三阶非线性中立型阻尼泛函微分方程的振动性

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三阶半线性中立型微分方程的振动性

｛ｚ（）｝＝一ｑ（一）＜０［”ｔ］（）ｔ），因此，（） “ 减函数且最终定号，合的特点可知（）是减函数且最终定号，［￡］是结 ”ｔ于是（）＜Ｏ并且ｔ，我们断定（）＞０ｔ．事实上，如若不然，则存在７＂ｔｚ（）＜０，ｏ≥ 有 ” 于是当ｔ７时有 ≥ ＂ｏ
第３期
李元旦，：等三阶半线性中立型微分方程的振动性
２９６
于是有
ｆ［
ｓｄ：常． ≤ 正量
∞ ｔ一Ｃ
这与Ｈ）矛盾，因此，ｚ＝０又因为０＜ｔ（）则ｌ础（）：０．（）＜，ｉｔＩ．
引理３若Ｑｆ … （）∈ｃ［，，０∞），＞０ｉｆｑｓｄ（。∞）（，）且ｌｉ（）ｓ＞÷ 成立，ｍｎＩ则微分不等式
成立．０＜＜Ｌ取
，
易知
Ｐ
（）＝：ｔＰｔｘ（）ｔ（）一（）（ｔ）≥ ｚｔ（）一Ｐｔｚｒｔ）≥ （）（（）
ｚｚ７ｔ）≥ ｚ（＋）＝ＡＺ＋）＞Ｊ（）Ａ＞０ —ｐ（－）（ —ｐｆ（￣ｔ，ｚ，
所以
（≥Ａｆ（ｄｌ尼Ｉｇ））ｚｓｓ，
上式两边从ｔ。分得到。积
一（ ≥Ａｆｒ（ｄｌ，１『ｑ）］“ ，ｋＩＩｄ）Ｉｓｓ吉
一
对上式两边从到。分，。积我们有
（）Ｊ — ｌｄ ≥ ｚＩｇ）］ｕ，从ＪＩＪｄｖＩＩ（『Ｌ㈤ｓｄｓＪｔ古

三阶泛函微分方程的振动性的进一步研究

三阶泛函微分方程的振动性的进一步研究侯晓磊（山西工商学院计算机信息工程学院，山西太原030006）摘要：进一步研究了三阶泛函微分方程的振动性，利用算子和积分技巧给出了微分方程振动解的一些引理，进而借助这些引理推广和改进了最近文献中的若干结果，给出了三阶泛函微分方程解的振动性的一个充分条件，这个结果充分反映了时滞在方程振动中的影响。

关键词：三阶泛函；振动性；微分方程中图分类号：O175.13文献标志码：A文章编号：1673-0143（2018）04-0320-05DOI ：10.16389/42-1737/n.2018.04.006Further Study on Vibration of Third-Order Functional Differential EquationsHOU Xiaolei（School of Computer Information Engineering ，Shanxi Institute of Commerce and Industry ，Taiyuan 030006，Shanxi ，China ）Abstract ：The oscillation of the three-order functional differential equation was further studied ，and some lemmas of the oscillatory solution of the differential equation were given by the operator and the integral technique.By means of these lemmas ，some results in the recent literature were extended and improved ，and a sufficient condition for the oscillation of solutions of the three-order functionaldifferential equations was given.The results fully reflected the effect of time delay on vibration of equations.Key words ：three-order functional ；oscillation ；differential equations近几十年来非线性泛函微分方程的理论研究受到了人们的广泛关注，目前这些研究内容还处在发展的阶段，但是已经获得了一些重要的研究成果。

关于三阶非线性中立时滞微分方程非振动解的全局存在性及其应用的开题报告

关于三阶非线性中立时滞微分方程非振动解的全局存在性
及其应用的开题报告
1. 研究背景
中立时滞微分方程是一类重要的非线性微分方程，在应用数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

其中，三阶非线性中立时滞微分方程的研究具有一定的理论
和实际意义。

特别是对于非振动解的全局存在性问题，一直是中立时滞微分方程研究
的热点之一。

2. 研究内容
本研究将从以下几个方面进行探讨：
（1）构建三阶非线性中立时滞微分方程模型，建立其数学模型。

（2）分析该微分方程中时间滞后项的性质，构造在一定条件下的Lyapunov 函
数及其性质，进而得到非振动解的存在性结论。

（3）探究该结论的应用，进一步研究微分方程的其他性质及其实际应用。

3. 研究方法
本研究将主要采用如下方法：
（1）应用微积分学、常微分方程、稳定性理论等数学工具进行分析，建立模型，推导证明。

（2）运用Lyapunov 函数及其稳定性理论来证明非振动解的存在性。

（3）采用数值模拟等方法对于该微分方程的其他性质进行研究和分析。

4. 研究意义
该研究将会对于三阶非线性中立时滞微分方程的理论和实际应用方面都有重要意义。

首先，对于非振动解的全局存在性问题进行的研究，有望为该类微分方程的数学
理论奠定更为牢固的基础；其次，在探究得到该结论的前提下，可以更为深入地了解
该微分方程的其他性质，进而更好地应用于实际问题中。

三阶非线性中立型泛函微分方程的振动性

第２６卷第６期
Ｖｏ．６，Ｏ．１２Ｎ６
滨州学院学报
ＪｕｎＩｆＢｎｈｕＵｎｖｒｉｙｏｒａｉｚｏｉｅｓｔｏ
２１００年１月２
Ｄｅ．，００ｃ２１
【分方程与动力系统研究】微
（Ａ）ｚ（）＞０，ｔｔｚ（）＞０，（）＞０；￡（Ｂ）ｚ（）＞ｏ，（￡）＜０，（）＞０￡．
证明
设（）是（）的最终正解．存在ｔ￡１则 ≥ ｔ使当ｔｔ，。 ≥ 时有（）＞０（（）＞０（（）ｆ，ｄｆ），ｇ）
考虑三阶中立型泛函微分方程
（（）（）户ｆ￡）］ｑｔｆｘｇｆ］ｒｆ［￡＋（）（））＋（）（［（））一０ｔｔ．（，≥ ０
本文中总假设下列条件成立：
（）１
（１Ｈ）
）（ＥＥ ’，ｊｄｏＣｔ（『ｏ０ｌ１３
三阶非线性中立型泛函微分方程的振动性
俞元洪
（国科学院数学与系统科学研究院，京１０９）中北０１０
摘要：究了一类三阶非线性中立型泛函微分方程的振动性．用广义Ｒｉｃｔ换和积研利ｃａｉ变
但是，这些成果基本上是关于滞后型微分方程，而关于中立型微分方程的振动结果却很少，文目的是利本用推广的Ｒｃａｉｉｃｔ变换和积分平均技巧建立使得方程（）的每一个解振动或收敛到零的充分条件．１

一类中立型阻尼泛函微分方程的振动性

面也有着重要意义．近年来，对于中立型泛函微分方程振动性问题的研究已有大量结果引，本文将讨论如下的一类二阶非线性中立型阻尼泛函微分方程
注１当ｂ（￡）＝０时，方程（１）就是文献［５］所研究的方程，因而本文的结论推广和包含了文献
。（ｉＥ，ｍ
嚣
（ｔ２。唧籍ｄｖ）
ｔ ≥ｔ０（１）
［５］的结果．引理１假设（ｔ）是方程（１）的最终正解，并
且令
Ｙ（ｔ）＝（￡）＋Ｐ（ｔ）ｘ（￡～７＿），
证明
（２）
则最终有Ｙ（￡）＞０，Ｙ（ｔ）＞０，［口（ｔ）ｙ（ｔ）］ ≤０．
（１）式及（Ｈ：）得
唧（一
＝＋ ∞ ’ｐ（－；
（ｅｘｐ（一ｂ－（－Ｌ）－ｄｓ））ｙ））＜０，
（Ｈ２）Ｆ（， “ ，２， …，）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），且存
在 “ １，ｕ２， …，）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），且当ｕ１，Ｍ２， …，具有相同符号时，ｆ（ｕ，，ｕ， …，／Ｚ）与，， …，ｕ同号｜厂（ “ ｌ，２， …， “ ）关于Ｍ１，／２，２， …，Ｍ非增，且存
Ｃ（Ｒ，Ｒ），（） ≤ 非减且
足条件（Ｈ３），存在ｔ１ ≥ｔｏ，当ｔ ≥ｔ１时，有（￡）＞０．（ｔ一丁）＞０，［ｇ（￡，）］＞０，ｉ ∈，ｍ．于是，Ｙ（ｔ）＞０，（ｇ１（￡）），ｘ（ｇ２（￡））， …，（ｇ（ｔ）））＞０，ｔ ≥￡由

一类三阶非线性中立型微分方程的振动性

有，，．
２
引理２．４假设在【， ∞ ）上，ｚ（）＞。，ｚ）＞０，ｚ）＞。，ｚ（）。．则有蚤，ｆ．
引理２．５在（， ∞）上，假设ｆ）＞。，ｚ）＞０，ｚ，．ｒ（） ≤０，则。一）
一；（＞０．
Ｂａｃｕｌｆｋｏｖ丘，Ｄ￣ｕｒｉｎａ ¨ 研究了方程
【口（ｆ）（（（ｆ）＋ｐ（ｆ）ｘ（（ｆ））））】＋ｇ（ｆ）（ｆ））＝０，ｔｔｏ，的振动性，其中，，为两个正奇数的商．本文在文献［４］的基础上，研究方程（１．１）的振动性．所得结果改进和推广了文献［４］中的结果．
［口（ｆ）（６（ｆ）（（ｆ）＋ｐ（ｆ）（（ｆ））））】＋ｇ（ｆ）（（（ｆ）））＝０，ｔｔｏ
１
（１．１）
的振动性．在这里，首先记ｏ＝二．
假设方程（１．１）满足以下条件
的振动性，其中是两个正奇数的商．利用泰勒中值定理和函数的单调性，进一步完善和补充了已有的结果
关键词：非线性微分方程；中立型；振动性中图分类号：Ｏ１７５．１２文献标识码：Ａ
１引
言
本文考虑一类三阶非线性中立型微分方程的振动性．近年来，三阶非线性微分方程的振动性理论已经得到了许多学者的广泛关注和研究［１－１２］．本文研究三阶中立型微分方程

三阶非线性泛函微分方程的振动性

一
，（ｘ一ｙ）≥ ｆ（ｙ）≥ －（－（ｘ厂））厂
ｈ（ｘ一ｙ）≥ ｈ（ｙ）≥ 矗））ｘ（ｈ（．
（）２
（）３
一
定１定方（的是数（．ｏ－，￣ｏ得（，（，＿（）义义程１解函ｚ），）Ｒｘｔ￡）￡［ｏ￣Ｔ，）（￡Ｅ使））
Ｃ［，Ｏ且在［，Ｏ上满足方程（）Ｃ）Ｏ）１．
本文仅考虑方程（）１中满足ｓｐｌ１ ≥ Ｔ｝０对一切Ｔｕ｛（）．＞ ≥ 成立的解．程（）方１的解称为振动，若
它在［，。上有任意大的零点，则称它为非振动．文献［ —６中有许多相关的振动性结论，文的目。）否在１］本
枷寸（㈤）号，㈤，ｚ．定
存在如下四种可能：
（）ｚ）＞，（ＯＩ（）＞㈤０Ｉ（）０，＞．Ｉｚ）０＜ｚｚ（）１）
（）ｚ）＜）ＯⅣ（））ｏ Ⅲ（）＞；）（）＜＜．而（（）ｏ，在＞，得，＿）一ｐ）当时存ＮＯ当≥ 时（ｚ￡＜Ｎ（）＜使（）．
第ｌ卷第１１期太原师范学院学报（自然科学版）２１年３月０２ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＹＵＡＮＮＯＡＩＲＭＡＬＵＮＩＲＳＴＹ（ａｕａＳｉｃｄｔｎＶＥＩＮｔｒ１ｃｎｅＥｉｏ）ｅｉ
（７）
证明若ｚ为方程（）（）１的一个非振动解，ｇ￣般性，７￣－可设ｚ＞０则存在ｔ≥０使得当￡（），。， ≥ 时，有

具无界中立系数的三阶非线性微分方程解的振动性和渐近性

浙江大学学报（理学版）Journal of Zhejiang University （Science Edition ）http ：///sci第48卷第1期2021年1月Vol.48No.1Jan.2021具无界中立系数的三阶非线性微分方程解的振动性和渐近性曾云辉1，汪志红1*，汪安宁1，罗李平1，俞元洪2（1.衡阳师范学院数学与统计学院，湖南衡阳421008；2.中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190）摘要：研究了具无界中立系数的三阶非线性微分方程解的振动性和渐近性。

通过引入参数函数和广义Riccati 变换，结合微分不等式、积分平均等技巧，给出了方程每个解振动或收敛于零的若干新的充分条件，这些结果很容易被推广至更一般的中立型微分方程和时标上的中立型动力方程，最后用例子进行了说明。

关键词：三阶；中立型微分方程；渐近性；非振动性中图分类号：O 175.26文献标志码：A文章编号：1008⁃9497（2021）01⁃046⁃11ZENG Yunhui 1,WANG Zhihong 1,WANG Anning 1,LUO Liping 1,YU Yuanhong 2(1.College of Mathematics and Statistics,Hengyang Normal University,Hengyang 421008,Hunan Province,China ;2.Academy of Mathematics and Systems Science,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China )Oscillatory and asymptotic behavior of third-order nonlinear neutral differential equations with unbounded neutral coefficients .Journal of Zhejiang University (Science Edition),2021,48(1):46⁃56Abstract :The objective of this paper is to study oscillatory and asymptotic behaviors of solutions of third -order nonlinear neutral differential equations with unbounded neutral coefficients.By introducing the parameter function and the generalized Riccati transformations,and jointly applying the differential inequality technique and integral averaging technique,we establish some new sufficient conditions which ensure that every solution of the equations oscillates or converges to zero.The results obtained can be easily extended to more general neutral differential equations as well as neutral dynamic equations on the scales.An example is provided to illustrate new results.Key Words :third -order;neutral differential equation;asymptotic behavior;nonoscillatory0引言考虑具无界中立系数的三阶非线性微分方程{r (t )[z ″(t )]α}'+q (t )f (x (δ(t )))=0，t ≥t 0≥0，（1）其中，z (t )=x (t )+p (t )x (τ(t ))，f (x )∈C (R ，R )，f (x )x β≥σ>0，x ≠0。

非线性中立型微分方程的振动准则

摘要：讨论一类二阶非线性中立型微分方程，通过引入参数函数，结合完全平方技术，给出了该类方程解振动的
０Ｕ贝．另准０
关
键
词：线性；中立型微分方程；振动非文献标识码：Ａ
中图分类号：０７．１５１
于是由（）２，我们有
（）＞０￡ｔ≥ ｔａ
由（）条件（，有１及Ｈ）ｒ（）（）－￡￡］一一Ｆ（，（１￡）ｘｇ（），… ，（￡）ａｔｘｇ（），（２￡）ｘｇ（））
≤ 一ｑ￡－（ｇ（），ｘ（（）（）ｚ（１￡）厂ｇ２￡），… ，ｘ（（））≤ ０ｇ￡）ｔｔ ≥ ａ
下面证明（）ｏ￡￡￡＞， ≥ １．
事实上，存在ｔｔ，得Ｙ（）０则当ｔｔ，￡ ≤ （ｚ ≤ ０若 ≥ 使￡ ≤ ， ≥ 时Ｙ（）￡）．再由ｑ￡不恒为零知，（）存在ｔ ≥ ｔ，使得Ｙ（。＜ｏ且有。￡），
的解的振动性．
ｔｔ＞０ ≥ ｏ
本文考虑如下更广泛的二阶非线性中立型微分方程［（）（）ｐｔｘｔｒ）］＋Ｆｔｘｇ（），ｘｇ（），… ，（￡））一０ａ￡（￡＋（）（ — ）（，（ｌ￡）（２￡）ｘｇ（）广了已有文献的部分结果．
维普资讯
第１期
ｚ（）＞０￡
林丹玲：线性中立型微分方程的振动准则非

三阶中立型微分方程的振动准则

1
1 +
ù ú úɤ û ( ) 6
]中 ( ) ) 运用不等式 ( 参看文献 [ 7 2 . 1 7
γ γ ) ) ) ) ( ) ) ) ) t K1K2( x( t é ù -f 0( ᶄ( t ω( t t t -ρ( ρ φ( ) ( ) ( ) ê ú ᶄ( t ω t t γ + + 1 φ ê ú γ ρ ( ) ) ) ᶄ( t ë û t γ y ρ( ( ) ) ) t a( t ρ(
γ 1 ( t ( ) 1+γ t 1) γ t{ ( ) ) ( ) ) ) ) ) t K1K2 t 1- ð p t t ᶄ( t t -ρ( +φ 0( i( f 1 ρ φ φ ( γ T γ 2 i=1 ) a ( t n
1
( ) 4
性质 췍 , 췍 之一 .
) ) 设 x 是方程 ( 的一个非振动解 ,不失一般性 ,假设 x 最终为正解 .由引理 1 知y( 只具备两种 1 t
1 1 1ö γ æ 1 1+1 1 1 +γ + ( 1+ ÷u u-v) v ȡu γ + v γ - ç γø è γ
1
1 +
1
得到
γ ( ) ) ) ) ω( t t t -ρ( ȡω φ( γ 1 +
1 +γ
1
)和 ( )式得到由( 6 7
1 1ö æ γ 1 () () 1 +γ ( ) ) ( ) ) ) 1+ ÷ω( t tφ t ) t t t + ( -ç ρ ρ( φ( γø è γ
t ȡt 0
( ) 1
)是文献 [ ] 很显然 ,方程 ( 中方程的推广 .本文运用 R 1 1-2 i c c a t i变换和分析知识化简了多元函数 ,克服了 )振动的充分条件 ,丰富了已有结果 . 多时滞变量给问题带来的复杂性 ,给出了方程 ( 1

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Ｖｏ１．３９Ｎｏ．３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００ — ２１６２．２０１５．０３．００２
三阶非线性中立型阻尼泛函微分方程的振动性
林文贤
（韩山师范学院数学与统计学系，广东潮州５２１０４１）
Ｅｒ（ｔ）Ｅｘ（ｔ）＋（￡）（（））］］＋ｒｎ（ｔ）Ｅｘ（ｔ）＋户（）（（￡））＋ｑ（）厂（ｚ［ｇ（）］）一０，ｔ ≥ｔ。（１）
的振动性，假设下列条件成立：
ｅｘｐ（
（Ｈ３）ｆＥＣ（Ｒ，Ｒ）， ≤Ｋ＞０， “ ≠０，Ｋ为常数．
ｄｓｄ一＋。。；
（Ｈ２）（ｆ），ｇ（ｆ）ＥＣ（Ｅｔｏ，＋∞ ），（０，＋∞ ）），（） ≤ ，ｇ（￡） ≤￡，ｌｉｍａ（ｔ）一ｌｉ立型阻尼泛函微分方程，利用广义Ｒｉｃｃａｔｉ变换和积分平均技巧，建立了该类
方程的所有解振动或收敛于零的若干新的充分条件，推广和改进最近文献的结果．
关键词：阻尼项；三阶中立型方程；振动性
中图分类号：Ｏ１７５文献标志码：Ａ文章编号：１０００ — ２１６２（２０１５）０３～０００５ — ０５
ｔｈａｔａｎｙｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｅｑｕａｔｉｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｅｓｏｒｃｏｎｖｅｒｇｅｓｔｏｚｅｒｏ，ｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓｉｎｋｎｏｗｎｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｗｅｒｅｅｘｔｅｎｄｅｄａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄａｍｐｉｎｇｔｅｒｍｓ；ｔｈｉｒｄ — ｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ
考虑如下一类三阶非线性中立型阻尼泛函微分方程
ＬｌＷｅｎ－ｘｌａｎ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＨａｎｓｈａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｏｚｈｏｕ５２１０４１，Ｃｈｉｎａ）
２０１５年５月第３９卷第３期
安徽大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｍａｖ２０１５
Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｏｆｃｅｒｔａｉｎｔｈｉｒｄ — ｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｄａｍｐｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｄｅｌａｙｓｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．ＢｙｕｓｉｎｇａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＲｉｃｃａｔｉｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌａｖｅｒａｇｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｓｏｍｅｎｅｗｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｗｈｉｃｈｉｎｓｕｒｅ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｉｒｄ．ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｎｅｕｔｒａｌｄａｍｐｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ
近年来，泛函微分方程的振动性和渐近性研究开始受到关注，最近的成果可以参看文献［１＿８］．
（Ｈ１）ｒ（），ｑ（）ＥＣ（Ｅｔ０，＋∞），（０，＋。。）），（），（） ∈Ｃ（Ｅｔｏ，＋ｏｏ），Ｒ＋），Ｒ＋一Ｅ０，＋∞ ），
Ｏ ≤ （￡） ≤ ＜１，且