一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性

一类二阶边值系统周期解的存在性石义霞;吴英颖;周旭【摘要】利用极小作用原理在次线性条件下证明了非自治的二阶 Hamilton系统以及推广的二阶 Hamilton系统周期解的存在性.【期刊名称】《湛江师范学院学报》【年(卷),期】2007(028)003【总页数】4页(P7-10)【关键词】周期解;二阶系统;Sobolev不等式;Wirtinger不等式【作者】石义霞;吴英颖;周旭【作者单位】湛江师范学院,数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院,数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院,数学与计算科学学院,广东,湛江,524048【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言考虑二阶微分系统(1)其中T>0,F:[0,T]×RN→R,其中R满足条件(A): F(t,x)对于每个x∈RN关于t是可测的，a.e.t∈[0,T]关于x是可连续可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T];R+)使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|F(t,x)|≤a(|x|)b(t)对所用变分法研究二阶系统就是将求方程组(1)的解的问题转化为求泛函Ø在Hilbert空间中的临界点的问题.考虑推广的二阶Hamiliton系统(2)其中A为一反对称矩阵,且‖A‖<1.则用变分法研究二阶系统(2)就是将求方程组(2)的解的问题就可转化为求泛函在Hilbert空间中的临界点的问题(证明见[1]),其中:绝对连续，具有范数对于系统(1)文献利用极小作用原理已在次二次[5],强制[2], 次可加[4]等若干条件下, 讨论了周期解存在性.本文主要在次线性条件下利用极小作用原理获得系统(1)和(2)的周期解的存在性.1 主要结果定理1 假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x),F1(t,x),F2(t,x)满足条件(A),F1(t,x)满足: 当|x|→∞时,F1(t,x)dt→∞(3)F1(t,x)满足：存在h(t)∈L1(0,T;R+)，使得存在f,g∈L1(0,T;R+)及α∈[0,1],使得F1(t,x)对a.e.t∈[0,T]关于x是凸的;|F2(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t),(4)对于所有x∈RN和a.e.t∈[0,T]成立，且有(5)则系统(1)在空间中至少有一个解使得Ø达到极小值.注所谓次线性条件是指对系统(1)中的非线性项F(t,x)关于空间变量x是次线性增长的,即存在f,g∈L1(0,T;R+)及α∈[0,1],使得|F(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t)对于所有x∈RN和a.e.t∈[0,T]成立.次线性的一个重要特殊情况是所谓的有界非线性项即对应于α=0的情形.即存在g∈L1(0,T;R+),使得|F(t,x)|≤g(t)对于所有x∈RN和 a.e.t∈[0,T]成立.在以往的文献中在此条件下有过很多结论,本文在更为一般的条件下讨论周期解的存在性.定理2 假设F(t,x)=G(x)+H(t,x),满足条件(A),且存在正数r,及存在α∈[0,1]使得当|x|→+∞有|x|-2αF(t,x)dt→+∞(6)及(G(x)-G(y),x-y)≥-r|x-y|2(7)|H(t,x)|≤g(t)|x|α+h(t)(8)对于任何x,y∈RN及a.e.t∈[0,T]成立.则系统(2)至少存在一个周期解.2 定理的证明定理1的证明根据条件(4), young 不等式及Sobolev不等式有=|(≤≤≤其中是与α有关的正实数,适当选取ε(结合不等式初项的系数),有:≤(9)根据假设,所以在RN上定义:x→F1(t,x)dt , 则有一个极小点x0使得F1(t,x0)dt=0.(10)由Young不等式, Sobolev 不等式及(10)得φ(u)=(t)dt+[F1(t,u(t))-F1(t,u(t))]dt+F2(t,u(t))dt+F1(t,x0)dt=(t)dt+(F1(t,x0),(t)dt+F2(t,u(t))dt+F1(t,x0)dt其中由Sobolev不等式φ(u)≥(t)dt+(|F1(t,x0)|dt)+F2(t,u(t))dt+F1(t,x0)dt≥(t)dt-c1-c2((t)dt)1/2+[F2(t,u(t))-F2(t,)]dt+F2(t,)dt≥≥因为||u||→+∞的充要条件是又0<1+α<2,再由条件(5)知φ的每一个极小化序列有界，从而定理得证.定理2的证明为证明简便起见,下面令T=2π..在空间中有≤(Sobolev 不等式)及≤(Wirtinger不等式)根据(8)及Sobolev 不等式对于任意可得:≤≤由(9)及Wirtinger 不等式,对于任意可得≤其中a1,a2,a3 为常数. 可推得J(u)≥≥对任意成立因为当且仅当时有‖u‖→∞,则由上式及 (6) 及所以当‖u‖→∞时有J(u)→+∞根据定理1.1(见[3]) 定理2得证.参考文献:[1]Han Z Q.2π-Periodic solutions to ordinary differential systems at resonance [J]. Acta Ma th Sin, 2000, 43: 639-644.[2]Tang C L, Wu X P. Periodic solutions of second systems with not uniform ly coercive potential [J]. J Math Anal Appl , 2001, 259(1): 386-397.[3]Mawhin J, Willem M. Critical Point Theory and Hamiltonian Systems[M]. New York： Springer-Verlag,1989.[4]Ma Jia, Tang Chun-Lei. Periodic solutions of some no autonomous second-order systems [J].J Math Anal Apple , 2002, 275(2): 482-494.[5]Tang C L, Wu Xing-Ping. notes on periodic solutions of subqudratic second order system [J]. J Math Anal Appl, 2003, 285(1): 8-16.。

一类二阶半线性系统周期解的存在性周同藩【摘要】本文研究一类二阶半线性微分方程周期解的存在性。

关于这一课题的研究，传统方法的困难在于需要做大量细致的估计。

我们利用偏微分方程粘性解理论的方法和经典的上、下解方法，结合Leray-Schauder不动点原理，在较弱的条件下证明了该系统周期解的存在性，这一结论改进并概括了以往关于绳索力学方程及近年来关于该系统的一些重要结果。

%In this paper, we consider the existence of periodic solutions for a class of semi-linear second-order differential equations. The difficulty of traditional methods lies in a mass of detailed estimates. By applying the viscosity solutions method and the classical upper-lower solutions method, as well as the Leray-Schauder fixed point principle, we establish the existence of periodic solutions to the equation under some weaker conditions. Our result improves and generalizes many results on the ropes mechanics equations in the previous literature.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】7页(P690-696)【关键词】半线性;粘性解方法;二阶微分方程;周期解;存在性【作者】周同藩【作者单位】西北师范大学商学院，兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O175.141 引言对二阶系统周期解的存在性的研究，一直是数学物理的核心课题之一．但由于传统方法需要做大量的细致的估计所带来的困难，目前关于这一课题的研究，主要还集中在线性和半线性的情形，文[1]在适当的结构条件和标准假设下证明了二阶完全非线性系统周期解的存在唯一性．作为应用[1-3]，本文考虑了半线性系统在更为一般的条件下证明了(2)周期解的存在性，所得结果较好地改进并概括了以往绳索力学方程及近年来关于该系统的一些重要结论[4-7]．对系统(2)代之以文献[1]标准假设和结构条件，我们只需假定：(C0): e,f,g,h均连续且e,f,h关于t以2π为周期，e(t)>0,∀t∈;(C1): 存在M1,M2∈,M1<M2，使得g(M1)≤h(t)/e(t)≤g(M2);(C2): 存在非负非减函数µ∈C([0,∞))，使得|f(t,r,p)|≤µ(|r|)(1+|p|)．本文的主要结果是：定理1 设(C0)–(C2)成立，则系统(2)存在2π-周期解．2 粘性解方法先回顾粘性解的定义．设Ω⊆为开集，x:Ω→．我们称集合为函数x在点t的二阶粘性上导集．改变上述定义中不等号的方向，可得下导集的定义．的闭的定义为以下我们给出二次系统(1)的粘性上、下解的定义．该定义同样适用方程(2)．定义1 设F(t,r,p,q)关于q单调递减，Ω为的一开子集，USC(Ω)和LSC(Ω)分别表示Ω上的上、下半连续函数全体．u∈USC(Ω)称为(1)在Ω上的一个粘性下解，如果它满足u∈LSC(Ω)称为(1)在Ω上的一个粘性上解，如果它满足如果x既是(1)在Ω上的粘性下解，又是其在Ω上粘性上解，则称x是(1)在Ω上的一个粘性解，此时必有x∈C(Ω)．注1 F关于变元q的递减性是上述定义合理性的保证．容易验证C2上、下解一定是粘性上、下解．注2 如果u是(1)的粘性下解，则由F的连续性，用2,+u(t)替换(4)式中的J2,+u(t)，不等式仍成立．同样的注记对上解亦然．3 一类半线性系统周期解的存在唯一性本节讨论半线性系统其中c,e,h∈C(R)且以2π为周期，g∈C(R)．目标是证明下述存在唯一性结果．定理2 设e(t)>0，g关于x严格单调递增且存在M1,M2∈,M1<M2，使得则(6)存在唯一的2π-周期解x，且M1≤x≤M2．证明由周期性可知c,e,h在上一致连续，从而有连续模函数使得由此，容易验证在定理所述条件下文献[1]中定理2.1的条件除标准假设外全部被满足．接下来验证标准假设成立．如此，则由文献[1]中定理2.1即得所要的结论．设a,b∈,a<b．考虑两点边值问题我们证明(8)有C2解y．下面分几步进行：第1步证明(8)的逼近问题有C2+θ(θ∈(0,1))解．取{cn},{en},{hn}⊂C1([a,b]),{gn}⊂C1()，使得{cn},{en}和{hn}在[a,b]上分别一致收敛于c,e和h，{gn}在上内闭一致收敛于g，并且可以要求{en},{gn}满足其中δ0,A均为与n无关的常数．考虑近似问题由g的单调递增性可知，存在M ∈，使得g(r)sign(r)≥M,∀r∈，从而由(10)，对任意的n∈，有其中sign(·)为符号函数．(10)也蕴含了由文献[8]第七章定理4.1知，对任意的θ∈(0,1)，近似问题(11)存在古典解第2步建立近似解的C2模估计．由(9),(12)和(13)，存在与n无关的常数µ0>0，使得由二阶椭圆方程解的最大模估计，见文献[8]第七章定理1.1，有其中C只依赖于µ0与|a−b|．接下来估计由方程(11)及(14)可知，存在与n无关的常数µ1>0，使得设．定义C2((0,δ))上的算子L为令其中k,δ>0均待定，使得φ满足其中M0为(14)中的常数．由(17)，应有设k,δ满足(18)，则要使(16)成立，只须当然，为使我们还应限制k，使得(由(18)) 综上，只要取即可．由极值原理，必有ψ(s)≤φ(s),∀s∈[0,δ]，即再令则由(15)和Lφ>0，有当然还有−φ(δ)≤−2M0≤ψ(δ)．因而又有ψ(s)≥ −φ(s),∀ s∈ [0,δ]，即由(19),(20)即知对t0完全类似可建立上述估计．由(15),(21)即得第3步证明近似解收敛于原问题的C2解．由(14)和(22)，{yn}有子列(仍记为{yn})在C1([a,b])中收敛于某函数y∈C1([a,b])，且˙y(由(22))为Lipschitz的，从而y几乎处处二次可微．由注1可知，yn亦是问题(11)的于(a,b)上的粘性解．设t∈(a,b),(p,q)∈J2,±yn(t)．由文献[9]命题4.3知，存在使得当n→∞时，(tn,yn(tn),pn,qn)→(t,y(t),p,q)．由此即知y是问题(8)的粘性解．但y几乎处处二次可微，从而在古典意义下于(a,b)上几乎处处满足方程(8)．如此一来，又有从而y∈C2([a,b])．4 定理1的证明引理1 设f连续且满足(C2)，且存在非负非减函数η∈C([0,∞))和常数a,b>0，使得则对系统(2)的任一周期解x，存在只依赖于µ,η,a,b和的常数C>0，使得其中µ为(C2)中的函数．证明与定理2之证明中的估计相仿，从略．定理1的证明令其中M1,M2为(C1)中的常数．考察方程我们证明(25)有2π-周期解．记则赋以范数║ ·║k:是一Banach空间．定义从到自身的映射T为：对任意的y∈,Ty是方程的2π-周期解．由G和的定义知G−有界，从而有M,N∈R,M<N，使得由定理2和G的严格单调递增性，对任意的y∈，(26)有唯一的2π-周期解x ∈ C2，且M ≤x≤N．从而T是适定的且有由引理1知，T把映为中的有界集．我们想说明T还是连续的，从而是上的一个紧映射．为此，只须证明若{yn}⊂yn→y0∈，则{yn}必有子列{ynk}，使得Tynk→ Ty0于．事实上，因{Tyn}在中有界，从而必有子列中收敛．记xk=，要证x0=Ty0．由方程(26)，有注意到和G均连续从而内闭一致连续，所以在中收敛．于是中的一个Cauchy 列．设xk→(于)．由xk→x0(于)，必有在(29)两边取极限，由方程(26)在给定y后之解x的唯一性知，确有x0=Ty0．设R0>0，使得则此处是中以0为中心，R0为半径的闭球．由Schauder不动点原理，T至少有一个不动点x，则x便是(25)的一个2π-周期解．接下来验证M1≤x≤M2，从而由的定义，x就是系统(2)的一个2π-周期解．如若不然，不妨设有t∈R，使得x(t)>M2，则于x的最大点∈[0,2π]处，有x(˜t)>矛盾！参考文献：[1]周同藩.二阶完全非线性微分方程周期解的存在唯一性[J].西北师范大学学报(自然科学版)，2007,43(3):9-11 Zhou T F.The existence and uniqueness of periodic second order fully nonlinear dif f erential equations[J].Journal of Northwest Normal University(Natural Science Edition),2007,43(3):9-11 [2]Li D S,Liang Y T.Existence of periodic solutions for fully nonlinear f i rst-order dif f erential equations[J].Nonlinear Analysis,2003,52(4):1095-1109 [3]周同藩，李德生.一阶完全非线性微分方程周期解的存在唯一性[J].兰州大学学报(自然科学版)，1994,30(4):9-13 Zhou T F,Li D S.Existence and uniqueness of periodic solutions for the fully nonlinear f i rst-order dif f erential equations[J].Journal of Lanzhou University(Natural ScienceEdition),1994,30(4):9-13[4]Stopplli F.Su di un’equazione dif f erenziale della meccanica dei f ili[J].Rendiconto dell’Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche,1952,19(1):109-114[5]林发兴.Lienard方程周期解、概周期解的存在性[J].数学学报(中文版)，1996,39(3):314-318 Lin F X.The existence on periodic solutions and almostperiodic solutions of Lienard equation[J].Acta Mathematics Sinica(Chinese Series),1996,39(3):314-318[6]张芷芬，等.微分方程定性理论[M].北京：科学出版社，1985 Zhang Z F,et al.Qualitative Theory of Dif f erential Equations[M].Beijing:Science Press,1985[7]桑森，康蒂.非线性微分方程[M].北京：科学出版社，1983 Sansone G,Conti R.Nonlinear Dif f erential Equations[M].Beijing:Science Press,1983[8]陈亚浙，等.二阶椭圆型方程与椭圆型方程组[M].北京：科学出版社，1991 Chen Y Z,et al.Second-order Elliptic Equations and Elliptic Equation Systems[M].Beijing:Science Press,1991[9]Crandall M G,Ishii H,Lions P er’s guide to viscosity solutions of second-order partial dif f erential equations[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1992,27(1):1-67。

一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性蒲晓琴【摘要】最近,P.Bezandry和T.Diagana(P.Bezandry,T.Diagana.Appl.Anal.,2007,117:1-10.)引入了均值概周期的概念,研究了一类随机时滞演化方程,并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件.我们将应用不动点理论和分数幂算子方法,获得一类中立型随机偏微分方程在均方意义下的概周期解的存在性和唯一性的充分条件.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】6页(P659-664)【关键词】中立随机偏微分方程;均值概周期;分数幂算子;不动点【作者】蒲晓琴【作者单位】中国民航飞行学院计算机学院,四川广汉618307【正文语种】中文【中图分类】O175.13Bohr最先引了概周期函数的概念，随后，Bochner将这概念推广到Polish空间．近些年来，由于概周期微分方程在物理、化学和生物数学上的应用，许多学者研究了概周期微分方程概周期解存在性问题［1－17］．随机微分方程的动力行为也被许多人研究［8－20］．最近，P．Bezandry等［21－22］引入了均值概周期的概念，研究了一类随机时滞演化方程，并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件．应用不动点理论和分数幂算子方法，获得了一类中立型随机偏微分方程在均值概周期解的存在性和唯一性的充分条件．假设H和K为实可分的Hilbert空间，它们的范数分别记为‖·‖和‖·‖K．设(Ω，F，{Ft}t≥0，P)为完备概率空间．L2(K，H)为Hilbert－Schmidt算子，范数记为‖·‖2．Q为对称非负算子，Q∈L2(K，H)，并且Q的迹有限．W(t)(t∈R)为定义在(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上的取值在K上的Q－Wiener过程［23］．L2(P，H)为强可测的，均方可积的H值随机变量的全体，显然，在范数‖X‖L2(P，H)=(E‖X‖2)1/2下为Banach空间，其中E为期望．设范数为研究如下一类中立型随机偏微分方程其中，A为Hilbert空间H上的一致指数稳定解析半群最小生成元，r≥0，f，g:R×H→H和σ:R×H→为连续函数．设A:D(A) H→H为定义在Hilbert空间H上的线性算子(T(t))t≥0的解析半群最小生成元，M和δ为正常数，满足‖T(t)‖≤Me－δt对任意t≥0．假设0∈ρ(A)，那么，可以定义分数幂算子Aα对0＜α＜1．它是一闭线性算子，并且定义域D(Aα)在H中稠密．Hα记为Banach空间D(Aα)，其范数为引理1．1［24］下列2个属性成立:(i)如果0＜β＜α≤1，那么Hα→Hβ并且当A的预解式为紧时，该嵌入是紧的; (ii)对0＜α≤1，存在Cα以致为了获得主要结果，介绍一些定义和引理．设(B，‖·‖)为一Banach空间．定义1．1 一连续随机过程X:R→L2(P;B)称为均值概周期的，如果对每一个ε＞0，存在l(ε)＞0以致任何区间长度l(ε)最少存在一数τ满足下列为一些均值概周期过程的属性．引理1．2［21］如果X属于AP(R;L2(P;B))，那么:(i)映射t→E‖X(t)‖2一致连续;(ii)存在常数N＞0满足E‖X(t)‖2≤N，对t∈R．引理1．3 如果X(·)∈AP(R;L2(P;B))，那么X(·－r)∈AP(R;L2(P;B))，其中r≥0为固定常数．证明和文献［25］中的相似，故省略．设CUB(R;L2(P;B))为连续有界随机过程X: R→L2(P;B)的集合，那么，容易证明在下列范数下CUB(R;L2(P;B))为Banach空间．引理1．4［21］ AP(R;L2(P;B)) CUB(R; L2(P;B))为闭子空间．由上可知，AP(R;L2(P;B))在范数‖·‖∞下是Banach空间．设(B1，‖·‖B1)和(B2，‖·‖B2)为Banach空间．定义1．2 称连续函数F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的，如果对任何ε＞0，存在l(ε，K)＞0以致对任何区间长度l(ε，K)最少存在一数τ，对任何随机过程Y:R→K满足引理1．5［21］设F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的．假设F是以下列方式Lipschitz的对所有Y，Z∈B1，t∈R成立，其中M＞0，那么对所有均值概周期过程Φ:R→L2(P;B1)，随机过程t→F(t，Φ(t))是均值概周期的．(1)式的温和解的定义如下［26］:定义1．3 随机过程x(t):［δ，δ+a)→L2(P; H)，a＞0，称为(1)式在［δ，δ+a)上的温和解，如果s→AT(t－s)f(s，x(s－r))在［δ，t)可积，δ＜t＜δ+ a，并且满足为了获得所需结果，假设:(H1)函数g(t，x):R×H→H关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．存在α∈(0，1)以致(－A)αf(t，x):R×H→Hα关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，(－A)αf，g是以下列方式 Lipschitz的:存在 Lf和Lg满足对所有x，y∈H和t∈R成立．(H2)函数σ(t，x):R×H→L02关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，σ是以下列方式Lipschitz的:存在Lσ满足对所有x，y∈H和t∈R成立．定理2．1 假设(H1)和(H2)成立，并且那么(1)式在R上存在唯一均值概周期解．证明设Γ:AP(R;L2(P;H))→C(R;L2(P; H))的定义为显然，Γx(·)是连续的．定义由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．由引理1．2，可知(－A)αf(t，x(t－r))有界．由引理1．1和Cauchy－Schwarz不等式可得由s→AT(t－s)f(s，x(s－r))是可积的在(－∞，t)对任何t∈R，故Γ定义是合适的．由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．同时有由上可知对每个t∈R成立，即I1x(t)均值概周期函数．下一步，证明当x是均值概周期函数I3x(t)和I4x(t)是均值概周期函数．该证明和文献［21］中的定理3．2相似，故省略．下一步证明I2x(t)是均值概周期函数．由引理1．3、引理1．5和(H1)可得，当x 是均值概周期函数，(－A)αf(t，x(t－r))是均值概周期函数．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．由引理1．1可得因此，应用Cauchy－Schwarz不等式可得由上可知对每个t∈R成立，即I2x(t)是均值概周期函数．由上可知，Γ是AP(R;L2(P;H))对自身的映射．下面证明Γ是压缩映射．显然由于可得首先，估计上式右边第一项现在估计第二项，由引理1．1、(H1)和Cauchy－Schwarz不等式可得现在估计第三项得现在估计最后一项，应用建立在文献［27］中命题1．9的It 积分估计得因此这说明Γ(·)是压缩的．故Γ(·)存在不动点x∈AP(R;L2(P;H))，即对所有t∈R成立．固定δ∈R可得那么然而，对t≥δ，因此，x(t)是(1)式的温和解．证明完毕．致谢中国民航飞行学院面上项目(J2013－39)对本文给予了资助，谨致谢意．【相关文献】［1］HERN NDEZ E，PELICER M．Asymptotically almost periodic and almost periodic solutions for partial neutral differential equations［J］．Appl Math Lett，2005，18:1265－1272．［2］HENR QUEZ H，V SQEZ C．Almost periodic solutions of abstract retarded functional －differential equations with unbounded delay［J］．Acta Appl Math，1999，57(2):105－132．［3］LIU B，TUNC C．Pseudo almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with a deviating argument［J］．J Appl Math Comput，2015，49:233－242．［4］ZHANG L，LI H．Weighted pseudo almost periodic solutions for differential equations with piecewise constant arguments［J］．Bull Aust Math Soc，2015，92:238－250．［5］AKDAD A，EZZINBI K，SOUDEN L．Pseudo almost periodic and automorphic mild solutions to nonautonomous neutral partial evolution equations［J］．Nonauton Dyn Syst，2015，2:12－30．［6］SADRATI A，ZERTITI A．Existence and uniqueness of positive almost periodic solutions for systems of nonlinear delay integral equations［J］．Electron J Diff Eqns，2015，116:12．［7］CAO J，HUANG Z．Existence and exponential stability of weighted pseudo almost periodic classical solutions of integro－differential equations with analytic semigroups ［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2015，23:241－256．［8］WANG W T．Positive pseudo almost periodic solutions for a class of differential iterative equations with biological background［J］．Appl Math Lett，2015，46:106－110．［9］HENRIQUEZ H，CUEVAS C，CAICEDO A．Almost periodic solutions of partial differential equations with delay［J］．Adv Difference Eqns，2015，2015:46－61．［10］WANG Q，LIU Z，LI Z，et al．Existence and global asymptotic stability of positive almost periodic solutions of a two－species competitive system［J］．Int J Biomath，2014，7:1450040．［11］ZHUANG R，YUAN R．Weighted pseudo almost periodic solutions of N－th order neutral differential equations with piecewise constant arguments［J］．Acta MathSin(Engl Ser)，2014，30:1259－1272．［12］MAQBUL M，BAHUGUANA D．Almost periodic solutions for Stepanov－almost periodic differential equations［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2014，22:251－264．［13］EZZINBI K，ZABSORE I．Pseudo almost periodic solutions of infinite class for some functional differential equations［J］．Appl Anal，2013，92:627－1642．［14］WANG L，SHI Y．Almost periodic solutions of abstract differential equation withimpulse and time delay in Banach space［J］．Int J Appl Math Stat，2013，43:379－386．［15］VRABEL I．Almost periodic solutions for nonlinear delay evolutions with nonlocal initial conditions［J］．J Evol Eqns，2013，13: 693－714．［16］DING H，LONG W，N’GU R KATA G．Existence of pseudo almost periodic solutions for a class of partial functional differential equations［J］．Electron J Diff Eqns，2013，104:14．［17］XU Y．Existence and uniqueness of almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with time－varying delays［J］．Electron J Qual Theory Differ Eqns，2012，80:9．［18］鲍杰，舒级．高阶广义2D Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(3):298－306．［19］付颖，李扬荣．无界域上带有可加白噪音的Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．西南大学学报(自然科学版)，2012，37(12):37－42．［20］杜先云，陈伟．具有可加噪声的耗散KdV型方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(5):651－655．［21］BEZANDRY P，DIAGANA T．Existence of almost periodic solutions to some stochastic differential equations［J］．Appl Anal，2007，117:1－10．［22］BEZANDRY P．Existence of almost periodic solutions to some functional integro－differential stochastic evolution equations［J］．Stat Probabil Lett，2008，78:2844－2849．［23］PRATO G，ZABCZYK J．Stochastic Equations in Infinite Dimensions ［M］．Cambridge:Cambridge Univ Press，1992．［24］PAZY A．Applied Methematical Sciences［M］．New York:Springer－Verlag，1983．［25］DING H，LIANG J，N’GU R KATA G．Pseudo almost periodicity of some nonautonomous evolution equations with delay［J］．Nonlinear Anal:TMA，2007，67:1412－1418．［26］LIU K．Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications［M］．London:Chapman and Hall，2004．［27］ICHIKAWA A．Stability of semilinear stochastic evolution equations［J］．J Math Anal Appl，1982，90(1):12－44．。

一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性宋利梅【摘要】利用k 集压缩算子的抽象连续性定理,讨论了一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性,得到周期解存在的充分条件.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(000)002【总页数】5页(P27-31)【关键词】中立型微分方程;周期解;k-集压缩算子【作者】宋利梅【作者单位】嘉应学院数学学院,广东梅州,514015【正文语种】中文【中图分类】O175.14众所周知，在大量的自然和社会活动中，时滞现象几乎都是不可避免的.所以对时滞微分方程的研究受到广泛的关注.随着泛函微分方程应用的不断推广及理论研究的逐渐深入,近年来时滞微分方程周期解的存在性问题的研究也非常活跃,并有了一些很好的研究成果[1-4].如王根强和燕居让[1]利用重合度理论研究了一类二阶非线性中立型方程[x(t)+cx(t-)]″+g(t,x(t-σ))=p(t)的周期解存在性问题,其中c,,σ均为常数.朱艳玲和鲁世平[2]利用重合度理论研究了一类变时滞微分方程[x(t)-cx(t-σ)]″+g(t,x(t-(t)))=p(t)周期解的存在性问题,其中c,σ为常数, (t)为上连续T周期函数.显然,方程(1)是方程(2)当 (t)退化为常数时的特殊情况.上述方程的共同特点是方程非线性项不含x导数项.本文将利用k-集压缩算子的抽象连续性定理及一些分析技巧研究以下一类变时滞的二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性问题[x(t)-cx(t-r)]″=f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))+p(t),其中r, c是常数, r≥0, |c|<1, (t)C1(,),p(t)C(,), f(t,x,y)C(×2,), 且 (t+T)=(t),p(t+T)=p(t),f(t+T,x,y)=f(t,x,y),′(t)<1,T>0为常数.定义1[3] 设X是一个实Banach空间,S是X的有界子集,令αX(S)=inf{δ>0:S可表示为有限个集的并：使每个Si的直径diamX(Si)≤δ},则称αX(S)为S的非紧性测度或Kuratowski距离.定义2[3] 设X,Y均是实Banach空间,D⊂X, 算子N:D→Y连续、有界,如果存在常数k≥0,使对任何有界集S⊂D, 都有αY(N(S))≤kαX(S),则称N 是D上的k-集压缩映射.如果L:Dom L⊂X→Y是指标为零的Fredholm算子,由文献[4]可以知道,对任何有界集B⊂Dom L,sup{γ>0:γαX(B)≤αY(L(B))}是存在的,因而可以定义对任何有界集B⊂Dom L}.引理1[5] 设 L:Dom L⊂X→Y是指标为零的线性Fredholm算子,yY是一固定点.假设N: →Y是k-集压缩映射,k<l(L),Ω⊂X是有界的且关于0Ω对称的开子集,并且满足:(R1)Lx≠Nx+ y,∀x∂Ω, ∀ (0,1);(R2)[QN(x)+Qy,x]·[QN(-x)+Qy,x]<0,∀xKer L∩∂Ω,其中[·, ·] 是Y×X上的某个双线性泛函,Q是投影算子，Q:Y→Y/Im L. 那么,存在x 满足Lx=Nx+y.设C1(,),x(t+T)=x(t)},其模定义为； Y=CT={x:xC(,),x(t+T)=x(t)},其模定义为}.那么在此范数下X, Y 均为Banach空间.定义算子L为:其中Dom L={x:xC2(,),x(t+T)=x(t)}.下面讨论L的性质. 在此只讨论c≥0时的情况.当c<0时,讨论中只须用|c|代替c即可,在此不再赘述. 先考虑核Ker L.设xKer L, 则其中c1,c2为常数.由xX,知x(t)-cx(t-r)也是T-周期连续的,从而c1=0, x(t)-cx(t-r)=c2.故对任意 t都有x(t)=c2+cx(t-r)=c2+c[c2+cx(t-r-r)]=c2(1+c)+c2x(t-2r)=…=c2(1+c+c2+…+cn-1)+cnx(t-nr)=c2+cnx(t-nr).由于0≤c<1, 故当n→∞时,有x(t)= .另一方面,∀x≡c2, Lx=0,即xKer L,那么Ker L=R,dimKer L=1.再讨论像集Im L.设y(t)Im L, 即存在xDom L⊂X, 使得则y(t)dt=0, 那么Im L={y:yY,y(s)ds=0}是Y中的闭集,且dim(Y/Im L)=1,因此L 是指标为零的线性Fredholm算子.又定义算子N为:则方程(3)转化为算子方程Lx=Nx+p.定理1 假设以下条件成立：(H1)存在常数k[0,1),使得对∀(t,x,y)(,2)，有(H2)设存在常数M1>0, 使得当 x>M1 时,∀(t,y)×, 有f(t,x,y)+p(t)>0(<0),当 x<-M1 时,∀(t,y)×,有f(t,x,y)+p(t)<0(>0);(H3)令f+(t,x,y)=max{f(t,x,y),0}, f-(t,x,y)=max{-f(t,x,y),0}, 则|f|+f=2f+,|f|-f=2f-.设存在非负数a1,a2,a3, 使得对∀(t,x,y)×2成立或则当|c|+a1T2+a2T<1时, 方程(3)至少存在一个T-周期解.注意到:当f是非负或非正时,条件(H3)是自然成立的.在证明此定理之前,我们先给出以下一些引理.引理2[6] 若L是指标为零的线性Fredholm算子,则成立l(L)≥1, 其中l(L)是由式(5)定义的.引理3 在定理1的条件下是k-集压缩的, 且k<1,其中k由定理1的条件(H1)给出. 证明给定uX,对任何有界集B⊂X,定义如下:(Nux)(t)=f(t,x(t-(t)),u′(t-(t))).由于f:[0,T]×2→在有界集上是一致连续的,集合{Nu|uX} 在上是一致等度连续的,即∀ε>0,δ(ε)>0, 当uB 且时, 有ε.令δ′(ε)=min{δ(ε),ε},则∀Ω⊂B,当diamY(Ω)<δ′(ε)时,有diamY(Nu(Ω))<ε.令η=αX(B),对上述∀ε>0,由式(4)知存在有限个子集B1,B2,…,Bm⊂B, 满足且又由于是紧嵌入Y=CT, B是X中的有界集,那么B在Y中是相对紧的,这样对∀j{1,2,…,m},Bj在Y中也是相对紧的,故αY(Bj)=0.于是由式(4)得,对∀j{1,2,…,m}存在有限个子集⊂Bj满足且).故从而对∀x,u 有|(Nx)(t)-(Nu)(t)|0=su|f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))-f(t,u(t-(t)),u′(t-(t)))| ≤|(Nx)(t)-(Nux)(t)|0+|(Nux)(t)-(Nu)(t)|0.由条件(H1)知|(Nx)(t)-(Nux)(t)|0=su|f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))-f(t,x(t-(t)),u′(t-(t)))|≤(t))-u′(t-(t))|≤k|x′(s)-u′(s)|0≤k|x-u|1≤kdiamX().故由式(6),有|(Nx)(t)-(Nux)(t)|0≤kη+kε.又由式(7)知,对∀x,u|(Nux)(t)-(Nu)(t)|0=|(Nux)(t)-(Nuu)(t)|0≤ε.这样由式(8)、(9)和(10)得到,对∀x,u 有|(Nx)(t)-(Nu)(t)|0≤kη+(k+1)ε.从而由ε的任意性知, αY(N(B))≤kαX(B), 即N是k-集压缩的.证毕.引理4[7] 设x=x(t)C1(,)∩ CT且ζ[0,T],则有这里系数1/2是最佳的.定理1的证明考虑算子方程Lx= Nx+ p,(0,1), ∀xX, 即[x(t)-cx(t-r)]″=f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))+ p(t).设x(t)=x(t+T)是方程(11)的任一周期解.对方程(11)两边从0到T积分,得[f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))+p(t)]dt=0,即f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))dt=-p(t)dt ≤|p(t)|dt.由积分中值定理知, 存在ξ[0,T], 使得由条件(H2),我们有|x(ξ-(ξ))|≤M1.由于ξ-(ξ),因而一定存在整数n和t0[0,T],使得ξ-(ξ)=nT+t0, 所以|x(t0)|=|x(ξ-(ξ))|≤M1.于是由引理4有由x(0)-cx(-r)=x(T)-cx(T-r)可知,存在 t1[0,T],使得x′(t1)-cx′(t1-r)=0. 于是,由方程(11),对任意t[0,T],有x′(t)=cx′(t-r)+ [f(s,x(s-(s)),x′(s-(s)))+p(s)]ds.由式(12)～(14)及条件(H3)有|f(s,x(s-(s)),x′(s-|f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))|dt+2|p(t)|dt+a1|x(t-(t))|dt+a2|x′(t-(t))|dt+a3T ≤其中|.于是由|c|+a1T2+a2T<1,得由式(13),有令M=M1+M2+M3, 取Ω={xX:|x|1<M},则Ω为X中的有界开集,且满足引理1的条件(R1).下证引理1的条件(R2)也满足.为此,在Y×X上定义有界双线性泛函[·,·]如下:且定义投影算子Q:Y→Y/Im L=R为这样对于∀xKer L∩∂Ω,则X是常函数且|x|=M,由定理1的条件(H2)可得[QN(x)+Qp,x]·[QN(-x)+Qp,x]=M2[f(t,M,0)+p(t)]dt×[f(t,-M,0)+p(t)]dt<0,即引理1的条件(R2)也满足.从而由引理1, 存在xΩ满足Lx=Nx+p.即方程(3)至少存在一个T-周期解.证毕.定理2 若定理1的条件(H1)和(H2)成立,且满足：(H4)函数f可分解成使得其中β1,β≥0,γ>0.则当|c|+βT2+γT<1时,方程(3)至少存在一个T-周期解.证明设x(t)=x(t+T)是方程(11)的任一周期解.类似于定理1的证明可知又因为x(t)=x(t+T),故ξ1[0,T],使得x′(ξ1)=0, 那么于是以下只需证明|x″(t)|dt有界即可.选取一个常数ε>0,使得|c|+βT2+(γ+ε)T<1, 对∀ε>0,由条件(H4)知,存在常数K>0,使得当|x′(t-(t))|>K时,有令E1={t[0,T]:|x′(t-(t))|>K},E2={t[0,T]:|x′(t-(t))|≤K}, 则有|f2(t,x′(t-(t)))|dt =E1|f2(t,x′(t-(t)))|dt+E2|f2(t,x′(t-(t)))|dt ≤(γ+ε)|x′(t-(t))|dt+K1T,其中(t)))|.由方程(3)可得|x″(t)|-|c||x″(t-r)|≤|x″(t)-cx″(t-r)|≤|f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))+p(t)|.结合式(15)～(17),有(1-|c|)|x″(t)|dt ≤|f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))+p(t)|dt ≤|f1(t,x(t-(t)))|dt+|f2(t,x′(t-(t)))|dt+|p(t)|dt ≤β1T+ β |x(t-(t))|dt+(γ+ε)|x′(t-(t))|dt+K1T+|p|0T ≤K1T+|p|0T≤βT(M1+T|x″(t)|dt)+(γ+ε)T|x″(t)|dt+β1T+K1T+|p|0T≤[βT2+(γ+ε)T]|x″(t)|dt+βM1T+β1T+K1T+|p|0T.于是有|x″(t)|dt≤:=.其余类似于定理1的证明.证毕.作为应用现举例如下.例1 考虑如下非线性中立型时滞微分方程[x(t)-cx(t-r)]″=sin2x′(t-sin t)+这里|c|<1,r>0,由于|f(t,x,y)-f(t,x,)|≤|sin2y-sin2|≤|y-|,故定理1的条件(H1)成立.取M1=ln 3,则当x>M1时,∀(t,y)×, 有当x<-M1 时,∀(t,y)×,有f(t,x,y)+p(t)≤+ecos2(t/2)-2ecos2(t/2)=-ecos2(t/2)<0.因而定理1的条件(H2)满足.又f(t,x,y)>0,所以定理1的条件(H3)自然成立.这样取a1=a2=0,∀a3>0,得|c|+a1T2+a2T<1.由定理1知方程(18)存在2π周期解.致谢:作者衷心感谢翁佩萱教授的悉心指导!Key words： neutral differential equations; periodic solutions; k-set contractive operator【相关文献】[1] 王根强, 燕居让. 二阶非线性中立型泛函微分方程周期解的存在性[J]. 数学学报, 2004, 47(2): 379-384.WANG Genqiang, YAN Jurang. Existence of periodic solutions for second order nonlinear neutral delay equations[J]. Acta Mathematica Sinica, 2004, 47(2): 379-384.[2] 朱艳玲, 鲁世平. 一类二阶中立型泛函微分方程周期解的存在性[J]. 安徽师范大学学报:自然科学版, 2006, 29(1): 12-16.ZHU Yanling, LU Shiping. On the existence of periodic solutions for a kind of second order neutral functional differential equations[J]. Journal of Anhui Normal University:Natural Science Edition, 2006, 29(1): 12-16.[3] 郭大均. 非线性泛函分析[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2002: 187-193.[4] GAINES R E, MAWHIN J L. Coincidence degree and nonlinear differential equation[M]. Lecture Notes in Math No. 568, New York: Springer-Verlag, 1977.[5] PETRYSHYN W V, YU Z S. Existence theorems for higher order nonlinear periodic boundary value problems[J]. Nonlinear Anal, 1982, 6(9): 943-969.[6] LIU Zhongdong, MAO Yiping. Existence theorem for periodic solutions of higher order nonlinear differential equations[J]. J Math Anal Appl,1997, 216: 481-490.[7] LI Jingwen, WANG Genqiang. Sharp inequalities for periodic functions[J]. Applied Mathematics E-Notes, 2005, 5: 75-83.。

一类非线性微分方程解的存在性微分方程是数学分析中一个重要的分支，它是描述物理现象的重要工具。

在许多实际问题的研究中，微分方程及其解的存在性至关重要。

本文将重点讨论一类非线性微分方程解的存在性问题，通过分析理论，相关定理，证明结果等，深入探讨这一问题。

首先，本文定义一类非线性微分方程：fy + f(y) = 0，其中f：R->R为可微定义函数，y：I->R为连续函数，记作：y(x)。

这一类微分方程具有非常重要的实际意义，它反映了物理问题中特定物理量的变化情况，并可用于描述单极子现象以及其它类似问题，如电路问题，流体流动等。

其次，可以利用不动点定理推导出一类非线性微分方程解的存在性的关键。

不动点定理的原理是：若在闭合区域内定义了一个可微的函数f(x)，那么在该区域内至少有一个不动点x0，满足f(x0)=0。

这可以证明在该区域内至少存在一个根。

再次，基于不动点定理，可以使用单变量分析的方法来证明一类非线性微分方程解的存在性。

例如，假设f(x)在x=x0处增加，那么可以证明f(x0)必定大于零，而f(x0+1)则小于零，从而证明在x0和x0+1处非线性微分方程的解一定存在。

同时，从该等式的另一端向另一端推进，依次推出一类非线性微分方程的解存在性定理，用以证明一类非线性微分方程解的存在性。

再者，可以借助微分方程组及其解的稳定性来证明一类非线性微分方程解的存在性。

即通过考察一类非线性微分方程的稳定性，可以确定一类非线性微分方程的解的存在性。

如，假设f(x)在某一点x0处为极小值，那么就可以说明在(x0-δ,x0+δ)范围内，一类非线性微分方程的解必定存在。

最后，可以通过寻找一类非线性微分方程的积分分布等，从而证明一类非线性微分方程解的存在性。

如，可以利用有限差分或者比较原理等，来研究一类非线性微分方程的积分分布。

经过极限运算，可以获得一类非线性微分方程的解，从而证明其存在性。

综上所述，一类非线性微分方程解的存在性可以通过不动点定理，单变量分析，稳定性，积分分布等方法来证明。

一类非线性系统周期解的存在性
本文旨在探讨一类非线性系统周期解的存在性。

非线性系统是由具有非线性特性的物理系统（如摩擦力），化学反应以及生物系统等构成的具有复杂动力学行为的物理系统。

由于其不可线性，因此它们具有解决复杂问题的特殊优势，且可以近似地模拟出实际问题的对应行为。

非线性系统具有周期解的存在性就是指：在某类非线性系统中，当其内部参数取一系列定义为特定值时，系统可能具有重复出现的解，这些解可以成为该系统的周期解。

这些周期的解可以提供巨大的优势，特别是在计算机模拟非线性系统过程中，对于系统的行为判定极其重要。

此外，为了确定一类非线性系统是否具有周期解，可以采用拉普拉斯变换来研究系统的稳定性。

拉普拉斯变换是用于描述非线性系统的稳定性的数学工具，通过计算拉普拉斯变换的幂级数可以检验该非线性系统内部参数是否具有周期性。

综上所述，从理论上讲，一类非线性系统具有周期解的存在性，可以使用拉普拉斯变换来判断其内部参数是否具有周期性，当参数为特定值时，非线性系统可能具有重复出现的解。

一类非线性系统具有周期解的存在性，可以提供更准确的模拟系统过程，并用于分析复杂问题的解决方案。

理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性肖嘉慧哈尔滨理工大学2011年3月国内图书分类号：O177.9理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性硕士研究生：肖嘉慧导师：姚慧丽申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：应用科学学院答辩日期：2011年3月授予学位单位：哈尔滨理工大学Classified Index: O177.9Dissertation for the Master Degree in ScienceThe Existence and Uniqueness of Almost Periodic Type Solutions for Several Classes of DifferentialEquationsCandidate：Xiao JiahuiSupervisor：Yao HuiliAcademic Degree Applied for：Master of Natural Science Specialty：Fundamental MathematicsDate of Oral Examination：March, 2011University：Harbin University of Scienceand Technology哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。

据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。

对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。

本声明的法律结果将完全由本人承担。

作者签名： 日期： 年 月 日哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。

一类二阶具偏差变元中立型泛函微分方程周期解的存在性郭立祥;鲁世平;杜波;梁峰【摘要】本文研究了一类二阶具偏差变元的中立型泛函微分方程周期解的存在性问题.利用J.Mawhin重合度拓展定理,得到了关于中立型泛函微分方程周期解存在的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2010(030)005【总页数】9页(P839-847)【关键词】具偏差变元;中立型;周期解;重合度理论【作者】郭立祥;鲁世平;杜波;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;江苏淮阴师范学院数学系,江苏,淮阴,223300;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000【正文语种】中文【中图分类】O175.6具偏差变元中立型泛函微分方程周期解问题一直是人们广泛关注的研究课题,已有很多研究成果,如文献[1,3–5,7].文献[1]研究了方程在|b|/=1条件下得到了算子(Dx)(t)=x(t)−bx(t−s)有逆算子D−1以及当x∈UCb(R,R)时,有文献[5]进一步研究了具偏差变元的微分方程得到了算子其中r,c∈R是常数,且|c|1,∀t∈ [0,T],有连续有界的逆算子eA−1以及(1)(2)(3)本文在此基础上将研究算子A:CT−→ CT,(Ax)(t)=x(t)−c(t)x(t−τ),其中τ∈R是非负常数,∀t∈R,得出了A有连续有界的逆算子A−1及其相关的性质,并且利用J.Mawhin重合度拓展定理进一步研究如下具偏差变元的中立型泛函微分方程周期解的存在性,其中τ,T∈R为非负常数,u(t)≥0,g(x)为R上的连续函数,c(t)∈C2(R,R),且c(t),α(t),u(t)和p(t)均为R上以T为周期的连续函数.本文引入以下记号：以及易知CT,C1T均为Banach空间.定义线性算子引理2.1如果c0＜1或σ＞1,则A有连续有界的逆算子A−1,且满足(1)[A−1f](t)=(2)R|(A−1f)(t)|dt≤(3)(Ax)′′=x′′(t)−c′′(t)x(t−τ)−2c′(t)x′(t−τ)−c(t)x′′(t−τ),证(1)考虑算子A:CT→CT,[Ax](t)=x(t)−c(t)x(t−τ),[Ax](t)=f(t),∀t∈[0,T].(i)当c0＜1时.从算子B的定义可知以及因此所以A有连续有界的逆算子A−1,并且以及(ii)当σ＞1时,定义线性算子从(i)可知,E有连续逆算子E−1:CT→CT,并且另一方面,从[Ax](t)=x(t)−c(t)x(t−τ),有所以[Ax](t)=−c(t)(Ex)(t−τ),令[Ax](t)=f1(t),从而得到容易看到(A−1f1)(t)=x(t)=那么结合σ＞1可知算子A有连续的逆算子因此结论(1)是正确的.另一方面从(1)的证明过程易知(2)和(3)显然成立.定义线性算子以及非线性算子N:→CT,易知KerL其中是常数,并且ImL=因此ImL是CT中的闭集并且dimKerL= codimImL=1.所以算子L是指标为零的Fredholm算子.定义投影算子P:CT→ KerL,[Px](t)=(Ax)(0)=(Ax)(T),和因此, ImP=KerL和KerQ=ImL.令表示LP的逆算子,那么由于ImQ与KerL同构,则存在同构映射J:ImQ→KerL.引理2.2 如果Ω⊂CT是一个有界开集,那么,非线性算子N在上是L-紧的.证 (1)从Q和N的定义可知,QN()是CT中的有界开集.(2)现在我们来证明L(I−Q)N()是C中的一个相对紧集.任取序列{yn}⊂L(I−Q)N(),则存在一个序列{xn}⊂使得∀t∈[0,T],n=0,1,2,···.那么存在常数ρ1,ρ2＞0,使得|N(y)|0＜ρ1,|QN(y)|0＜ρ2,∀y∈因此结合引理2.1可知|yn|0≤M∗,其中那么是有界的.现在,我们来证明{yn}在Ω中是等度连续的.不失一般性,假设c0＜1.令那么,考虑其中也有其中令f1(t)=因为c(t)∈C2(R,R),所以存在使得从(2.6),(2.7),(2.8)和(2.9)式可知,让0＜δ(ε)得到由Arzela-Ascoli’s定理可知,在上是相对紧的.从(1)和(2)可知非线性算子N在是L-紧的.引理 2.3[3]设g∈CT,u∈CT,函数t−u(t)存在唯一反函数γ(t),∀t∈R,则g(γ(·))∈CT,其中引理2.4[8]设X,Y均为Banach空间,L:D(L)⊂X→Y是指标为零的Fredholm算子,Ω⊂X是有界开集,N:Ω→Y是Ω上的L-紧算子,且下列条件成立(1)LxλN x,∀x∈∂Ω∩D(L),λ∈(0,1),(2)NxImL,∀x∈∂Ω∩KerL,(3)deg{QN,Ω∩KerL,0}/0.则方程Lx=Nx在∩D(L)上至少存在一个周期解.定理3.1 假设Γ(t)＞0,若存在常数r＞0,T＞0,D＞0,δ＞0,使得下列条件满足(A1)xg(x)＞0,|x|＞D,(A2)则当c2T2+2δrT2+2c1T+c0＜1时,其中c0,c1,c2如(2.1),(2.2)式所定义,方程(1.1)至少存在一个T-周期解.证设x(t)为方程(3.1)的任意T-周期解,考虑方程其中L,N别由(2.3)和(2.4)式所定义,则令若则方程(1.1)的周期解存在性等价于方程的周期解存在性,其中易知将(3.2)式两端在[0,T]上同时积分得由于u(0)=u(T),结合引理2.3易见为连续的T-周期函数,于是由积分中值定理知一定存在ξ∈[0,T]使得由(A1)可知由于ξ∈R,故一定存在整数m及t0∈[0,T],使得ξ=mT+t0,从(3.5)式可知|x(t0)|= |x(ξ)|≤D,因此另一方面,从定理的假设c2T2+2δrT2+2c1T+c0＜1可知,存在ε＞0,使得对于这样的ε,结合(A2)可知存在ρ＞0,使得当x＞ρ时,令从(3.4)式可得由于所以其中从(3.2),(3.4),(3.9),(3.10)式以及可知又由x′(0)=x′(T)可知,存在η使得x′′(η)=0,所以结合(3.7)和 (3.11)式,得到所以其中结合(3.8)式可知l1＜1,因此所以令Ω={x|x∈CT,|x|0＜M0+1},(3.12),(3.13)式及(A2)可知引理2.4中的(1),(2)和(3)均满足,又由引理2.2可知N在上是L-紧的,所以由引理2.4可知方程(1.1)至少有一个T-周期解.例考虑下列方程相应于方程(1.1),有由定理3.1知(3.14)至少存在2π-周期解.【相关文献】[1]Zhang Meirong.Periodic solutions of linear and quasilinear neutral functional diferential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,1995,189(2):378–392.[2]Li Yongkun.Periodic solutions of the Li´enard equation with deviationarguments[J].J.Math.Research and Exposition,1998,18(4):565–570.[3]Lu Shiping,Ge Weigao.Existence of positive periodic solutions for neutral functional diferential equation with multiple deviating arguments[J].Appl.Math.ChineseUniv.,2002,17B(4):377–381.[4]Lu shiping,Ren Jingli,Ge Weigao.Problems of periodic solutions for a kind of second order neutral functional diferential equation[J].Applicable Analysis,2003,82(5):392–410. [5]Lu Shiping,Ge Weigao,Zheng Zuxiu.Periodic solutions to neutral functional diferentialequation with multiple deviating arguments[J]put.,2004,152:17–27. [6]Xiao Bing,Liu Bingwen,Huang Lihong.Periodic solutions of a Li´enard-type equation with delays[J]. Ann.of Dif.Eqs.,2005,21(3):460–464.[7]Liu Xiping,Jia Mei,Yang Liu,Ge Wegao.Periodic solutions for neutral Li´enard equation with a statement-dependent deviation variable[J].Ann.Dif.Eqs.,2005,21(3):353–356.[8]Gaines R E,Mawhin J L.Coincidence degree and nonlinear diferential equation[M].Berlin: Springer-Verlag,1977.。

微分方程中的解的存在性理论微分方程是数学中一个重要的研究对象，而解的存在性理论更是其核心内容之一。

本文将会介绍微分方程中解的存在性理论，并着重讨论一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的解的存在性。

在介绍这些理论之前，我们需要先了解一些基本的概念和符号。

一、引言微分方程是描述变量之间关系的方程，其中涉及到未知函数及其导数。

解的存在性理论是研究微分方程是否存在满足特定条件的解的理论。

对于一阶常微分方程和二阶线性常微分方程，我们可以通过一些定理和方法来判断其解的存在性。

二、一阶常微分方程的解的存在性一阶常微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。

在解的存在性理论中，我们主要关注两个定理：皮卡-林德洛夫定理和唯一性定理。

（此处应有相关的定义和定理的表述）根据皮卡-林德洛夫定理，如果给定一个初始条件，即y(x0)=y0，且满足f(x,y)在某个矩形区域内连续且满足利普希茨条件，则一阶常微分方程存在唯一解。

这个解存在于一个特定的区间内，并且在该区间上连续可导。

三、二阶线性常微分方程的解的存在性二阶线性常微分方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=r(x)，其中p(x)，q(x)，r(x)是已知函数。

在解的存在性理论中，我们主要关注两个定理：线性微分方程基本解组的存在性定理和边界值问题解的存在性定理。

（此处应有相关的定义和定理的表述）根据线性微分方程基本解组的存在性定理，如果已知p(x)，q(x)，r(x)在某个区间上连续，则存在两个线性无关的特解。

这两个特解组成了线性微分方程的基本解组，可以由它们线性组合得到任意解。

根据边界值问题解的存在性定理，如果已知p(x)，q(x)，r(x)在某个区间上连续，并给定边界条件，则存在满足这些边界条件的解。

四、总结微分方程中解的存在性理论是研究微分方程解的重要理论之一。

对于一阶常微分方程和二阶线性常微分方程，我们可以根据皮卡-林德洛夫定理、唯一性定理、线性微分方程基本解组的存在性定理和边界值问题解的存在性定理来判断解的存在性。

一类二阶迭代微分方程的周期解一阶二阶迭代微分方程，是数学分析中非常有用的工具，可以在分析上引申出许多有趣的结果。

本文将介绍一类二阶迭代微分方程的周期解。

一. 什么是二阶迭代微分方程二阶迭代微分方程是指一类常微分方程，其解包含至少二阶次的派生，即它的解的表达式中包含至少一个二阶导数的项。

这类方程通常能够描述复杂的物理系统或生物系统，且表示复杂运动的数学形式。

二. 二阶迭代微分方程的周期解二阶迭代微分方程的周期解是指当方程的参数值为一定时，这个方程的解有一类重复出现的状态，即存在一个以固定充分条件初值开始的周期过程。

这类解的特征是它的值每隔一段时间就会重复出现，并且能够无限重复。

三. 二阶迭代微分方程的求解方法对于任何一类单变量的二阶迭代微分方程的周期解，一般会首先利用变分法进行多次积分，从而求解出一类积分函数。

再利用反方向微分，将这些积分函数中涉及到的参数逐步求出，最终由所有参数值求出微分方程的确定解，即所需求解的周期解。

四. 应用前提要想解出一类二阶迭代微分方程的周期解，首先的前提条件是该方程要易于求解，即解的充分条件要易于确定，这样变分法才能够用来求解这类方程。

五. 准备工作要准备求解一类二阶迭代微分方程的周期解，除了要检查方程是否符合求解条件之外，还要准备满足该方程的积分函数，即准备各类积分运算所需要的初始值条件和积分因子。

一般，积分函数的参数值须按照一定准则来设置，以能够满足微分方程的求解。

六. 求解过程在准备工作的基础上，就可以利用变分法了，即多次积分，具体包括：(1)确定满足条件的变分形式；(2)对参数因子进行多项调整，得到最合适的解析解；(3)将所有参数因子逐步组合起来，即可解出准确的方程解。

最后，再通过反方向微分，求出满足该方程的确定解，即得到所需求解的二阶迭代微分方程的周期解。

一类二阶非线性方程周期解的存在性
陈新一
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2009(009)014
【摘要】研究了二阶非线性滞后型微分方程(x)(t)+P[(t)]+Q((x)(t),x(t-τ))=f(t).通过Lyaponov方法给出了周期解存在性定理,推广了一些已知结果.
【总页数】3页(P4117-4118,4121)
【作者】陈新一
【作者单位】西北民族大学,中国民族信息技术研究院,兰州,730030
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性 [J], 宋利梅
2.一类二阶非线性方程周期解的存在性 [J], 陈新一
3.一类二阶非线性微分方程周期解的存在性 [J], 陈新一
4.一类二阶非线性差分方程多重周期解的存在性 [J], 杨丽丽
5.一类二阶非线性多时滞泛函微分方程多个周期解的存在性 [J], 黄祖达;于跃华;贾仁伟
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