. 空间曲线及其方程()投影曲线.

第八章 空间解析几何与向量代数第1次课 空间直角坐标系 向量及其线性运算1．在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点． 解：设所求点为(,0,0)x ，据题意知：22(3)149(7)2525x x --++=-++得2x =，于是所求点为(2,0,0)．2．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为12,D D ，再把各分点与点A 连接起来，试以,AB c BC a −−→→−−→→==表示向量−→−−→−A D A D 21,．解：113D A c a −−→=-- ，2D A −−→23c a =-- ．3．已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算向量123M M -的模、方向角．解：1236M M -= ,2,,343πππαβγ===．4．求平行于向量(3,2,1)a →=-的单位向量．解：0(aa→=5．已知||3a →=，其方向余弦31cos ,32cos ==βα，求向量a →的坐标表示式．解：设(,,)x y z a a a a →=，则2cos 3x aaα==，1cos 3y a a β== ，所以2x a =，1y a =. 又222cos cos cos 1αβγ++=，得24cos 9γ=，2cos 3γ=±． 2cos 3z a aγ==± ，所以2z a =±，于是，所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±．6．一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1，求该向量的起点A 的坐标.解：设起点A 的坐标为(,,)x y z ，则由24,14,71x y z -=--=--=可得(,,)(2,3,6)x y z =-．7．设32a i j k →→→→=--,2b i j k →→→→=+-，求(1)→→→→⨯⋅b a b a ,；(2) ,3)2(→→⋅-b a →→⨯b a 2；(3) ),cos(→∧→b a ；（4）b prj a →．解：（1）3,57a b a b i j k →→→→⋅=⨯=++ ；（2）(2)318a b →→-⋅=-，210214a b i j k →→⨯=++ ；（3）cos(,)14a ba b a b→→→∧→→→⋅==； （4）cos 14b prj a a ϕ→→===．8．已知)2,1,1(M 1-，)1,3,3(M 2，)3,1,3(M 3，求与−→−21M M 、−→−32M M 同时垂直的单位向量．解：设所求单位向量(,,)a x y z →=．12(2,4,1)M M −−→=-，23(0,2,2)M M −−→=-．1223M M M M ⨯241644022i j ki j k =-=---所求单位向量a →=12231223M M M M M M M M ⨯⨯=±． 9．已知(3,0,4),(5,2,14)OA OB =-=--，求AOB ∠平分线上的单位向量．解：AOB ∠平分线上的一个向量为011(3,0,4)(5,2,14)515OC OA OB =+=-+-- 2(2,1,1)15=-．所以，所求的AOB ∠平分线上的单位向量为OC OC= ． 10．若向量3a b + 垂直于75a b - ，4a b - 垂直于72a b - ，求a 和b之间的夹角．解：由题意知：(3)(75)0a b a b +⋅-= ，(4)(72)0a b a b -⋅-=22716150a a b b +⋅-= ，2273080a a b b -⋅+=整理得：24623a b b ⋅= ，22a b b ⋅= ，将22a b b ⋅= 代入22716150a a b b +⋅-= 得，a b = ，又22112cos(,)2b a b a b a b b→→→→∧→→→→⋅===故1(,)arccos23a b π→∧→==． 11．在Oxy 面上，求垂直于(5,3,4)a =-，并与a 等长的向量b ．解：设b (,,0)x y =，则b ===2250x y +=又由a b ⊥ ，可得 530x y -=．于是解方程组2250x y +=，530x y -=得1717x y ==或,1717x y =-=- 即b(,1717=或b(,0)1717=--． 12．求向量(3,12,4)a =- 在向量(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-上的投影．解：(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-102(6,2,3)134i j k=-=-．b prj a→(3,12,4)a b →→=⋅=-67=13．设向量4=α，3=β，6),(^πβα=，求以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积．解：以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积为22(2)(3)3()2()6S αβαβααββαβ=+⨯-=-⨯+⨯-^55s i n (,)543s i n6παβαβαβ=⨯=⋅⋅=⨯⨯30=提高题：设(2,1,2),(1,1,)a b z =--=，问z 为何值时^(,)a b 最小？并求出此最小值． 解：记^(,)a b ϕ=，则cos a ba bϕ→→→→⋅==所以，ϕ=d1d3zϕ==当4z<-时，dd zϕ<；当4z>-，dd zϕ<．所以，当4z=-时，^(,)a bϕ=有最小值，且min4πϕ==．第2次课平面及其方程空间直线及其方程1．求满足下列条件的平面方程：（1）过点1(1,2,0)M和2(2,1,1)M且垂直于平面П：1=-xy．解：所求平面的法向量()1,1,0(1,1,1)110111i j kn=-⨯-=--i j=+．所求平面方程为1(1)1(2)0x y⋅-+⋅-=，即30x y+-=．（2）过点(2,3,0)A -，(1,1,2)B -且与向量{4,5,1}a →=平行．解：所求平面的法向量()3,4,2(4,5,1)342451i j kn =-⨯=- 14531i j k =-++所求平面方程为14(2)5(3)310x y z -⋅++⋅-+=，即14531430x y z --+=（3）过(1,1,1),(2,2,2)A B ---和(1,1,2)C -．解：所求平面的法向量()3,3,3(0,2,3)333023i j kn =--⨯-=--- 396i j k =-++．所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0x y z -⋅-+⋅-++=，即320x y z -++=．2．求平行于平面6650x y z +++=，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面．解：设所求平面方程为1x y za b c++=．由题意知 116111/6/1/6abc t ab c ⎧=⎪⎪⎨⎪===⎪⎩得111,,66a b c t t t ===，将其代入116abc =，得16t =．所以 1,6,1a b c ===故所求平面方程为116x y z ++=． 3．一平面通过Oz轴与平面27x y +=的夹角为3π，试求此平面方程． 解：因为所求平面过Oz ，所以可设平面方程为0Ax By += （1） 则其法向量为(,,)A B O ．平面27x y +=的法向量为(2,1,．因为所求平面与已知平面的夹角为3π，所以cos 3π=223830A AB B +-= （2） 联立（1）、（2）解得 13A B =再由A B 、不同时为零，代入式(1)可得所求平面方程为 30x y +=或30x y -=．4．求与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行、且过原点的平面方程． 解：{}{}120,1,1,1,2,1s s ==由题意所求平面平行于两直线，则平面的法向量n与该两直线的方向向量垂直，即12011121i j kn s s i j k =⨯==-+-又平面过原点，所以所求平面方程为 即 0x y z -+=．5．求满足下列条件的直线方程：（1）过点(4,1,3)-且平行于直线31122-=-=-z y x ． 解：方向向量(2,1,3)s =- ，故所求直线方程为413213x y z -+-==-．（2）过点(5,2,3)-且垂直于平面132=+-z y x 的直线方程．解：方向向量(2,3,1)s = ，故所求直线方程为523213x y z --+==-．（3）过点(0,2,4)且与直线⎩⎨⎧=-=+2312z y z x 平行．解：12(1,0,2),(0,1,3)n n ==-．方向向量s = 12102(2,3,1)013i j kn n ⨯==--故所求直线方程为34221x y z --==-．6．试求直线21:24x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩的对称式方程和参数方程．解：直线L 的方向向量为{}11321112121--==⨯=,,kj i n n v 点（-2，0，3）在直线L 上，所求直线L 的对称式方程：13132--=-=+z y x7．求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面220x y z -+=的夹角．解：12(1,1,3),(1,1,1),(2,2,1)n n n ==--=-．方向向量s = 12113(2,4,2)111i j kn n ⨯==---．则sin s n s nϕ⨯==⋅故所求夹角为arcsin6． 8．求直线⎩⎨⎧=++-=--+0220532:z y x z y x l 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程．解：包含l 的平面束方程为235(22)0x y z x y z λ+--+-++=．(12)(2)(3)520x y z λλλλ++-+--+= 12(4,1,1),(12,2,3)n n λλλ=-=+--则124(12)(2)(3)1010n n λλλλ⋅=+--+-=-= ，得110λ=．故所求投影直线方程为12192948041x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩．提高题：1．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．第3次课 曲面及其方程 空间曲线及其方程1．建立以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程． 解：2222(1)(3)(2)x y z R -+-++= 因为过原点，得214R =．所求球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-++=．2．一动点与两定点)1,3,2(和)6,5,4(等距离，求该动点的轨迹方程． 解：设该点坐标为(,,)x y z ，则=所以该动点的轨迹方程为441063x y z ++=．3．求下列旋转曲面的方程：（1）xOy 面上的椭圆22221x y a b+=绕x 轴旋转所形成的旋转面的方程为（ 122222=++bz y a x ）．（2）zOx 面上的抛物线22x z =绕x 轴旋转的旋转抛物面方程是（ 222y z x += ）．（3）yOz 面上曲线22yz =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()z x y =+ ）． （4）xOy 面上曲线9422=+y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()94x z y ++= ）． 4．方程222y z x +=表示的二次曲面是（ 圆锥面 ）．5．方程221x y +=在空间所表示的图形是（ 圆柱面 ）． 6．方程22201x y x x z ⎧+-=⎨+=⎩代表的图形是（ 椭圆 ）．7．曲线22251x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎩⎨⎧==+0422z y x ）． 8．曲线222112x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x ）． 9．下列曲面是否是旋转曲面？若是，它是如何产生的？（1）z y x 422=+ （2）14425222=--z y x 解：（1）是，由xOz 面上曲线24x z =绕z 轴旋转而成，或yOz 面上曲线24y z =绕z 轴旋转而成． （2）是，由xOy 面上曲线221254x y -=绕x 轴旋转而成，或xOz 面上曲线221254x z -=绕x 轴旋转而成．10．画出下列曲面（或立体）的图形：（1）)(222y x z += （2）Rz z y x 2222=++（3）22y x z +=与222y x z --=所围的立体11．求以直线113:234x y z L ---==为中心轴，底半径为2的圆柱面方程． 解：圆柱面是到直线L 的距离为2的动点轨迹，设所求圆柱面上点的坐标为(,,)x y z ，由点到直线的距离公式知2=将上式两边平方，整理即得所求圆柱面方程为16(1)(3)12(1)(1)580x z x y --+--+=2．证明：直线0:x z l a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在曲面2222221x y z a b c +-=上． 证明：曲面2222221x y z a b c+-=是一个单叶双曲面，要证明直线l 在该曲面上，只需证明只需l 上的每一点都在该曲面上．直线l 的参数方程为:x at l y b z ct =⎧⎪=⎨⎪=-⎩将上式代入曲面方程，满足曲面2222221x y z a b c+-=方程，故直线l 在曲面上．13．求曲线222222:x y z l z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩，在xOy 平面上的投影曲线的方程． 解：在曲线l 方程中消去z ，即得曲线l 在xOy 平面上的投影柱面方程为22222()2x y x y +++=即 2222(2)(1)0x y x y +++-=因为2220x y ++≠，所以有2210x y +-=，故所求投影曲线方程为 2210x y z ⎧+=⎨=⎩提高题：1． 椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是经过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成． (1) 求1S 及2S 的方程；(2) 求1S 及2S 之间的立体体积．第4次课 第八章 总复习题1．设3,4a b == ，且a b ⊥ ，求()()a b a b +⨯- ．解：因为a b ⊥ ，^sin(,)sin 12a b π== 故^()()22sin(,)243124a b a b b a b a a b +⨯-=⨯==⨯⨯⨯=2．设(2,3,1),(1,2,5),,a b c a c b =-=-⊥⊥ ，且(27)10c i j k ⋅+-= ，求 c ．解：设(,,)c x y z = ，由,c a c b ⊥⊥ 有230250270x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，得65155,,12412x y z ===，所以65155(,,)12412c = ． 3．设()2a b c ⨯⋅= ，求[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ ．解：[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+()()a b b b a c b c c a =⨯+⨯+⨯+⨯⋅+()()a b a c b c c a =⨯+⨯+⨯⋅+()()()()()()a b c a c c b c c a b a a c a b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅2()a b c =⨯⋅4=4．直线过点(3,5,9)A --，且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩和247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程． 解：设所求直线方程3:59x lt L y mt z nt =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩因为直线L 与1L 和2L 相交，所以59359623mt lt nt lt +=-++⎧⎨-+=-+-⎩，即(3)92m l t n l-=-⎧⎨=⎩ 51247915510mt lt nt lt +=-+-⎧⎨-+=-++⎩即(4)24(5)4m l t n l t -=-⎧⎨-=⎩得2,22n l m l ==．令1l =，则2,22n m ==．故所求直线方程为3:52292x t L y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩．5．求过点(1,0,4)-，平行于平面340x y z -+=，且与直线132z x y +=-=相交的直线方程． 解：设所求直线方程为1,(,,)4x lt y mts l m n z nt =-+⎧⎪==⎨⎪=+⎩． 平面的法向量(3,4,1)n =- ，由于直线与平面平行，所以n s ⊥ ，即340l m n -+= 因为两直线相交，故有432nt lt mt +=-+=． ()3(2)4m l t l n t -=⎧⎨-=⎩，即43100m n l +-= 于是得419,728l n m n ==． 令28n =，得16,19l m ==．故所求直线方程为31619428x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=+⎩．6．求通过下列两平面1:220x y z ∏+--=和2:32210x y z ∏--+=的交线，且与平面3:32360x y z ∏++-=垂直的平面方程．解：设所求平面方程为(22)(3221)x y z x y z λμ+--+--+= 即 (23)(2)(2)(2)x y z λμλμλμλμ++-+--+-+= 由于该平面⊥平面2∏，所以它们的法向量一点互相垂直，于是3(23)2(2)3(2)0λμλμλμ++-+--=得50λμ-=．取1,5λμ==，代入(22)(3221)0x y z x y z λμ+--+--+=，得 所求平面方程为1791130x y z --+=．7．求与两平面632350x y z ---=和632630x y z ---=相切的球面方程，其中的一个切点为(5,1,1)--．解：由两平行平面的距离公式4d ==所以，球半径为2．求出另一个切点，过点作平面的法线方程561312x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩代入另一个平面方程，得47t =．从而得到球心坐标为471311(,,)777--．故所求球面方程为 222471311()()()4777x y z -++++= 8．求曲线22222(1)(1)z x y z x y ⎧=--⎪⎨=-+-⎪⎩在三个坐标面上的投影曲线的方程． 解：方程组消z ，得22x y x y +=+，故曲线在xOy 面上的投影为 2200x y x y z ⎧+--=⎨=⎩ 同理可得曲线在yOz 面上和xOz 面上的投影为222243200y z yz y z x ⎧++--+=⎨=⎩和222243200x z xz x z y ⎧++--+=⎨=⎩。

习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平面上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。

2.设已知两点1M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角。

3. 设向量r的模是4，它与u 轴的夹角是3π，求r在u 轴上的投影。

4. 设358m i j k =++，247n i j k =-- 和54p i j k =+- ，求向量43a m n p =+- 在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。

5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-方向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。

解 设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-，且AB a λ= ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-，34AB ==从而2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积 向量积1. 设32a i j k =--，2b i j k =+- ，求（1）a b 及a b ⨯ ；（2）(2)3a b - 及2a b ⨯；（3）a 、b 的夹角的余弦。

2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M 、23M M同时垂直的单位向量。

3.求向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b = 上的投影。

4. 已知3OA i k =+ 、3OB j k =+ ，求OAB ∆的面积。

5. 设()()3,5,2,2,1,4a b =-= ，问λ与μ有怎样的关系能使a b λμ+与z 轴垂直？解 ()32,5,24a b λμλμλμλμ+=++-+ ，在z 轴上取单位向量()0,0,1e =， 要使它与a b λμ+互相垂直，只须()0a b e λμ+⋅=，即()()()320502410,240,2λμλμλμλμλμ+⨯++⨯+-+⨯=∴-+==，即为所求λ与μ的关系习题8-3曲面及其方程1.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程。

第四讲Ⅰ 授课题目§7.4 空间曲线及其方程Ⅱ 教学目的与要求1、掌握空间曲线的一般方程及参数方程；2、掌握空间曲线在坐标面上的投影。

Ⅲ 教学重点与难点重点：空间曲线的一般方程及参数方程。

难点：空间曲线在坐标面上的投影。

Ⅳ 讲授内容：一、空间曲线的一般空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组. 因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.例1 方程组⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y 轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线.例2 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点)0 ,2(a , 半行为2a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.例2 方程组⎩⎨⎧=+---=222222)(4a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为2a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a , 0) , 半行为a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.二、空间曲线的参数方程空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3 如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2 上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中ω、v 都是常数), 那么点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解 取时间t 为参数. 设当t =0时, 动点位于x 轴上的一点A (a , 0, 0)处. 经过时间t , 动点由A 运动到M (x , y , z ) . 记M 在xOy 面上的投影为M ', M '的坐标为x , y ,0. 由于动点在圆柱面上以角速度ω 绕 z 轴旋转, 所以经过时间t ,∠AOM '= ω t . 从而x =|OM '|cos ∠AOM '=a cos ω t ,y =|OM '|sin ∠AOM '=a sin ω t ,由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以z =MM '=vt .因此螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vtz t a y t a x ωωsin cos ,也可以用其他变量作参数; 例如令θ=ω t , 则螺旋线的参数方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos , 其中ωv b =, 而参数为θ . *曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如⎪⎩⎪⎨⎧===),() ,() ,(t s z z t s y y t s x x .例如空间曲线Γ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ (α≤t ≤β),绕z 轴旋转, 所得旋转曲面的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin )]([)]([cos )]([)]([2222t z t t y t t x ωθψϕθψϕ (α≤t ≤β, 0≤θ≤2π). (4)这是因为, 固定一个t , 得Γ上一点M 1(ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )), 点M 1绕z 轴旋转, 得空间的一个圆, 该圆在平面z =ω(t )上, 其半径为点M 1到z 轴的距离22)]([)]([t t ψϕ+, 因此, 固定t 的方程(4)就是该圆的参数方程. 再令t 在[α, β]内变动, 方程(4)便是旋转曲面的方程.例如直线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y x 21绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=t z t y t x 2sin 1cos 122θθ.(上式消t 和θ, 得曲面的直角坐标方程为41222z y x +=+) 又如球面x 2+y 2+z 2=a 2可看成zOx 面上的半圆周⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕcos 0sin a z y a x (0≤ϕ≤π)绕z 轴旋转所得, 故球面方程为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin a z a y a x (0≤ϕ≤π, 0≤θ≤2π).三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影).设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 设方程组消去变量z 后所得的方程H (x , y )=0 ,这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面.这是因为: 一方面方程H (x , y )=0表示一个母线平行于z 轴的柱面, 另一方面方程H (x , y )=0是由方程组消去变量z 后所得的方程, 因此当x 、y 、z 满足方程组时, 前两个数x 、y 必定满足方程H (x , y )=0 , 这就说明曲线C 上的所有点都在方程H (x , y )=0所表示的曲面上, 即曲线C 在方程H (x , y )=0表示的柱面上. 所以方程H (x , y )=0表示的柱面就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面. 曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为:⎩⎨⎧==00),(z y x H . 讨论: 曲线C 关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C 在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么?例4 已知两球面的方程为x 2+y 2+z 2=1, (5)和x 2+(y -1)2+(z -1)2=1, (6)求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程.解 先将方程x 2+(y -1)2+(z -1)2=1化为x 2+y 2+z 2-2y -2z =1,然后与方程x 2+y 2+z 2=1相减得y +z =1.将 z =1-y 代入x 2+y 2+z 2=1 得x 2+2y 2-2y =0.这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程. 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==-+002222z y y x . 例5 求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成立体在xOy 面上的投影.解 由方程224y x z --=和)(322y x z +=消去z 得到x 2+y 2=1. 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面, 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+0122z y x . 这是xOy 面上的一个圆, 于是所求立体在xOy 面上的投影, 就是该圆在xOy 面上所围的部分:x 2+y 2≤1.Ⅴ 小结与提问小结：1、空间曲线的一般方程及参数方程。

第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算1.1向量概念及线性运算1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影例：(,,)OA x y z =，则，cos ||||x x OA r α==，cos ||||y y OA r β==，cos ||||z z OA r γ== 投影||cos ba a Prj ϕ=2.向量的数量积，向量积，混合积：||||cos a b a b θ⋅= ，||||||sin a b a b θ⨯=，xy z xyzi j ka b a a a b b b ⨯=()xy z xy z x yza a a abc b b b c c c ⨯⋅=3.平面 3.1 平面方程（1） 平面的点法式方程：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= （2） 平面的一般方程:0Ax By Cz D +++=（3） 平面的截距式方程:1x y za b c++= （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得）3.2两平面的夹角11111:0A x B y C z D ∏+++=22222:0A x B y C z D ∏+++=夹角余弦：cos θ=121212120A A B B C C ∏⊥∏⇐⇒++=11112222//A B C A B C ∏∏⇐⇒==4.空间直线4.1 空间直线的方程（1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式：000x x y y z z m n p---== （3）参数式：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩4.2空间直线的位置关系121212120L L m m n n p p ⊥⇐⇒++=；11112222//m n p L L m n p ⇐⇒==5.点线面距离：66设()()()000011112222,,,,,,,,M x y z M x y z M x y z === （1）两点间距离公式：12M M =（2）点线距离，直线过M1，方向向量为v ，|1|||MM v d v ⨯=（3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为1s ，2s， 则()1212|1||MM s s d s s ⋅⨯=⨯ 6.曲面及其方程6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线(,)0:0f x y L z =⎧⎨=⎩其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为:(,0f x =绕Y 轴旋转形成的旋转曲面方程为:()0f y =例：球面：2221x y z ++= 圆锥面：222x y z +=旋转双曲面：2222221x y z a a c+-=6.2柱面： 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面，这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. （曲面方程缺一个变量） 例：圆柱面：222x y R += 抛物柱面：22(0)x pyp =>椭圆柱面：22221x y a b+=6.3二次曲面（1）椭球面：2222221x y z a b c++=(2) 椭圆抛物面：（3）马鞍面：2222x y z p q-+=（4）单叶双曲面2222221x y z a b c +-=（5）双叶双曲面：2222221x y z a b c --=（6）双曲抛物面2222x y z a b-=（马鞍面）（7）椭圆锥面：22222x y z a b+=（z=xy 为马鞍面）7. 空间曲线方程,投影(1)空间曲线的一般方程:(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(2)空间曲线的参数方程:()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(3) 曲线在xoy 面上的投影曲线为:(,)0H x y z =⎧⎨=⎩练习题：1. 椭圆222210y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕oy 轴旋转而成的曲面方程为（ ）。