同济大学《高等数学》7.4节 空间曲线及其方程

点 M 是否在曲线 C 上。 因为点 M( x ,y ,z )的坐标满足方程 F( x ,y ,z )= 0， 故点 M 在曲面 1 上，又点 M( x ,y ,z )的坐标满足方程 G( x ,y ,z )= 0，故点 M 在曲面 2 上。于是可知点 M 在
曲面 1 , 2 的交线 C 上。
由于消元法不会改变方程组的解，为求曲线 C 向坐
标面的投影柱面只需在曲线 C 的一般式方程中消去相 应的变量即可。
• 曲线 C 向 xOy 坐标面投影
F x, y, z 0 , C: G x, y, z 0 .
消去变量 z
得投影柱面

1 2
z
C
xy
2
yz : H2 y, z 0
H2 y, z 0 , C yz : x 0.

• 曲线 C 向 zOx 坐标面投影
F x, y, z 0 , C: G x, y, z 0 .

消去变量 y 得投影柱面 联立 y = 0 得投影曲线
zx : H3 x, z 0
接反映为其坐标 x ,y ,z 间的某个关系式，而是表现为与 运动过程相关的某个参数 t 的函数。 例如，运动过程中动点 M( x ,y ,z )的坐标总是时间 t 的函数。于是就有了所谓参数方程的概念。
参数方程的一般形式为 t , x C : y t , t z t .

z
含有缺变量 y 的柱面方程
x 2 + y 2 = a 2 ，因而它就是 曲线 C 向 xOz 平面投影的 投影柱面方程。直接写出 投影曲线方程有
x 2 y 2 a 2, C xy : z0.

单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.

投影曲线
面上的投影曲线 空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) = 0 z = 0
类似地： 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
xoz面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
R( y , z ) = 0 x = 0
交线如图. 交线如图
注2 联立任意两个给定的曲面方程, 它们可能不表示
任何空间曲线. 如
x 2 + y 2 + z 2 = 20 , z − 2 = 0.
表示平面 z = 2上,中心在(0,0,2), 半径为4的圆, 而
x 2 + y 2 + z 2 = 20 , z = 5.
L上. (1)叫空间曲线的一般方程 .Fra bibliotek(1)
反之 , 坐标满足 (1)的点,同时在两曲面上 , 即在交线
注 空间曲线 L可用不同形式的方程组 来表达 , 如 x = 0, oy轴的方程是 (4.1) z = 0.
x + z = 0, 因方程组 ( 4.1)与 x − z = 0.
x2 + y2 = 1 表示怎样的曲线？ 例 1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x + 3 y + 3z = 6
解 表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
1 （2）因为曲线在平面 z = 上， ） 2 面上的投影为线段. 所以在 xoz 面上的投影为线段

高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1

隐式方程
通过三个坐标分量之间的 隐式关系来表示空间曲线， 如F(x,y,z)=0，其中F为某 个三元函数。
参数方程
通过引入参数来表示空间 曲线上的点的坐标，如 x=x(t), y=y(t), z=z(t)， 其中t为参数，可以表示空 间曲线上的任意一点。
02 空间曲线的基本类型
一般空间曲线
01
参数方程形式
空间曲线与曲面的切线及法线
要点一
切线与法线的定义
空间曲线在一点处的切线是与该点处 曲线相切的直线，法线则是垂直于切 线的直线。对于曲面而言，切线是指 曲面上一点处与曲面相切的平面，法 线则是垂直于该切平面的直线。
要点二
切线与法线的性质
切线和法线在几何学和微积分学中具 有重要的应用，它们可以用于描述曲 线和曲面的局部性质，如斜率、曲率 等。
空间曲线的基本概念
空间曲线的定义
空间曲线可以看作是一维曲线在三维空间中的推广，由无数个点组成，且每个 点都有三个坐标分量。
空间曲线的分类
根据形状和性质，空间曲线可以分为多种类型，如平面曲线、直线、圆、螺旋 线等。
方程表示方法
01
02
03
显式方程
通过三个坐标分量之间的 显式关系来表示空间曲线， 如x=f(t), y=g(t), z=h(t)， 其中t为参数。
要点三
切线与法线的求解方 法
对于给定的曲线或曲面方程，可以通 过求导或微分的方法得到切线和法线 的方程。对于空间曲线而言，需要分 别求出曲线在参数变化方向上的切向 量和法向量；对于曲面而言，则需要 求出曲面在一点处的切平面和法线向 量。
06 案例分析与实践应用
案例分析：空间曲线在实际问题中的应用
曲线的弯曲程度

2 2 2
z
（3）同理在xOz面上的投影
也为线段.
1 z 2, y 0 | x | 3 2 ;
O
y
x
例4 求抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面 上的投影曲线方程. z
2 2
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
z: b 0 b 0 b ,
令 2 ,
h 2b
( t , b
z
x a cos t y a sin t z vt v

)
则上升的高度: 称为螺距.
h

x
o
z
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
2 2
例6 求上半球面 和锥面 所围的立体在 xoy 面上的投影. 解 所求投影是二曲面交线在xoy 面上的 投影曲线所围之域 . 二曲面交线
x o
z
C
1
y
在xoy 面上的投影曲线 所围区域为圆域:
x y 1, z 0.
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
( t为 参 数 )
当给定 t
( x 1 , y 1 , z 1 ),
t1
时,就得到曲线上的一个点
随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x y a 上以角速度 绕z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z轴上升，那么点M构成的图形叫做 螺旋线. 试建立其参数方程. z 取时间t为参数， 动点从A点出发, 解 经过t 时间，运动到M点. M 在 xoy 面的投影 M ( x , y , 0 )

思考与练习
P324 题 1，2，7（展示空间图形）
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答案: P324 题1
x 1
(1)
y2
z
z 4 x2 y2
(2)
yx0
z
oo
2y
1
x
o
2y
x
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(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z a oa
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
M o
x y
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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例2. 求空间曲线 : 时的旋转曲面方程 .
解:
转过角度 后到点
绕 z 轴旋转
点 M1绕 z 轴旋转, 则
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
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例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
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z
3 a 2
a
0
a
3 a 2
y
.
3 a 2
a
x
30. 作图练习 3 平面 x = a , y = a , z = a , x + y + z = a 在第一卦限所围立体图 2 问题： 问题： 这是个怎样的立体？ 这是个怎样的立体？
z
3 a 2
这是个七面体
a x=0
y=0
0
z=0
.
a
3 a 2
y
3 a 2
曲 面
例6 设一个立体 ,由上半球面 z = 4 − x 2 − y 2
和 z = 3( x 2 + y 2 )锥面所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 .
解
半球面和锥面的交线为
z = 4 − x2 − y2 , C : z = 3( x 2 + y 2 ) ,
消去 z 得投影柱面 x 2 + y 2 = 1,
z
S1 S2
o
x
C
y
x2 + y2 = 1 表示怎样的曲线？ 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x + 3 y + 3z = 6
解 表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
a
x
谢 谢 使 用
返 回 首 页
.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线的一般方程、参数方程．
F( x, y, z) = 0 G( x, y, z) = 0

空间曲线在其他领域的应用前景
建筑设计：空间曲线在建筑 造型、结构设计等领域有应 用
机械设计：空间曲线在机械 零件设计、机器人运动规划 等领域有应用
计算机图形学：空间曲线在 3D建模、动画制作等领域 有广泛应用
生物医学：空间曲线在生物 组织建模、医学图像处理等
领域有应用
航空航天：空间曲线在航天 器设计、飞行器轨迹规划等
掌握空间曲线的技巧和注意事项
理解概念：掌握空间曲线的定义、性质和特点 动手实践：通过绘制空间曲线，加深理解和记忆 学习工具：掌握使用绘图软件绘制空间曲线的方法 注意事项：注意空间曲线的连续性和光滑性，避免出现错误和遗漏
如何将空间曲线应用于实际问题和科学研究中
理解空间曲线的基本概念和性质
掌握空间曲线的表示方法和计算方 法
学习空间曲线的意义和方法
空间曲线是数学中 的重要概念，掌握 它可以帮助我们更 好地理解和解决实 际问题。
学习空间曲线的方 法包括：理解概念、 掌握公式、多做练 习、总结规律等。
空间曲线的学习可 以帮助我们提高空 间思维能力和解决 问题的能力。
学习空间曲线还可 以帮助我们更好地 理解和掌握其他数 学知识，如微积分 、线性代数等。
理模拟等
空间曲线是理 解高等数学中 微积分、向量 分析等概念的
重要途径
空间曲线是研 究空间几何、 拓扑学等数学 分支的重要基
础
空间曲线在解决实际问题中的应用
空间曲线在工程设计中的应用： 如建筑、机械、电子等领域
空间曲线在科学研究中的应用： 如物理、化学、生物等领域
空间曲线在艺术创作中的应用： 如绘画、雕塑、音乐等领域
感谢观看
汇报人：
空间曲线在几何学中的应用
空间曲线是三 维空间中的曲 线，可以用参 数方程或向量

点 M 满足的方程。
由条件有 M0M n M0M n 0 .
z
M0
O
n
M

y
x
由于 n A , B , C 0, M0M x x0 , y y 0 , z z0 ,
2
故给定几何条件 AM BM AM 转化为代数条件
2 2 2 2
2
BM
2
( x - 1 ) +( y - 2 ) +( z - 3 ) =( x - 2 ) +( y + 2 ) +( z - 4 ) , 化简便得所求平面方程
2
2
：2 x - 6 y + 2 z - 7 = 0 .
(2) 已知方程求轨迹
z
现变量 z，由柱面性质的
讨论知，平面平行于 z 轴。
O
y
x
• 若 A,B,C 有两个为零，则平面平行于某坐标面 例如，若 A = B = 0 ，则平面方程化为 z Cz+D = 0 . 此时平面方程中既不 出现 x，又不出现 y，故
平面既平行于 x 轴，又平
行于 y 轴。因而平面平行
O
y
于 xOy 坐标面。
的一组比值。确定坐标的一 组比值只需两个条件，而确 定向量的坐标需要三个条件。
设平面 过已知点 M0( x 0,y0,z 0 )，其法向量为 n A, B , C 0 , 求平面 的方程。
• 平面 上的点所满足的方程 设 M( x,y,z )为
上任意一点，考虑
综上讨论，求得平面 的方程为
A x x0 B y y 0 C z z0 0

设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆

x
2
a2
柱面
例3
以曲
线

x a
2 2

z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2

z2 c2
1，
即
x2 a2

y2 a2

z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线

x2 a2

z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面

解
由
z z

2 x2
x2 y2

y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .

.
z 0
.
o
.
x
y
z =0
2
9
例如,
C
:

x
2

x2 (y
y2 1) 2
空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线投影柱面的交消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线4x消去z空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线3x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习所围立体图作出曲面所围立体图作出曲面学画草图学画草图所围立体图作出曲面备用题求曲线轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
1
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.

xO y面 例 如 ， 母 线 与z 轴 平 行 ， 准 线 为 上 的 圆 周 x2 y2 a2的 圆 柱 面 （ 图7 -2 5 ） 的 方 程 为 x2 y2 a2 2 zO x z x 1的 母 线 与y 轴 平 行 ， 准 线 是 面 的 抛 物 线 抛 物 柱 面 （ 图7 -2 6 ） 的 方 程 为 z x2 1
z
z O 图7-26
x
O a
图7-25
y
y
xห้องสมุดไป่ตู้
3． 旋转面 一条曲线 C 绕一定直线 l 旋转所形成的 曲 面 称 为 旋 转 曲 面 .曲 线 C 叫 做 旋 转 曲 面 的 母 线 ， 定 直 线 l 叫做旋转曲面的轴（简称旋转轴）. 现 在 讨 论 旋 转 轴 为 z 轴 ， 母 线 是 yO z 面 上 的 曲 线 C ： f ( y, z) 0 的旋转曲面 S 的方程. x 0 设 M ( x, y, z) 是 曲 面 S 上 任 意 一 点 ， 它 是 由 曲 线 C 上 M1 的坐标有 一 点 M 1 (0 , y 1 , z 1 ) 旋 转 而 成 的 （ 图 7 -2 7 ） . M 和 如下关系
例 3 求xOy 面上的抛物线x 2 ay 2 (a 0) 绕 x 轴旋转 所形成的旋转抛物面（图 7-29）的方程. 解 旋转抛物面的方程为 x a( y 2 z 2 ) . 例 4 求 yOz 面上的直线 z ky (k 0) 绕 z 轴旋转所形 成的圆锥面（图 7-30）的方程. 解 圆锥面的方程为 z z k x2 y 2 ， 2 2 2 2 z k ( x y ). 即 z y
x 2 y 2 y1 2 z z1 y1 , z1 而 满 足 方 程 f ( y, z) 0 ，

xyz1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：旋转曲面方程为 zx2 y2,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
xyx2y21
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
xyx2 y2 1 z 0
例2
方程组 ( x

a )2 2

y2

a2 4
表示怎样的曲线？
z
解 z a2x2y2
上半球面,
(xa)2y2 a2
2
4
圆柱面,
交线如图.
o ay
x
二、空间曲线的参数方程
x x(t)

y

y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当给定t t1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全
解 半球面和锥面的交线为
C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2柱 y2 面 1,
则交C线在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在上的投影为
x2y21.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
2, 上升的高度 h2b螺距
例4. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2

y2
1
2x 3z 6
(2)zx2 ay22xa2xy02
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
ysint
(0t2)
z1 3(62cot)s