内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学人教版九年级上册数学 22.2.1用函数观点看一元二次方程(1)

初中数学试卷桑水出品人教版数学九年级上册第22章22.2用函数观点看一元二次方程同步练习一、选择题1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5知识点：二次函数与不等式（组）解析：解答：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜-1或x＞5．故选：D．分析：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c ＜0的解集．2.如图，函数y=-x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=-1，在下列结论中，错误的是（）A．顶点坐标为（-1，4）B ．函数的解析式为y=-x 2-2x+3C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．抛物线与x 轴的另一个交点是（-3，0）答案：C知识点：抛物线与x 轴的交点解析：解答：将A （1，0），B （0，3）分别代入解析式得， 103b c c -++==⎧⎨⎩解得，23b c =-⎧⎨=⎩则函数解析式为y=-x 2-2x+3；将x=-1代入解析式可得其顶点坐标为（-1，4）；当y=0时可得，-x 2-2x+3=0； 解得，x 1=-3，x 2=1．可见，抛物线与x 轴的另一个交点是（-3，0）； 由图可知，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大． 可见，C 答案错误． 故选C ．分析：由于y=-x 2+bx+c 的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A （1，0），B （0，3），将交点代入解析式求出函数表达式，即可作出正确判断．3.如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是（ ）A ．（-3，0）B ．（-2，0）C ．x=-3D ．x=-2答案：A知识点：抛物线与x 轴的交点解析：解答：设抛物线与x 轴的另一个交点为B （b ，0）， ∵抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=-1， ∴112b+=-，解得b=-3，∴B （-3，0）．故选A ． 分析：设抛物线与x 轴的另一个交点为B （b ，0），再根据AB 两点关于对称轴对称即可得出． 4. 如图，一次函数y 1=kx+n （k ≠0）与二次函数y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象相交于A （-1，5）、B （9，2）两点，则关于x 的不等式kx+n ≥ax 2+bx+c 的解集为（ ） A ．-1≤x≤9B ．-1≤x ＜9C ．-1＜x≤9D ．x≤-1或x≥9答案：A知识点：二次函数与不等式（组）解析：解答：由图形可以看出：抛物线y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）和一次函数y 1=kx+n （k ≠0）的交点的横坐标分别为-1，9，当y 1≥y 2时，x 的取值范围正好在两交点之内，即-1≤x ≤9．故选A ．分析：先观察图象确定抛物线y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）和一次函数y 1=kx+n （k ≠0）的交点的横坐标，即可求出y 1≥y 2时，x 的取值范围．5. 已知抛物线y=ax 2-2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限答案：D知识点：抛物线与x 轴的交点解析：解答：∵抛物线y=ax 2-2x+1与x 轴没有交点，∴△=4-4a ＜0，解得：a ＞1， ∴抛物线的开口向上，又∵b=-2，∴2ba->0，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴抛物线的顶点在第一象限；故选D．分析：根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．6. 若关于x的一元二次方程（x-2）(x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞14-；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C知识点：抛物线与x轴的交点解析：解答：一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，解得：m＞14 -，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-m，而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3)，令y=0，可得(x-2)(x-3)=0，解得：x=2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③．故选C．分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．7. 二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．9答案：B知识点：抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系解析：解答：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，∴a＞0，234ba-=-，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3．（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点，可见，-m≥-3，∴m≤3，∴m的最大值为3．故选B．分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．8.已知函数y=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如下面图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（）A．B．C．D．答案：D知识点：抛物线与x轴的交点，一次函数的性质解析：解答：根据图象可得a，b异号，∵a＞b，∴a＞0，b＜0，∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选D．分析：根据图象可得出方程（x-a）（x-b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．9.有一个二次函数y=x2+ax+b，其中a、b为整数．已知此函数在坐标平面上的图形与x轴交于两点，且两交点的距离为4．若此图形的对称轴为x=-5，则此图形通过下列哪一点？（）A．（-6，-1）B．（-6，-2）C．（-6，-3）D．（-6，-4）答案：C知识点：抛物线与x轴的交点解析：解答：∵二次函数图形的对称轴为x=-5，图形与x轴的两个交点距离为4，∴此两点的坐标为（-7，0）和（-3，0）设二次函数的解析式为：y=（x+7）（x+3），将x=-6代入，得y=（-6+7）（-6+3）=-3∴点（-6，-3）在二次函数的图象上．故选C．分析：根据二次函数图形的对称轴为x=-5，图形与x轴的两个交点距离为4可知两点的坐标为（-7，0）和（-3，0），设出此函数的解析式，把x=-6代入进行计算即可．10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根答案：D知识点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系解析：解答∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故C选项错误；∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故B选项错误；∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与-1到x=1的距离相等，得出另一个根．11. 已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（）A．2009 B．2012 C．2011 D．2010答案：B知识点：抛物线与x轴的交点,代数式求值.解析：解答：∵物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），∴将x=m，y=0代入抛物线解析式得：m2-m-1=0，∴m2-m=1，则m2-m+2011=1+2011=2012．故选B.分析：由抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），将此点代入抛物线解析式，整理后求出m2-m 的值，代入所求式子即可求出值．12. 对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是（）A．1 B．2 C．0 D．不能确定答案：B知识点：抛物线与x轴的交点解析：解答：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点.△=（-m）2-4×1×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4∵（m-2）2一定为非负数∴（m-2）2+4＞0∴二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是2．故选B．分析：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断．13.如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（）A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根答案：A知识点：抛物线与x轴的交点解析：解答：∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根．故选A．分析：由二次函数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．14. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1 x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）A．B．C．D．答案：C知识点：抛物线与x轴的交点.二次函数的图象解析：解答：∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3，∴x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，∴（x-1）（x-3）=0，解得：x1=1，x2=3∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）.故选C．分析：根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．15. 已知二次函数y=-x2+x-15，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0 答案：B知识点：抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征解析：解答：令y=-x2+x-15=0，解得：x=55±，∵当自变量x取m时对应的值大于0，∴5555m-+<<，∵点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，∴m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1＜0、y2＜0．故选B．分析：根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m-1、m+1的位置，进而确定函数值为y1、y2．二、填空题16. 二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____答案：-1＜x＜3，知识点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点解析：解答∵二次函数y=x2-2x-3的图象如上图所示．∴图象与x轴交在（-1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1＜x＜3，分析：根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围．17.二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=____．答案：5知识点：二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点.解析：解答：由图可知，对称轴为x=2b a -=62--=3 根据二次函数的图象的对称性，212x +=3 解得x 2=5．故答案为：5．分析：根据二次函数的图象与x 轴的交点关于对称轴对称，直接求出x 2的值．18.如图，是二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）答案：①③.知识点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系 解析：解答：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；2b a-=-1，∴b=2a ，∴②错误；根据图象关于对称轴x=-1对称，与X 轴的交点是（-3，0），（1，0），∴③正确；∵b=2a ＞0，∴-b ＜0，∵a+b+c=0，∴c=-a-b ，∴a-2b+c=a-2b-a-b=-3b ＜0，∴④错误．故答案为：①③． 分析：由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据2b a-=-1，推出b=2a ；根据图象关于对称轴对称，得出与x 轴的交点是（-3，0），（1，0）；由a-2b+c=a-2b-a-b=-3b ＜0，根据结论判断即可．19.抛物线：y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是____．答案：（1，0）.知识点：抛物线与x轴的交点，二次函数的性质.解析：解答：由图可知点（-3，0）在抛物线上，把（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中，得9a-6a+a2+2=0，解得a=-1或a=-2；当a=-1时，y=-x2-2x+3=-（x+3）（x-1），设y=0，则x1=-3，x2=1，∴在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）；当a=-2时，y=-2x2-4x+6=-2（x+3）（x-1），设y=0，则x1=-3，x2=1，∴在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．∴抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．分析：先把点（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中求出a的值，得到完整的解析式后，再利用ax2+2ax+a2+2=0解出x的值，即求出对应的x值，可得到右侧交点坐标．20. 对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是____．（把你认为正确说法的序号都填上）答案：①④.知识点：抛物线与x轴的交点，二次函数的性质.解析：解答：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x=22m--≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则22m--≥1，即m≥1，故本选项错误；③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=420082+=1006，则22m--=1006，m=1006，原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．故答案为①④．分析：①根据函数与方程的关系解答；②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．三、解答题21.（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=-p，x1 x2=q．答案：证明：（1）∵a=1，b=p，c=q ∴△=p2-4q ∴即x1x2∴x1+x2，x1x2（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．答案：把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d=|x1-x2|，∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4当p=2时，d2的最小值是4．知识点：抛物线与x轴的交点，根与系数的关系解析：证明：（1）∵a=1，b=p，c=q ∴△=p2-4q ∴即x1x2∴x1+x2，x1x2（2）把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d=|x1-x2|，∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4当p=2时，d 2的最小值是4．分析：（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（-1，-1）代入抛物线的解析式，再由d=|x 1-x 2|可知d 2=（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4 x 1x 2=p 2，再由（1）中 x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q 即可得出结论．22.已知二次函数y=x 2+bx-c 的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（-3m ，0）（m ≠0）．（1）证明4c=3b 2；答案：证明：依题意，m ，-3m 是一元二次方程x 2+bx-c=0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=m+（-3m ）=-b ，x 1x 2=m （-3m ）=-c ， ∴b=2m ，c=3m 2， ∴4c=3b 2=12m 2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．答案：解：依题意，2b -=1，即b=-2，由（1）得c=234b =34×(-2)2=3， ∴y=x 2-2x+3=（x-1）2+2，∴二次函数的最小值为2．知识点：抛物线与x 轴的交点，根与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式.解析：（1）证明：依题意，m ，-3m 是一元二次方程x 2+bx-c=0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=m+（-3m ）=-b ，x 1x 2=m （-3m ）=-c ， ∴b=2m ，c=3m 2， ∴4c=3b 2=12m 2；（2）解：依题意，2b -=1，即b=-2，由（1）得c=234b =34×(-2)2=3， ∴y=x 2-2x+3=（x-1）2+2，∴二次函数的最小值为2．分析：（1）由根与系数关系得出等式，消去m ，得出b 、c 的关系式；（2）根据对称轴公式可求系数b ，代入（1）的结论可求c ，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．23.已知二次函数y=x 2+2x+m 的图像C 1与x 轴有且只有一个公共点．（1）求C 1的顶点坐标；答案： C 1的顶点坐标为（-1，0）（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （-3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；答案： C 2的函数关系式为y=（x+1）2-4，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）（3）若P （n ，y 1），Q （2，y 2）是C 1上的两点，且y 1＞y 2，求实数n 的取值范围．答案： n ＞2或n ＜-4．知识点：抛物线与x轴的交点，二次函数的性质.解析：解答：（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为直线x=-1，∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0，∴C1的顶点坐标为（-1，0）；（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0，得k=-4，∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，当n≥-1时，∵y1＞y2，∴n＞2．当n＜-1时，P（n，y1）的对称点坐标为（-2-n，y1），且-2-n＞-1，∵y1＞y2，∴-2-n＞2，∴n＜-4．综上所述：n＞2或n＜-4．分析：（1）由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m．（2）首先设所求抛物线解析式为y=（x+1）2+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；（3）由于图象C1的对称轴为直线x=-1，所以知道当x≥-1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥-1和n≤-1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．24.已知：抛物线y=34(x-1)2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；答案：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；答案：函数y有最小值，最小值为-3（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．答案：直线PQ的解析式为y=-94x-94或y=34x-94知识点：抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值.解析：解答：（1）抛物线y=34(x-1)2-3，∵a=34＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1；（2）∵a=34＞0，∴函数y有最小值，最小值为-3；（3）令x=0，则y=34(0-1)2-3=-94，所以，点P的坐标为（0，-94），令y=0，则34(x-1)2-3=0，解得x1=-1，x2=3，所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），当点P（0，-94），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，则，94bk b⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得9494bb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线PQ的解析式为y=-94x-94，当P（0，-94），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，则9430nm n⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得3494mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，直线PQ的解析式为y=34x-94，综上所述，直线PQ的解析式为y=-94x-94或y=34x-94.分析：（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；（2）根据a是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；（3）分别求出点P、Q的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答．25.已知点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b图象上．（1）用含a的代数式表示b；答案：b=2a；（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．答案：这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0）．知识点：抛物线与x轴的交点解析：解答：（1）∵点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上，∴1=1-2a+b，可得b=2a （2）根据题意，方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根，故可得：4a2-4b=4a2-8a=0解得a=0，或a=2，当a=0时，y=x2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0），当a=2时，y=x2-4x+4=（x-2）2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（2，0），故这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0）．分析：因为二次函数y=x2-2ax+b图象上的任何一点都满足方程式y=x2-2ax+b，所以，把点A（1，1）代入方程求解即可；（2）根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴交点的个数．。

22.2 用函数的观点看一元二次方程（2）教学目标：1．复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。

2．让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx ＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。

重点难点：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。

难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。

教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c=0的解? 2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。

(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解。

二、探索问题问题1：(问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。

唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x 2和y ＝12x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?3．函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?4，函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗?5．如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx＋c 的解怎样?三、做一做利用图4，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。

(1)x 2＋x －1＝0(精确到0.1)； (2)2x 2－3x －2＝0。

第8课时 用函数观点看一元二次方程（1）【课程目标】会利用函数的图象求一元二次方程的近似解。

【学习目标】1、体会二次函数与方程之间的联系。

2、理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，【学法指导】通过一元二次方程02=++c bx ax 的的解与二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴交点坐标对比观察自主获得知识一、自主学习1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。

2.一元二次方程02=++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；3.解下列方程（1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322=+-x x函数322--=x x y 962+-=x x y 322+-=x x y图象交点与x 轴交点坐标是 与y 轴交点坐标是 与x 轴交点坐标是 与y 轴交点坐标是 与x 轴交点坐标是 与y 轴交点坐标是二、合作探究 ：1.观察二次函数的图象与x 轴的交点横坐标与上3题方程的解你有什么发现？x y( , )O xyO2.观察二次函数的图象与y 轴的交点，你又有什么发现？3、熟记二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系（同伴合作） （一元二次方程02=++c bx ax 的根记为21x x 、） 二次函数c bx ax y ++=2与 一元二次方程02=++c bx ax与x 轴有 个交点 ⇔ ac b 42- 0，方程有 的实数根与x 轴有 个交点；这个交点是 点 ⇔ ac b 42- 0，方程有 实数根与x 轴有 个交点⇔ ac b 42- 0，方程 实数根.三、交流展示 1、二次函数232+-=x x y 中，当x ＝1时，y ＝_____；当y ＝0时， x ＝_____．2、二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．3、如图（3），一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。

内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学人教版九年级上册数学 22.3实际问题与二次函数引言在数学学科中，实际问题是非常重要的一部分。

通过实际问题的讨论和解决，我们能够对数学知识进行实际应用，并且深入理解数学的概念和方法。

在九年级上册的数学教材中，第22章主要介绍了二次函数的相关内容，并结合实际问题进行讨论。

本文将以内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学人教版九年级上册数学第22.3节的实际问题与二次函数为标题，对该节内容进行详细解析，并提供一些实际问题的例子。

22.3 实际问题与二次函数二次函数的定义与性质回顾在开始讨论实际问题与二次函数之前，让我们回顾一下二次函数的定义与性质。

二次函数的一般形式为f(x)=ax2+bx+c，其中a,b,c为常数，a eq0。

二次函数的图像可以是一个开口向上的抛物线，也可以是一个开口向下的抛物线，其开口的方向由二次项的系数a决定。

二次函数的顶点坐标为 $(-\\frac{b}{2a}, f(-\\frac{b}{2a}))$，其中f(x)表示二次函数的值。

二次函数的图像关于 $x = -\\frac{b}{2a}$ 对称。

实际问题与二次函数的关系实际问题与二次函数的关系表现在两个方面：一是实际问题可以通过建立二次函数模型来进行数学描述和求解；二是二次函数的性质可以帮助我们解决与实际问题相关的数学难题。

在实际问题中，我们经常遇到需要寻找最值的情况。

例如，一个炮弹的抛射高度随时间的变化可以用二次函数来表达，我们可以通过求二次函数的最值来确定炮弹的最大高度。

另外，实际问题中的变化率也是与二次函数紧密相关的。

例如，某汽车行驶的距离随时间的变化可以用二次函数来描述，我们可以通过求二次函数的导数来确定汽车的速度。

实际问题的例子为了更好地理解实际问题与二次函数的关系，我们来看一些具体的例子。

例子1：抛物线的问题某物体从地面上抛出，其运动轨迹可以近似表示为一个抛物线。

已知抛物线的顶点为(−3,4)，则该物体的最高点的高度是多少？解答：由题意可知，该抛物线的顶点对应着二次函数的顶点。