初中数学竞赛辅导训练试题及答案

初二数学竞赛赛前集训题二一、填空题（每小题8分，共40分）1．若（2x-1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 2+a 4=______．2．在△ABC 中，M 是边AC 的中点，P 为AM 上一点，过P 作PK ∥AB 交BM 于X ，交BC 于K ，•若PX=2，XK=3，则AB=_______．3．a 、b 、c 是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m=3a+b-7c ，记x 为m 的最小值，y 为m 的最大值，则xy=_______．4．在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，，则∠ABC=________． 5．已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16，则12xy z ++12yz x ++12zx y+=__________．二、（15分）若正数a 、b 、c 满足a+c=2b三、（15分）一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，试确定这个直角三角形三边的长．四、（15分）如右图，以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE•、•CAFG•、•BCHK．连结EF、GH、KD．求证：以EF、GH、KD为边所以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍．五、（15分）13位运动员，他们着装的运动服号码分别是1～13号，问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．答案: 一、填空题1．令x=0，得a=-1．令x=1，得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=1； 令x=-1，得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a 0=-243．后面两式相加，得a 4+a 2+a 0=-121，因此，a 2+a 4=-120．2．如图，以BC 为对角线作ABDC ，延长PK 交BD 于Q ，过M 作AB 的平行线交BC 于O ，•交BD 于N ，则AB=PQ=MN ．易知CO=BO ，点O 是ABDC 的中心．因此，MO=ON ．于是，KQ=XK=•3，•所以，AB=PX+XK+KQ=2+3+3=8．3．由3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，得325,213.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩∴325,4226.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩所以，a=7c-3，b=7-11c ．由a 、b 、c 是非负实数，得730,7110,0.c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩∴37≤c ≤711．又m=3a+b-7c=3c-2，故-57≤m ≤-111．于是，x=-57，y=-111，因此，xy=577．4．如图，延长BA 到E ，使得连结CE ，则CE ∥AD ，且 在△ACE 中，有AE 2+CE 2=2+24=26=AC 2． 故∠AEC=90°．在Rt △BCE 中，，故∠ABC=60°．5．因为x+y+z=2，两边平方得x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=4． 已知x 2+y 2+z 2=16，所以xy+yz+zx=-6． 又z=2-x-y ，所以12xy z +=1422xy x y +--=1(2)(2)x y --，同理，12yz x + =1(2)(2)y z --，12zx y +=1(2)(2)z x --．故12xy z ++12yz x ++12zx y+=1(2)(2)x y --+1(2)(2)y z --+1(2)(2)z x --=(2)(2)(2)(2)(2)(2)z x y x y z -+-+----=62()4()8x y z xyz xy yz zx x y z ++--+++++-=2641128813-=-++-．二、由已知易知a-b=b-c ．．．三、设a 、b 分别为两条直角边长，则斜边长由于a 、b 、c 均为正整数，所以，a ≠b ．不妨设a>b ，依题意有2ab． 两边平方并整数，得224a b -a 2b-ab 2+2ab=0，即ab-4a-4b+8=0．从而，（a-4）（b-4）=8=1×8=2×4． 由于a 、b 为正整数，a>b ，则 48,41;a b -=⎧⎨-=⎩ 或 44,42;a b -=⎧⎨-=⎩解得a=1，b=5，c=13；a=8，b=6，c=10．所以，这个直角三角形三边的长为（12，5，13）或（8，6，10）． 四、如图，过D 作DP // KH ，则四边形DPHK 是平行四边形．所以，PH //DK．因为DP//BC，则四边形DPCB也是平行四边形．因此，PC//DB．又EA //DB，所以，EA//PC，•则四边形EACP也是平行四边形．所以，EP//AC，从而EP// FG．因此，四边形EFGP•也是平行四边形，故PG//EF．由此可见，对于△PHG，PH=DK，PG=EF，GH=GH，这表明以EF、GH、KD•为边可以构成一个三角形．由此知，在△PCG与△EAF中，PC=EA，CG=AF，PG=EF，所以，△PCG≌△EAF．同理，△PCH≌△DBK．因此，S△PHG=S△PCH+S△PCG +S△CGH =S△DBK +S△EAF +S△CGH．过A作AM⊥BC于M，延长KB交DP于N，则BN⊥DP，易知∠1=∠2．在Rt△BND与Rt△BMA中，因为BD=BA，∠1=∠2，所以，Rt△BND≌Rt•△BMA，•因此，DN=AM．故S△DBK =12KB×DN=12BC×AM=S△ABC．同理，S△EAF =S△ABC，S△CGH =S△ABC．因此，S△PHG =S△DBK +S△EAF +S△CGH =3S△ABC．五、不能办到．理由如下：假设能够排成一个圆圈，使得号码满足题设要求．我们将号码数分为A、B两组：A={1，2，3，11，12，13}，B={4，5，6，7，8，9，10}．显然，A组中的任两个数的差要么小于3，要么大于5，所以，在排成的圆圈中A组中的任两个数都不能相邻．也就是说，A组中的任两个数之间至少都要插放一个B组中的数．但A组中有6个间隔，B组中有7个数，所以，排好后有且只有一个间隔插放了B•组中的两个数．我们将B组中每个数能与A组中的数之差的绝对值不小于3，且不大于5•的配成可相邻放置的一对，则有（4，1）；（5，1），（5，2）；（6，1），（6，2），（6，3），（6，11）；（7，2），（7，3），（7，11），（7，12）；（8，3），（8，11），（8，12），（8，13）；（9，12），（9，13）；（10，13）．可见，B组中的数5，6，7，8，9都能与A组中的两个不同的数相邻放置，4只与1配对，10只与13配对，因此，排成圆圈后，4和10都不能单独插在A组中的两个不同数之间，•即4和10只能作为相邻的两个数插在A组中的两个不同数之间．也就是4与10相邻，此时10-4=6>5，与题设条件矛盾．因此，题设要求的排法不能办到．。

奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案（初二下部分,共）-43初中数学竞赛辅导资料（43）面积法甲内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。

2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。

如图△ABC 和△ADC 有公共边AC ， M 内分BD 第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBMS ADC ABC ＝△△S M 外分BD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比乙例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中，∠DAC ＝30求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2 S 菱形ABCD ＝AC ×BD ，∴AB 2＝AC ×BDA BCDMAB CDMA B C D M AB C D MABCDE例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a, S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ）∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值，∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3.已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEFS △△S 的值解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABCADF S △△S ＝AC AB AF AD ??＝ACAB AC32AB 31??＝92，同理92S ABC BED ＝△△S ，ABC CFE S S △△＝92，∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CACFp 1时，ABC DEF S △△S ＝mnpnpmp mn p n m mnp ---+++）例4.如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。

初中数学竞赛辅导资料(37)不等关系甲内容提要1. 不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

设a>b,不等式组⎩⎨⎧>>bx a x 的解集是x>a ⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是x<b ⎩⎨⎧<>a x b x 的解集是 b<x<a ⎩⎨⎧<>bx a x 的解集是空集 3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。

直角三角形中，斜边大于任一直角边。

④ 有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。

⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和乙例题例1. 已知：x ≤2，求下列代数式的取值范围：①7－3x, ②x x 1+ 解：①∵x ≤2，∴两边乘以－3，得 －3x ≥－6两边加上7， 得 7－3x ≥7－6∴7－3x ≥1 ②设xx 1+＝y, x+1=xy, (y －1)x=1 x=11-y ≤2，在两边乘以y －1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组：⎩⎨⎧-≤>-)1(2101y y 或⎩⎨⎧-≥<-)1(2101y y ⎪⎩⎪⎨⎧≥>231y y 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<231y y ∴y ≥1.5 或y<1 即x x 1+≥1.5或xx 1+＜1 例2.设实数a,b 满足不等式)(b a a +-＜b a a +-，试决定a,b 的符号。

初中数学竞赛培训（初二）（3）一、填空题（每小题10分）1． 请用计算器计算下列各式:3×4，33×34，333×334，3333×3334．根据各式中的规律，直接写出333333×333334的结果是 ．2．如果将字母a ，b ，c ，d ，e 按“aababcabcdabcdeaababcabcdabcde …”这样的方式进行排列，那么第2004个字母应该是 ．3．已知，11x x -=（x ＞0），则441x x-= ． 4．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2d k m n T =的关系(k 为常数) . 现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）.5．已知：如图，在△ABC 中，BC 边的长为12，且这边上的高AD 的长为3，则△ABC 的周长的最小值为 ． 6．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值 是 .二、解答题（共2题，每小题20分）7．一列客车始终作匀速运动，它通过长为450米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它穿过长760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒. 从客车的对面开来一列长度为a 米，速度为每秒v 米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用t 秒.（1）写出用a 、v 表示t 的函数解析式；（2）若货车的速度不低于每秒12米，且不到每秒15米，其长度为324米，求两车交错所用时间的取值范围.AB8．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.初中数学竞赛培训（3）答 案1． 333333×333334=111111222222．2． C3．4． 2t 5．12+注：这是原题目给的答案，马老师做的答案是：12＋613，不知道哪一个正确，你们的答案是什么6． 313 7．解：（1）设客车的速度为每秒x 米，客车的长度为y 米. 依题意知 ⎩⎨⎧=-=+.22760,33450x y x y ……………(5分)解出⎩⎨⎧==.276,22y x 所以，)0,0(22276>>++=a v v a t . ………………………(10分) （2）当324=a ，1512<≤v 时， 由（1）得22600+=v t . ………………………………（15分） 又因为372234<+≤v ， 所以，173002260037600≤+<v . 故t 的取值范围为173002260037600≤+<v . ………………………………（20分） 8.解：（1）当100≤≤x 时，设抛物线的函数关系式为c bx ax y ++=2，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.4810100,39525,20c b a c b a c ………………（5分） 解得，51-=a ，524=b ，20=c . 所以 20524512++-=x x y ，100≤≤x . …………………（10分） （2）当4020≤≤x 时，7657+-=x y . 所以，当100≤≤x 时，令y =36，得2052451362++-=x x ， 解得x =4，20=x （舍去）；当4020≤≤x 时，令 y =36，得765736+-=x ，解得 74287200==x . ……………………（15分） 因为24742447428>=-，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题. ……………………（20分）。

初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根丙练习461. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)。

数学竞赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 3) = ?A. 4x^2 + 2x - 2B. 4x^2 + 2x + 2C. 5x^2 + 2x - 2D. 5x^2 + 2x + 2答案：D3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案：C4. 如果一个数的平方是36，那么这个数是？A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案：B5. 以下哪个分数是最简分数？A. 6/8B. 9/12C. 5/10D. 7/14答案：B6. 一个等差数列的第一项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A7. 下列哪个图形的面积是最大的？A. 边长为4的正方形B. 半径为2的圆C. 长为5，宽为3的矩形D. 底为6，高为2的三角形答案：B8. 一个正方体的体积是27立方厘米，那么它的表面积是多少？A. 54平方厘米B. 63平方厘米C. 81平方厘米D. 108平方厘米答案：A9. 一个数的立方根是2，那么这个数是？A. 6B. 8C. 2D. 4答案：D10. 下列哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 9 = 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。

答案：512. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。

答案：2213. 如果一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是________。

初二下部分参考答案(1)练习29（返回目录）4.③三边相等和两边相等的三角形统称等腰三角形6. ①a ≤0.5 ②3 ③4，1④1，7⑤6 ⑥±1⑦－7，－53 ⑨－1，2177+ ⑩ ⎩⎨⎧<-≥-312012x x 或⎩⎨⎧<--<-3)12(012x x ∴21＜x<2；x ≥211或x ≤－29 7. （C ）∵当x<0, －x ＝ax+1, x=11+-a <0, a>-1 当x>0时，x=ax+1, x=a -11>0, a<1 ∵方程有负根，∴a>-1条件成立，而方程没有正根，a<1，不能成立 即a>-1且a ≮1，它们的交集是a ≥1练习30（返回目录）2. ax=b 解的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧=≠==≠有无数多个解无解且,0,00,0b b a a b x a 3. ②方程⎩⎨⎧非整式方程整式方程 ⑤四边形⎩⎨⎧非平行四边形平行四边形 4.①有理数⎪⎩⎪⎨⎧负有理数零正有理数 ②垂直是相交的一种5. ①－1，3 ②当x ≥2时，x-2>1-2x ……当x<2时－（x-2）>1-2x …6. ①⎩⎨⎧<≤-+-=-<-=)01(2)1(3x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=)1(11)1(21a a a a 7. 30，30，120；75，75，30。

8. －1，09.当m=1时，调3人；m=2, 调2人；m=3,调1人10. x<0或x>3,11. 把n 按奇数、偶数分类讨论，证明a 1a 2a 3… a n 中至少有2个偶数12. a,b 中若有一个是3的倍数，则ab 能被3整除；若除3有同余数则a-b 能被3整除；若除3余数分别为1和2，则a+b 能被3整除.13. a ≥1 （见练习29第7题）14. 按奇数、偶数分类讨论① 当n 为奇数时，设n=2k+1,k>2的整数，n=k+(k+1), k 和k+1互质； ② 当n 为偶数时，设n=4k 或4k+2, k>1的整数若n=4k=(2k+1)+(2k-1), 而2k+1和2k-1是互质的若n=4k+2=(2k-1)+(2k+3), 易知2k-1和2k+3也是互质的，如果它们有公因子d(d ≥2 )， 可设2k-1＝md 2k+3=pd, (m,p 是正整数)， 则（m-p ）d=4，则4d ,这是不可能的。

初中数学竞赛辅导资料（27）识图甲内容提要1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。

2.几何图形就是点，线，面，体的集合。

点是组成几何图形的基本元素。

《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。

3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。

因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示位置，没有大小，不可再分。

线：只有长短，没有粗细。

线是由无数多点组成的，即“点动成线”。

面：只有长、宽，没有厚薄。

面是由无数多线组成的，“线动成面”。

4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。

识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。

还要注意一般图形和特殊图形的差别。

乙例题例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？E解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。

乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个：边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10顶点在下▼的个数有 1＋2＝3边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1以上要注意数一数的规律例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。

讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。

下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。

题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。

答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。

因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。

考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。

对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。

因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。

对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。

但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。

讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。

初中数学竞赛辅导资料部分参考答案(5)解析初中数学比赛指导资料部分参照答案(5) 练习 231.先△ ABE ≌△ BCF ≌△ CAD ，2.三次全等，3.证△ PQM ≌△ PRN4.△ ABC ≌△ DBE ，∠ BAC ＋∠ DAF ＝∠ BDE ＋∠ DEF＝ 60 ＋ 1801. 取 CD 的中点 M ，连接 ME ， MF 6.△EAM≌△ ABH5.作△ ABD 的高 DF，证△ BDF ≌△ BAC6.作斜边上高，找全等三角形7.求出∠ DBC ＝ 30 ，有两种图形8.延伸 BC 到 N，使 CN＝AB ，延伸 CB 到 M，使 BM ＝AC ，证△ AMD ≌△ AND ，△ CAN ≌△ MBA9.延伸 BE 到 F，使 EF＝ BC10.延伸 CB 到 G 使 BG＝DFME NF13. 证明14.∠ CDF＝∠ F＝∠ BDF ＝∠ DHC ＝CD CD练习 241.以 AD 轴作轴对称三角形2.取 AB 中点 N ，再证明 DN＝ DM3. 利用外角性质，分别用两角差表示∠ A 和∠ E4.有多种证明方法，注意三角形中位线性质6. ∠ B＋（∠ BAE －∠ DAE ）＝ 90，∠C＋（∠ EAC＋∠ DAE）＝907.∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ D ＋∠ CBD ，两边同加上∠ CBD10.作高 AH12延伸 GE 交 AC 于 M，则 E 是 GM 的中点，作 EP∥BC 交 AC 于 P，则11.在 BC 上取 BE ＝BD ，则△ EDC 等腰，作 DF ∥ BC 交 AB 于 F，可证△ECD ≌△ ADF16.在 BF 上截取 BG ＝ FC，△ BGE ≌△ CFA ，再证 GE＝ GF。

数学初中竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B4. 如果一个数的平方是25，那么这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 05. 一个数的立方是-27，那么这个数是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 0答案：B6. 计算下列算式的结果：\( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \)A. \( \frac{11}{12} \)B. \( \frac{7}{12} \)C. \( \frac{5}{12} \)D. \( \frac{3}{4} \)答案：A7. 计算下列算式的结果：\( 3^2 - 2^2 \)A. 3B. 5C. 7D. 9答案：B8. 计算下列算式的结果：\( (x+y)(x-y) \)A. \( x^2 - y^2 \)B. \( x^2 + y^2 \)C. \( 2xy \)D. \( -2xy \)9. 计算下列算式的结果：\( (2x+3)(2x-3) \)A. \( 4x^2 - 6x + 9 \)B. \( 4x^2 - 9 \)C. \( 4x^2 + 6x - 9 \)D. \( 4x^2 + 9 \)答案：D10. 计算下列算式的结果：\( \sqrt{49} \)A. 7B. -7C. 49D. ±7答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方等于它本身，这个数是_______。

答案：0或112. 一个数的立方等于它本身，这个数是_______。

答案：-1, 0, 113. 一个数的绝对值是5，这个数是_______。

答案：±514. 一个数的相反数是-3，这个数是_______。

竞赛初中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. ±3D. ±93. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个分数是最接近1的？A. 1/2B. 3/4C. 4/3D. 5/45. 一个圆的半径是5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π6. 一个数的立方是-8，这个数是多少？A. -2B. 2C. -4D. 47. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是8. 以下哪个是二次方程？A. x + 3 = 0B. x^2 + 3x + 2 = 0C. x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0D. x^4 - 1 = 09. 一个数的相反数是-7，这个数是多少？A. 7B. -7C. 0D. 1410. 一个数的倒数是1/4，这个数是多少？A. 4B. 1/4C. 1/2D. 4/1二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方根是4，这个数是______。

12. 一个数的立方根是2，这个数是______。

13. 一个数的倒数是2，这个数是______。

14. 一个数的绝对值是8，这个数可以是______。

15. 如果一个数的平方是16，那么这个数是______。

16. 一个圆的直径是10，它的半径是______。

17. 一个直角三角形的斜边长度是13，一条直角边是5，另一条直角边是______。

18. 一个数的平方是25，这个数是______。

19. 一个数的立方是-125，这个数是______。

20. 如果一个数的绝对值是-5的相反数，这个数是______。

三、解答题（每题10分，共50分）21. 解方程：2x + 5 = 13。

初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数不是有理数？A. √2B. 0.5C. -3D. 2/3答案：A2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是多少？A. 11B. 13C. 16D. 无法确定答案：B3. 一个数的平方根等于它本身，那么这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：A4. 下列哪个函数是一次函数？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^3答案：B5. 一个圆的半径为r，那么它的面积是多少？A. πrB. πr^2C. 2πrD. 4πr^2答案：B6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 无法确定答案：A7. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 梯形C. 等腰三角形D. 不规则图形答案：C8. 一个数的绝对值是5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 无法确定答案：C9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A10. 一个二次函数的顶点坐标是(1, -4)，那么它的对称轴是？A. x = 1B. x = -1C. y = -4D. y = 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的立方根等于它本身，那么这个数是____。

答案：0或±112. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是____。

答案：513. 一个二次函数的图像开口向上，且经过点(1, 0)和(-1, 0)，那么它的对称轴是____。

答案：x = 014. 一个等比数列的首项是2，公比是3，那么第4项是____。

答案：16215. 一个圆的直径是10，那么它的周长是____。

答案：31.4三、解答题（每题10分，共40分）16. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求这个三角形的周长。

初中数学竞赛专项训练 (1 )(实 数 )一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数 ,那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是 ( ) A. a ＋1B. a 2 +1C. a 2 +2a +1D. a +2a +12、在全体实数中引进一种新运算* ,其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b = (a ＋b )(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a .当x ＝2时 ,［3* (x *2 )］－2*x ＋1的值为 ( ) A. 34B. 16C. 12D. 63、n 是奇数 ,m 是偶数 ,方程⎩⎨⎧=+=+m y x ny 28112004有整数解x 0、y 0 .那么( )A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数 ,那么四个数 -ab 、ac 、bd 、cd ( )A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是 ( ) A. 1B. 2C. 3D. 46、p 、q 均为质数 ,且满足5p 2 +3q =59 ,由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数 ,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同 ,顺序也相同 ,由此六位数可以被 ( )整除 . A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中 ,能被2、3、4整除的数的个数共 ( )个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、假设20011198********⋯⋯++=S ,那么S 的整数局部是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数 ,将M 的个位数字与十位数字互换后 ,得另一个两位数N ,假设M －N 恰是某正整数的立方 ,那么这样的数共＿＿＿个 .3、正整数a 、b 之差为120 ,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍 ,那么 ,a 、b 中较大的数是＿＿＿＿＿ .4、设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数 ,那么m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、满足19982＋m 2＝19972＋n 2 (0＜m ＜n ＜1998 )的整数对 (m 、n )共有＿＿＿＿个6、x 为正整数 ,y 和z 均为素数 ,且满足zy x yz x 111=+= ,那么x 的值是＿＿＿ 三、解答题1、试求出这样四位数 ,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方 ,恰好等于这个四位数 .2、从1、2、3、4……205共205个正整数中 ,最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c (a ＜b ＜c ) ,都有ab ≠c .3、方程0324622=---n n x x 的根都是整数 .求整数n 的值 .4、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯 ,各有接线开关控制着 ,开始时 ,它们都是关闭状态 ,现有100个学生 ,第1个学生进来时 ,凡号码是1的倍数的开关拉了一下 ,接着第二个学生进来 ,由号码是2的倍数的开关拉一下 ,第n 个 (n ≤100 )学生进来 ,凡号码是n 的倍数的开关拉一下 ,如此下去 ,最后一个学生进来 ,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下 ,这样做过之后 ,请问哪些灯还亮着 .5、假设勾股数组中 ,弦与股的差为 1 .证明这样的勾股数组可表示为如下形式：122221222++++a a a a a ，　， ,其中a 为正整数 .初中数学竞赛专项训练 (2 )(代数式、恒等式、恒等变形 )一、选择题：下面各题的选项中 ,只有一项为哪一项正确的 ,请将正确选项的代号填在括号内 .1、某商店经销一批衬衣 ,进价为每件m 元 ,零售价比进价高a% ,后因市场的变化 ,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售 ,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( ) A. m(1 +a%)(1 -b%)元 B. m·a%(1 -b%)元 C. m(1 +a%)b%元 D. m(1 +a%b%)元2、如果a 、b 、c 是非零实数 ,且a +b +c =0 ,那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )A. 0B. 1或 -1C. 2或 -2D. 0或 -23、在△ABC 中 ,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边 ,假设∠B ＝60° ,那么bc ab ac +++的值为 ( ) A. 21B. 22C. 1D.24、设a ＜b ＜0 ,a 2 +b 2 =4ab ,那么ba ba -+的值为( )A.3B.6C. 2D. 35、a ＝1999x ＋2000 ,b ＝1999x ＋2001 ,c ＝1999x ＋2002 ,那么多项式a 2 +b 2 +c 2 -ab -bc -ca 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 36、设a 、b 、c 为实数 ,226232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，， ,那么x 、y 、z 中 ,至少有一个值( )A. 大于0B. 等于0C. 不大于0D. 小于07、abc ≠0 ,且a +b +c ＝0 ,那么代数式abc ca b bc a 222++的值是 ( )A. 3B. 2C. 1D. 08、假设136498322++-+-=y x y xy x M (x 、y 是实数 ) ,那么M 的值一定是 ( ) A. 正数 B. 负数C. 零D. 整数二、填空题1、某商品的标价比本钱高p% ,当该商品降价出售时 ,为了不亏损本钱 ,售价的折扣 (即降价的百分数 )不得超过d% ,那么d 可用p 表示为＿＿＿＿＿a2、 -1＜a ＜0 ,化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得＿＿＿＿＿＿＿3、实数z 、y 、z 满足x +y =5及z 2 =xy +y -9 ,那么x +2y +3z =_______________4、x 1、x 2、……、x 40都是正整数 ,且x 1 +x 2 +…… +x 40＝58 ,假设x 12 +x 22 +…… +x 402的最大值为A ,最小值为B ,那么A ＋B 的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿5、计算=+⋯⋯+++++⋯⋯++++)441()417)(413)(49)(45()439()415)(411)(47)(43(4444444444________________ 6、多项式154723--+x bx ax 可被13+x 和32-x 整除 ,那么=+b a ＿＿＿＿＿三、解答题：1、实数a 、b 、c 、d 互不相等 ,且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111 ,试求x 的值 .2、如果对一切x 的整数值 ,x 的二次三项式c bx ax ++2的值都是平方数 (即整数的平方 ) . 证明：①2a 、ab 、c 都是整数 .②a 、b 、c 都是整数 ,并且c 是平方数 .反过来 ,如果②成立 ,是否对于一切x 的整数值 ,x 的二次三项式c bx ax ++2的值都是平方数 ?3、假设22221996199619951995+⋅+=a ,求证：a 是一完全平方数 ,并写出a 的值 .4、设a 、b 、c 、d 是四个整数 ,且使得222222)(41)(d c b a cd ab m --+-+=是一个非零整数 ,求证：｜m ｜一定是个合数 .5、假设2a 的十位数可取1、3、5、7、9 .求a 的个位数 .初中数学竞赛专项训练 (3 )(方 程 )一、选择题：1、方程018)8(2=-++-a x a x 有两个整数根 ,试求整数a 的值 ( )A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是 ( )A. 2B. 3C. 4D. 53、假设0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根 ,那么判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的大小关系是( )A. △＞MB. △ =MC. △＜MD. 不能确定4、ac b 42-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根 ,那么ab 的取值范围为( )A. ab ≥81 B. ab ≤81 C. ab ≥41 D. ab ≤41 5、1x 、2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实根 ,那么2221x x +的最大值是( ) A. 19B. 18C. 955D. 以上答案都不对6、z y x 、、为三个非负实数 ,且满足132523=-+=++z y x z y x ，　,z y x u 73-+=若 ,那么u 的最大值与最小值之和为( )A. 7762-B. 7764-C. 7768-D. 7774-7、假设m 、n 都是正实数 ,方程022=++n mx x 和方程022=++m nx x 都有实数根 ,那么m +n 的最小值是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 108、气象爱好者孔宗明同学在x (x 为正整数 )天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天 .那么x 等于 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题1、两个方程0022=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根 ,那么这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、假设)(016110161122b a b b a a ≠=++=++， ,那么=-baa b ＿＿＿＿＿＿＿3、关于x 的方程012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数 ,那么整数n 是＿＿＿＿＿4、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根 ,且8)1)(1(21=++x x ,那么k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根 ,b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根 ,那么m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根 ,那么)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题1、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根 ,求整数k 的值 .2、设方程0120012003200222=-⋅-x x 的较大根是r ,方程01200220012=+-x x 的较小根是s ,求r －s 的值 .3、确定自然数n 的值 ,使关于x 的一元二次方程07635108222=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数 ,并求出此两根 .4、关于x 的一元二次方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的两个根均为整数 ,求所有满足条件的实数k 的值 .5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇 ,其速度依次为每小时1v 、2v 、3v 、4v 千米 ,且满足1v ＞2v ＞3v ＞4v ＞0 ,其中 ,水v 为河流的水流速度 (千米/小时 ) ,它们在河流中进行追逐赛规那么如下： (1 )四条艇在同一起跑线上 ,同时出发 ,①、②、③是逆流而上 ,④号艇顺流而下 . (2 )经过1小时 ,①、②、③同时掉头 ,追赶④号艇 ,谁先追上④号艇谁为冠军 ,问冠军为几号艇 ?初中数学竞赛专项训练 (4 )(不等式 )一、选择题：1、假设不等式｜x +1｜ +｜x -3｜≤a 有解 ,那么a 的取值范围是 ( )A. 0＜a ≤4B. a ≥4C. 0＜a ≤2D. a ≥2 2、a 、b 、c 、d 都是正实数 ,且d c b a < ,给出以下四个不等式：①d c c b a a +>+ ②dc cb a a +<+ ③dc c b a b +>+ ④dc db a b +<+其中正确的选项是 ( ) A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ,ab +bc +ac ＝0 ,abc ＝1 ,那么 ( )A. ｜a +b ｜＞|c|B. |a +b|＜|c|C. |a +b| =|c|D. |a +b|与|c|的大小关系不能确定4、关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235352只有5个整数解 ,那么a 的取值范围是 ( )A. -6<a< -211 B. -6≤a< -211 C. -6＜a ≤ -211D. -6≤a ≤ -211 5、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根1x 、2x ,且1x ＜1＜2x ,那么a 的取值范围是( )A. 5272<<-a B. 52>a C. 72-<a D.0112<<-a 6、以下命题：①假设a =0 ,b ≠0 ,那么方程b ax =无解 ②假设a =0 ,b ≠0 ,那么不等式b ax >无解 ③假设a ≠0 ,那么方程b ax =有惟一解 ④假设a ≠0 ,那么不等式b ax >的解为abx > ,其中( ) A. ①②③④都正确B. ①③正确 ,②④不正确C. ①③不正确 ,②④正确D. ①②③④都不正确7、不等式①|x -2|≤1 ②1)2(2≤-x ③0)3)(1(≤--x x ④031≤--x x 其中解集是31≤≤x 的不等式为( ) A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④8、设a 、b 是正整数 ,且满足56≤a +b ≤59 ,0.9＜ba＜0.91 ,那么b 2 -a 2等于 ( ) A. 171B. 177C. 180D. 182二、填空题： 1、假设方程122-=-+x ax 的解是正数 ,那么a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、乒乓球队开会 ,每名队员坐一个凳子 ,凳子有两种：方凳 (四脚 )或圆凳 (三脚 ) ,一个小孩走进会场 ,他数得人脚和凳脚共有33条 (不包括小孩本身 ) ,那么开会的队员共有＿＿＿＿名 . 3、不等式①3|2|<+x ②09)2(2<-+x ③051<+-x x ④116-<-x ,其中解集是15<<-x 的不等式有＿＿＿＿＿个 .4、假设关于x 的一元二次方程02)5(22=+-+x a x 无实数根 ,那么a 的取值范围是＿＿＿5、在本埠投寄平信 ,每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元 ,超过20g 而不超过40g 时付邮费1.6元 ,依次类推 ,每增加20g 需增加邮费0.80元 (信的质量在100g 以内 ) ,如果某人寄一封信的质量为72.5g ,那么他应付邮费＿＿＿＿＿＿＿6、假设1x 、2x 都满足条件|32||12|++-x x ＝4且1x ＜2x 那么1x -2x 的取值范围是＿＿＿ 三、解答题1、有一水池 ,池底有泉水不断涌出 ,要将满池的水抽干 ,用12台水泵需5小时 ,用10台水泵需7小时 ,假设要在2小时内抽干 ,至少需水泵几台 ?2、一元二次方程01)4()1(22=+--+x k x k 的一个根大于1 ,另一个根小于1 ,求整数k 的值 .3、假设关于x 的不等式｜ax +a +2｜＜2有且只有一个整数解 ,求a 的整数值 .4、某宾馆一层客房比二层客房少5间,某旅游团48人,假设全安排在第一层,每间4人,房间不够,每间5人,那么有房间住不满；假设全安排在第二层,每3人,房间不够,每间住4人,那么有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间?5、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做10个零件,这样8个人一天做的零件超过200个,后来改良技术,每人一天又多做27个零件,这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件,问他们改良技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍?初中数学竞赛专项训练 (5 )(方程应用 )一、选择题： 1、甲乙两人同时从同一地点出发 ,相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ,假设仍从原地出发 ,互换彼此的目的地 ,那么甲在乙到达A 之后35分钟到达B ,甲乙的速度之比为 ( ) A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶42、某种产品按质量分为10个档次 ,生产最低档次产品 ,每件获利润8元 ,每提高一个档次 ,每件产品利润增加2元 ,用同样工时 ,最低档次产品每天可生产60件 ,提高一个档次将减少3件 ,如果获利润最大的产品是第R 档次 (最低档次为第一档次 ,档次依次随质量增加 ) ,那么R 等于 ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 103、某商店出售某种商品每件可获利m 元 ,利润为20% (利润＝-售价进价进价) ,假设这种商品的进价提高25% ,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元 ,那么提价后的利润率为 ( ) A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5%4、某项工程 ,甲单独需a 天完成 ,在甲做了c (c<a )天后 ,剩下工作由乙单独完成还需b 天 ,假设开始就由甲乙两人共同合作 ,那么完成任务需 ( )天 A.c a b+ B.ab a b c+- C. 2c b a -+D.cb a bc ++ 5、A 、B 、那么：A 、B 两队比赛时 ,A 队与B 队进球数之比为 ( ) A. 2∶0 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 0∶2 6、甲乙两辆汽车进行千米比赛 ,当甲车到达终点时 ,乙车距终点还有a 千米 (0＜a ＜50 )现将甲车起跑处从原点后移a 千米 ,重新开始比赛 ,那么比赛的结果是 ( ) A. 甲先到达终点 B. 乙先到达终点 C. 甲乙同时到达终点 D. 确定谁先到与a 值无关7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时 ,逆流航行这段路程需b 小时 ,那么一木块顺水漂流这段路需 ( )小时 A. b a ab -2 B. a b ab -2 C. ba ab - D. a b ab -8、A 的年龄比B 与C 的年龄和大16 ,A 的年龄的平方比B 与C 的年龄和的平方大1632 ,那么A 、B 、C 的年龄之和是 ( ) A. 210 B. 201 C. 102 D. 120 二、填空题1、甲乙两厂生产同一种产品 ,都方案把全年的产品销往济南 ,这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43 ,然而实际情况并不理想 ,甲厂仅有21的产品 ,乙厂仅有31的产品销到了济南 ,两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31,那么甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为＿＿＿＿＿＿＿2、假期学校组织360名师生外出旅游 ,某客车出租公司有两种大客车可供选择 ,甲种客车每辆有40个座位 ,租金400元；乙种客车每辆有50个座位 ,租金480元 ,那么租用该公司客车最少需用租金＿＿＿＿＿元 .3、时钟在四点与五点之间 ,在＿＿＿＿＿＿＿时刻 (时针与分针 )在同一条直线上 ?4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生 ,钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生 ,考虑到三年来物价的总涨幅为40% ,那么钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润 (精确到一位小数 )5、甲乙两名运发动在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳 ,甲游100米要72秒 ,乙游100米要60秒 ,略去转身时间不计 ,在12分钟内二人相遇＿＿＿＿次 .6、甲、乙、丙三人的年龄都是正整数 ,甲的年龄是乙的两倍 ,乙比丙小7岁 ,三人的年龄之和是小于70的质数 ,且质数的各位数字之和为13 ,那么甲、乙、丙三人的年龄分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题1、某项工程 ,如果由甲乙两队承包 ,522天完成 ,需付180000元；由乙、丙两队承包 ,433天完成 ,需付150000元；由甲、丙两队承包 ,762天完成 ,需付160000元 ,现在工程由一个队单独承包 ,在保证一周完成的前提下 ,哪个队承包费用最少 ?2、甲、乙两汽车零售商 (以下分别简称甲、乙 )向某品牌汽车生产厂订购一批汽车 ,甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍 ,后来由于某种原因 ,甲从其所订的汽车中转让给乙6辆 ,在提车时 ,生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆,最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍,试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量?最少是多少辆?3、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机) ,其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟.这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车,包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h ,人步行的平均速度是5km/h .试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.4、某乡镇小学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师生立即出发到县城,由于汽车在赴校途中发生了故障,不得不停车修理,学校师生等到7时10分仍未见汽车来接,就步行走向县城,在行进途中遇到了已修理好的汽车,立即上车赶赴县城,结果比原来到达县城的时间晚了半小时,如果汽车的速度是步行速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间?初中数学竞赛专项训练 (6 )(函 数 )一、选择题：1、如果一条直线L 经过不同的三点A (a ,b ) ,B (b ,a ) ,C (a -b ,b -a ) ,那么直线L 经过( ) A. 二、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 2、当4||≤x 时 ,函数|3||2||1|-+-+-=x x x y 的最大值与最小值之差是 ( ) A. 4B. 6C. 16D. 203、对220b a ab ≠≠， ,二次函数))((b x a x y --=的最小值为 ( )A. 2)2(b a + B. 2)2(b a +- C. 2)2(b a - D. 2)2(b a -- 4、假设直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限 ,那么抛物线bx ax y +=2的顶点在( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5、二次函数c bx ax y ++=2的图象一局部如图6 -1 ,那么a 的取值范围是( )A. 01<≤-aB. a ＞ -1C. -1＜a ＜0D. a ≤ -1 6、假设函数|)196100|196100(2122+-++-=x x x x y那么当自变量x 取1 ,2 ,3 ,…… ,100这100个自然数时 ,函数值的和是 ( )A. 540B. 390C. 194D. 1977、函数|28|)(2x x x f --=和k kx y += (k 为常数 ) ,那么不管k 为何常数 ,这两个函数图象只有( )个交点 A. 1B. 2C. 3D. 48、二次函数762-+-=x x y ,当x 取值为2+≤≤t x t 时 ,2)3(2+--=t y 最大值 ,那么t 的取值范围是( )A. t =0B. 0≤t ≤3C. t ≥3D. 以上都不对9、两抛物线222b ax x y ++=和222b cx x y -+=与x 轴交于同一点 (非原点 ) ,且a 、b 、c 为正数 ,a ≠c ,那么以a 、b 、c 为边的三角形一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形10、当n =1 ,2 ,3 ,…… ,2003 ,2004时 ,二次函数1)12()(22++-+=x n x n n y 的图象与x 轴所截得的线段长度之和为( )A.20032002B.20042003C.20052004D.20062005二、填空图 61、二次函数c bx ax y ++=2图象如图6 -2所示 ,那么以下式子：ab ,ac ,a +b +c ,a -b +c ,2a +b ,2a -b 中 ,其值为正的式子共有＿＿个 . 2、函数213212+=x y 在b x a ≤≤<0时 ,有b y a 22≤≤ ,那么 (a ,b )＝＿＿＿ 3、假设第一象限内的整点 (a ,b )位于抛物线x x y 98192-=上 , 那么m +n 的最小值为＿＿＿＿＿ 4、如果当m 取不等于0和1的任意实数时 ,抛物线mm x m x m m y 3212--+-=在平面直角坐标系上都过两个定点 ,那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿5、抛物线1)1(2+++=x k x y 与x 轴两个交点A 、B 不全在原点的左侧 ,抛物线顶点为C ,要使△ABC 恰为等边三角形 ,那么k 的值为＿＿＿＿＿＿＿6、)21)(12()1()(2≠-+--=m m x m x x f 在x 轴上的两截距都大于2 ,那么函数值)241(--m m f 的符号为＿＿＿＿＿＿＿7、设x 为实数 ,那么函数12156322++++=x x x x y 的最小值是＿＿＿＿＿＿8、函数323232121121)(+-+-+++=x x x x x x f ,那么)999(...)12(...)3()1(f k f f f ++-++的值为＿＿＿＿＿＿＿＿9、函数6)(sin 4)(cos 2+-=x x y θθ对任意实数x 都有0>y ,且θ是三角形的内角 ,那么θ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题1、x ,y ,z 为三个非负有理数 ,且满足2523=-+=++z y x z y x ， ,假设z y x s -+=2 ,求s 的最大值与最小值的和 .2、设a 、b 、c 是三角形的三边长 ,二次函数)(2)(2b a cx x b a y --++=在21-=x 时 ,取得最小值2a- ,求这个三角形三个内角的度数 .3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图6 -3①判断a 、b 、c 及ac b 42-的符号 ②假设||||OB OA = ,求证01=++b ac图64、设二次函数q px x y ++=2 的图象经过点 (2 , -1 ) , 且与x 轴交于不同的两点 A (x 1 ,0 ) B(x 2 ,0 ) ,M 为二次函数图象的顶点 ,求使△AMB 面积最小时的二次函数的解析式 .5、二次函数22)1(6)83(4----=k x k x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点 (A 在B 左边 ) ,且点A 、B 到原点距离之比为3∶2 . ①求k 值 .②假设点P 在y 轴上 ,∠PAB ＝α ,∠PBA ＝β .求证：α＜β初中数学竞赛专项训练 (7 )(逻辑推理 )一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛 ,每个小组4个队进行单循环比赛 ,每场比赛胜队得3分 ,败队得0分 ,平局时两队各得1分 ,小组赛完以后 ,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛 ,如果总积分相同 ,还要按净胜球排序 ,一个队要保证出线 ,这个队至少要积 ( ) A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分2、甲、乙、丙三人比赛象棋 ,每局比赛后 ,假设是和棋 ,那么这两个人继续比赛 ,直到分出胜负 ,负者退下 ,由另一个与胜者比赛 ,比赛假设干局后 ,甲胜4局 ,负2局；乙胜3局 ,负3局 ,如果丙负3局 ,那么丙胜 ( ) A. 0局 B. 1局 C. 2局 D. 3局3、四边形ABCD 从以下条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ,任取其中两个 ,可以得出 "四边形ABCD 是平行四边形〞这一结论的情况有 ( ) A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人 ,一起在台阶上拍毕业照留念 ,摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵 (排数≥3 ) ,且要求各行的人数必须是连续的自然数 ,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处 ,那么满足上述要求的排法的方案有 ( ) A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种5、正整数n 小于100 ,并且满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632 ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数 ,这样的正整数n 有 ( )个 A. 2 B. 3 C. 12 D. 16 6、周末晚会上 ,师生共有20人参加跳舞 ,其中方老师和7个学生跳舞 ,张老师和8个学生跳舞……依次下去 ,一直到何老师 ,他和参加跳舞的所有学生跳过舞 ,这个晚会上参加跳舞的学生人数是 ( ) A. 15 B. 14 C. 13 D. 127、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成 ,每两个相邻展室 (指有公共边的小三角形 )都有门相通 ,假设某参观者不愿返回已参观过的展室 (通过每个房间至少一次 ) ,那么他至多能参观 ( )个展室 . A. 23 B. 22 C. 21 D. 208、一副扑克牌有4种花色 ,每种花色有13张 ,从中任意抽牌 ,最小要抽 ( )张才能保证有4张牌是同一花色的 . A. 12 B. 13 C. 14 D. 15二、填空题：1、观察以以下图形：① ②③④根据①②③的规律,图④中三角形个数＿＿＿＿＿＿2、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是：第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花花色的牌又按A ,1 ,2 ,3 ,……J ,Q ,K的顺序排列,某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,……如此下去,直到最后只剩下一张牌,那么所剩的这张牌是＿＿＿＿＿＿3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字一共可组成＿＿＿＿＿个能被5整除的三位数4、将7个小球分别放入3个盒子里,允许有的盒子空着不放,试问有＿＿＿＿种不同放法.5、有1997个负号"－〞排成一行,甲乙轮流改"－〞为正号"＋〞,每次只准画一个或相邻的两个"－〞为"＋〞,先画完"－〞使对方无法再画为胜,现规定甲先画,那么其必胜的策略是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、有100个人,其中至少有1人说假话,又知这100人里任意2人总有个说真话,那么说真话的有＿＿＿＿＿人.三、解答题1、今有长度分别为1、2、3、……、9的线段各一条,可用多少种不同的方法从中选用假设干条组成正方形?2、某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,证明至少有5人植树的株数相同.3、袋中装有2002个弹子,张伟和王华轮流每次可取1 ,2或3个,规定谁能最后取完弹子谁就获胜,现由王华先取,问哪个获胜?他该怎样玩这场游戏?4、有17个科学家,他们中的每一个都和其他的科学家通信,在他们的通信中仅仅讨论三个问题,每一对科学家互相通信时,仅仅讨论同一个问题.证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信.初中数学竞赛专项训练 (8 )(命题及三角形边角不等关系 )一、选择题： 1、如图8 -1 ,AB ＝10 ,P 是线段AB 上任意一点 ,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作两个等边三角形APC 和BPD ,那么线段CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4B. 5C. 6D. )15(5-2、如图8 -2 ,四边形ABCD 中∠A ＝60° ,∠B ＝∠D ＝90° ,AD ＝8 ,AB ＝7 , 那么BC ＋CD 等于 ( ) A. 36B. 53C. 43D. 333、如图8 -3 ,在梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,AD ＝3 ,BC ＝9 ,AB ＝6 ,CD ＝4 ,假设EF ∥BC ,且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等 ,那么EF 的长为 ( ) A. 745 B. 533 C. 539 D. 2154、△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A +B ,β＝C +A ,γ＝C +B ,那么α、β、γ中 ,锐角的个数最多为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 05、如图8 -4 ,矩形ABCD 的长AD ＝9cm ,宽AB ＝3cm ,将其折叠 ,使点D 与点B 重合 ,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 ( )A. 4cm cm 10B. 5cm cm 10C. 4cm cm 32D. 5cm cm 326、一个三角形的三边长分别为a ,a ,b ,另一个三角形的三边长分别为a ,b ,b ,其中a>b ,假设两个三角形的最小内角相等 ,那么b a的值等于 ( )A.213+ B.215+ C. 223+ D. 225+ 7、在凸10边形的所有内角中 ,锐角的个数最多是( )A. 0B. 1C. 3D. 58、假设函数)0(>=k kx y 与函数xy 1=的图象相交于A ,C 两点 ,AB 垂直x 轴于B ,那么△ABC 的面积为( )A. 1B. 2C. kD. k 2二、填空题1、假设四边形的一组对边中点的连线的长为d ,另一组对边的长分别为a ,b ,那么d 与2ba +的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿60°A B CD A B CD P图8 图8图8 图82、如图8 -5 ,AA ′、BB ′分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线 ,假设AA ′＝BB ′＝AB ,那么∠BAC 的度数为＿＿＿3、五条线段长度分别是3、5、7、9、11 ,将其中不同的三个数组成三数组 ,比方 (3、5、7 )、 (5、9、11 )……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿4、如图8 -6 ,P 是矩形ABCD 内一点 ,假设PA ＝3 ,PB ＝4 ,PC ＝5 ,那么PD ＝＿＿＿＿＿＿＿5、如图8 -7 ,甲楼楼高16米 ,乙楼座落在甲楼的正北面 ,当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30° ,此时求①如果两楼相距20米 ,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上 ,那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米 .6、如图8 -8 ,在△ABC 中 ,∠ABC ＝60° ,点P 是△ABC 内的一点 ,使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ,且PA ＝8 ,PC ＝6 ,那么PB ＝＿＿图8图8-7图8BC′ 图8A ′三、解答题1、如图8 -9 ,AD 是△ABC 中BC 边上的中线 ,求证：AD ＜21(AB +AC )2、一个三角形的周长为P ,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?BD图8 -93、如图8 -10 ,在Rt △ABC 中 ,∠ACB ＝90° ,CD 是角平分线 ,DE ∥BC 交AC 于点E ,DF ∥AC 交BC 于点F .求证：①四边形CEDF 是正方形 .②CD 2＝2AE ·BF4、从1、2、3、4……、2004中任选k 个数 ,使所选的k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数 (这里要求三角形三边长互不相等 ) ,试问满足条件的k 的最小值是多少 ?A CB 图8-10初中数学竞赛专项训练 (9 )(面积及等积变换 )一、选择题：1、如图9 -1 ,在梯形ABCD 中 ,AB ∥CD ,AC 与BD 交于O ,点P 在AB 的延长线上 ,且BP ＝CD ,那么图形中面积相等的三角形有 ( ) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对2、如图9 -2 ,点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点 ,连AF 、CE ,设AF 、CE 交于点G ,那么ABCDAGCD S S 矩形四边形等于 ( )A. 65B. 54C. 43D. 323、设△ABC 的面积为1 ,D 是边AB 上一点 ,且AB AD ＝31,假设在边AC 上取一点E ,使四边形DECB 的面积为43 ,那么EA CE 的值为 ( )A. 21B. 31C.41D.51 4、如图9 -3 ,在△ABC 中 ,∠ACB ＝90° ,分别以AC 、AB 为边 ,在△ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ,作CK ⊥AB ,分别交AB 和GH 于D 和K ,那么正方形ACEF 的面积S 1与矩形AGKD 的面积S 2的大小关系是( ) A. S 1＝S 2 B. S 1＞S 2C. S 1＜S 2 D. 不能确定 ,与ABAC 的大小有关 5、如图9 -4 ,四边形ABCD 中 ,∠A ＝60° ,∠B ＝∠D ＝90° ,AD ＝8 ,AB ＝7 ,那么BC +CD 等于 ( ) A. 36B. 53C. 43D. 336、如图9 -5 ,假设将左边正方形剪成四块 ,恰能拼成右边的矩形 ,设a ＝1 ,那么正方形的面积为 ( ) A.2537+ B. 253+ C.215+ D. 2)21(+7、如图9 -6 ,矩形ABCD 中 ,AB ＝a ,BC ＝b ,M 是BC 的中点 ,DE ⊥AM ,E 为垂足 ,那么DE ＝ ( ) A.2242b a ab + B.224b a ab +图9F图9图9 A BCD图9图9CD图9C.2242ba ab + D.224ba ab +8、O 为△ABC 内一点 ,AO 、BO 、CO 及其延长线把△ABC 分成六个小三角形 ,它们的面积如图9 -7所示 ,那么S △ABC ＝ ( ) A. 292 B. 315C. 322D. 357 二、填空题1、如图9 -8 ,梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ,高为h ,那么图中阴影局部的面积为＿＿＿2、如图9 -9 ,假设等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等于15cm ,那么这个等腰三角形的面积等于＿＿＿＿3、如图9 -10 ,在△ABC 中 ,CE ∶EB ＝1∶2 ,DE ∥AC ,假设△ABC 的面积为S ,那么△ADE 的面积为＿＿＿＿＿4、如图9 -11 ,D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点 ,且BD ＝ 4 ,DC ＝1 ,AE ＝5 ,EC ＝2 .连结AD 和BE ,它们相交于点P ,过点P 分别作PQ ∥CA ,PR ∥CB ,它们分别与边AB 交于点Q 、R ,那么△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为＿＿＿＿＿5、如图9 -12 ,梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,AD ∶BC ＝2∶5 ,AF ∶FD ＝1∶1 ,BE ∶EC ＝2∶3 ,EF 、CD 延长线交于G ,用最简单的整数比来表示 ,S △GFD ∶S △FED ∶S △DEC ＝＿＿＿＿＿6、如图9 -13 ,P 是矩形ABCD 内一点 ,假设PA ＝3 ,PB ＝4 ,PC ＝5 ,那么PD ＝＿＿＿＿三、解答题1、如图9 -14 ,在矩形ABCD 中 ,E 是BC 上的点 ,F 是CD 上的点 ,S △ABE ＝S △ADF ＝31S 矩形ABCD . 求：CEFAEFS S ∆∆的值 .图9 图9 A E DCFB 图9图9图9图9图9FCE 图92、一条直线截△ABC 的边BC 、CA 、AB (或它们的延长线 )于点D 、E 、F .求证：1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD图93、如图9ABCD 中 ,P 1、P 2、P 3……P n -1是BD 的n 等分点 ,连结AP 2 ,并延长交BC 于点E ,连结AP n-2并延长交CD 于点F . ①求证：EF ∥BD ②设的面积是S ,假设S △AEF ＝83S ,求n 的值4、如图9 -17 ,△ABC 是等腰三角形 ,∠C ＝90° ,O 是△ABC 内一点 ,点O 到△ABC 各边的距离等于1 ,将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°得到△A 1B 1C 1 ,两三角形的公共局部为多边形KLMNPQ . ①证明：△AKL ,△BMN ,△CPQ 都是等腰直角三角形 .②求证：△ABC 与△A 1B 1C 1公共局部的面积 .DB E图9 图9A 1初中数学竞赛专项训练 (10 )(三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖 )一、填空题： 1、G 是△ABC 的重心 ,连结AG 并延长交边BC 于D ,假设△ABC 的面积为6cm 2 , 那么△BGD 的面积为( )A. 2cm 2B. 3 cm 2C. 1 cm 2D. 23cm 22、如图10 -1 ,在Rt △ABC 中 ,∠C ＝90° ,∠A ＝30° ,∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点 ,那么∠AEB 是 ( )A. 50°B. 45°C. 40°D. 35° 3、在△ABC 中 ,∠ACB ＝90° ,∠A ＝20° ,如图10 -2 ,将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到∠A ,C ,B ,的位置 ,其中A ,、B ,分别是A 、B 的对应点 ,B 在A ,B ,上 ,CA ,交AB 于D ,那么∠BDC 的度数为( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°4、设G 是△ABC 的垂心 ,且AG ＝6 ,BG ＝8 ,CG ＝10 ,那么三角形的面积为 ( ) A. 58 B. 66 C. 72 D. 845、如图10 -3 ,有一块矩形纸片ABCD ,AB ＝8 ,AD ＝6 ,将纸片折叠 ,使AD 边落在AB 边上 ,折痕为AE ,再将△AED 沿DE 向右翻折 ,AE 与BC 的交点为F ,△CEF 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 86、在△ABC 中 ,∠A ＝45° ,BC ＝a ,高BE 、CF 交于点H ,那么AH ＝ ( )A.a 21 B. a 22C. aD. a 2 7、点I 是锐角三角形ABC 的内心 ,A 1、B 1、C 1分别是点I 关于BC 、CA 、AB 的对称点 ,假设点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上 ,那么∠ABC 等于 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°8、AD 、BE 、CF 是锐角△ABC 三条高线 ,垂心为H ,那么其图中直角三角形的个数是 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题1、如图10 -4 ,I 是△ABC 的内心 ,∠A ＝40° ,那么∠CIB ＝＿＿2、在凸四边形ABCD 中 ,AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1 ,且∠ABC ＝90° ,那么∠DAB 的度数是＿＿＿＿＿3、如图10 -5 ,在矩形ABCD 中 ,AB ＝5 ,BC ＝12 ,将矩形ABCD 沿对角图10B图10D A EB C A D E B C F图10 图10A BC D。

数学竞赛专项训练（1）实数参考答案 一、选择题1、解：设与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是x ，则1+=a x ，所以12)1(2++=+=a a a x应选D613813)13)(13(133*312*2)]2*2(*3[12*2)]2(*3[22*=+-=+--+=+-=+-=+-= 、解：原式 应选D 3、2004＝n －0y ，n 是奇数，0y 必是奇数，又110x =m －280y ，m 和280y 均为偶数，所以110x 是偶数，0x 应为偶数。

故选C4、解：－ab ·ac ·bd ·cd ＝－a 2b 2c 2d 2＜0，所以这四个数中应一正三负或一负三正。

应选D 5、解：由02003200320032003=-+--+xy y x x y y x 可得 020030)2003)(2003(>++=++-y x y x xy 而所以是质数，因此必有　又因为 故2003200302003==-xy xy⎩⎨⎧== 20031y x ⎩⎨⎧==12003y x 应选B6、解：因q p 352+为奇数，故p 、q 必一奇一偶，而p 、q 均为质数，故p 、q 中有一个为2，若55322==p q 不合题意舍去。

若p ＝2，则q ＝3，此时p ＋3＝5，1-p+q=12，2p+q-4=13，因为52+122=132，所以5、12、13为边长的三角形为直角三角形。

故选B7、解：依题意设六位数为abcabc ，则ab c a b c ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。