(B ) a ：4 ( C ) a < 一或 a >4 (D ) _w a <4解.Cb' -处 +—© + 2 = 0因为b 是实数，所以关于 b 的一元二次方程_A = (p)i -4x1x(—盘+ 2)2>0,解得 a w -2 或 a > 4.方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式则AD 边的长为()解：D 如图，过点A , D 分别作AE DF 垂直于直线BC,垂足分别为E, F .的判别式 3.如图，在四边形ABC ［中, / B= 135,BC =L'■■: ,CO —f ',(D ),/ C = 120 °, AB=(A) - j'1■由已知可得BE=AE= J . , C =?述,DI 2J .,于是 EF = 4+ JI .过点A 作AGL DF 垂足为G 在Rt △ AD (中，根据勾股定理得AD 」一"「"】：A —匸:=_丨一,；勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4.在一列数 ……中，已知冷二，且当k >2时,疋-1~4~因为 2010=4X 502+2,所以 尬(I =2. 高斯函数；找规律。

5•如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABC 啲顶点坐标分别为 A (1, 1), B( 2, —1), C (-2, - 1), D (- 1, 1). y 轴上一点 P ( 0, 2)绕点 A 旋转 180。

2010年初三数学竞赛试卷*考试时间120分钟 试卷满分150分一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分） 1．|65-|＝（ ） A ．65+B ．65-C ．－65-D ．56-2．如果一个四边形ABCD 是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 3．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）c4 ,如图，O 的半径为5，弦AB 的长为8O 沿直线折叠，O 到所做的圆的切线的长为 （ ）A22 B 5 C 3 D 55 ,ABC 中,AB=AC=4,BC=6,用一个圆形纸片把ABC 覆盖,那么这个圆的最小半径是（ ）76如图，在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过C 点且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 的长度的最小值是( )A 4.75 B 4.8 C 5 D 4B7, 已知抛物线y=x 2+2x+c 2经过点A(a,m)和(a+2,n)，那么下列说法正确的是( )A 若m>0，则 n>0B 若m>0，则n<0C 若M<0，则 n>0D 若m<0，则n<08, 如图,AOB 中,<AOB=120°,BD,AC 是两条高,若AB=4,则DC 的长为 （ ）A 3B 2C 332 D334AB二、填空题（每小题3分，共24分）9．如图，矩形ABCD 的长AB ＝6cm ，宽AD＝3cm.O 是AB 的中点，OP ⊥AB ，两半圆的直径分别为AO 与OB ．抛物线ｙ＝ａｘ2经过C 、D 两点，则图中阴影部分 的面积是cm 2.10,如图，扇形OAB 的圆心角<AOB=60°O '分别与OA 、OB 及AB 相切于C 、D 、E ，若OA=6，则O '的半径为．B 11,如图：四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，AB=4，AD=CD=1，则COS<B=12,如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，AD=2，四边形AEFG也是矩形，且2AG=3AE，则BDF的面积为13．某学习小组中共有12名同学，其中男生有7人．现在要从这12名同学中抽调两名同学去参加数学知识竞赛，抽调的两名同学都是男生的概率是．14．如图，△ABC中，BD和CE是两条高，如果∠A＝45°，则BCDE＝．15、将抛物线2(0)y ax bx c a=++≠向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线2245y x x=--+，则原抛物线的顶点坐标是。

中山市2010年初三数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c ==，，则a b b c ++的值为 （ ） （A ）1121 （B ）21011 （C ）11021 （D ）21112．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）2-≤a ≤4 （D ）a ≤2-或 a ≥43．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =BC =4-CD ＝则AD 边的长为 （ ）（A ）（B ）64 （C ）622+（D ）64+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是 （ ） （A ）（2010，2） （B ）（2012，2-）（C ）（2010，2-） （D ）（0，2） 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －11 的值等于 ．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AEAD= ． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆上一点，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，FB 是⊙O 的切线交AD 的延长线于点F . （1）求证：DE 是⊙O 的切线. （2）若DE = 3，⊙O 的半径为5，求BF 的长.13．设1x ，2x ，…，008 2x 是整数，且满足下列条件： （1）21≤≤-n x （n =1，2，…，2 008）； （2）++21x x …+008 2x =200；（3）++2221x x …+2008 2x =2 008. 求++3231x x …+3008 2x 的最小值和最大值.14．如图，已知直线b x y l +=31:经过点)41 0(，M ，一组抛物线的顶点11(1, y )B ，22(2, y )B ，33(3, y )B ，…，n (, y )n B n （n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：11(, 0)A x ，22(, 0)A x ，33(, 0)A x ，…，11(,0)n n A x ++（n 为正整数），设d x =1(0＜d ＜1). （1）求经过点1A 、1B 、2A 的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）；（2）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”. 探究：当d (0＜d ＜1)的大小变化时，这组抛物线中是否存在“美丽抛物线”？若存在，请求出相应的d 的值.中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案一、选择题1．B 解：由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．D 解：因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0, 解得a≤2-或 a≥4．3．C 解：如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ． 由已知可得CF＝DF ＝于是 EF ＝4过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+4．B 解：由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．C 解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题6．1解：由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －11＝3a 2＋6a －11＝17．15解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得 ()10a b S -=， ① ()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x=30． 故 3010515t =--=（分）．8． 11133y x =-+ 解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．215- 解：见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ， 所以2AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即2()10n n m m +-=，解得n m =，或n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====12,即AE AD=12． 10．9解：因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足 []012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题11．解：由2231085100a ab b a b -++-= 可得()()23450a b a b --+=，（6分）所以 20a b -=，或 3450a b -+=. …………（8分）（i ）当20a b -=时， ()22297223672236134u a b b b b =++=++=+-，于是1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-. …………（13分）（ii ）当3450a b -+=时，()222972216322716111u a b b b b =++=++=++，于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-. …………（18分）综上可知，u 的最小值为34-. …………（20分） 12、解：(1)如图，连接OD .因为AD 平分∠BAC ,所以∠1=∠2.又因为OA =OD ,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD ∥AE .因为DE ⊥AE ,所以DE ⊥OD .而点D 在⊙O 上,所以DE 是⊙O 的切线. …………（7分）(2)如图,连接BE 与OD 交于点H ，作OG ⊥AE 于点G . 则 OG = DE =3， EG = DO =5，所以AG=4，AE = 4+5= 9…………（10分）,因为EA ∥OD ， AO=OB ，所以HO=12AE =92，HD = 5-92=12，故HE = =（20分）13．解：设1x ，2x ，…，008 2x 中有q 个0，r 个-1，s 个1，t 个2. …………（2分） 则220042008r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩① …………（5分）两式相加得31104s t +=.故0368t ≤≤. …………（10分）由33312200886200x x x r s t t ++⋅⋅⋅+=-++=+, …………（12分）得33312200820063682002408x x x ≤++⋅⋅⋅+≤⨯+=.…………（15分）由方程组①知:当0,1104,904t s r ===时,++3231x x …+3008 2x 取最小值200; ……（17分） 当368,0,536t s r ===时, ++3231x x …+3008 2x 取最小值2408. …………（20分）14．解：(1)易得14b =，B 1(7121，),…………（3分） 设其解析式为27(1)(0),12y a x a =-+≠由1(,0),A d 得2712(1)a d =--，…………（7分） 于是2277(1)12(1)12y x d =--+-为所求；…………（8分）（或者由12(,0),(2,0)A d A d -为该抛物线与x 轴的两个交点，设其解析式为()(2)(0)y a x d x d a =--+≠，再代入点17(1,)12B ，同样可得） （2）根据对称性易得12345...A A A A A 、、、、的横坐标依次为d,2-d,2+d,4-d,4+d,6-d,…（10分）1223344522,2,22,2...A A d A A d A A d A A d=-==-=，（12分） 要使三角形为直角三角形，则斜边上中线等于斜边的一半，因为0＜d ＜1,斜边长都小于2，所以只要高123,,...y y y 小于1才能构成直角三角形，…………（14分）当>3x 时，所对应的函数值都大于1，可以得到符合要求的顶点为1B 、2B ，………（16分） 再求得相应的d 的值为512或1112.…………（20分）（B ）3MN =（C ）若MN 与⊙O 相切，则∠MON ＝90°（D ）若MN 与⊙O 相交，则AM ≥二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个密码箱的密码, 每个数位上的数都是从0到9的自然数, 若要使不知道密码的人一次拨对密码的概率小于12011, 则密码的位数至少需要 4 位． 7．已知非负数a b c ，，满足条件75a b c a +=-=，，设S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为 7 ．8．已知二次函数()()221y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图像.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是xy 12=-.（第8题图 ） （第9题 图）9．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形11OA B C 的对角线1AC 和1OB 交于点1M ，以11M A 为对角线作第二个正方形2121A A B M ，对角线11A M 和22A B 交于点2M ；以21M A 为对角线作第三个正方形3132A A B M ，对角线12A M 和33A B 交于点3M ；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点n M 的坐标为n n11122(,)-． 10．如图，一次函数y ax b =+的图像与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图像相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ，EF ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ；④AC BD =．其中正确的结论是 ①②④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）（第10题图）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．设关于x 的方程0212482=-+-+-a x a x x 恰有两个实根.求实数a 的取值范围.解：原方程变形为.0)2(2442=+--+-a x a x ……………………………（5分） 令).0(4≥-=y x y 则0)2(22=+-+a ay y0)2)](2([=-++⇒y a y ,2),2(21=+-=⇒y a y ……………………………（10分）即x 4a 2()-=-+或.24=-x 故原方程恰有两实根2)2(=+-⇔a 或)2(+-a ＜0. ……………………………（15分）因此，4-=a 或a ＞-2 ……………………………（20分）12．已知a 、b 、c 是三角形的三边长,实数p 、q 满足1=+q p .判断代数式222p q c qb pa -+的符号并写出理由.解：令.222pqc qb pa y -+= 将p q -=1代入上式得222)1()1(c p p b p pa y ---+=.)(222222b p c b a p c +--+= ……………………………（5分） 将上式视为关于p 的二次函数，图像开口向上，则.4)(222222c b c b a ---=∆ ])(][)([2222c b a c b a +---=).( )( )( )(c b a c b a c b a c b a --+++--+= ……………………………（10分） 由于a 、b 、c 是三角形三边，则有c b a -+＞0，c b a +-＞0,c b a ++＞0，c b a --＜0, ……………………………（15分）于是,∆＜0y ⇒＞0. ……………………………（20分）13．在凹四边形ABCD 中，∠A=∠C=o 40，∠B=o50，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.判断四边形EFGH 的形状并证明你的结论.解：四边形EFGH 是矩形. ………………（5分） 如右图，联结AC 、BD.由三角形中位线定理得,21//BD EH .21//BD FG则.//FG EH 故四边形EFGH 是平行四边形. ……………………………（10分）由∠BAD+∠ABC=o90,∠BCD+∠ABC=o90, 得AD ⊥BC,CD ⊥AB.于是,D 是△ABC 的垂心,BD ⊥AC. ……………………………（15分） 又GH ∥AC,则BD ⊥GH. 从而,FG ⊥GH.故四边形EFGH 是矩形. ……………………………（20分） 14.对于每个正整数n ，设)(n f 表示1+2+⋅⋅⋅+n 的末位数字（如,1)1(=f ,3)2(=f 6)3(=f ），试计算)2011()2()1(f f f +⋅⋅⋅++的值。

2010年全国初中数学竞赛试题一、选择题（每小题7分，共35分）1、若,10,20==c b b a 则c b b a ++等于（）.A、2111B、1121C、21110D、112102、若实数b a ,满足02212=++-b ab a ，则a 的取值范围是（).A、2-≤aB、4≥aC、42≥-≤a a 或D、42-≤≤a 3、如图，在四边形ABCD 中，∠B=。

135，∠C=。

120，AB=32，BC=22-4，CD=24，则AD 边的长为（）.A、62B、64C、64+D、622+4、在一列数,...,,,321x x x 中，已知11=x ，且当2≥k 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎦⎤⎢⎣⎡--+=-4241411k k x x k k （取整符号[]a 表示不超过a 的最大整数，例如[][]02.026.2==，），则=2010x （).A、1B、2C、3D、45、如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为()()()(),1,1,1,2,1,2,1,1----D C B A y 轴上一点P 绕点A 旋转。

180得点1P ，点1P 绕点B 旋转。

180得点2P ，点2P 绕点C 旋转。

180得点3P ，点3P 绕点D 旋转。

180得点4P ,......,重复操作依次得到,....,,,321P P P 则2010P 的坐标是（）.A、()22010，B、()2-2010，C、()2-2010，D、()20，二、填空题（每小题6分，共30分）6、已知,15-=a 则1227223--+a a a 的值等于________.7、一辆客车、一辆货车和一辆轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，轿车在后，货车在客车和轿车的正中间，过了10分钟，轿车追上货车，又过了5分钟，轿车追上客车，再过t 分钟，货车追上了客车，则t=_______.8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是()()()()()()，，，，，，，，064,64,46,46,000E D C B A O 若直线l 经过点()3,2M 且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是______________.第8题图第9题图9、如图，射线AM、BN 都垂直于线段AB，点E 为AM 上的一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE、BN 于点F、C，过点C 作AM 的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=ADAE _______.10、对于,,...,4,3,2k i =正整数n 除以i 所得的余数为1-i ，若n 的最小值0n 满足300020000<<n ，则正整数k 的最小值为_________.三、解答题（每小题15分，共60分）11、(A).如图，抛物线()02>+=a bx ax y 与双曲线xk y =相交于点A、B，已知点A 的坐标为()41，，点B 在第三象限内，且ΔAOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数k b a ,,的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC//Ox ，交抛物线于另一点C，求所有满足ΔEOC~ΔAOB 的点E 的坐标.11、(B).设实数b a ,满足：,010*******=-++-b a b ab a 求27292++=b a u 的最小值.12、（A）如图，ΔABC 为锐角三角形，P、Q 为边BC 边上的两点，ΔABP 和ΔACQ 的外接圆圆心分别为21O O 和,试判断1BO 的延长线与2CO 的延长线的交点D 是否可能在ΔABC 的外接圆上，并说明理由.12(A)题图12(B)题图12、（B）如图，ΔABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是ΔABD 和ΔACD 的外接圆直径,连接EF.求证：tan∠PAD=BCEF .13、（A）实数b a ,使得关于y x ,的方程组10222{=-=+++x xy c bx ax xy 有实数解()y x ,.(1)求证：2≥y ；(2)求22b a +的最小值.13、（B）求满足m m p p 28222-=++的所有素数p 和正整数m .14、（A）从2010,....,3,2,1这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除.14、（B)将凸五边形ABCDE 的5条边和5条对角线染色，且满足任意有公共顶点的两条线段不同色，求颜色数字的最小值.。

12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。

2010 年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分） 1.B 2.A 3.C 4.C 5.D二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6. 7.8% 7. +, 1 8. 51 9. 100 10. 48t << 三、 解答题（共4小题，每小题15分，共60分）11．解：（1）设y kx b =+，∵x ＝4时，y ＝400；x ＝5时，y ＝320. ∴4004,3205.k b k b =+⎧⎨=+⎩解之，得80,720.k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数关系式为80720y x =-+ ………………… 5分 （2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y ＝380时，38080720x =-+，得 x ＝4.25,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395(元), 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少. .……………………………… 10分（3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，则W ＝xy ＝x （－80x +720） ＝2980()16202x --+，∴当 x ＝92时，W 最大值＝1620，要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a ≥W 最大值+780，即 50a ≥1620+780， 解之，得 a ≥48.所以a 至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯……………1 5分12．证明：连结CG. ∵BD ⊥AC ，EF 垂直平分BC ，∴BG=CG ，BE=EC=21BC ∵DF=21BC ，∴DF=BE .……………………………… 5分在△BEG 和△FDG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FD BE FDG BEG FGD BGE∴△BEG ≌△FDG （AAS ）∴∠F=∠GBE=∠GCB ， GE=GD .………………… 10分 而GE ⊥BC ，GD ⊥AC ，∴CG 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠F. ………………… 15分13．解：（1） 当x =－1和x =3时， y 值相同 , 即y =a －b +c =9a +3b +c . ∴b=－2a , 则 x M = －1222=--=aa ab .∵ 点M 在y=3x －7上 , ∴ y M = 3－7=－4 , ∴M(1,－4) . 设y = a (x －1)2－4 ,∵当x = 4时, y =3×4－7= 5 .把当x = 4 , y = 5 代入上式 , 5 = a （4－1）2－4 , a=1.∴ y = (x －1)2－4 或y =x 2－2x －3 . .……………………………… 4分（2） 当x = 0时 y =－3 , ∴ C(0,－3).当y = 0时 x 1=－1, x 2=3 . ∴ A(－1，0) , B （3，0）.∴ 直线BM 为 y=2x －6 . ∵ x P = OQ = t , ∴ y P = 2t －6.∴ S = S △AOC +S 梯OCPQ =12 ×1×3+12×（3＋│2t －6│）×t = 32 +9-2t 2 ·t = －t 2＋92 t ＋32. .……………………………… 8分 （3）P 1（2,－2）, P 2（75 ,－165 ）, P 3（520102,5105-+）……………………… 12分 （4）（－1，－3）或 (910 ,－2710 ) 、（－110 ,310） …………………………… 15分 14．解：(1) ∵AE ⊥B D ，∴BE⌒ =DE ⌒ ，∴∠E B D=∠EC B . ∵∠A B H=∠D B H ，∠B HE=∠EC B +∠C B H ，∠H B E=∠D B H+∠E B D ，∴∠B HE=∠H B E. ∴B E=HE. ……………………………5分(2) 连结QC 、T B ，则∠B CQ+∠C B Q=90°，又∠B DQ+∠ATD=90°，而∠B CQ=∠B DQ ，∴∠C B Q=∠ATD=∠AT B ，∴ΔA B G ∽ΔAT B ，∴A B 2=A G•AT ， ∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴B E=12 EC ，∴ΔB EO ∽ΔC B E ，∴OE BO =BE EC =12设⊙A 的半径为R ，由A B 2－OA 2=B O 2，OE=R －3，得R 2－32=4(R －3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴A T•AG=A B 2=25. ……………………………… 10(方法二提示:可连结AD,CD 证ΔB AG ∽ΔTAD)(3)答：②MN R的值不变. 证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、B M ，则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM ，∴MN R =2NK O 1N=2sin ∠NO 1由直线y=34x +3 得 O B =OD=4，OM ⊥B D ，∴∠B MO=∠DMO ，又∠B MO=∠A B M+∠B AM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ，∵∠A B M=∠PNM ，∴∠MPN=∠B AM=∠NO 1K ，MN R=2sin ∠B AM=2×BO AB = 85 ， 所以 MN R 的值不变，其值为 85. ……………15分 Q O H G F E D C B A x y T。

2010年春季凤凰县九年级数学竞赛(决赛)试题一、填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。

)1．函数y的自变量x的取值范围是________。

2．已知5,2,0,a b ab a b==->+=且则___________。

3．若三个不同的质数,,,m n p m n p mnp+=满足则的最小值是_________。

4．如果22x x m m++=是一个完全平方式，那么___________。

5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =︒90·n，则=n．6．一个袋子装有2个白球和n个黑球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一球，摸到黑球的概率是45，则n=_________.7．如图，60,1cm,ACB O BC C∠=半径为的切于点O CB若将在上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是___________cm。

8．在ABC∆，,,a b c分别是A B C∠∠∠、、的对边。

已知a b==,c=则sin sinb Bc C+的值等于____________。

第5题第7题二、选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。

每小题只有一个 符合题意的答案)9．已知点M(93-a ，a -1)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．若1a ≤（ ）A ．a -（B．(1a -C．a -（D．a -（111．若α为锐角，且cos α=0.6，则（ ） A ．030α︒<<︒ B ．3045α︒<<︒ C ．4560α︒<<︒ D ．6090α︒<<︒12．如图，直线x ＝1是二次函数2y ax bx c =++则有（ ） A ． a ＋b ＋c ＞0B ． b ＞a ＋cC ． abc ＜0D ． c ＞2b13．已知a ,b ＝3,c －２,则的a 、b 、c 大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b 14．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．一样 15．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.下列说法中正确的是 A ．这组数据的中位数是40，众数是39 B ．这组数据的中位数与众数一定相等 C ．这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40D ．以上说法都不对16．观察下列三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……则第50行的最后一个数是（）B．1260 C．1270 D．1275三、解答题:（本题有3小题，共40分）17．(10分)在90,Rt ABC ACB D∆∠=中,是,AB边上一点以BD O为直径的与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F.(1)求证：BD BF=(2)若6,4BC AD==，求O的面积。

中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案一、选择题1．B 解：由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．D 解：因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0, 解得a≤2-或 a≥4． 3．C 解：如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得，CF＝DF ＝于是 EF ＝4过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+4．B 解：由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．C 解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题6．1解：由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －11＝3a 2＋6a －11＝17．15解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ① ()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x=30． 故 3010515t =--=（分）．8． 11133y x =-+解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，， 解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9． 215- 解：见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以2AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m +-=，解得n m =，或n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====即AE AD 10．9解：因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足 []012 3 n k += ，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 == ，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720== ，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题11．解：由2231085100a ab b a b -++-= 可得()()23450a b a b --+=，（6分） 所以 20a b -=，或 3450a b -+=. …………（8分）（i ）当20a b -=时， ()22297223672236134u a b b b b =++=++=+-， 于是1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-. …………（13分）（ii ）当3450a b -+=时，()222972216322716111u a b b b b =++=++=++， 于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-. …………（18分）综上可知，u 的最小值为34-. …………（20分）12、解：(1)如图，连接OD .因为AD 平分∠BAC ,所以∠1=∠2.又因为OA =OD ,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD ∥AE .因为DE ⊥AE ,所以DE ⊥OD .而点D 在⊙O 上,所以DE 是⊙O 的切线. …………（7分）(2)如图,连接BE 与OD 交于点H ，作OG ⊥AE 于点G. 则 OG = DE =3， EG = DO =5，所以AG = ，AE = 4+5= 9…………（10分）,因为EA ∥OD ， AO=OB ，所以HO=12AE =92，HD = 5-92=12，故HE = =（20分）13．解：设1x ，2x ，…，008 2x 中有q 个0，r 个-1，s 个1，t 个2. …………（2分） 则220042008r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩① …………（5分） 两式相加得31104s t +=.故0368t ≤≤. …………（10分）由33312200886200x x x r s t t ++⋅⋅⋅+=-++=+, …………（12分）得33312200820063682002408x x x ≤++⋅⋅⋅+≤⨯+=.…………（15分）由方程组①知:当0,1104,904t s r ===时,++3231x x …+3008 2x 取最小值200; ……（17分）当368,0,536t s r ===时, ++3231x x …+3008 2x 取最小值2408. …………（20分）14．解：(1)易得14b =，B 1(7121，),…………（3分） 设其解析式为27(1)(0),12y a x a =-+≠由1(,0),A d 得2712(1)a d =--，…………（7分） 于是2277(1)12(1)12y x d =--+-为所求；…………（8分） （或者由12(,0),(2,0)A d A d -为该抛物线与x 轴的两个交点，设其解析式为()(2)(0)y a x d x d a =--+≠，再代入点17(1,)12B ，同样可得） （2）根据对称性易得12345...A A A A A 、、、、的横坐标依次为d,2-d,2+d,4-d,4+d,6-d,…（10分）1223344522,2,22,2...A A d A A d A A d A A d =-==-=，（12分） 要使三角形为直角三角形，则斜边上中线等于斜边的一半，因为0＜d ＜1,斜边长都小于2，所以只要高123,,...y y y 小于1才能构成直角三角形，…………（14分）当>3x 时，所对应的函数值都大于1，可以得到符合要求的顶点为1B 、2B ，………（16分）再求得相应的d 的值为512或1112.…………（20分）。

2010年山西省太原市初中数学竞赛试卷2010年山西省太原市初中数学竞赛试卷一、选择题（每小题8分，共48分）2．（8分）当a＜1时，化简的结果是（）a a a a3．（8分）当x=时，函数f（x）=x3+4x2﹣2x﹣6的值是（）C D．4．（8分）求作一个平行四边形，使其两邻边分别为a和2a，且两条对角线所成的锐角为60°．这样的平行四边形5．（8分）小明在街上碰到一家卖西瓜的摊子，听卖瓜人吆喝：“大瓜10元钱一个，中号瓜10元钱两个，小瓜10元钱三个．随便拣，随便挑．”小明仔细看了一下瓜的大小和形状：瓜近似球形，中号瓜的直径大约是大瓜直径的，小瓜的直径大约是中号瓜直径的．小明认真思考后，花20元钱买走了体积总量相对最大的（）6．（8分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混．C D．二、填空题（每小题9分，共36分）7．（9分）当n为任意实数，k为某一特定整数时，等式n（n+1）（n+2）（n+3）+l=（n2+kn+1）2成立．则k=_________．8．（9分）当a≠0，b≠0且a≠b时，一次函数y=ax+b，y=bx+a和y=a的图象围成的图形的面积为_________．9．（9分）如图，将两个正方形纸片ABCD和EBFG重叠，且使直角B完全重合，然后用剪刀将它剪成若干小纸片，恰能拼成一个大正方形．请用两次剪断（按直线剪断算一次）完成此项任务，用虚线在图上画出剪痕．10．（9分）当n是正整数时，规定n!=n×（n一1）×…×2×l，称为n的阶乘（例如10!=10×9×…×2×1=3 628 800）．那么，在2 010！中，末尾共含有零的个数是_________．三、简答题（共4小题，共66分）11．（18分）解方程组：．12．（16分）函数y=|x2﹣1|+|2x2﹣1|+|3x2﹣1|取得最小值1时，求自变量x的取值范围．13．（16分）如图，已知△ABC的外心为0，过点B、C任意作一圆，分别与AB、AC的延长线交于点E、F．求证：AO⊥EF．14．（16分）如图，在∠MAN内有一定点P，已知tan∠MAN=3，P到直线AN的距离PD=12，AD=30．过P任作一条直线分别与AN、AM交于点B、C．求△ABC面积的最小值．2010年山西省太原市初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题8分，共48分）2．（8分）当a＜1时，化简的结果是（）a a a a∴=|a|=a，3．（8分）当x=时，函数f（x）=x3+4x2﹣2x﹣6的值是（）C D．进行化简，再把=），﹣4．（8分）求作一个平行四边形，使其两邻边分别为a和2a，且两条对角线所成的锐角为60°．这样的平行四边形（如图乙）OE=解：如图两点的优弧（如图乙）a5．（8分）小明在街上碰到一家卖西瓜的摊子，听卖瓜人吆喝：“大瓜10元钱一个，中号瓜10元钱两个，小瓜10元钱三个．随便拣，随便挑．”小明仔细看了一下瓜的大小和形状：瓜近似球形，中号瓜的直径大约是大瓜直径的，小瓜的直径大约是中号瓜直径的．小明认真思考后，花20元钱买走了体积总量相对最大的（）（×）6．（8分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混．C D．故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：．二、填空题（每小题9分，共36分）7．（9分）当n为任意实数，k为某一特定整数时，等式n（n+1）（n+2）（n+3）+l=（n2+kn+1）2成立．则k=3．8．（9分）当a≠0，b≠0且a≠b时，一次函数y=ax+b，y=bx+a和y=a的图象围成的图形的面积为．①或③；，，﹣|．故答案为：9．（9分）如图，将两个正方形纸片ABCD和EBFG重叠，且使直角B完全重合，然后用剪刀将它剪成若干小纸片，恰能拼成一个大正方形．请用两次剪断（按直线剪断算一次）完成此项任务，用虚线在图上画出剪痕．∴10．（9分）当n是正整数时，规定n!=n×（n一1）×…×2×l，称为n的阶乘（例如10!=10×9×…×2×1=3 628 800）．那么，在2 010！中，末尾共含有零的个数是501．的倍数有，的倍数有的因子个数为：++=402+80+16=3=501三、简答题（共4小题，共66分）11．（18分）解方程组：．=t===，于是求出=t（舍去）===x=y=12．（16分）函数y=|x2﹣1|+|2x2﹣1|+|3x2﹣1|取得最小值1时，求自变量x的取值范围．，②≤≤，③时，当≤当≤≤≤，知当时，﹣≤或13．（16分）如图，已知△ABC的外心为0，过点B、C任意作一圆，分别与AB、AC的延长线交于点E、F．求证：AO⊥EF．14．（16分）如图，在∠MAN内有一定点P，已知tan∠MAN=3，P到直线AN的距离PD=12，AD=30．过P任作一条直线分别与AN、AM交于点B、C．求△ABC面积的最小值．min=AB参与本试卷答题和审题的老师有：733599；hdq123；星期八；caicl；gbl210；HJJ；lantin；bjy；sd2011；zcx；lanchong （排名不分先后）菁优网2012年11月29日。

2010年全国初中数学竞赛预赛试题（荆州市）一、选择题(每小题6分，共30分)1．若实数a 、b 、c 、d 满足a+1=b －2=c+3=d －4，则a 、b 、c 、d 这四个实数中最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d2．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 运动至点D 停止.设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y.如果关于x 的函数图象如图2所示，则BD 的长是（ ）A3．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（ ）A ．1B ．1或2C ．2D ．2或34．关于x 满足32537213x x x +-≥--，且23+--x x 的最大值为p ，最小值为q ， 则pq 的值是（ ）A ．6B ．5C ．－5D ．45．如图，直角梯形ABCD 中，A D ∥BC ，A B ⊥BC ，AD=3，BC=5，将腰DC 绕点D 的逆时针方向旋转90°至DE ，连结AE ，则△ADE 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题6分，共30分)6．已知51=-a a ，则aa 1-=______________.7．若不论自变量x 取何实数时，二次函数y=2x 2－2kx+m 的函数值总是正数，且关于x 的一元二次方程x 2-4x+k=0有两个不相等的实数根.当k 为符合条件的最大整数时，m 的取值范围为______________.8．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC ；②∠ABE =∠DCE ；③AE=DE ；④∠A =∠D ；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC 不能构成等腰三角形的概率是______________.9．如图，“L ”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF 的长为______________.10．规定任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ）：当且仅当a=c 且b=d 时，（a ，b ）=（c ，d ）.定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=(a c －bd ，ad+bc).若（1，2）⊗(p,q)=(5,0)，则p+q=______________.第3题图 第5题图第8题图 第9题图三、解答题(共60分)11．(本题满分10分)利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性.（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；（2）已知正数a、b、c和m、n、l，满足.a+m=b+n=c+l=k.试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn<k2.12．(本题满分12分)如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给出证明.13．(本题满分12分)某校10名教师带领八年级全体学生乘坐汽车外出参加社会实践活动，要求每辆汽车乘坐的人数相等.起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有师生正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？该校八年级有多少名学生？14．(本题满分12分)如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上.若AB=m+n,其中m、n是整数，求m+n的值.15．(本题满分14分)在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交轴于点N(如图).（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）当旋转角θ为多少度时，△OMN的面积最小，并求出此时△BMN内切圆的半径.。

2010-2011学年九年级数学竞赛考试时间：120分钟 满分100分一、单项选择题(请将正确答案的序号填入答题卡内，每小题3分，共30分) 1.下列各式中，最简二次根式为( )A.B.C.D.2.方程(x-1)x=x 的根是( )A. x 1=1，x 2=0B. x 1=0，x 2=2C. x 1=-1，x 2=0D. x 1=x 2=03.如图，分别切⊙于，点为优弧上一点，，则的度数是( )A.60°B.120°C.30°或120°D.30° 4.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是( )5.已知的半径分别为2和，圆心距为，且2和都是方程的两根，则两圆的位置关系是( )A. 相交B. 外离C. 内切D. 外切6、如果多项式，则的最小值是（ ）A. 2005B. 2006C. 2007D. 2008 7.已知动点在边长为的正方形的边上沿着运动，表示点由点出发所经过的路程，表示的面积，则函数关系的图像大致为 （ ）A.B.C.D.8.已知，则有（ ）A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b 9. 如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：；ADBE第9题图正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm ，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x ，根据题意，可列方程（ ）A ．2π(6010)2π(6010)68x +++=B ．2π(60)2π6086x +⨯=C ．2π(6010)62π(60)8x +⨯=+⨯D ．2π(60)82π(60)6x x -⨯=+⨯二、填空题（请将正确答案填入答题卡内,每小题3分，共21分）1.已知为正整数,,若关于方程有正整数解,则的最小值是2.化简：3.规定两数a b 、通过""*运算得到4ab ，即4a b ab *=。

12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。

九年级数学竞赛试卷参考答案（时间：120分 满分：120分）三、解答题（共54分） 13.（12分）解：10、12的最小公倍数是60，所以干支纪年法以60为周期。

（1）2002+60=2062，故下一个壬午年是2062年（3分）（2）由于地支比天干多2，所以某一年是壬午年，则12年后即是甲午年，换句话说，2002+12=2014，2014-60-60=1894是甲午年，即甲午海战发生于1894年（3分）甲午年后的第4年是戊戌年，所以戊戌政变发生于1898年（2分）（3）壬午年的前2年是庚辰年，再前10年是庚午年，庚午年再前10年是庚申年。

2002-2-10×2=1980 （2分） 1980-60=1920 （2分）所以20世纪的庚申年是1980年及1920年14.（12分）解：因为2（x2+y2）≥(x+y)2，所以2（4a2-2a+2）≥(3a -1)2，即 a2-2a-3≤0，所以 -1≤a≤3 （5分）xy=12[(x+y)2-(x2+y2)]=12(5a2-4a-1) 令2()541f a a a =--，则229()5()55f a a =--（3分） 故当25a =时，()f a 有最小值95-，当a=3时有最大值32. 故xy 的最小值为910-，最大值为16 （4分）15.（14分）证明：如图，在AB 上取点F ，连接AF ，BF ，AO ，BO ，AD ，AE ，BE 则因为A ，D ，B ，F 共圆，A ，D ，E ，C 共圆因此∠AEC=∠ADC=∠F=12∠AOB （5分） 因为AO=BO ，所以AO BO =，所以AEO=∠BEO=12∠AEB （5分）所以∠CEO=∠AEC+∠AEO=12（∠AOB+∠AEB ）=90°所以OE ⊥EC （4分）16.（16分）解：设在联赛积分榜上，第r 名与第r+1名积分差距为最大，则对前r 名而言，他们的总积分有一部分是他们之间比赛所得的，这部分总是固定的，为2r(r-1)分。