2019年高考数学一轮复习重点强化训练1函数的图像与性质文北师大版

重点强化课(一) 函数的图像与性质(对应学生用书第26页)[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图像的应用已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 A [画出函数f (x )的图像，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12； 当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34， 故有13≤x ≤34. 因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.] [母题探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图像(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[母题探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k |x |的图像恰有两个交点，借助函数图像(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解．图1[对点训练] 已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________. 【导学号：00090046】(－1,0)∪(1，2] [由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x ，在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]重点2 函数性质的综合应用角度1 单调性与奇偶性结合(1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg xC ．y ＝|x |－1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x | (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ (1)C (2)C [(1)函数y ＝1x是奇函数，排除A ；函数y ＝lg x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除B ；当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，排除D ；函数y ＝|x |－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C ．(2)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.] 角度2 奇偶性与周期性结合若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )【导学号：00090047】A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．][规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．。

学 习 资 料 汇编重点强化课(一) 函数的图像与性质[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图像的应用已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34A [画出函数f (x )的图像，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.] [迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图像(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1. 12分[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k |x |的图像恰有两个交点，借助函数图像(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2. 12分[规律方法] 1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解．[对点训练1] 已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．图1(－1,0)∪(1，2] [由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x ，在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]重点2 函数性质的综合应用☞角度1 单调性与奇偶性结合(1)(2017·南昌二模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)＜f (log 25) B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 25)＜f (log 53) C ．f (log 53)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 25) D ．f (log 25)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)(2)(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ (1)D (2)C [(1)因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35)，而log 53＜log 35＜log 25，则根据f (x )在[0，＋∞)上是递减函数，得f (log 53)＞f (log 35)＞f (log 25)，即f (log 25)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)，故选D.(2)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f (x )＝a sin2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.－3 [令g (x )＝a sin2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．重点3 函数图像与性质的综合应用(1)(2017·郑州二检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f(x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482084】A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)(1)D (2)C [(1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0的图像如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图像与函数f (x )＝x ＋a 的图像有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] (2017·云南二次统一检测)已知f (x )的定义域为实数集R ，任意x ∈R ，f (3＋2x )＝f (7－2x )，若f (x )＝0恰有n 个不同实数根，且这n 个不同实数根之和等于75，则n ＝________.15 [由f (3＋2x )＝f (7－2x )得函数f (x )的图像关于直线x ＝5对称，则f (x )＝0的n 个实根的和为5n ＝75，解得n ＝15.]敬请批评指正。

第七节 函数的图像[考纲传真] (教师用书独具)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第24页)[基础知识填充]1．利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．2．利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图像――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图像； ②y ＝f (x )的图像―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像； ③y ＝f (x )的图像―――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图像y ＝f (ax )的图像；②y ＝f (x )的图像――――――――――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图像．(4)翻转变换①y＝f(x)的图像―――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝|f(x)|的图像；②y＝f(x)的图像――――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图像．[知识拓展]函数对称的重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称．(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．其中(1)(2)为两函数间的对称，(3)为函数自身的对称．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．()(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝1x－x的图像关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C[∵f(x)＝1x－x是奇函数，∴图像关于原点对称．]3．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C ．e －x ＋1D ．e －x －1D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.] 4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋ln x ，x ≥1，x 3，x ＜1，则f (x )的图像为( )A [由题意知函数f (x )在R 上是增函数，当x ＝1时，f (x )＝1，当x ＝0时，f (x )＝0，故选A ．]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图像，如图所示．由图像知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．](对应学生用书第25页)作函数的图像作出下列函数的图像： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图像中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像，如图(1)实线部分．(1) (2)(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图(2)． (3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图像可由y ＝1x 图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)．(3) (4)(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图(4)． [规律方法] 函数图像的常用画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图像.(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像.(3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图像变换作出.易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.[跟踪训练]作出下列函数的图像：(1)y＝e ln x；(2)y＝log2|x－1|.【导学号：79140055】[解](1)因为函数的定义域为{x|x＞0}，且y＝e ln x＝x，所以其图像如图所示．(2)作y＝log2|x|的图像，再将图像向右平移一个单位，如图，即得到y＝log2|x－1|的图像．识图与辨图(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图像大致为()(2)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图像如图2-7-1所示，则下列结论成立的是()图2-7-1A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0(1)D (2)C [(1)当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx 2→＋∞，故排除选项B ．当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx 2＞0，故排除选项A ，C ． 故选D ．(2)函数定义域为{x |x ≠－c }， 结合图像知－c ＞0，∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图像知f (0)＞0，∴b ＞0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图像知－ba ＞0，∴a ＜0. 故选C ．][规律方法] 已知函数解析式选图，从函数的下列性质考虑(2)(2017·北京海淀区期末)函数y＝f(x)的图像如图2-7-2所示，则f(x)的解析式可以为()图2-7-2A．f(x)＝1x－x2B．f(x)＝1x－x3C．f(x)＝1x－exD．f(x)＝1x－ln x(1)D(2)C[(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，∴f(x)的图像关于y 轴对称，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B．设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D．(2)由函数图像知，函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，A中，∵f(－1)＝－2，f (－2)＝－92＜f (－1)，不满足题意；B 中，f (－1)＝0，不满足题意；C 中，易知函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；D 中函数的定义域为(0，＋∞)，不满足题意，故选C ．]函数图像的应用◎角度1 研究函数的性质已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]◎角度2 求参数的值或取值范围已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．(1,2)D ．(2，＋∞)B [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x ＜2.如图，作出f (x )的图像，其中A (2,1)，则k OA ＝12.要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个交点，由图可知，12＜k ＜1.] ◎角度3 求不等式的解集(1)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )【导学号：79140056】A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(1)D (2)B [(1)因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x ＜0可化为f (x )x ＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图像如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.][规律方法] 函数图像应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值. ②从图像的对称性，分析函数的奇偶性.③从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性. ④从图像与x 轴的交点情况，分析函数的零点等.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.2＋1)的解集是( )图2-7-3A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}(2)(2017·武汉六中模拟)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．(1)C(2)[－1，＋∞)[(1)作出函数y＝log2(x＋1)的图像，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图像的交点为D(1,1)，由图像可知f(x)≥log2(x ＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}，故选C．(2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.]。

§2.1函数及其表示1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图像上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域 典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. ∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．(2)(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是______________． 答案 {x |－4≤x ≤2}解析 当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x＝122－.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x －＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图像可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图像，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D. 4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图像是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图像，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127D.1243解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝f (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图像可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________．答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3， 解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3， 解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。

第三节 三角函数的图像与性质[考纲传真] (教师用书独具)1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(对应学生用书第51页)[基础知识填充]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质[(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 2．f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． (1)f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z .(2)f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．π2C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C ．] 3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C ．]5．(教材改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．－22 [由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.](对应学生用书第52页)(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．(1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x。