高等数学之空间曲线及其方程PPT课件

y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．
即 :0 0 , z:b0 b0 b,
2, 上升的高度 h2b螺距
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y,z) 0 y,z) 0
消去变量z后得： H (x,y)0
曲线关于xoy的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
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如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
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空间曲线在xoy面上的投影曲线
H(x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz面上的投影曲线, xo面z上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T(x, z) 0
x x(t)
y
y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当给定tt1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1)， 随着 参 数的 变化可 得到 曲 线上 的全
部 点.
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例3 如 果 空 间 一 点 M在 圆 柱 面 x2y2a2上 以
角 速 度 绕 z轴 旋 转 ， 同 时 又 以 线 速 度 v 沿 平 行 于 z 轴 的 正 方 向 上 升 （ 其 中 、 v 都 是 常 数 ） ， 那 么 点
z2
2yz0 .
x0
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补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
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例6 设一个 ,由 立上 体半z球4 面 x2y2 和z 3(x2y2)锥面所 ,求 围它 成 x在 oy 面上的 . 投影
解 半球面和锥面的交线为 C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2 柱 y2面 1,
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在
S2
C
o
y
曲线上，不在曲线上的点 x 不能同时满足两个方程.
1
x2 y2 1
例1 方程组
表示怎样的曲线？
2x3y3z 6
y
0
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x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x 2
y2
3 4,
z 0
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（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
所以在 xo面z 上的投影为线段.
z
1 2,
y 0
| x| 3; 2
（3）同理在 yoz面上的投影也为线段.
解 x2y2 1表示圆柱面， 2 x 3 y 3 z 6表示平面， x2 y2 1 2x3y3z 6
交线为椭圆.
2
z a2 x2 y2
例2
方程组 (
x
a)2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2x2y2
上半球面,
(xa)2y2a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
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二、空间曲线的参数方程
M构 成 的 图 形 叫 做 螺 旋 线 ． 试 建 立 其 参 数 方 程 ．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在 x面 o 的 投 y影 M (x ,y ,0 )
t
o
M
•
x A M y
xaco ts
yasi nt
zvt
螺旋线的参数方程
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螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
z
1 2,
x 0
| y| 3. 2
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例5 求抛物面y2z2 x与平面x2yz0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
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（1）消去 z得投影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
x2 y2 1
.
z 0
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则交C线在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
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四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
Hale Waihona Puke x x(t)yy(t)
z z ( t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H(x, y) 0 R( y, z) 0 T(x, z) 0
z 0
x
0
y
0
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思考题
求 椭 圆 抛 物 面 2y2x2z与 抛 物 柱 面 2x2z的 交 线 关 于 xo面 y的 投 影 柱 面 和 在 xo面 y上 的 投 影 曲 线 方 程 .
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思考题解答
2y2 x2 z
交线方程为
2
x2
z
,
消 去 z得 投 影 柱 面x2y2 1,
在 xoy面上的投影为