数学初中竞赛逻辑推理专题训练(包含答案)

初中数学逻辑推理练习题 Written by Peter at 2021 in January数学逻辑推理练习题1、三个朋友住进了一家宾馆。

结账时，账单总计3000美元。

三个朋友每人分摊1000美元，并把这3000美元如数交给了服务员，委托他代到总台交账，但在交账时，正逢宾馆实施价格优惠，总台退还给服务员500美元，实收2500美元，服务员从这500美元退款中扣下了200美元，只退还三客人300美元，三客人平分了这300美元，每人取回了100美元，这样，三个客人每人实际支付900美元，共支付2700美元，加上服务员扣的200美元，共计2900美元，那么这100美元的差额到哪里去了？2、逻辑推理：谁打破了玻璃四个小孩在校园内踢球,“砰”的一声,不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了,王老师跑出来一看,问：“是谁打破了玻璃?”小张说：“是小强打破的.”小强说：“是小胖打破的.”小明说：“我没有打破窗户的玻璃.”小胖说：“王老师,小强在说谎,不要相信他.”这四个小孩只有一个说了老实话.请判断：说实话的是谁,是谁打破窗户的玻璃3、硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。

最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。

为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢4、高速问题一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里5、登山问题某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。

问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的6、我有一堆绳子，这些绳子之间粗细长短各不相同，每一条绳子本身各处的粗细长短也各不相同。

但是每条绳子的燃烧时间都是60秒，试问我要测量15秒的时间，我该如何做7、有一堆垃圾，规定要由张王李三户人家清理。

初一课外练习逻辑推理题及答案20题以下是初一课外练习的逻辑推理题及答案，共20题。

1. 题目：小明、小红和小刚是一组最好的朋友。

小明比小红懒，小红比小刚勤奋。

根据这些信息，谁是最懒的？答案：小刚（由题意可得出，小红比小刚勤奋，而小明比小红懒，因此小刚是最懒的）2. 题目：如果所有的锦标赛都是由裁判决定的，那么下面哪种说法是错的？a) 如果某队被裁判恢复了比赛，那么他们将会获胜。

b) 如果某队拥有超级巨星，那么他们将会获胜。

c) 如果某队在比赛中取得最多的得分，那么他们将会获胜。

答案：b) 如果某队拥有超级巨星，那么他们将会获胜。

（题目前提是所有的锦标赛由裁判决定，因此队伍是否拥有超级巨星并不会影响他们获胜的机会）3. 题目：以下陈述哪个是一种推理？a) 所有狗都是动物，这只动物是一只狗。

b) 所有狗都有四条腿，这只动物有四条腿，所以它是一只狗。

c) 所有狗都喜欢吃骨头，这只动物喜欢吃骨头，所以它是一只狗。

答案：b) 所有狗都有四条腿，这只动物有四条腿，所以它是一只狗。

（通过对狗的特征进行推理，判断某个动物是不是狗）4. 题目：如果羽毛球俱乐部的会员才能访问俱乐部的健身房，那么下面哪个陈述是正确的？a) 所有使用健身房的人都是俱乐部的会员。

b) 有些访问健身房的人是会员，有些不是。

c) 所有不是俱乐部的会员都不能访问健身房。

答案：c) 所有不是俱乐部的会员都不能访问健身房。

（题目前提是只有俱乐部的会员才能访问健身房，因此不是会员的人不能访问健身房）5. 题目：以下哪个陈述是错误的？a) 所有鸟都会飞。

b) 企鹅是一种鸟，因此它会飞。

c) 有些鸟不能飞。

答案：b) 企鹅是一种鸟，因此它会飞。

（题目陈述了“所有鸟都会飞”，但事实上，企鹅是一种不能飞的鸟）6. 题目：以下陈述哪个是推理？a) 所有红色的水果是苹果。

b) 这个水果是红色的，所以它是苹果。

c) 所有苹果都是红色的。

答案：b) 这个水果是红色的，所以它是苹果。

初一数学推理试题及答案试题一：数字推理题目：观察下列数字序列，找出规律并填出下一个数字。

2, 4, 8, 16, __试题二：图形推理题目：下列图形序列中，哪一个图形是下一个？A. □B. ○C. △D. □图形序列：□, ○, △, ○, __试题三：逻辑推理题目：如果所有的苹果都是水果，所有的水果都是食物，那么所有的苹果是什么？A. 水果B. 食物C. 苹果D. 食物和水果试题四：数学计算题目：计算下列表达式的值：(3 + 5) × 2 - 8试题五：代数推理题目：如果 x + y = 10，且 x - y = 4，求 x 和 y 的值。

试题答案：试题一答案：32。

这是一个等比数列，每一项都是前一项的2倍。

试题二答案：D. □。

图形序列是交替出现的，下一个图形应该是与前一个图形相同的□。

试题三答案：B. 食物。

根据题目的逻辑关系，苹果是水果，水果是食物，所以苹果也是食物。

试题四答案：6。

计算过程如下：(3 + 5) × 2 - 8 = 8 × 2 - 8 = 16 - 8 = 6。

试题五答案：x = 7，y = 3。

解法如下：将两个等式相加得到 2x = 14，所以 x = 7。

将 x 的值代入第一个等式得到 y = 3。

结束语：通过以上的数学推理试题及答案，我们可以看出，数学推理不仅需要观察和发现规律，还需要逻辑思考和计算能力。

希望同学们在解答此类问题时，能够细心观察，合理推理，准确计算。

20 道数学逻辑推理题目一、数字推理题1. 找规律填数字：2，4，6，8，（）。

-答案：10。

规律是后一个数比前一个数大2。

2. 1，3，7，15，（）。

-答案：31。

规律是后一个数比前一个数依次多2、4、8、16。

3. 2，5，11，23，（）。

-答案：47。

规律是后一个数比前一个数依次多3、6、12、24。

4. 3，6，9，12，（）。

-答案：15。

规律是后一个数比前一个数大3。

5. 4，8，16，32，（）。

-答案：64。

规律是后一个数是前一个数的2 倍。

二、图形推理题1. 观察图形：○△□，△□○，□○△，下一个图形是什么？-答案：○△□。

规律是三个图形依次循环。

2. 有一组图形，第一个是正方形，第二个是圆形，第三个是三角形，第四个是正方形，第五个是圆形，那么第六个图形是什么？-答案：三角形。

规律是正方形、圆形、三角形依次循环。

3. 观察图形序列：△△△△△△△△△，下一个图形是什么？-答案：△。

规律是△后面的△依次增加一个。

4. 一组图形为：△○□，□△○，○□△，下一组图形是什么？-答案：△○□。

规律是三个图形依次循环换位。

5. 图形序列：△△△△△△△△△，下一个图形是什么？-答案：△。

规律是△后面的△依次增加一个。

三、逻辑推理题1. 小明、小红、小刚三人中，一人是医生，一人是教师，一人是警察。

已知小明不是医生，小红不是教师，小刚不是警察。

那么小明是（），小红是（），小刚是（）。

-答案：教师、警察、医生。

通过排除法推理得出。

2. 桌子上有三个盒子，一个盒子里装着糖，一个盒子里装着饼干，一个盒子里装着糖和饼干。

三个盒子上分别贴着标签：A 盒“糖”，B 盒“饼干”，C 盒“糖和饼干”。

但标签都贴错了。

现在从一个盒子里取出一个物品，如果是糖，那么这个盒子里实际装着什么？-答案：糖和饼干。

因为标签都贴错了，如果从贴着“糖”标签的盒子里取出糖，那么这个盒子实际装着糖和饼干。

3. 甲、乙、丙三人参加跑步比赛，甲说：“我不是第一名。

初三课外练习逻辑推理题及答案20题1. 如果今天下雨，那么小明就会带伞外出。

今天小明带着伞外出了，所以今天是否下雨了？答案：无法确定。

虽然小明带了伞，但我们并不知道他究竟是因为下雨而带伞，或者只是防备起风天。

2. 所有的苹果都是水果，所有的水果都是食物。

那么，所有的苹果是否都是食物？答案：是的。

由条件推导可知，苹果是水果，而水果是食物，因此所有的苹果都是食物。

3. 在某个市场上，有100个水果。

其中30个是苹果，40个是橙子，30个是香蕉。

如果在这100个水果中选取一个，那么它不是苹果的概率是多少？答案：70%。

由题意可知，不是苹果的水果有40个橙子和30个香蕉，所以不是苹果的概率是70%。

4. 如果A是B的兄弟，那么B是C的弟弟，C是D的哥哥。

那么A和D之间的关系是什么？答案：A和D是兄弟。

由题意可知，A是B的兄弟，B是C的弟弟，C是D的哥哥，因此A和D具有相同的父母，所以是兄弟关系。

5. 在一个购物网站上，A用户每月消费200元以上就会获得VIP会员资格，而B用户是VIP会员。

那么A用户每月消费200元以上是B用户的充分条件吗？答案：否。

虽然A用户每月消费200元以上，但并没有说B用户一定是因为消费200元以上才获得VIP会员资格，所以不是充分条件。

6. 一辆汽车在60秒内行驶了1公里。

那么在10秒内它能够行驶多少公里？答案：1/6公里。

由题意可知，汽车在60秒内行驶了1公里，所以在10秒内行驶的距离是1/6公里。

7. 所有的A都是B，所有的B都是C。

下列哪个说法是正确的？A) 所有的A都是C。

B) 所有的C都是A。

C) A和C之间没有关系。

D) A和C之间的关系不能确定。

答案：D) A和C之间的关系不能确定。

由条件可知，A是B，B是C，但我们无法确定A和C之间的具体关系。

8. 如果今天是星期一，那么后天是星期几？答案：星期三。

星期一后面是星期二，再后面就是星期三。

9. 如果所有的A都是B，那么下列哪个说法是错误的？A) 所有的B都是A。

初中数学竞赛之逻辑推理问题1．41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．2．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数相同．3．有50名同学站在操场上玩游戏，他们彼此间的距离都各不相等．每人手中有一把水枪，游戏规则是：每人都向离自己最近的人打一枪．试证明：每一个人至多挨了5枪．（提示：也就是要证明：假定有一个人至少挨6枪是不可能的）4．把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．5．一个口袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个．从袋中任意取球，如果要求一次取出的球中至少有15个球的颜色相同，那么至少要从袋中取出多少个球？6．环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次．试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．7．有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题．证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．8．对于平面上给定的25个点，如果其中任何3个点中都有某两个点的距离小于1，那么在这些给定的点中，一定可以找到13个点，这13个点都位于一个半径为1的圆内．9．如果三个完全平方数之和能被9整除，那么可以从这三个数中选出两个来，使得这两个完全平立数之差也能被9整除．10．某夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人必须去一处，至多去两处游览．求证：至少有332人游览的地方完全相同．11．将2002张卡片分别标记1，2，3，…，2002的数，数字面朝上放在桌上．二位玩家轮流自桌上各取一张牌，直到桌上的牌取光为止．先计算每个人所有取的牌的数之总和，再比较这两个总和的个位数，较大者为胜方．请问两位玩家中哪一位有必胜之策略（无论对手如何对应）？如果有，这个必胜策略是什么？12．从1到100这100个自然数中，任意取出51个数，其中一定存在两个数，这两个数中的一个是另一个的整数倍．13．证明：在21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1﹣1这n﹣1个数中，至少有一个数能被n整除（其中n为大于1的奇数）．14．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款共有多少种？15．圆周上有12个点，其中有一个是涂了红色，还有一个是涂了蓝色，其余10个是没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形，只包含红点（蓝点）的称为红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称为无色多边形．试问以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数哪一种多？多多少？16．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？17．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表求这个班的学生数．18．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．（1）化学不放在第1位，共有多少种不同排法？（2）语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？（3）物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？（4）文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？19．山城电信大楼一架最多可以容纳32人的33层电梯出故障，只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层办公．请你设计一个方案，使电梯停在某一层，使得这32个人的不满意总分达到最小，并求出这个最小值．注意：有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼．20．如图所示，有一个正方体形的铁丝架，把它的侧棱中点I、J、K、L也用铁丝连上．（1）现在一个蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来（用所经过的连接点字母表示，譬如蚂蚁从A点出发，经过I点L点，最后到达H点，这样的路线用AILH表示）．（2）蚂蚁是否可能从A点出发，沿着铁丝经过每一个连接点，恰好一次最后到达G点？如果可能，请找出一条这样的路线；如果不可能，说明为什么？参考答案1．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）2．证明：利用抽屉原理，按植树的多少，从50至100株可以构造51个抽屉，则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里；假设5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：4（50+51+52+…+100）＝4×＝15300＜15301，得出矛盾．因此，至少有5人植树的株数相同．3．解：假定有一个人至少挨了6枪，设此人为A、若B射向A，C也射向A，则在△ABC中，BC边最长（如图）．又由于三边不等，则角A应该大于60度．若有6个人都射向A，则从A出发的6个角都大于等于60度，从而周角就大于了360度，这是不可能的．4．证明：由于每个格内数字为1，2，3，则在各行、各列，两格对角线数字和中，最小的为10，最大的为30，共有21种取值，实际上，10行，10列，加2条对角线共22个和．所以由抽屉原理，必有两个和是相等的．5．解：最不利条件：前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况．也就是：黄球，白球，黑球全部都取完了（这些同颜色的都在15个球以下，全部取完也不会有15个球颜色相同），一共是12+10+10＝32个球然后红球，绿球，蓝球各取14个．14×3＝42个．依然没有15个球颜色相同．然后再取任意一个球，就能达到至少有15个球的颜色相同了，因此一共有32+42+1＝75个球．6．解：首先说明，将相邻的旗子对调一次，变色次数或不变，或增加2次，或减少2次．显然，如果对调的两旗同色，则不改变变色数，以下为了方便，用⊙表示红色旗，用△表示黄色旗，可设对调前两旗为⊙△，因对调一次只可能影响这两旗相邻旗子的变色数，因此（考虑对称性），只需考虑如下几种对调前的情形：⊙⊙△△，⊙⊙△⊙，△⊙△⊙，△⊙△△（变色数依次为1，2，3，2），将中间两旗对调后变为⊙△⊙△，⊙△⊙⊙，△△⊙⊙，△△⊙△（变色数依次为3，2，1，2）．由此可见，变色数或不变，或增加2次，或减少2次．由原来的变色数46，经过若干次增、减2，现在成为26，故必须经过46与26之间的所有偶数．所以在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．7．证明：从17个点中的一点，比如点A处作引16条线段，共三种颜色，由抽屉原理至少有6条线段同色，设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色．若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线，设这两点为B、C，则△ABC是一个三边同为红色的三角形．若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色，则考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种，必有3条线段同色，设为BC、BD、BE均为黄色，再研究△CDE的三边的颜色，要么同为蓝色，则△CDE是一个三边同色的三角形，要么至少有一边为黄色，设这边为CD，则△BCD是一个三边同为黄色的三角形，即至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．8．解：在给定的25个点中任取一点，记为A，以A为圆心，1为半径作圆，若⊙A盖住所有的点，则结论成立；若不然，则至少有一点B不在圆内，再以B为圆心，1为半径做圆，则所给的25个点中的任意一点要么在⊙A内，要么在⊙B内，否则，至少有一点C既不在⊙A内，又不在⊙B内，这样，所得三点A、B、C的连线AB、AC、BC的长都大于1，即在A、B、C三点中无两点距离小于1，与题设矛盾，因此⊙A、⊙B就可以盖住这25个点．把⊙A、⊙B作为两个抽屉，把25个点放进去，因为25＝12×2+1，由抽屉原理可知，至少有一个圆内有12+1＝13个点都位于一个半径为1的圆内．9．解：下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数．根据同余理论，我们知道，任何一个整数总可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4这九种情况中的一种．现在将这九种情况分别平方，于是可得：（9k）2＝9×9k2+0；（9k±1）2＝9（9k2±2k）+1；（9k±2）2＝9（9k2±4）+4；（9k±3）2＝9（9k2±6k+1）+0及（9k±4）2＝9（9k2±8k+1）+7．可见，任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0，1，4，7这四种情况之一．另一方面，由于所选的三个完全平方数之和能被9整除，因此这三个数的余数之和也一定能被9整除；而从0、1、4、7这四个数中选出三个，其和要能被9整除，只可能是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}这四种情况中的一种．而在上面这四种可能的余数组合中，每一组都至多有两种余数，因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同，从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除．10．解：因为营员所去地方可分为（故宫），（景山），（北海），（故宫，北海），（故宫，景山），（北海，景山），共6种，构造为6个抽屉，而营员共有1987名．由抽屉原理可知，必有人游览的地方相同，所以至少有332人游览的地方完全相同．11．解：由题目可知，胜负的关键在于这个位数的大小，于是只考虑这个位数，试着将范围缩小，从2002缩小到22，∵2002＝2000+2，同理：22＝20+2，得到排列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020 19 18 17 16 15 14 13 12 1121 22由上面的排列不难看出上面的两排数将其以横的相加，所得总和的个位数会一样，那么先取的人拿到22，再根据对称性拿，就可以必胜．将其推广：先取的人拿到2002，再根据对称性拿，就可以必胜．12．证明：由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2n和乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．因此，我们可以按下面的方法来构造50个抽屉：{1，1×2，1×22，1×23，1×26}；{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；…；{49，49×2}；{51}；{53}；…；{99}．于是从这50个抽屉中任取51个数，根据抽屉原则，其中一定存在至少两个数属于同一个抽屉，即命题得证．13．证明：用数学归纳法来证明．（1）当n＝2时成立．（2）假设，当n＝k时，成立．（3）证明：当n＝k+1时也成立．（31）2n﹣1个互不相同的整数中n个整数的和，有C（n，2n﹣1）种互不相同的可能性．（32）这C（n，2n﹣1）种互不相同的可能性，落在[0，（2n﹣1）•n]区间内．在这个区间内，不能被n整除的整数个数是（2n﹣1）•（n﹣1）个．（33）证明C（n，2n﹣1）＞（2n﹣1）•（n﹣1）．（34）原命题得证．14．解：∵不管怎么组合都不会重复，∴共有3×5×2×2×2﹣1＝120﹣1＝119种．故可以付出不同数额的款共有119种．15．解：对于任何一个双色n（n≥5）边形，显然去掉红、蓝顶点后，得到一个无色n﹣2边形，不同的双色n边形去掉红蓝顶点后，得到的是不同的无色n﹣2边形．反过来，对任一无色多边形，添上红蓝顶点后，总可以得到一个双色多边形，由此可知，无色多边形（从三角形到十边形）的个数与双色多边形（从五边形到十二边形）的个数相等．因此，双色多边形的个数多，多出来的数目恰是双色三角形和双色四边形的数目．双色三角形有10个．双色四边形有×10×9＝45个．这是由于每对应一个双色三角形，可以有九个双色四边形，而在90个双色四边形中，两两相重，故只有45个双色四边形．∴双色多边形比无色多边形多55个．16．解：①．被拉了三次的灯，为2、3、5的最小公倍数，也就是＝66②．被拉了两次的灯，也就是求2和3、3和5、2和5的最小公倍数的和，这里注意要扣除被重复拉的灯（也就是2、3、5三个数的最小公倍数）：++﹣3×66＝466③．被拉了一次的灯，++﹣2×466﹣3×66＝932那么最后亮着的灯的数量：1997﹣66﹣932＝99917．解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17，18，15，因而，总人数是17+18+15+4＝54，但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54﹣6﹣6﹣5＝37，又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去．即这个班学生数为：37+2＝39．18．解：（1）4×4×3×2×1＝96种．故化学不放在第1位，共有96种不同排法．（2）2×4×3×2×1＝48种．故语文与数学必须相邻，共有48种不同排法．（3）（5×4﹣2×4）×3×2×1＝72种．故物理与化学不得相邻，共有72种不同排法．（4）3×2×1×2×1＝12种．故文科书与理科书交叉排放，共有12种不同排法．19．解：将人群分成三组，A组：直接上楼；B组：从电梯下楼；C组：从电梯上楼；由于各种组合是有限的，因此最小值是存在的，那么在达到最小值时，下楼的人数是一个确定的值m，除了1人不需要上下楼，上楼的人数为31﹣m，这31﹣m个人分在A，C两组，由于A，C两组的地位均等，因此要达到最小值人数要相等，但涉及到整数有可能相差1人，设A组的人有n，那么爬得最高的人要爬n层，3n分，如果C组的人比A组的人数多2个以上，则C组爬得最高的人＞＝3（n+2），这样如果我们从C组中移1个人到A组，将至少减少3（n+2）分，而A组增加1人增加的分是3（n+1），显然会使总分减少，同时B组的人数没有变动，分值没有变化，由此说明了A，C组人数应当相等或相差1人，基于以上分析，先考虑AC组人数相等的情况：设A，C组人数均为x，B组人数为31﹣2x，总分S＝＝5x2﹣60x+496，当x＝＝6，S最小＝316．20．解：（1）一共有12条：ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG；（2）不可能．用反证法证明．假设可能，那么将所有连接点染上黑、白两色，凡与黑点相邻的都是白点，凡与白点相邻的都是黑点．若A是白点，则黑白点的分布如下表：．由于A与G都是白点，所以蚂蚁从A点出发，依次经过其它各点，到达G点的路线应为白→黑→白→黑→…→黑→白．其中有奇数个白点，这与图中共有偶数个白点相矛盾．∴蚂蚁不可能从A点出发沿着铁丝经过每一个连接点恰好一次，最后到达G点．。

中学生数学逻辑思维竞赛真题1.题目描述：小明、小华、小红、小李四个人在进行一场数学逻辑思维竞赛。

他们每个人得到了一个数字，并根据以下提示进行推理和猜测。

提示1：小明的数字是3的倍数。

提示2：小华的数字是小于10的质数。

提示3：小红的数字是小于20的偶数。

提示4：小李的数字是7的倍数。

问题：根据以上提示，分别推断出小明、小华、小红、小李的数字是多少？解析：根据题目给出的条件，我们可以逐个进行排除和推理。

由提示1可以得知，小明的数字为3的倍数。

根据条件，小明的数字可以是3、6、9、12等。

由提示2可以得知，小华的数字是小于10的质数。

根据条件，小华的数字可以是2、3、5、7等。

由提示3可以得知，小红的数字是小于20的偶数。

根据条件，小红的数字可以是2、4、6、8、10、12、14、16、18等。

由提示4可以得知，小李的数字是7的倍数。

根据条件，小李的数字可以是7、14等。

综上所述，根据提示的条件，我们可以得到以下可能的解答：小明的数字可能是3、6、9、12等。

小华的数字可能是2、3、5、7等。

小红的数字可能是2、4、6、8、10、12、14、16、18等。

小李的数字可能是7、14等。

2.题目描述：小明、小华、小红、小李四个人在参加一场中学生数学逻辑思维竞赛。

他们每个人都解答了一道推理题，题目如下：已知：1. 小华是一个高年级学生。

2. 小红比小李年龄大。

3. 小明是一个低年级学生。

4. 小李不是最年轻的。

请确定每个人的年龄及他们的年级。

解析：根据题目的给定条件，我们可以利用逻辑推理来推断每个人的年龄和年级。

首先，根据条件1，小华是一个高年级学生。

所以，小华的年级可能是高年级，年龄暂时无法确定。

其次，根据条件3，小明是一个低年级学生。

所以，小明的年级可能是低年级。

再次，根据条件2，小红比小李年龄大。

我们可以确定小红的年级肯定比小红低，同时小李的年级肯定比小红高。

最后，根据条件4，小李不是最年轻的。

我们可以得出小李的年级应该是高年级，年纪稍大一些。

初中智商测试题目及答案一、逻辑推理题1. 如果所有的苹果都是水果，那么以下哪个选项是正确的？A. 所有的水果都是苹果B. 有些水果不是苹果C. 所有的水果都是苹果的一部分答案：B2. 以下哪个选项不能从“所有的猫都会跳”这个前提中推导出来？A. 有些猫会跳B. 没有猫不会跳C. 一只猫会跳答案：A二、数学问题1. 如果一个数字加上10后是40，那么这个数字是什么？答案：302. 一个数的两倍加上5等于35，求这个数。

答案：15三、空间推理题1. 如果一个立方体的一面是红色，另一面是蓝色，那么这个立方体最少有几个面？答案：3个2. 一个正方体的每个面都是相同的颜色，如果这个正方体被涂成了蓝色，那么最少需要多少面被涂色？答案：1面四、语言理解题1. “他虽然失败了，但并没有放弃。

”这句话表达的意思是：A. 他失败了，并且放弃了B. 他失败了，但没有放弃C. 他没有失败，也没有放弃答案：B2. “不入虎穴，焉得虎子”这句话的意思是：A. 不要冒险B. 只有冒险，才能获得成功C. 虎穴里没有虎子答案：B五、记忆测试题1. 请记住以下单词：苹果、香蕉、橙子、梨。

然后回答，哪个水果是红色？答案：苹果2. 请记住以下数字序列：3, 5, 7, 9, 11。

然后回答，序列中的第一个数字是什么？答案：3六、常识判断题1. 以下哪个选项不是四大发明之一？A. 造纸术B. 印刷术C. 指南针D. 火药E. 电话答案：E2. 以下哪个选项不是中国传统节日？A. 春节B. 中秋节C. 端午节D. 圣诞节答案：D七、图形识别题1. 在以下图形中，哪一个是对称图形？A. 圆形B. 三角形C. 正方形D. 五边形答案：A2. 在以下图形中，哪一个图形的周长最长？A. 圆形B. 三角形C. 正方形D. 五边形答案：D八、序列完成题1. 完成以下序列：2, 4, 6, 8, ____答案：102. 完成以下序列：1, 3, 6, 10, ____答案：15九、类比推理题1. 钢笔：书写A. 铅笔：绘画B. 钢笔：擦除C. 铅笔：书写D. 橡皮：书写答案：C2. 医生：病人A. 老师：学生B. 病人：医生C. 老师：教室D. 学生：教室答案：A十、综合分析题1. 如果一个班级有20名学生，其中10名学生喜欢数学，8名学生喜欢英语，5名学生既喜欢数学又喜欢英语。

初中数学竞赛专项训练之逻辑推理一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积 （ ）A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜 （ ）A. 0局B. 1局C. 2局D. 3局3、已知四边形ABCD 从下列条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有 （ ）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有 （ ）A. 1种B. 2种C. 4种D. 0种5、正整数n 小于100，并且满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有（ ）个A. 2B. 3C. 12D. 166、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是 （ ）A. 15B. 14C. 13D. 127、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（ ）个展室。

初三中考逻辑推理练习题1. 现有一排相同高度的箱子，每个箱子上都标有一个数字，且数字都是不重复的。

根据以下提示，请你推理出每个箱子上标有的数字。

提示：- A箱子的数字比D箱子的数字大4。

- C箱子的数字比B箱子的数字小2。

- D箱子的数字比E箱子的数字小1。

- B箱子的数字比A箱子的数字小3。

- E箱子的数字比C箱子的数字大5。

解题思路：根据题目提示，我们可以逐步推理出每个箱子上标有的数字。

假设A箱子上的数字为x，那么D箱子上的数字为x+4，B箱子上的数字为x-3，C箱子上的数字为x-1，E箱子上的数字为x-1+5=x+4。

根据上面的推理，我们可以得出每个箱子上标有的数字如下：- A箱子的数字为x- B箱子的数字为x-3- C箱子的数字为x-1- D箱子的数字为x+4- E箱子的数字为x+42. 下面是一个逻辑谜题，请你根据题目描述推理出正确的答案。

某城市有红色、黄色、蓝色、绿色四辆出租车，车牌上分别写着A、B、C、D四个字母，且每辆车颜色和字母都不相同。

根据以下线索，请你判断每辆出租车的颜色和车牌上的字母。

线索：- 红色车牌上的字母是A或B。

- 黄色车牌上的字母是B或C。

- 绿色车牌上的字母是D。

- 蓝色车牌上的字母不是C。

解题思路：首先我们可以根据线索推理出：- 红色车牌上的字母不能是C或D，所以红色车牌上的字母是A或B。

- 黄色车牌上的字母不能是A或D，所以黄色车牌上的字母是B或C。

- 绿色车牌上的字母是D。

- 蓝色车牌上的字母不是C。

根据以上推理，我们可以得出每辆出租车的颜色和车牌上的字母如下：- 红色车牌上的字母是A，所以红色车的颜色是A。

- 黄色车牌上的字母是C，所以黄色车的颜色是C。

- 绿色车牌上的字母是D，所以绿色车的颜色是D。

- 蓝色车牌上的字母是B，所以蓝色车的颜色是B。

通过以上推理，我们得到了每辆出租车的颜色和车牌上的字母。

- 红色车的颜色是A，车牌上的字母是A。

- 黄色车的颜色是C，车牌上的字母是C。

初中一年级思维逻辑训练数学题300道附答案1.一束鲜花原价8元，经过打折后只需支付6元。

打了多少折扣？答案：打了25%的折扣。

2.如果3个苹果等于2个橘子，而4个橘子等于5个香蕉，那么6个苹果等于多少个香蕉？答案：6个苹果等于10个香蕉。

3.小明的生日是星期二。

他从那一天开始数，第10天是星期几？答案：第10天是星期五。

4.在一个矩形花坛中，有12株玫瑰和8株郁金香。

如果从中随机选取一株花，那么选到玫瑰的概率是多少？答案：选到玫瑰的概率是12/20或3/5。

5.如果一个数的1/4等于12，那么这个数是多少？答案：这个数是48。

6.如果一本书的原价是40元，现在打了20%的折扣，打折后的价格是多少？答案：打折后的价格是32元。

7.一个三角形的三个内角分别是60度、70度和50度，这个三角形的最大内角是多少度？答案：这个三角形的最大内角是70度。

8.一个正方形的周长是32厘米，那么它的边长是多少厘米？答案：这个正方形的边长是8厘米。

9.如果6个苹果的重量等于4个橘子的重量，而3个橘子的重量等于2个香蕉的重量，那么6个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答案：6个苹果的重量等于6个香蕉的重量。

10.如果一个长方形的宽度是5厘米，面积是15平方厘米，那么它的长度是多少厘米？答案：这个长方形的长度是3厘米。

11.一个数加上8等于20，那么这个数是多少？答案：这个数是12。

12.将一个正方形分成四个小正方形，每个小正方形的边长为2cm。

如果将每个小正方形的一个角剪掉，剩下的部分拼接在一起能否组成一个等腰直角三角形？答案：不能。

剪去一个角后，剩下的部分的三个内角和为270度，而等腰直角三角形的三个内角和为180度。

13.某数的三倍减去2的结果是14，求这个数。

答案：设这个数为x，根据题意可列方程：3x - 2 = 14，解得x = 5。

14.一个矩形的长度是宽度的3倍，如果周长为32cm，求矩形的面积。

答案：设矩形的宽度为x，则长度为3x，根据题意可列方程：2(x + 3x) = 32，解得x = 4。

初中数学竞赛之逻辑推理问题1．41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．2．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数相同．3．有50名同学站在操场上玩游戏，他们彼此间的距离都各不相等．每人手中有一把水枪，游戏规则是：每人都向离自己最近的人打一枪．试证明：每一个人至多挨了5枪．（提示：也就是要证明：假定有一个人至少挨6枪是不可能的）4．把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．5．一个口袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个．从袋中任意取球，如果要求一次取出的球中至少有15个球的颜色相同，那么至少要从袋中取出多少个球？6．环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次．试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．7．有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题．证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．8．对于平面上给定的25个点，如果其中任何3个点中都有某两个点的距离小于1，那么在这些给定的点中，一定可以找到13个点，这13个点都位于一个半径为1的圆内．9．如果三个完全平方数之和能被9整除，那么可以从这三个数中选出两个来，使得这两个完全平立数之差也能被9整除．10．某夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人必须去一处，至多去两处游览．求证：至少有332人游览的地方完全相同．11．将2002张卡片分别标记1，2，3，…，2002的数，数字面朝上放在桌上．二位玩家轮流自桌上各取一张牌，直到桌上的牌取光为止．先计算每个人所有取的牌的数之总和，再比较这两个总和的个位数，较大者为胜方．请问两位玩家中哪一位有必胜之策略（无论对手如何对应）？如果有，这个必胜策略是什么？12．从1到100这100个自然数中，任意取出51个数，其中一定存在两个数，这两个数中的一个是另一个的整数倍．13．证明：在21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1﹣1这n﹣1个数中，至少有一个数能被n整除（其中n为大于1的奇数）．14．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款共有多少种？15．圆周上有12个点，其中有一个是涂了红色，还有一个是涂了蓝色，其余10个是没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形，只包含红点（蓝点）的称为红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称为无色多边形．试问以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数哪一种多？多多少？16．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？17．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表求这个班的学生数．18．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．（1）化学不放在第1位，共有多少种不同排法？（2）语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？（3）物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？（4）文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？19．山城电信大楼一架最多可以容纳32人的33层电梯出故障，只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层办公．请你设计一个方案，使电梯停在某一层，使得这32个人的不满意总分达到最小，并求出这个最小值．注意：有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼．20．如图所示，有一个正方体形的铁丝架，把它的侧棱中点I、J、K、L也用铁丝连上．（1）现在一个蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来（用所经过的连接点字母表示，譬如蚂蚁从A点出发，经过I点L点，最后到达H点，这样的路线用AILH表示）．（2）蚂蚁是否可能从A点出发，沿着铁丝经过每一个连接点，恰好一次最后到达G点？如果可能，请找出一条这样的路线；如果不可能，说明为什么？参考答案1．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）2．证明：利用抽屉原理，按植树的多少，从50至100株可以构造51个抽屉，则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里；假设5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：4（50+51+52+…+100）＝4×＝15300＜15301，得出矛盾．因此，至少有5人植树的株数相同．3．解：假定有一个人至少挨了6枪，设此人为A、若B射向A，C也射向A，则在△ABC中，BC边最长（如图）．又由于三边不等，则角A应该大于60度．若有6个人都射向A，则从A出发的6个角都大于等于60度，从而周角就大于了360度，这是不可能的．4．证明：由于每个格内数字为1，2，3，则在各行、各列，两格对角线数字和中，最小的为10，最大的为30，共有21种取值，实际上，10行，10列，加2条对角线共22个和．所以由抽屉原理，必有两个和是相等的．5．解：最不利条件：前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况．也就是：黄球，白球，黑球全部都取完了（这些同颜色的都在15个球以下，全部取完也不会有15个球颜色相同），一共是12+10+10＝32个球然后红球，绿球，蓝球各取14个．14×3＝42个．依然没有15个球颜色相同．然后再取任意一个球，就能达到至少有15个球的颜色相同了，因此一共有32+42+1＝75个球．6．解：首先说明，将相邻的旗子对调一次，变色次数或不变，或增加2次，或减少2次．显然，如果对调的两旗同色，则不改变变色数，以下为了方便，用⊙表示红色旗，用△表示黄色旗，可设对调前两旗为⊙△，因对调一次只可能影响这两旗相邻旗子的变色数，因此（考虑对称性），只需考虑如下几种对调前的情形：⊙⊙△△，⊙⊙△⊙，△⊙△⊙，△⊙△△（变色数依次为1，2，3，2），将中间两旗对调后变为⊙△⊙△，⊙△⊙⊙，△△⊙⊙，△△⊙△（变色数依次为3，2，1，2）．由此可见，变色数或不变，或增加2次，或减少2次．由原来的变色数46，经过若干次增、减2，现在成为26，故必须经过46与26之间的所有偶数．所以在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．7．证明：从17个点中的一点，比如点A处作引16条线段，共三种颜色，由抽屉原理至少有6条线段同色，设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色．若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线，设这两点为B、C，则△ABC是一个三边同为红色的三角形．若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色，则考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种，必有3条线段同色，设为BC、BD、BE均为黄色，再研究△CDE的三边的颜色，要么同为蓝色，则△CDE是一个三边同色的三角形，要么至少有一边为黄色，设这边为CD，则△BCD是一个三边同为黄色的三角形，即至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．8．解：在给定的25个点中任取一点，记为A，以A为圆心，1为半径作圆，若⊙A盖住所有的点，则结论成立；若不然，则至少有一点B不在圆内，再以B为圆心，1为半径做圆，则所给的25个点中的任意一点要么在⊙A内，要么在⊙B内，否则，至少有一点C既不在⊙A内，又不在⊙B内，这样，所得三点A、B、C的连线AB、AC、BC的长都大于1，即在A、B、C三点中无两点距离小于1，与题设矛盾，因此⊙A、⊙B就可以盖住这25个点．把⊙A、⊙B作为两个抽屉，把25个点放进去，因为25＝12×2+1，由抽屉原理可知，至少有一个圆内有12+1＝13个点都位于一个半径为1的圆内．9．解：下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数．根据同余理论，我们知道，任何一个整数总可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4这九种情况中的一种．现在将这九种情况分别平方，于是可得：（9k）2＝9×9k2+0；（9k±1）2＝9（9k2±2k）+1；（9k±2）2＝9（9k2±4）+4；（9k±3）2＝9（9k2±6k+1）+0及（9k±4）2＝9（9k2±8k+1）+7．可见，任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0，1，4，7这四种情况之一．另一方面，由于所选的三个完全平方数之和能被9整除，因此这三个数的余数之和也一定能被9整除；而从0、1、4、7这四个数中选出三个，其和要能被9整除，只可能是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}这四种情况中的一种．而在上面这四种可能的余数组合中，每一组都至多有两种余数，因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同，从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除．10．解：因为营员所去地方可分为（故宫），（景山），（北海），（故宫，北海），（故宫，景山），（北海，景山），共6种，构造为6个抽屉，而营员共有1987名．由抽屉原理可知，必有人游览的地方相同，所以至少有332人游览的地方完全相同．11．解：由题目可知，胜负的关键在于这个位数的大小，于是只考虑这个位数，试着将范围缩小，从2002缩小到22，∵2002＝2000+2，同理：22＝20+2，得到排列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020 19 18 17 16 15 14 13 12 1121 22由上面的排列不难看出上面的两排数将其以横的相加，所得总和的个位数会一样，那么先取的人拿到22，再根据对称性拿，就可以必胜．将其推广：先取的人拿到2002，再根据对称性拿，就可以必胜．12．证明：由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2n和乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．因此，我们可以按下面的方法来构造50个抽屉：{1，1×2，1×22，1×23，1×26}；{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；…；{49，49×2}；{51}；{53}；…；{99}．于是从这50个抽屉中任取51个数，根据抽屉原则，其中一定存在至少两个数属于同一个抽屉，即命题得证．13．证明：用数学归纳法来证明．（1）当n＝2时成立．（2）假设，当n＝k时，成立．（3）证明：当n＝k+1时也成立．（31）2n﹣1个互不相同的整数中n个整数的和，有C（n，2n﹣1）种互不相同的可能性．（32）这C（n，2n﹣1）种互不相同的可能性，落在[0，（2n﹣1）•n]区间内．在这个区间内，不能被n整除的整数个数是（2n﹣1）•（n﹣1）个．（33）证明C（n，2n﹣1）＞（2n﹣1）•（n﹣1）．（34）原命题得证．14．解：∵不管怎么组合都不会重复，∴共有3×5×2×2×2﹣1＝120﹣1＝119种．故可以付出不同数额的款共有119种．15．解：对于任何一个双色n（n≥5）边形，显然去掉红、蓝顶点后，得到一个无色n﹣2边形，不同的双色n边形去掉红蓝顶点后，得到的是不同的无色n﹣2边形．反过来，对任一无色多边形，添上红蓝顶点后，总可以得到一个双色多边形，由此可知，无色多边形（从三角形到十边形）的个数与双色多边形（从五边形到十二边形）的个数相等．因此，双色多边形的个数多，多出来的数目恰是双色三角形和双色四边形的数目．双色三角形有10个．双色四边形有×10×9＝45个．这是由于每对应一个双色三角形，可以有九个双色四边形，而在90个双色四边形中，两两相重，故只有45个双色四边形．∴双色多边形比无色多边形多55个．16．解：①．被拉了三次的灯，为2、3、5的最小公倍数，也就是＝66②．被拉了两次的灯，也就是求2和3、3和5、2和5的最小公倍数的和，这里注意要扣除被重复拉的灯（也就是2、3、5三个数的最小公倍数）：++﹣3×66＝466③．被拉了一次的灯，++﹣2×466﹣3×66＝932那么最后亮着的灯的数量：1997﹣66﹣932＝99917．解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17，18，15，因而，总人数是17+18+15+4＝54，但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54﹣6﹣6﹣5＝37，又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去．即这个班学生数为：37+2＝39．18．解：（1）4×4×3×2×1＝96种．故化学不放在第1位，共有96种不同排法．（2）2×4×3×2×1＝48种．故语文与数学必须相邻，共有48种不同排法．（3）（5×4﹣2×4）×3×2×1＝72种．故物理与化学不得相邻，共有72种不同排法．（4）3×2×1×2×1＝12种．故文科书与理科书交叉排放，共有12种不同排法．19．解：将人群分成三组，A组：直接上楼；B组：从电梯下楼；C组：从电梯上楼；由于各种组合是有限的，因此最小值是存在的，那么在达到最小值时，下楼的人数是一个确定的值m，除了1人不需要上下楼，上楼的人数为31﹣m，这31﹣m个人分在A，C两组，由于A，C两组的地位均等，因此要达到最小值人数要相等，但涉及到整数有可能相差1人，设A组的人有n，那么爬得最高的人要爬n层，3n分，如果C组的人比A组的人数多2个以上，则C组爬得最高的人＞＝3（n+2），这样如果我们从C组中移1个人到A组，将至少减少3（n+2）分，而A组增加1人增加的分是3（n+1），显然会使总分减少，同时B组的人数没有变动，分值没有变化，由此说明了A，C组人数应当相等或相差1人，基于以上分析，先考虑AC组人数相等的情况：设A，C组人数均为x，B组人数为31﹣2x，总分S＝＝5x2﹣60x+496，当x＝＝6，S最小＝316．20．解：（1）一共有12条：ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG；（2）不可能．用反证法证明．假设可能，那么将所有连接点染上黑、白两色，凡与黑点相邻的都是白点，凡与白点相邻的都是黑点．若A是白点，则黑白点的分布如下表：．由于A与G都是白点，所以蚂蚁从A点出发，依次经过其它各点，到达G点的路线应为白→黑→白→黑→…→黑→白．其中有奇数个白点，这与图中共有偶数个白点相矛盾．∴蚂蚁不可能从A点出发沿着铁丝经过每一个连接点恰好一次，最后到达G点．。

数学初中竞赛逻辑推理专题训练一．选择题1．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（）A．6种B．120种C．240种D．720种2．钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）A．4 B．5 C．6 D．73．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时是开的，那么所有不同的状态有（）A．6种B．7种C．8种D．9种4．小明训练上楼梯赛跑．他每步可上2阶或3阶（不上1阶），那么小明上12阶楼梯的不同方法共有（）（注：两种上楼梯的方法，只要有1步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法．）A．15种B．14种C．13种D．12种5．如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（）A．3种B．5种C．8种D．13种6．﹣2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A．5种B．6种C．10种D．12种8．用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图），现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，则不同的爬行路径共有（）A．4条B．5条C．6条D．7条9．将四边ABCD的每个顶点涂上一种颜色，并使每条边的两端异色，若共有3种颜色可供使用（并不要求每种颜色都用上），则不同的涂色方法为（）种．A．6 B．12 C．18 D．2410．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花，先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．8 B．12 C．16 D．2011．如图，在一块木板上均匀钉了9颗钉子，用细绳可以像图中那样围成三角形，在这块木板上，还可以围成x个与图中三角形全等但位置不同的三角形，则x的值为（）A．8 B．12 C．15 D．1712．初二（1）班有37名学生，其中参加数学竞赛的有30人，参加物理竞赛的有20人，有4人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（）人．A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题13．湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于3月27日落下帷幕，歌手韩红夺得歌王称号．在这个节目中，每场比赛7位歌手的成绩排位顺序是由现场500位大众评委投票决定的，每场比赛每位大众评委有3张票（必须使用）以投给不同的3位歌手．在某一场比赛中，假设全部票都有效，也不会产生并列冠军，那么要夺得冠军至少要获得张票．14．如图，在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后到达B处．（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）15．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是．16．在表达式S＝中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x 2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有种．17．如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有种栽种方案．18．6名乒乓球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛，其中2人穿红色的，2人穿黄色的，1人穿蓝色的，1人穿黑色的．每次表演选3人出场，且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛，具体规则是：（1）出场的“3人组”中若服装均不相同，则每两人都进行1局比赛，且比赛过的2名选手在不同的“3人组”中再相遇时还要比赛．（2）出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手，则这2名选手之间不比赛，并且只派1人与另1名选手进行1局比赛．按照这样的规则，当所有不同的“3人组”都出场后，共进行了局比赛．19．将1、2、3、…、64填入右图8×8的表格中，每格一个数．如果某格所填的数至少大于同行中的5个，且至少大于同列的5个，那么就将这个格子涂上红色．涂上红色的格子最多个．三．解答题20．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？21．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．22．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平，那么双方各得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．（1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？（2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？（3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？（4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？23．把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次，得到一个小长方形，宽仍然是1厘米，长是整数厘米．然后，从小长方形的一端起，每隔1厘米剪一刀，最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片．如果这些纸片中恰好有1282块正方形，那么，对折的此数n共有多少种不同的数值？24．圆周上的十个点将圆周十等分，连接间隔两个点的等分点，共得到圆的十条弦，它们彼此相交，构成各种几何图形．图中有多少个平行四边形？25．足球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是？26．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2P 3…P m 中，若1≤i ＜j ≤m 时，P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n +1）n （n ﹣1）…321的逆序数为a n ，如排列21的逆序数a 1＝1，排列4321的逆序数a 3＝6．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式（用n 表示，不要求证明）； （2）令b n ＝+﹣2，求b 1+b 2+…b n 并证明b 1+b 2+…b n ＜3，n ＝1，2，…．参考答案一．选择1．解：老师在中间，故第一位同学有6种选择方法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法， 所以共有6×5×4×3×2×1＝720种． 故选：D ．2．解：因为1+2+3+…+11+12＝78，所以78÷2＝39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39使代数和等于零， 要填负号最少，首先从大数前面加负号， 因此﹣10﹣11﹣12＝﹣33，﹣33﹣6＝﹣39， 由此得到至少要添4个负号． 故选：A ．3．解：我们用O 表示开的状态，F 表示关的状态，则各种不同的状态有OOOO ，OOOF ，OOFO ，OFOO ，FOOO ，FOFO ，OFOF ，FOOF 共8种状态． 故选：C ．4．解：设小明上n 阶楼梯有a n 种上法，n 是正整数，则a 1＝0，a 2＝1，a 3＝1． 由加法原理知a n ＝a n ﹣2+a n ﹣3，n ≥4． 递推可得a 4＝a 2+a 1＝1，a 5＝a 3+a 2＝2， a 6＝a 4+a 3＝2， a 7＝a 5+a 4＝3， a 8＝a 6+a 5＝4， a 9＝a 7+a 6＝5， a 10＝a 8+a 7＝7， a 11＝a 9+a 8＝9， a 12＝a 10+a 9＝12．故选：D ．5．解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：1+4+3＝8（种）．答：不同的覆盖方法有8种．故选：C．6．解：∵令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，∴n≥7．故选：C．7．解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，caedb，cadeb六种情况，综上所知，共10种取法．故选：C．8．解：从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，不同的爬行路径有：①AB﹣BC ﹣CA﹣AD﹣DC；②AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AC；③AC﹣CB﹣BA﹣AD﹣DC；④AC﹣CD﹣DA﹣AB﹣BC；⑤AD﹣DC﹣CA﹣AB﹣BC；⑥AD﹣DC﹣CB﹣BA﹣AC．共有6条．故选：C．9．解：设供选用的颜色分别为1，2，3；当A选1时，有两种情况：①C与A的颜色相同时，B、D的选法有：一、B选2，D选3；二、B选3，D选2；三、B选2，D选2；四、B选3，D选3；共4种涂色方法；②C与A的颜色不同时，选法有：一、C选2，B、D选3；二、C选3，B、D选2；共2种涂色方法；因此当A选1时，共有2+4＝6种涂色方法；而A可选1、2、3三种颜色；因此总共有3×6＝18种涂色方法．故选C．10．解：韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右是一种情况）分别对应一种搬花的顺序，并且不同的排列对应不同的搬花顺序，所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个数相同，故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数，对于这种排列只需要考虑在6个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有＝20．故选：D．11．解：如图所示：将图形分成①、②、③、④四部分，第①个小正方形中符合题意的三角形有3个；第②个小正方形中符合题意的三角形有4个；第③个小正方形中符合题意的三角形有4个；第④个小正方形中符合题意的三角形有4个；综上可得共有15个与图中三角形全等但位置不同的三角形，即x＝15．故选：C．12．解：设同时参加两项竞赛的学生有x人，根据题意可列出方程：37＝30+20+4﹣x，解得x＝17（人）；故选：B．二．填空13．解：∵（500×3）÷7＝214（张）…2（张），又∵全部票都有效，也不会产生并列冠军，∴夺得冠军至少要获得票数＝214+2＝216（张）故答案为：216．14．解：棋子每走一步都有2一4种可能的选择，所以该棋子走完28步后，可能出现的情况十分复杂．如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类，且使每个黑格的四周都是白格，那么，棋子从黑色A格出发，第一步必定进人白格；第二步必定进人黑格，第三步又进入白格…也就是说棋子走奇数步时进人白格；走偶数步时，进人黑格，所以当棋子从A格出发28步后，必定落在黑格．故这枚棋子走28步后可能到达B处．故答案为：可能．15．解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．16．解：∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0，∴x1+x3≥x2+x4；符合条件的排列数是：P44﹣C42P22＝24﹣8＝16（种）故答案为：16．17．解：若A，C种同一种植物，则A，C有4×1种栽种方法，B，D都有3种栽种法，共有4×3×3＝36种栽种方案；若A ，C 种不同的植物，则有4×3种栽种法，B ，D 都有2种栽种法，一共有4×3×2×2＝48种栽种法．所以共有36+48＝84种．故答案为：84．18．解：将穿红色服装的2名选手表示为平行直线l 1、l 2；将穿黄色服装的2名选手表示为另两条平行直线l 3、l 4；将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线l 5、l 6、且与l 1、l 2、l 3、l 4均相交，这就得到了图1，图中无三线共点．（1）“3人组”的服装均不相同时，按规则，对应着3条直线两两相交，其比赛局数恰为图中的线段数（图2）因为l 1、l 2、l 3、l 4上各有4个交点，每条直线有6条线段，共有24条线段．（2）当“3人组”有2人服装相同，按规则，其比赛局数恰好为图中的线段数（图3）因为l 5、l 6上各有5个交点，每条直线上都有10条线段，共得20条线段．两种情况合计，总比赛局数为44局．故答案为：44．19．解：因为一行有8个数，至多有3个数可以大于同行的5个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的5个数时，涂上红色，所以一行最多有3个涂上红色，8行最多有3×8＝24个涂上红色，如图所示：1所在位置，都可以涂成红色．故答案为：24．三．解答20．解：将这120人分别编号为P 1，P 2，…，P 120，并视为数轴上的120个点，用A k 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组， |A k |为该组人数，k ＝1，2，3，4，5，则|A 1|＝24，|A 2|＝37，|A 3|＝46，|A 4|＝54，|A 5|＝85，将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k 题，则将表示该人点染第k 色，k ＝1，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|+|A 5|＝246，故至少染有三色的点不多于＝82个，图是满足条件的一个最佳染法，即点P 1，P 2，…，P 85这85个点染第五色；点P 1，P 2，…，P 37这37个点染第二色；点P 38，P 39，…，P 83这46个点染第四色；点P 1，P 2，…，P 24这24个点染第一色；点P 25，P 26，…，P 78这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个．因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如P 79，P 80，…，P 120这42个人）．答：获奖人数至少有42个人．21．解：设有x个学生，y个管理员．该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张，那么总共就用去了x（x﹣1）张贺卡；每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡；每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡；∴x（x﹣1）+xy+y＝51，∴51＝x（x﹣1）+xy+y＝x（x﹣1）+y（x+1）≥x（x﹣1）+x+1＝x2+1（当y＝1时取“＝”），解得，x≤7；x（x﹣1）+（x+1）y＝51∵51是奇数，而x和x﹣1中，有一个是偶数，∴x（x﹣1）是偶数，∴（x+1）y是奇数，∴x是偶数，而x≤7，所以x只有2 4 6三种情况；当x＝2时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝4时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝6时，y＝3．所以这个宿舍有6个学生．22．解：（1）不一定．设四个球队分别为A、B、C、D，如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D，而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了，这样，小组赛之后，ABC三个球队都得6分，D队积0分，因此小组中的第三名积分是6分，∴不能出线；（2）有可能出线．如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，D战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分，因此这个小组的第二名，一定是3分出线；（3）有可能出线．如A队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，这样这个小组的第二名的积分一定是2分，自然有出线的可能．（4）不可能出线．如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，而他负的两个球队的积分至少是3分，他就不可能排到小组的前两名，必然被淘汰．23．解：设长方形的长为a，若n＝1，即对折一次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2＝a﹣2＝1282，解得：a＝1284，2|1284，符合条件；若n＝2，即对折2次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（4﹣2）＝a﹣6＝1282，解得：a＝1288，4|1288，符合条件；若n＝3，即对折3次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（8﹣2）＝a﹣2×（8﹣1）＝1282，解得：a＝1296，8|1296，符合条件；对一般的n，得到的正方形个数为；a﹣2×（2n﹣1），另a﹣2×（2n﹣1）＝1282，解得：a＝2×（2n﹣1）+1282＝2×2n+1280，若2n|a，则符合条件，显然，当2n|1280时符合条件，1280＝28×5，∴n可取1到8，对折的次数n共有8种不同的可能数值．24．解：连接圆周上的十个等分点的“对径点”，则可得5条直径，因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线，所以可得5个平行四边形．即图中有5个平行四边形．25．解：设正六边形有5x块，则正五边形有3x块，由题意得：共有12块正五边形，即3x＝12，解得：x＝4，5x＝20．即正六边形的块数是20块．26．解：（1）由排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6，得a4＝4+3+2+1＝10，a5＝5+4+3+2+1＝15，∴a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝；（2）∵a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝，b n＝+﹣2，∴b n＝+﹣2＝+﹣2＝﹣，∴b1+b2+…+b n＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝3﹣﹣；又∵n＝1，2，…，∴b1+b2+…b n＝3﹣﹣＜3．。

推理大赛试题及答案1. 题目：逻辑推理问题：如果所有的猫都是哺乳动物，而所有的哺乳动物都有毛发，那么有毛发的生物一定是猫吗？答案：不是。

虽然所有的猫都是哺乳动物，并且哺乳动物都有毛发，但这并不意味着所有有毛发的生物都是猫。

因为除了猫之外，还有其他哺乳动物也有毛发。

2. 题目：数学推理问题：一个数字序列是2, 4, 8, 16, 32, ...。

请问下一个数字是什么？答案：64。

这个序列是2的幂次方，即2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5，下一个数字是2^6。

3. 题目：语言推理问题：如果“所有的鸟都会飞”是一个错误的陈述，那么“企鹅不会飞”是一个正确的陈述吗？答案：是的。

如果“所有的鸟都会飞”是错误的，那么至少存在一种鸟是不会飞的。

企鹅是一种鸟，而它们不会飞，所以“企鹅不会飞”是一个正确的陈述。

4. 题目：科学推理问题：如果一个物体在真空中以恒定速度直线运动，那么它受到的力是什么？答案：不受力。

根据牛顿第一定律，如果一个物体在真空中以恒定速度直线运动，那么它不受任何外力作用。

5. 题目：历史推理问题：如果亚历山大大帝没有征服波斯帝国，那么希腊文化对东方的影响会减少吗？答案：可能会。

亚历山大大帝的征服使得希腊文化广泛传播到波斯帝国及其周边地区。

如果他没有征服波斯帝国，希腊文化对东方的影响可能会有所减少。

6. 题目：地理推理问题：如果亚马逊雨林的面积减少，会对全球气候产生什么影响？答案：可能导致全球气候变暖。

亚马逊雨林是地球上最大的碳汇之一，如果其面积减少，会减少碳的吸收，从而可能导致全球气候变暖。

7. 题目：心理推理问题：如果一个人在压力下表现出色，那么在没有压力的情况下，他的表现会如何？答案：这取决于个体差异。

有些人可能在没有压力的情况下表现更好，因为他们不需要额外的动力来推动自己。

而有些人可能在没有压力的情况下表现不佳，因为他们需要压力来激发自己的潜能。

8. 题目：经济推理问题：如果一个国家的货币贬值，那么该国的出口会增加吗？答案：可能会。

逻辑推理A卷1．一次数学竞赛，5人预测结果为甲：“B第三，C第五”。

乙：“D第一，E第四”。

丙：“A第一，E第四”。

丁：“C第一，B第二”。

戊：“D第二，A第三”。

最后公布成绩时，他们各自预测中都只对了一半，前5名的顺序依次是______________。

2．有三个颜色分别为红色、黄色和蓝色的盒子，每个盒了的下面各写了一句话，三句话中只有一句话是真话，那么钥匙放在________盒子里。

黄色钥匙在此钥匙不在此钥匙不在黄盒内3．甲、乙、丙三位教师，分别来自北京、上海、广州三个城市，在中学教不同的课程：语文、数学、外语。

已知：甲不是北京人，乙不是上海人；北京人不教外语，上海人教语文；乙不教数学。

那么这三位教师各自的籍贯和所教的课程分别是_________________________。

4．A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言是四人都会的。

并且知道：⑴没有人既会日语又会法语；⑵A会日语，而B不会，但他们可以用另一种语言交谈；⑶C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译；⑷B、C、D不会同一种语言。

那么A会_____语和_____语，B会_____语和____语，C会_____语和_____语，D会_____语和_____语。

5．右图中，二、三、四号位为前排，一、六、五号位为后排。

有的球队比赛开始时，站在一、四号位的队员是主攻手，站在二、五号位的队员是二传手，站在三、六号位的队员是副攻手。

有一个在开赛时按上述方法站位队，它的队员分别穿1，2，3，4，5，6号球衣，可是每个队员位号都与他们的球衣号不同。

已的球的站四三二五六一知：⑴1、6号不在后排；⑵2、3号不是二传；⑶3、4号不同排；⑷5、6号不是副攻。

那么每个队员的站位分别是___________。

6．有四人打桥牌（牌中不含大王、小王，每人共13牌），已知某一人手中的牌如下：⑴红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；⑵各种花色的牌，张数不同；⑶红桃和黑桃合起来共6张；⑷红桃和方块合起来共5张；⑸有两张主牌。

初中数理逻辑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 若a、b、c是三个不同的实数，且a+b+c=0，下列哪个等式一定成立？A. a^2 + b^2 + c^2 = 0B. ab + bc + ca = 0C. a^3 + b^3 + c^3 = 3abcD. a^2 + b^2 = -c^2答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D3. 以下哪个选项是正确的不等式？A. 2x > 3xB. 5x ≤ 5C. 3x < 2x + 1D. 4x ≥ 4答案：D4. 一个圆的直径是10厘米，那么它的周长是多少？A. 31.4厘米B. 62.8厘米C. 15.7厘米D. 50厘米答案：B5. 下列哪个图形的面积最大？A. 边长为4厘米的正方形B. 长为6厘米，宽为4厘米的长方形C. 半径为3厘米的圆D. 底为5厘米，高为3厘米的三角形答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个数的相反数是-5，那么这个数是______。

答案：52. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，那么它的面积是______平方厘米。

答案：123. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大3，如果将十位数字与个位数字交换位置，得到的新数比原数小27，这个两位数是______。

答案：524. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

答案：85. 如果一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是______。

答案：11三、解答题（共30分）1. 已知a、b、c是三个连续的自然数，且a < b < c，如果a+b+c=15，求a、b、c的值。

（5分）解：设a为最小的自然数，则b=a+1，c=a+2。

根据题意，a+(a+1)+(a+2)=15，解得a=4，所以b=5，c=6。

2. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，求它的体积和表面积。

【初中数学竞赛】专题06 逻辑推理竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）1．（2021·全国·九年级竞赛）有一个黑盒和8个分别标上1，2，…，8的白盒，8个白盒中共有8个球，允许进行如下操作A ：若标号为k 的白盒内恰有k 个球，则取出这k 个球，分别放入黑盒及标号为1，2，…，1k -的白盒中各一个球．证明：存在唯一一种放法，使得8个球开始都在白盒中，经过有限次操作A 后，使球全部在黑盒中． 2．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知矩形ABCD 的边AB =21，BC =19，r 是给定的小于1的正实数．(1)在矩形ABCD 内任意放入114个直径为1的圆．证明：在矩形ABCD 内一定还可以放入一个直径为r 的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；(2)在矩形ABCD 内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）．证明：在矩形ABCD 内一定还可以放入一个直径为r 的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）．3．（2021·全国·九年级竞赛）表（1）是一个英文字母显示盒，每一次操作可以使一行4个字母同时改变或者使某列4个字母同时改变，改变的规则是按照英文字母表的顺序，每个字母变成它们下一个字母（即A 变成B ，B 变成C ，…，Y 变成Z ，Z 变成A ）．问能否经过有限次操作，使表（1）变成表（2）？如果能，请写出变化过程；如果不能，请说明理由． S OB R K B D S T Z F PH E Z G H O C NR T B S A D V Z C F YA （1） （2）4．（2021·全国·九年级竞赛）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得5个整数的和为正数，若其中相邻3个顶点上的整数依次为x ，y ，z 且0y <，则要进行以下调整：整数x ，y ，z 分别换成x y +，y -，z y +．要是5个整数中至少还有一个是负数，这种变换还要继续下去．问：这样的变换进行有限次后是否必然终止？5．（2021·全国·九年级竞赛）假设黑板上已写一个数2，然后甲、乙两人轮流写数，若刚才写的数为l ，则接着写的人可以写1l +至21l -中任意一个数，若甲先写，谁先写出2010则谁获胜．问谁有必胜策略？6．（2021·全国·九年级竞赛）A ，B ，C 三人做游戏，规则如下：三张牌每张上写一个正整数，这三个数是,,p q r ，且p q r <<，三张牌混合后再分给三个人，使每人各得一张，再按牌上的数分得小球，接着将牌收回重发，但分得的小球仍留在各人手中，这个游戏（发牌、分球、收牌）至少要进行两次，最后一次结束后，A ，B ，C 分别得20，10，9个球，还知道B 在最后一次游戏中得r 个球问：谁在第一次得q 个球?7．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人轮流做如下游戏：甲每次可将平面上某点标以红色，乙接着将平面内10个未染色的点标以绿色．甲先开始，如果到某步有3个红点成为一个等边三角形的三个顶点，那么甲获胜问：是否乙总可以做到不让甲获胜？ 8．（2021·全国·九年级竞赛）这里有8个人在说话，他们说的话包括自己在内，请认真读他们说的话，然后回答下列问题：张一：“我们中间至少有1个人说的是正确的．”王二：“我们中间至少有2个人说的是正确的．”赵三：“我们中间至少有3个人说的是正确的．”李四：“我们中间至少有4个人说的是正确的．”钱五：“我们中间至少有1个人说的是错误的．”徐六：“我们中间至少有2个人说的是错误的．”亚七：“我们中间至少有3个人说的是错误的．”孙八：“我们中间至少有4个人说的是错误的．”说错话的是谁（有几个人就画上几个记号，如果没有就回答没有）9．（2021·全国·九年级竞赛）某大学的四位学生张亮、胡佳、李坤和王勇分别来自北京、上海、湖南和黑龙江，他们学的专业分别是数学、物理、计算机和英语．除此以外，还知道：（1）张亮学习的专业是数学和物理中一门，不是南方人；（2）胡佳是南方人，学的专业既不是数学也不是物理；（3）李坤和北京来的学生及学数学专业的学生三人同住在一栋宿舍；（4）湖南来的学生学的专业不是计算机；（5）王勇不是北京来的学生，年龄比黑龙江来的学生以及学计算机的学生这二人都小． 根据这些情况，你能否判断这四位学生各来自什么地方各学习什么专业?10．（2021·全国·九年级竞赛）世界杯足球赛第一轮比赛中，每个小组有4支球队，每两队之间各赛一场，胜者得3分，负者得零分，平局时两队各得1分，每个小组总分多的两个队出线，进入第二轮比赛．（1）有人说：“得6分的队一定出线，得2分的队一定不出线．”请判断并说明对错； （2）如果小组比赛中至少有一场平局，那么上述说法是否正确?11．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同．问丁胜了几场？12．（2021·全国·九年级竞赛）能否找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个之积与2002的和是完全平方数？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 13．（2021·全国·九年级竞赛）13位小运动员，他们身穿运动服的号码分别是1~13号，问这13名运动员能否站成一个圆圈，使任意相邻两名运动员的号码数之差的绝对值不小于3且不大于5．如果能，试举一例；如果不能，说明理由．14．（2021·全国·九年级竞赛）证明：在平面直角坐标系中，不存在以整点为顶点的正三角形．15．（2021·全国·九年级竞赛）100名运动员参加赛跑，已知其中任意12人中总有2人是彼此熟悉的，求证：运动的号码不论如何编排（未必是从1到100），总可以找到两个彼此熟悉的运动员，他们的号码的最高数位的数字相同．16．（2021·全国·九年级竞赛）在一次马拉松长跑比赛上，有100位选手参加，大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手，选手们被要求在比赛结束时，将自己的号码布上的数与到达终点时的名次相加，并将这个和数交上去．问：这样交上去的100个数的末2位数字是否可能都不同？请回答可能或不可能，并清楚地说明理由（注 没有同时到达终点的选手）．17．（2021·全国·九年级竞赛）（1）是否存在正整数,m n 使(2)(1) m m n n +=+？ （2）设(3)k k ≥是给定的正整数，是否存在正整数,m n 使()(1)m m k n n +=+？ 18．（2021·全国·九年级竞赛）设甲有一条长为k 的线段，乙有一条长为l 的线段，甲先将自己的线段分成3段．然后乙也将自己的线段分成3段，如果可用分得的6条线段组成两个三角形，则乙胜；否则甲胜．问甲、乙两人谁能根据比值k l的大小保证自己获胜？他该如何进行？19．（2021·全国·九年级竞赛）在六张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它的反面也随意分别写上1~6这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数之差的绝对值．请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的． 20．（2021·全国·九年级竞赛）已知平面内任意四点，其中任意三点不共线．试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一个内角不大于45︒？请证明你的结论．21．（2021·全国·九年级竞赛）在1,4,7,10,13,,97,100中任选20个不同的数，其中至少有4个不同的数a b c d ,,,使得104a b c d +=+=．22．（2021·全国·九年级竞赛）一群小朋友购买售价是3元和5元的两种商品，每人购买的商品最少是1件，他们也可以购买相同的商品，但每人购买的总金额不超过15元．若小朋友中至少有三人购买的两种商品的数量完全相同，问这群小朋友最少有多少人？ 23．（2021·全国·九年级竞赛）将数字1,2,3,4,5,6,7,8任意填在八边形1238A A A A 的顶点处，每个顶点上恰填一个数字，记12,,i i i A A A ++上所填3个数字之和为()911021,2,,8,,i S i A A A A ===． （1）试给出一种填法，使每个(1,2,,8)i S i =都大于或等于12； （2）请证明任何填法都不可能使每个(1,2,,8)i S i =都大于或等于13． 24．（2021·全国·九年级竞赛）证明：10个互不相同的两位数中，一定可选出两组数，使这两组没有公共的数，而且两组中各数的和相等．25．（2021·全国·九年级竞赛）一个书架有五层，从下到上依次为第一层，第二层，…，第五层．今把15册图书分放在书架的各层上，有些层可不放．证明：无论怎样放法，书架每层上的图书册数以及相邻两层上图书册数之和，这些数中至少有两个是相等的．26．（2021·全国·九年级竞赛）某学生为了准备参加数学竞赛，连续做了5周习题，他每天至少做一道习题，每周至多做10道习题．证明：他一定在连续若干天内恰做了19道习题．27．（2021·全国·九年级竞赛）从正整数1,2,3,,2008中任取n 个数．（1）求证：当1007n =时，无论怎样选取n 个数，总存在其中4个数的和等于4017； （2）当1006n ≤（n 是正整数），上述结论是否成立？请说明理由．28．（2021·全国·九年级竞赛）平面内任给5个点，其中任意3点不共线证明：这5点中必有4点构成一个凸四边形的四个顶点．29．（2021·全国·九年级竞赛）桌上放着2010根火柴，甲、乙两人轮流从中取走火柴，每次可取走1根或2根火柴，甲先取．谁先取到最后一根火柴谁获胜．问谁有获胜策略？他应该怎样操作？30．（2021·全国·九年级竞赛）（1）将从1到2010的正整数任意分为10组1210,,,A A A ，使得每个数恰属于一组．证明：存在两个正整数,()a b a b >属于同一组且11200a b ≤+； （2）试将从1到2009的正整数适当地分成10组1210,,,A A A ，使每个数恰属于一组且不存在两个正整数,()a b a b >属于同一组且满足11200a b ≤+． 31．（2021·全国·九年级竞赛）20个球队比赛若干场后发现每两个队至多比赛了一场，并且任意3个队中必有两个队比赛了一场．证明：这时至少比赛了90场，并请安排一种比赛方法使得20个队之间恰比赛了90场并且每两个队至多比赛一场，而每3个队中必有两个队比赛了一场．32．（2021·全国·九年级竞赛）一个盒子内装有200根火柴，甲、乙两人轮流从盒子内取火柴，每次至少取1根火柴，至多取20根火柴，且拿到最后一根火柴的人获胜问是先取火柴的甲还是后取火柴的乙有必胜策略？33．（2021·全国·九年级竞赛）在1100⨯的方格纸带的最左端的小方格内放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动这枚棋子，每移动一次只允许棋子向右移1格，10格或11格，谁把棋子移到最右端方格内，则谁赢．问是先走的甲还是后走的乙有必胜策略？34．（2021·全国·九年级竞赛）将正2010边形的顶点相间染红、蓝两色，甲、乙两人轮流画两端点同色的对角线，但不能与自己前面画的对角线相交，也不能画已经画过的对角线．甲先画，谁不能画了就算谁输．问甲必胜还是乙必胜？35．（2021·全国·九年级竞赛）甲、两人进行如下游戏，甲先开始两人轮流从1，2，3，…，100，101中每次任意勾去9个数，经过11次勾掉后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数．试证不论乙怎么做，甲可保证自己至少得55分．36．（2021·全国·九年级竞赛）已知30个数1，2，3，…，30．甲、乙两人轮流将“+”号或“-”号放在这些数的前面（放的顺序不限），30步后计算代数和的绝对值S ．甲要使S 尽量小．而乙则要使S 尽量大，乙能保证S 的最大值是多少？37．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人在一个55⨯的方格纸上玩填数游戏：甲先填且两人轮流在空格中填数，甲每次选择一个空格写上数字1，乙每次选择一个空格写上数字0，填完后计算每个33⨯正方形内9个数之和，并将这些和数中的最大数记为A ．甲尽量使A 增大，乙尽量使A 减小，问甲可使A 获得的最大值是多少？38．（2021·全国·九年级竞赛）将4粒围棋子均匀放在一个圆周上，若相邻两粒棋子同色，则在它们之间放一粒黑子，若相邻两粒棋子不同色，则在它们之间放一粒白子，然后把原来的4粒棋子拿走．证明：经过若干次这样操作以后，所有棋子都为黑子，并且这样的操作至多进行4次．39．（2021·全国·九年级竞赛）黑板上写有n 个实数，允许从中擦去两个数，例如a 和b ，而写上另一个数1()4a b +，这种操作进行n 1-次，最后黑板上只剩下一个数．已知开始时黑板上写的n 个数都是1，求证：最后剩下的那个数不小于1n ．40．（2021·全国·九年级竞赛）在凸n 边形的顶点处放置一些火柴，每次操作允许将某个顶点处的两根火柴移动，分别放到它两侧相邻的顶点处各1根．求证：如果若干次移动后，各顶点处的火柴数恢复到和原来的一样，那么操作次数为n 的倍数．41．（2021·全国·九年级竞赛）6只盘子排成一行，每次操作任取两只盘子将它们移动到相邻（或左或右）的位置上，盘子可以重叠，问能否经过有限次操作使6只盘子叠在一起？42．（2021·全国·九年级竞赛）已知黑板上写着两个数：1和2，现允许按如下规则写出新的数：当黑板上有a 和b 时，可以写上数ab a b ++．试问：能否在黑板上写出数13121和12131？43．（2021·全国·九年级竞赛）将4个数1，9，8，8写成一行并进行如下操作：对每一对相邻的数，用右边的数减去左边的数，然后将所得之差写在这两个数之间，算是完成了一次操作，然后再对这个由7个数排成的数进行同样的操作．如此继续下去，共操作100次，求最后得到的一行数的和．44．（2021·全国·九年级竞赛）现有一个正方体和2种颜色：红色和绿色．甲、乙两人做如下游戏：甲先选取正方体的3条棱，并将它们涂上红色，乙从尚未涂色的棱中选取3条棱，并将它们涂上红色，最后乙将剩下的3条涂上绿色．谁能首先把一面的四条棱涂成相同的颜色，谁就获胜．问甲有必胜策略吗？45．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人轮流在2525⨯的方格棋盘上放置棋子，甲执白先放，乙执黑后放．每颗棋子都放于空格之中，但若一空格的4个邻格（即有公共边的方格）已被同色棋子占领，则禁止在其中再放此种颜色的棋子．若轮到某人着棋时无处下子，则此人告负，问当双方都采取正确策略时，谁能获胜？46．（2021·全国·九年级竞赛）甲乙两人轮流在一张1994⨯的方格表上进行游戏，每次每人可涂黑一个以网格线为边的(119)k k k ⨯≤≤的正方形，但该正方形中不能有已被涂黑的部分，即每个小方格只能被涂黑一次．甲先开始且两人轮流进行，谁涂黑了最后一个小方格，谁就获胜．问在两人都正确操作的情况下，谁有必胜策略？说明理由． 47．（2021·全国·九年级竞赛）在1993⨯的矩形方格纸的左下角的方格中放有一枚棋子，甲、乙两人进行如下游戏：甲先且两人轮流移动棋子，每次可将棋子向上或向右移动若干格，最后无法移动棋子者为负方．问谁有必胜策略？说明理由．48．（2021·全国·九年级竞赛）在33⨯方格表中每一方格内任意写上1+或1-中一个数，然后允许进行如下操作：每格中的数用所有与它相邻的方格（有公共边的方格）中的数之积代替．问能否经过有限步操作使小格中的数都变成1+？49．（2021·全国·九年级竞赛）有三堆石子数分别是19，8，9，现进行如下操作：从三堆中的任意二堆中分别取出1个石头，然后把这两个石头都放入第三堆中．试问：能否经过这样有限次操作使得（1）三堆的石子数分别为2，12，22？（2）三堆的石子数均为12？50．（2022·福建·九年级统考竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组112288()()()a b a b a b ⋯，，，，，，，若11228862a b a b a b -+-++-=．求222112288()()()a b a b a b -+-++-的最小值． 必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设12n x x x ≤≤≤，12n y y y ≤≤≤为两组实数，12n z z z ≤≤≤是12n y y y ≤≤≤的任一排列，则12111221122n n n n n n n x y x y x y x z x z x z x y x y x y -++≤++≤++．。

初中数学十八逻辑推理同步练习及答案年级班姓名得分一、填空题1. 甲、乙、丙三人进行跑步竞赛.A、B、C三人对竞赛结果进行推测.A说:“甲确信是第一名.”B说:“甲不是最后一名.”C说:“甲确信不是第一名.”其中只有一人对竞赛结果的推测是对的.推测对的是 .2. A、B、C、D、E和F六人一圆桌坐下.B是坐在A右边的第二人.C是坐在F右边的第二人.D坐在E的正对面,还有F和E不相邻.那么,坐在A和B之间的是 .3. 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要竞赛一盘,每胜一盘得2分,和一盘得1分,输一盘得0分.到现在为止,甲赛了4盘,共得了2分；乙赛了3盘,得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分.那么小明现在已赛了盘，得了分.4. 曹、钱、刘、洪四个人出差，住在同一个招待所.一天下午,他们分别要找一个单位去办事.甲单位星期一不接待,乙单位星期二不接待,丙单位星期四不接待,丁单位只在星期一、三、五接待，星期日四个单位都不接待.曹:“两天前,我去误了一次,今天再去一次,还能够与老洪同走一条路.”钱:“今天我一定得去,要不改日人家就不接待了.”刘:“这星期的前几天和今天我去都能办事.”洪:“我今天和改日去,对方都接待.”那么,这一天是星期 ,刘要去单位,钱要去单位,曹要去单位,洪要去单位.5. 四位外国朋友住在十八层高的饭店里,他们分别来自埃及、法国、朝鲜和墨西哥.(1)A住的层数比C住的层数高,但比D住的层数低；(2)B住的层数比朝鲜人住的层数低；(3)D住的层数恰好是法国人住的层数的5倍；(4)假如埃及人住的层数增加2层,他与朝鲜人相隔的层数,恰好和他与墨西哥人相隔的层数一样；(5)埃及人住的层数是法国人和朝鲜人住的层数的和.依照上述情形,请你确定A是人,住在层；B是人,住在层；C是人,住在层；D是人,住在层.6. 小赵的号码是一个五位数,它由五个不同的数字组成.小张说：“它是84261.”小王说：“它是26048.”小李说：“它是49280.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了那个数字.现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字.”那个号码是 .7. 小赵的号码是一个五位数,它由五个不同的数字组成.小王说：“它是93715.”小张说：“它是79538.”小李说：“它是15239.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的号码上的同一位数字相同，就算谁猜对了那个数字.现在你们三人猜对的数字个数都一样,同时号码上的每一个数字都有人猜对.而每个人猜对的数字的数位都不相邻”.那个号码是 .8. A、B、C、D四人定期去图书馆，四人中A、B二人每隔8天(中间空7天,下同)、C每隔6天、D每隔4天各去一次，在2月份的最后一天，四人刚好都去了图书馆，那么从3月1日到12月31日只有一个人来图书馆的生活有____ 天.9. 六年级六个班组织乒乓球单打竞赛,每班派甲、乙两人参赛，依照规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行竞赛.竞赛若干场后发觉,除一班队员甲以外,其他每人已竞赛过的场数各不相同,那么一班队员乙已赛过____场.10. 人的血型通常为A型,B型,O型,AB型.子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示:父母的血型子女可能的血型O,O OO,A A,OO,B B,OO,AB A,BA,A A,OA,B A,B,AB,OA,AB A,B,ABB,B B,OB,AB A,B,ABAB,AB A,B,AB现有三个分别身穿红,黄,蓝上衣的小孩,他们的血型依次为O,A,B.每个小孩的父母都戴着同颜色的帽子,颜色也分红,黄,蓝三种,依次表示所具有的血型为AB,A,O.那么穿红、黄、蓝上衣的小孩的父母戴帽子的颜色是、、 .二、解答题11. 刘毅、马宏明、张健三个男孩都有一个妹妹,六人在一起打乒乓球,进行男女混合双打,事先规定:兄妹不搭档.第一盘:刘毅和小萍对张健和小英；第二盘:张健和小红对刘毅和马宏明的妹妹.小萍、小红和小英各是谁的妹妹？12. 四位运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林,在游泳、田径、乒乓球和足球四项运动中,每人只参加了一项,且四人的运动项目各个不相同,除此以外,只明白一些零碎情形：(1)张明是球类运动员,不是南方人；(2)胡老纯是南方人,不是球类运动员；(3)李勇和北京运动员、乒乓球运动员三人同住一个房间；(4)郑永禄不是北京运动员,年龄比吉林运动员和游泳运动员两人的年龄小；(5)浙江运动员没有参加游泳竞赛.依照这些条件,请你分析一下:这四名运动员各来自什么地点?各参加什么运动?13. 老吴、老周、老杨分别是工程师、会计师和农艺师，还分别是业余作家、画家和音乐家,但不明白每人的职业及业余爱好,只明白：(1)业余音乐家、作家常和老吴一起看电影； (2)画家常请会计师讲经济学的道理； (3)老周一点也不爱好文学；(4)工程师埋怨自己对绘画、音乐一窍不通. 请你指出每个人的职业和爱好.14. 四个人聚会,每人各带了2件礼品,分赠给其余三个人中的二人,试证明:至少有两对人,每对人是互赠过礼品的.———————————————答 案——————————————————————1. CA 、C 的推测截然相反,必一对一错.因为只有一人对,不论A 、C 谁对,B 必 错,因此甲是最后一名,C 对. 2. E如右图,E 坐在A 、B 之间.3. 2,3.由题意可画出竞赛图,已赛过的两人之间用线段引连(见右图).由图看出小明赛了2盘.因 为一共赛了六盘,共得12分,因此小明得了12-(2+4+1+2)=3(分).4. 三,丙,丁,甲,乙.由刘的讲话,知这一天是星期三,刘要去丙单位.钱要去丁单位,曹去的是甲单位,洪去的是乙单位.5. 埃及,8；法国，3；朝鲜，5；墨西哥，15.容易明白,墨西哥人住得最高,埃及人次之,朝鲜人又次之,法国人最低,各层次分别15,8,5和3.由(2)知B 是法国人,由(3)和D 是墨西哥人,由(1)知A 是埃及人,而C 是朝鲜人.6. 86240.因为每人猜对两个数字,三人共猜对 张:842 1 2 3=6(个)数字,而 号码只有5位, 王:26048 因此必有一位数字被两人同对猜对.如右 李:49 80图所示,猜对的是左起第三位数字2.因为每人猜对的两个数字不相邻,因此张、 李猜对的另一个数字分别在两端,推知王猜对的数字是6和4,进一步推知张猜对8,李猜对0. 号码是86240.甲丁小明7. 19735.因为每个数字都有人猜对,因此每人至少猜对两个数字.下页右上图中,同一位数中只有方框中的两个数相同,假如每人猜对的数字多于两位,相同的数字至少有3⨯3-5=4(组),因此每人恰好猜对两个数字. 王: 9 3 7 1 5三人共猜对2⨯3=6(个)数字,因为号码只有张: 7 9 5 3 85位,因此相同的一组是正确的,即左起第四位是李: 1 5 2 3 93.因为每人猜对的数字不相邻,因此张、李猜对的另一个数字都在前两位,王猜对的两个数字是7和5,进而推知张猜对9,李猜对1. 号码是19735.8. 51天.):天, 306÷24=12…18，因此所求天数为4⨯12+3=51(天).9. 5依照题意,有11名队员竞赛场数各不相同,同时每人最多竞赛10场,因此除甲外的11名队员竞赛的场数分别为0~10.已赛10场的队员与除已赛0场外的所有队员都赛过,因此已赛10场的队员与已赛0场的队员同班；已赛9场的队员与除已赛0、1场外的所有队员都赛过,因此已赛9场的队员与已赛1场的队员同班；同理,已赛8、7、6场的队员分别与已赛2、3、4场的队员同班；因此甲与已赛5场的队员同班,即乙赛过5场.注本题能够求出甲也赛了5场,分别与已赛10、9、8、7、6场的队员各赛1场.10. 蓝、黄、红.解法一题中说明,每个小孩的父母是同血型的.具有B型血的小孩,其父母同血型时,由表中可见,只能是B型或AB型,但题中没有同具B型血的父母,因此戴红帽子的父母的小孩穿蓝上衣.具有A型血的小孩的同血型的父母,只可能同为A型血或同为AB型血.今已知有一对父母为AB型血者,因此穿黄上衣的小孩的父母戴黄帽子.由表中可见,其小孩为O型血时,父母血型只能同为A型或B型或O型.今已知不具有同为B型血的父母,而同为A型血的父母的小孩已知具有A型血.把代表小孩的点与他的可能双亲的代表点之间连一直线段,便可得下面的图；由于小孩与其父母之间是唯独搭配的,因此,储存下来的只有连着红、蓝；黄，黄及蓝，红的三条边.因此,穿红上衣(O型血)小孩的父母戴蓝帽子.小孩衣服颜色父母帽子颜色(O型血)(AB型血)(A型血)黄黄(A型血)(B型血)蓝蓝(O型血)因此,穿红上衣的小孩的父母戴蓝帽子；穿黄上衣的小孩的父母戴黄帽子；穿蓝上衣的小孩的父母戴红帽子.,张健和小萍分别是兄妹.12.13.表解如下:由(3)北京运动员是乒乓球运动员, 故张是足球运动员郑是乒乓球运动员由(4)吉林运动员不是游泳运动员,故李是田径运动员,而胡是游泳运动员由(5)知胡是上海 运动员而郑是浙江运动员.张明是北京选手 李勇是吉林选手吴⨯ ⨯周 ⨯杨工 会 农 作 画 音⨯ ⨯吴 ⨯ √ ⨯ ⨯周 ⨯ ⨯ √杨 √ ⨯ ⨯工 会 农 作 画 音⨯ ⨯ √ 吴 ⨯ √ ⨯ ⨯ √ ⨯ 周 ⨯ ⨯ √ √⨯⨯ 杨 √⨯⨯14. 设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们，称为它们的代表点,当某人(例如甲)赠了1件礼品给另一个(例如乙)时,就由甲向乙的代表点画一条有指向的线,无非有以下两个可能:(1)甲、乙、丙、丁每人各收到了2件礼品.(2)上面的情形不发生.这时只有以下一个可能,即有一个人同意了3件礼品 (即多于2件礼品；因为一人之外总共还有三个人，因此至多收到3件礼品).(或许会有人说,还有两个可能:有人只收到1件礼品及有人什么礼品也没收到.事实上,这都可归以“有一人同意了3件礼品”那个情形.因为,当有一人(例如甲)只同意了1件礼品的情形发生时,四人共带来的8件礼品中还剩下7件在甲以外的三个人中分配,假如他们每人至多只收到2件礼品,则收受礼品数将不超过6件,这不可能,因此至少有一人收到2件以上(即3件)礼品,同样,当甲未收到礼品时,8件礼品分给乙、丙、丁三人，也必定有人收到3件礼品).当(1)发生时,例如甲收到乙、丙的礼品,由于甲发出的礼品中至少有1件给了乙或丙,为确切计,设乙收到了甲的礼品,因此我们先有了一对人:(甲、乙),他们互赠了礼品，假如丙也收到甲的礼品,那么又有了第二对互赠了礼品的人(甲、丙)；假如收到甲礼品的另一人是丁(如右图)丁的2件礼品必定分赠了乙及丙(甲已收足了本情形中限定的2件礼品)丙或乙的另一件礼品给了丁,则问题也解决(这时另一对互赠了礼品的人便是(乙、丁)或(丙、丁)但丙的另一件礼品只能给丁,因为这时乙已收足了2件礼品,因此，当本情形发生时,至少能找到两对互赠过1件礼品的人.当(2)发生时,不失一样性,设甲收到了来自乙、丙、丁的各1件礼品，但甲又应向他们之中的某两人(例如乙、丙)各赠送1件礼品,因此(甲、乙),(甲、丙)便是要找的两对人.总上可知,证明完毕.老吴是业余画家,老周是业余音乐家,老杨是业余作家.工程师是老杨,会计师是老周农艺师是老吴.。

初中数学竞赛专项训练（7）（逻辑推理）一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积 （ ）A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜 （ ）A. 0局B. 1局C. 2局D. 3局3、已知四边形ABCD 从下列条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有 （ ）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有 （ ）A. 1种B. 2种C. 4种D. 0种5、正整数n 小于100，并且满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有（ ）个A. 2B. 3C. 12D. 166、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是 （ ）A. 15B. 14C. 13D. 127、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（ ）个展室。

初中数学第28章操作闻题和逻辑推理闻题竞赛专题复习（人教版有答案）第28章操作闻题和逻辑推理闻题 28.1 有趣的操作问题 28.1.1** 在黑板上记上数1，2，…，，现允许选择任意两个数。

换成其和或差（绝对值），经过次操作，黑板上只剩下1个数．问对于什么样的，才可能让这最后一个数为0？解析显然，经过一次操作，原来的奇数个数要么保持不变，要么减少2，因此奇数总数的奇偶性在操作前后保持不变，当，2（）时，奇数个数为奇数个，不可能减到0个（0是偶数）．因此，要满足题目要求，一个必要条件是，3（）．当（）时，由于连续4个整数可以得到两个1，从而进一步得到0，最终可得到一个0；当（）时，先取出1、2、3，得到0，其余仍然4个连续整数一组，仍可最终得到0．因此答案为，3（）． 28.1.2** 只盘子排成一行，每次操作任取两只盘子，将它们移到相邻（或左或右）的位置上，盘子可以重叠，问能否经若干次操作后，使6只盘子叠在一起．解析设想盘子的位置是数轴上的整数点1、2、3、4、5、6．由于相邻整数的奇偶性不同，故每次移动改变了两个位置的奇偶性．原来有奇数个盘子在奇数位置，每次移动有三种可能：（）将两个奇数位置的盘子移到偶数位置；（）将两个偶数位置的盘子移到奇数位置；（）将一个奇数位置的盘子移到偶数位置，将一个偶数位置的盘子移到奇数位置．无论哪种情况，每次移动后仍有奇数个盘子在奇数位置上，这就表明不能把6只盘子重叠在一起（因为6只盘子叠在一起时，奇数位置的盘子是偶数（6或0个）． 28.1.3** 黑板上写有1，，，…，．每次操作可以从黑板上的数中选取2个数、，删去、并在黑板上写上数，问经过99次操作后，黑板上剩下的数是几？解析因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加l后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，得，于是． 28.1.4** 在正方形的3个顶点处各有一只蚂蚱，现在每次有一只蚂蚱从另一只蚂蚱背上跳过，落到对称的位置．问是否在经过几次跳跃之后，有一只蚂蚱跳到了正方形的第4个顶点上？解析不能．不妨设原来3只蚂蚱所在位置是（0，0），（1，0），（0，1）．由中点坐标易见，每次跳跃之后，对称位置的横、纵坐标的奇偶性与原先起跳点的一样，而原先没有一只蚂蚱在奇数格点（即两坐标都是奇数）上，因此也就没有一只蚂蚱会跳到奇数格点上，当然也就不会落到（1，1）上． 28.1.5* 中国象棋中的马，每步由1×2格的一个顶点跳到其对角顶点．求证：该马从棋盘上任意一点出发要跳到它的相邻格，必须经过奇数步．解析赋象棋盘每个格点（，）以数，马每跳一步，必在行和列中，一种增减2，另一种增减1，即乘以．所以，马跳步后，到它的相邻格点时，必有，故，故为奇数． 28.1.6** 一个箱子里装有个白球和个黑球，箱子旁边还有一堆黑球．从箱子里取出两球：如果这两个球是同颜色的，则从箱外取出一个黑球放回箱子里；如果这两个球是异色的，则把其中的白球放回箱子．这个过程一直重复到最后一对球从箱子取出，并且最后一个球放回箱子．试问最后一对球有没有可能是白色的？并说明理由．解析若在白球上记上数字1，黑球上记上数字0，则任何时候箱中的白球数就等于箱内所有球的数字之和，并且开始时总和为，如果取的两个球是白色，则放回一个黑球，故总和变成．如果取的两个球是黑色，则放回一个黑球，故总和是．如果取出的两球是一黑一白，则放回这个白球，故总和也是．由此可知，每完成一个过程，箱子里球的数字之和或者不变，或者减少2，即变换前后的奇偶性不变．故为偶数时，最终将变成0（黑球）；为奇数时，最后必将是1（自球）． 28.1.7* 一堆火柴共1000根，两人轮流拿走根火柴，其中户为质数，”为非负整数，规定谁取到最后一根火柴谁就获胜，证明：先取者必胜．解析在正确的玩法下，第一人将取胜．由于他在每次执步中，可以取走1、2、3、4或5根火柴，所以他可以执行这样的策略：即不论第二个人如何动作，他都应在自己执步之后，给对方留下能被6整除的火柴数目．这样，在经过有限次执步之后，他将给第二人留下6根火柴．因而在第二人动作之后，他即可取走所有剩余的火柴而结束游戏． 28.1.8** 甲、乙两个人取数，若已有的最后一个数为，则可以取至中任一个数．若甲先取，开始已有数2，取到2004为胜，问甲必胜还是乙必胜？解析甲必胜．甲可依次取3、7、15、31、62、125、250、501、1002、2004．这一列数中，后一个数要么是前一个数的2倍，要么是2倍加上1．现在说明只要取到前一个数，就必可取到后一个数，从而必可取到2004．事实上，若甲取到的数为，则乙可取至中任一数．而，且，，故当乙取完后，甲必可取或． 28.1.9** 两个相同的齿轮，各有14个齿，一个平放在另一个的上面，使得它们的齿重合．现在去掉4对重合的齿．是否总可以旋转上面的那个齿轮，使得它们的共同投影是一个完整的齿轮．若两个齿轮各有13个齿，结论如何？解析 14个齿时可以．设去掉的齿为，，，∈{0，1，…，13），两两的差有4×3＝12种，取，（），则转过6个齿后，投影为完整的齿轮．至于13个齿，则不一定，如去掉的齿为0、1、3、9，即为反例． 28.1.10** 正方形的顶点处放有火柴，开始在某一点放根火柴，其他三顶点则空着．现允许从某个顶点移走任意根火柴，然后在其两个相邻顶点各放上移走火柴数目两倍的火柴．当，3时，问是否可以经过若干次这样的操作，使得各顶点处的火柴数依次为1、9、8、9？解析设顶点处火柴数依次为、、、，考虑数和，易知每经过一次操作，都有（），（），但是，1+9+8+9 2（），1－9+8－9 ±3（），之所以取“±”，是因为一开始的因3根火柴的位置不同而可能不同．因此当，3时，不可能经过有限步操作后变为1、9、8、9． 28.1.11*** 将（≥1）个数排在一个圆周上，每个数都是+1或－1，现在同时将每个数都乘以它的右边的数，将所得到的数替换原来的数，称为一次操作．证明：经过有限次操作后，每个数都成为+1．解析设这个数往右依次为，，…，．下证：经过次操作后，在位置上的数为，这里当下标大于时，认为模同余的下标则为同一个数．当时，第一次操作后，第个位置数为，第二次操作后，第个位置上数为，即时成立；若经过次操作后，第个位置上数为，故再经过次操作即共次操作后第个数为，因此对一切均成立．于是，经过次操作后，第个位置上数为，即所有数均为+1． 28.1.12*** 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其他两数的和减去1，这样继续下去，最后得到17、1967、1983．问原来的三个数能否为（1）2、2、2；（2）3、3、3．解析（1）不能为2、2、2．因为2、2、2是三个偶数，按规则，第一次换数后，三个偶数就变成两偶一奇．第二次换数时，若擦去的是偶数，则换上的仍是偶数；若擦去的是奇数，则换上的仍是奇数，同样保持两偶一奇．第一次换数后，以后三个数永远保持两偶一奇不变，而19、1967、1987三个数都是奇数，这种情况决不会出现．所以，原来的三个数不能是2、2、2．（2）能为3、3、3．具体做法如下：首先按下法作8次变换．3、3、3→3、3、5→3、5、7→3、7、9→3、9、11→3、11、13→3、13、15→3、15、17→17、15、31．再注意到1967＝122×16+15，1983＝122×16+31，便知只要由17、15、31再按“17、、→17、、”作122次变换，即可得到17、1967、1983． 28.1.13*** 任意（， >6，偶数）的棋盘可以被1×2的骨牌覆盖，使得任一条非边界的棋盘网格线必穿过任何骨牌．解析图（）表明，如何铺满矩形5×6和8×8（在铺满矩形8×8的情形中利用了矩形5×6的铺设法）．现在只需证明，如果可以铺满矩形× ，那么就可以铺满矩形×（）．为此，需要把已铺满骨牌的矩形× 分成两部分，而不分割骨牌，因此需要右边部分向右边移动距离2．并且用水平骨牌填满间隔（图（））． 28.1.14** 在× 的方格表中任意填上l或，为奇数，在每一列下及每一行右写下该列或该行所有数的积，求证：这个乘积的和不为0．解析设，，…，为每行之积，，，…，为每列之积，易知，于是在，，…，中有个，，，…，中有个，则．若个乘积之和为0，则，得为偶数，矛盾． 28.1.15** 在矩形方格表（至少两行两列）的每个小方格中都填上1或，并且l和的个数都不少于两个，求证：存在4个小方格，其中心是一矩形的顶点，且小方格中数字之和等于0．解析用反证法．若不然，如果有一行全为1，那么其他行最多一个，由题设，两个分别在不同行中，如这两个在同一列中，则任一其他列中的对应数都是1，于是这样的矩形存在．否则，以这两格为对角线的矩形的另两个顶点中的数一定都是1，于是4个数字之和仍为0．如有一行全为，同理可证．于是每一行都既有1，又有，这样等于只需考虑矩形的两行，把其他行都忽略（即自此每一列都只包含2个格子）．考虑每一列数之和，无非是2、0、，显然若所求矩形不存在，则0最多一个，而2与不能共存，若只有2，那么最多1个，矛盾，若只有，那么1最多一个，亦矛盾．因此结论成立． 28.1.16*** 一个重40磅的砝码，由于跌落地面而碎成4块，每块的重量都是整数磅，现在可以用这些砝码来称1至40磅之间任意整数磅的重物，问这4块砝码可各重多少磅？解析问题的答案是：4块碎片的重量可分别为1，3，9，27磅．一般的情况：是否可以用一套磅数为1，3，9，…，的砝码，来称磅数为任何正整数，的物体？那就要设法证明：任何正整数都是3的有限项不同次幂的代数和．① 证明如下：以3作除数，应用“辗转相除法”，设，，，．此中，（，1，2，…，），．于是有．② 由于，（，1，2，…，），即是说，除0外，与（，1，2，…，）只能取1或2，而，代入②式的末端经整理便可得到①．改写①得．由此可见，只要把重量为，，…，磅的砝码放在一个盘子里，而把磅，磅，…，磅的砝码和磅的重物放在另一个盘子里，天平的左右两个盘子重量就相等了，这样就称出磅重的物体来． 28.1.17*** 两个人做如下游戏：甲先报一个数字，乙则根据自己的判断将该数字代替下面的某个星号：规定已经改成数字的不能再动，而且允许在最高位放0．依此类推，共进行8次，直到上式所有小星星变成数为止．甲希望所得差尽可能地大，乙希望所得差尽可能地小．证明：不管甲报什么数字，乙总有办法使得差不超过4000；不管乙怎样安排，甲总可使得所得差不小于4000．解析若甲第1次报的是0、1、2或3，则乙只要将此数放入被减数的千位即可．若甲第1次报的是6、7、8或9，乙只需将此数放入减数的千位即可．这样所得差小于4000，于是甲只能报4或5．当甲报4时，乙将4放入被减数的千位，接下来甲只能不断报0（否则被乙放入减数的千位），最终差为4000；同理若甲报的是5，则乙将5放入减数的千位，接下来甲只能不断报9，最终差为4000．乙的策略已经找到．甲的策略要复杂一些．用、、、表示从左到右4个数位（每个由上下两个数位组成），甲应注意有最小的，在中有一个数字和一个，或有两个不同的数字．如果，或，甲应报4，如所有数位都相同或，则可报任何数字，比如报5．当乙“不得不”头一次把数字放到上边的数字，甲可报0，如果是下边的数字，甲可报9，这便是甲的策略． 28.1.18*** 阿里巴巴试图潜入山洞．在山洞入口处有一面鼓．鼓的表面有四个孔，组成正方形的四个顶点．在每个孔的里面各装有一个开关．开关有“上”“下”两种状态．如果四个开关的状态全都一致，洞门即可打开．现允许将手伸入任意两个孔，触摸开关以了解其状态，并可随自己的意思改变或不改变其状态．但每当这样做了（并伸出手）之后，鼓就要飞快地旋转，以至在停转之后无法确认刚才触动了哪些开关．证明：阿里巴巴至多需要五次这种步骤就可以进入山洞．解析首先容易通过两次操作把不少于3个开关扳为状态“上”，如果大门没有打开，这就意味着第四个开关处于状态“下”，这时阿里巴巴应该将手伸入对角线上的两个洞，如果碰到向下的开关，那么应当把它扳为“上”，从而进入山洞；如果这一对开关均向上，那么把其中之一扳为向下．这样，显然两个相邻（即正方形某边的两端）的开关向上，另两个相邻的开关向下．然后阿里巴巴沿着正方形的边伸手；如果两个开关处于同一状态，他就改变它们状态从而进入山洞；如果两个开关状态不同，他应该都改变状态，最后一次沿对角线找到开关，改变里面的开关状态，这样最多五次就可以进入山洞． 28.1.19** 圆周上放了（≥4）个和为1的非负数，求证：相邻数乘积之和不大于．解析设圆周上依次有、、、四点，不妨设≥ （这样的、总能找到），显然有．今去掉和，代之以，圆周上的数减少1个，和仍为1，但相邻数乘积之和增大或不减．于是在不断调整后，圆周上的数变成只有4个，不妨设依次为、、、，而．于是结论成立． 28.1.20*** 在× 的方格表内的每个小方格中各填入0或1，如某一行与某一列的交点处所填数是0，则该行与该列的数之和不小于，求证：表中所有数之和不小于等．解析考虑所有的行与列，选出0的个数最多的行（或列）．若在这一行中有个0和个1，则由条件知对应于这一行的0所在的列中每列至少有个1，而在其余的列中每列不少于个1（由最初那一行的选择而得）．于是，1的总数不少于． 28.1.21** 在圆周上均匀地放4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若同色，就在其问放一枚黑子，若异色，就在其间放一枚白子，然后把原来的4枚棋子取走，完成这程序，就算一次操作．求证：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，只需操作若干次，圆周上就全是黑子．解析据题意，对开始时的第1、2、3、4这四枚棋子，依次地用、、、表示，且赋值为（，2，3，4）则，且（，2，3，4，）因此，各次操作后，棋子的赋值情况如下：开始第一次操作后第二次操作后第三次操作后第四次操作后 1 1 1 1 这是因为，因此，最多只需操作四次，圆周上全是黑子了． 28.1.22**** 正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这五个整数的和为正数．若其中三个相邻顶点对应的整数依次为、，，而中间的，则要进行如下的变换：整数、、分别换为、、．要是所得的五个整数中至少还有一个为负数，这种变换就继续进行．问：这样的交换进行有限次后是否必定终止？解析不妨设圆周上五个数依次为、、，，，且，变换后得到、、、、，其和不变．现考虑五个数的平方及每相邻两数和的平方之和．那么变换后与前之差是．因此，这一和（一个正整数）每经过一次变换都至少要减少2．由于正整数不能无限减小，所以该变换必定有终止的时候． 28.1.23**** 给定4个全等的直角三角形纸片，进行如下操作：每次可选一个直角三角形并将它沿斜边上的高剪开成两个直角三角形．求证：无论经过多少次操作，在所得到的三角形中总有两个全等（不包括重叠情形）．解析用反证法．即存在4个全等的直角三角形纸片，经过有限次操作可使所得到的直角三角形互不全等．设这样的操作的最少次数为，这里操作次可以使得到的直角三角形互不全等且与操作顺序无关．开始时4个全等直角三角形必须有3个要沿斜边上的高剪开．不妨设开头的3次操作就是剪开这3个三角形．于是得到新的6个直角三角形可分成两组，每组3个直角三角形彼此全等．这样一来，每组3个全等直角三角形中又都至少剪开两个．不妨设第4至第7次操作就是剪开这4个三角形．注意这时剪开得到的8个直角三角形中有4个是全等的（相当于两个矩形沿它们的一条对角线剪开）．按假设，从这4个全等的直角三角形出发，只要再操作次就可以得到互不全等的三角形，此时与的最小性矛盾！这表明无论经过多少次操作，总有两个三角形全等． 28.1.24**** 3个数、、围着一圆周，依次将其改为、、，叫做完成一次操作，求证：如果起初的、、是非零整数（或有理数），则若干次操作后迟早会出现0，但可以找到3个实数、、，使得无论经过多少次操作，0都不会出现．解析用反证法．当、、是整数时，如果0永远不出现，考虑每次操作后最大的那个数，在下一次操作后，至少要减去1，但正整数是不能无限减少的，因此0必定会出现．至于有理数情形，只要乘以各分母的最小公倍数，便转化为整数问题．最后讨论实数问题，先证明一个结论：设、、为整数，且，则．为此，只要将两端平方，即得，但无论是还是，总能得出另外两个数也为0．证毕．于是令，，，第一次操作后其中一项为或，即“奇数×1+奇数× +偶数× ”，另外两个数分别为“奇数×1+偶数× +奇数× ”和“偶数×1+奇数× +奇数× ”．第二次操作后，这种状态不变，因此无论经过多少次操作，这种状态一直保持不变，由前面的结论，即知永远不会出现0．评注对于一般的圆周上（>3）个数，上述结论全部成立，不过实数情形颇不易处理． 28.1.25**** 沿着圆周放着一些数，如果有相连的4个数、、、满足不等式，那么就可以交换、的位置，这称为一次操作．（1）若圆周上依次放着数1、2、3、4、5、6，问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数、、、都有？（2）若圆周上依次放着数1，2， (2003)问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数、、、都有？解析（1）（2）答案是肯定的．考虑这2003个数的相邻两数乘积之和，开始时．若圆周上相连的4个数、、、满足不等式，即，交换、位置后，相连的4个数为、、、，于是圆周上相邻两数乘积之和的改变量为，即≤ ，所以每作一次操作，乘积和至少减少1，由于相邻两数的乘积和不可能为负的，故经有限次操作后，对任意相连的4个数、、、，一定有． 28.2 逻辑推理问题28.2.1* 某班甲、乙两名同学因一件事件发生纠纷．老师找了4位在场同学调查情况，他们的回答有真有假．第1位同学说：“我只知道甲没有错．” 第2位同学说：“我只知道乙没有错．” 第3位同学说：“前面两位同学所说的话至少有一个是真的．” 第4位同学说：“我可以肯定第3个同学说的是假话．” 经调查，证实第4位同学说的是真话．请问：甲、乙两人谁有错．解析因已证实第4位同学所说属实，所以第3位同学所说的话是假话，即“前面两位同学所说的话至少有一个是真的”是假话．从而，第1、第2两位同学都没说真话，也就是，甲、乙两人都有错．评注如果我们选择前3位同学的话作为突破口，进行假设推理将较为困难． 28.2.2* 某校举办数学竞赛．、、、、五位同学分获前5名．发奖前，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．说：“ 第三名，第五名．” 说：“ 第四名，第五名．” 说：“ 第一名，第四名．” 说：“ 第一名，第二名．” 说：“ 第三名，第四名．” 结果，每个名次都有人猜对．请问：这五位同学的名次是怎样排列的．解析被猜为第二名仅一个人，因此，为第二名．此外，被猜为第一名的有、；被猜为第三名的有、；被猜为第四名的有、；被猜为第五名的有、．由第二推知第三，进而推知第一，第五，第四．评注寻找突破口是解决逻辑推理问题的基本技巧，有些问题突破口比较隐蔽，需要对问题进行深入分析以后，再进行巧妙的构思，方能找到． 28.2.3** 个人聚会，已知其中每个人都至少认识个与会者．证明：可以从中选出4个人围着圆桌坐下，使得每个人都与熟人为邻．解析如果这些人两两认识，结论显然成立．否则找到、，他们不认识．在剩下的个人中，必定有、与、都认识，否则剩下的人数至少有，矛盾，于是、、、可依次围着圆桌坐下而满足要求． 28.2.4** 一个骰子，六个面的数字分别为0、1、2、3、4、5．开始掷骰子后，当掷到的总点数超过12就停止不掷了．请问：这种掷骰子的游戏最可能出现的总点数是多少？解析欲使最后一次投掷的点数和≥13，倒数第二次投掷所达到的点数和最大数为12，最小数为8．共有5种情况．如果倒数第二次总点数等于12，再投一次后可能达到的（超过12）的总点数将分别为13、14、15、16、17．而且机会是均等的；如果倒数第二次总点数等于11，再投一次超过12的总点数的可能值分别为13、14、15、16；依次类推…… 如果倒数第二次总点数等于8，再投一次超过12的总点数只可能是13（此时，最后一次投掷出现的点数必须是5）．综上所述可知，超过12的最大可能出现的总点数值是13（它在每一种情况下都可能出现）． 28.2.5** 有红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包好，在桌子上排成一排．五个人猜各包里珠子的颜色．甲猜：第二包是紫色，第三包是黄色；乙猜：第二包是蓝色，第四包是红色；丙猜：第一包是红色，第五包是白色；丁猜：第三包是蓝色，第四包是白色；戊猜：第二包是黄色，第五包是紫色．猜完后，打开纸包一看，每人都猜对了一种，并且每包都有一个人猜对．请你也猜一猜，他们各自都猜中了哪一种颜色的珠子？解析画出如表1所示，第一行表示珠子的颜色，表中的数字表示各个人所猜的包数，第一列表示五个人．由于题目条件申明每人都猜对了一种；每包都有一个人猜对，因此，表中每一行的两个数有且仅有一个正确；表中所标志出的10个数中，1，2，3，4，5各有且仅有一个是正确的，每一列中的两个数中，有且仅有一个是正确的．注意到，包数1在表中只出现1次（丙猜第1包是红色）．按条件，这个猜测应是正确的，以此为突破口，展开推理．表1 红蓝黄白紫甲 3 2 乙 4 2 丙 1 5 丁 3 4 戊 2 5 表2 我们用“√”表示“正确”；用“×”表示“不正确”，用“→”表示推理的路线．在数字上画一个图表示推理的出发点，表2即可清晰简明地表现出推理的过程．通过表上推理知，甲猜中第3包是黄色，乙猜中第2包是蓝色，丙猜中第1包是红色，丁猜中第4包是白色，戊猜中第5包是紫色． 28.2.6** 四位运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林．在游泳、田径、乒乓球和足球四项运动中，每人只参加一项，且四人的运动项目各不相同．除此以外，只知道：（1）张明是球类运动员，不是南方人；（2）胡纯是南方人，不是球类运动员；（3）李勇和北京运动员、乒乓球运动员三人同住一个房间；（4）郑路不是北京运动员，年龄比吉林运动员和游泳运动员都小；（5）浙江运动员没有参加游泳比赛．根据这些情况，你能否断定，这四名运动员各来自什么地方？各参加什么运动项目？解析这个问题涉及三种“对象”――姓名、运动项目及籍贯．所知情况很“零碎”．我们设计下面表格，在表格中进行推理．显然，每一个人只能参加一个项目的运动，只有一种籍贯．我们用“√”表示肯定的判断，用“×”表示否定的判断．由（1）、（2）、（3）、（4）得表1．表1 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × 张× × × × 胡× × × 李× × 郑× × 从而推知，张明是北京运动员，李勇是吉林运动员（表2）．表2 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × 张√ × × × × 胡× × × 李× √ × 郑× × 由（3）知张明（北京运动员）不是乒乓球运动员，从而他是足球运动员，郑路是乒乓球运动员（表3）．表3 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × × √ 张√ × × × × × 胡× × × 李× × × √ × √ 郑× × 由（4）知，李勇（吉林运动员）不是游泳运动员，从而胡纯是游泳运动员，李勇是田径运动员（表4）．表4 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × × √ 张√ × × × √ × × × 胡× × × √ × × 李× × × √ × × √ × 郑× × 由（5）知，胡纯不是浙江运动员，从而他是上海运动员，郑路是浙江运动员（表5）．表5 游泳田径乒乓足球北京上海浙江吉林× × × √ 张√ × × × √ × × × 胡× √ × × × √ × × 李× × × √ × × √ × 郑× × √ × 最后一个表格显示：张明是北京的足球运动员，胡纯是上海的游泳运动员，李勇是吉林的田径运动员，郑路是浙江的乒乓球运动员． 28.2.7** 三个整数、、满足条件．把它们分别写在三张卡片上．、、三人进行某种游戏．每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走步．在进行（≥2）次摸取后，已走了20步，走了10步，走了9步．已知最后一次走了步，问第一次谁走了步？解析按题意，每次摸取后，三人共走了（）步．所以，次摸取后共走了．，由于≥2及，所以，．由于三次走了20步，因而≥7．若，那么三次所走步数只能是（从而），这与矛盾！从而．由三次走10步且最后一次走（>7）步，因，≥1，必有≤8，因此，．所以，或，两种可能．但是，三次走20步，所以现将已推算出各次每人走的步数列表于下：一8 1 ④ 二 8 1 4 三 4 8 1 由表知，第一次走（）步的是． 28.2.8** 甲、乙、丙、丁四人比赛羽毛球．每人与对手各赛一场．结果：甲胜丁，甲、乙、丙三人所胜场次相同．请问：丁胜几场？解析四人比赛，共赛6场．由于甲、乙、丙所胜场次相同．且。