下载文档原格式
平行线分线段成比例一、知识要点1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或其延长线）所得对应线段的比相等.二、知识要点及典型例题精讲【知识要点1】——平行线分线段成比例定理若1l ∥2l ∥3l ，则;;AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF===. 例1 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3,则BF 等于 .【知识要点2】——平行线分线段成比例定理推论如果BC ∥DE ，则AD AE AB AC =;AD AE BD CE =;BD CE AB AC=. 例2 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC,若AD:AB=3：4 ，AE=6，则AC= .【随堂练习三】一、判断题1.三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）2.一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）3.如图1，321////l l l ，则BFAE DF CE BD AC ==（ ） 4.如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BCDE EC AE DB AD ==（ ） 二、选择题图1 图21.如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）A ．EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BCDE DB AD = 2.如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．123.如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．164.如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3图65.如图7，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） A. 0.5 B. 2 C.32 D. 23 三、填空题 1.如图8， 则 ＝________， ＝________；2.如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________.3.如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝ . EG ＝________；4.如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________； DB ＝________.21//l l DE AD AC AB 图7 E D C B A 图3 B AC F DE 图4 图5 图11 图10 图9 图8四、解答题1.如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ， 若AB=6cm ，求AP 的值.2.如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ，求证：OA ：AN=OB ：MB3.如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．4.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：AF ·BD ＝ AD ·FD5.已知直线l 截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点，且AD=BE.求证：EF ：FD=CA ：CB.OP NMC B A。
初二数学【教学进度】几何第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB= ， 可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC= ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD例3分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''////求证：CC B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。
定理定义三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB:BC=DE:EF;AB:AC=DE:DF;BC:AC=EF:DF。
也可以说AB:DE=BC:EF;AB:DE=AC:DF;BC:EF=AC:DF。
上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
定理证明设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得:AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF定理推论过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
•平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
•证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
第23课 平行线分线段成比例[考点透视]已知线段成比例，证明直线平行；已知直线平行，证明线段成比例；证明线段相等或等式成立；利用平行线分线段成比例定理.求某些线段的比值或值；分线段成已知比.[课前回顾]1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.2.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.3.三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. [课堂选例] 例1 如图，3:5:=DC BD ,E 为AD 的中点，求EF BE :的值.分析 设法在已知比例式DC BD :与未知比例式EF BE : A 之间架设桥梁， F 即添平行线 G E辅助线. B D C 解：过D 作DG ∥CA 交BF 于G.则35==DC BD GF BG E 为AD 中点，DG ∥AF. DGE ∆∴≌AFE ∆ EF EG =∴310352221=⨯===∴GF BG GF BG EF BG 3133310=+=+=+=EF EF BG EF GE BG EF BE 例2 如图，ABC ∆中，D 是AB 上一点，E 是ABC ∆内的一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P ，求证：BF ∥AE. F AD P EB C证明： ∵DE ∥BC PCPE PBPD =∴PB PE PC PD ⋅=⋅∴DF ∥AC PAPDPC PE =∴PA PF PC PD ⋅=⋅∴PA PF PB PE ⋅=⋅∴ PBPAPF PE =∴BF ∴∥AE 例3 已知：如图，AD 为△ABC 的中线，F为AB 上任一点，CF 交AD 于E ，求证：ECEF ABAF =. AF N FB D CM分析 由已知直接得不出结论，故构造平行线来证题.证法一：过F 作FN ∥BC 交AD 于N.BD FN AB AF =∴CEEFCD FN =又CD BD = ECEFAB AF =∴证法二：过B 作BM ∥FC 交AD 的延长线于M.BMEFAB AF =∴BD CD BM CE = BD CD = BM CE =∴ECEFAB AF =∴评注 此题过F 点还可以作AD 的平行线，过B 点还可以作AD 的平行线，过B 点作FC 的平行线等证法，请自己完成.例4 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 交BD 于点O ，MN 经过点O 且MN ∥AD ，分别交AB.CD 于M.N. 求证：（1）ON MO =；（2）MNBC AD 211=+A D M O NB C分析 （1）要证ON MO =，用以前证明等线段的方法很难奏效，而题中有平行线，所以考虑利用两线段与同一线段（或等线段）的比相等来证明这两线段相等.（2）对于线段倒数和（差）的证明，一般方法是化例数为线段的比，如本题只要证2=+BCMNAD MN ，利用第（1）小题的结论只要证222=+BCMOAD MO ，即证1=+BCMOAD MO ，对于AD MO 与BC MO 可以化归为同一直线AB 上的线段比而证得.证明：（1）MN ∥AD.CDCN AD ON BA BM AD MO ==∴,又AD ∥BC MN ∴∥AD ∥BC CDCNBA BM =∴ AD ONAD MO =∴ON MO =∴（2）MN ∥AD ∥BC ABAMBC MO BA BM AD MO ==∴, 1=+=+=+∴ABBM AM AB AM BA BM BC MO AD MO 222=+∴BC MOAD MO 而MN MO =2 2=+∴BCMNAD MN MNBC AD 211=+∴评注 证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比. [课堂小结]1.在运用平行线分线段成比例定理.推论及三角形一边平行线的性质与判定定理时，要注意各自的前提条件.2.证明线段相等时，通常利用比例；而证明线段比例时，利用中间比.如果不能直接证，则要构造平行线.3.例4（2）中运用了化归的数学思想，例1.例3中使用了构造平行线法.[课后测评] 一.选择题1.如图1，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ， 现得到下列结论：①FCBFEC AE =；②BCABBF AD =；③BCDEAB EF =；④BFEA CFCE =，其中正确比例式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E,F 分别为AD,BC 上的点，32==FBCF EADE ，若AB=20，CD=10，则EF=( )A ．12B ．14C ．15D ．163.如图2,在平行四边形ABCD 中，1O .2O .3O 分别为对角线BD 上三点，且D O O O O O BO 332211===，连结AO 1并延长交BC 于E ，连结EO 3并延长交AD 于点F ，则FD AD :等于( )A ．19：2B ．9：1C ．8：1D ．7：1E A A A AF DO 3 GD E O 2 D B C D O 1B FC B E C B C F E图1 图2 图3 图4二.填空题4.如图3，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若1:3:=GA BG ，BC=8，则AE 的长为 .5.如图4，要测量河西岸相对的两点A.B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50m 到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走10m 到D 处在D 处转90°，沿DE 方向再走17m ，到达E 处，使A （目标物），C （标杆）与E 在同一直线上，那么可测得A.B 的距离是 m. 三.解答题：6.已知如图5，1l ∥2l ∥3l ，AB=3，BC=5，DF=12，求DE 和EF 的长.A D 1lB E 2lF C 3l7.已知如图6，E 为平行四边形ABCD 边CD 延长线上的一点，连结BE 交于AC 于O ，交AD 于F ，求证：OE OF BO ⋅=2E AF D OB C8.如图7，在平行四边形ABCD 中，已知：E 是AB 的中点，在AD 上截取FD AF 21=，EF 交AC 于G.求证：51=AC AG . D C FG A E B9.已知：BD 为△ABC 的角平分线,DE ∥BC 交AB 于E ，求证：DEBC AB 111=+.。
