北京市海淀区2016届高三下学期期中练习数学(文)试题

2016海淀区高二（下）期中数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）复数z=1﹣2i 的虚部是（）A ．﹣2B ．2C ．﹣2iD ．2i2．（4分）下列导数运算错误的是（）A ．（x ﹣2）′＝﹣2x ﹣1B ．（cosx ）′＝﹣sinxC ．（sinx ）′=cosxD ．（e x）′=ex3．（4分）函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的极大值点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（4分）已知函数f （x ）的导函数f ′（x ）=（1﹣x ）e ﹣x．若f （x ）在（m ，m+2）上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．[﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]5．（4分）已知两个命题：p ：“若复数z 1，z 2满足z 1﹣z 2＞0，则z 1＞z 2．”；q ：“存在唯一的一个实数对（a ，b ）使得a ﹣bi=i （2+i ）．”其真假情况是（）A ．p 真q 假B ．p 假q 假C ．p 假q 真D ．p 真q 真6．（4分）一个高为H 容积为V 的鱼缸的轴截面如图所示．现向空鱼缸内注水，直到注满为止．当鱼缸水深为h 时，水的体积记为v ．函数v=f （h ）的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．（4分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设=a，则下列不等式正确的是（）A．f′（1）＜f′（2）＜a B．f′（1）＜a＜f′（2）C．f′（2）＜f′（1）＜a D．a＜f′（1）＜f′（2）8．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.9．（4分）计算=．10．（4分）已知f（x）=，则f′（x）=．11．（4分）若函数y=ax+cosx是增函数，则实数a的范围是．12．（4分）已知数列{a n}满足a n+2a n+1=7×3n﹣1，且a1=1，则a3=，通项a n=（用n表示）．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：x﹣20138f′（x）﹣10680﹣90根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x=时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．14．（10分）如图，四棱锥B﹣ACDE的底面ACDE满足DE∥AC，AC=2DE．（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD；（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，只需证，由已知AB⊥BC，只需证，由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD．（Ⅱ）证明：假设，又因为DC?平面ABE，所以DC∥平面ABE．又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，所以，又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与矛盾，所以假设错误，原结论正确．15．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x（a∈R）．（Ⅰ）若直线y=2x+b是函数f（x）在点（1，f（1））处的切线，求实数a，b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．16．（10分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集A={a1，a2，…ａn}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j ≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．若数集{a1，2，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．解：对于集合中最大的数a4，因为a4×a4＞a4，3×a4＞a4，2×a4＞a4．所以，，都属于该集合．又因为1≤a1＜2＜3＜a4，所以．所以，，故a1=1，a4=6．问题2：已知数集A={a1，a2，…ａn}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．若数集{a1，1，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．17．（8分）阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程2x3﹣3x2﹣6=0的解的情况：因为方程2x3﹣3x2﹣6=0的同解方程有x3=+3，2x﹣3=等多种形式，所以，我们既可以选用函数y=x3，y=+3，也可以选用函数y=2x﹣3，y=，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况．因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择．请选择合适的函数来研究该方程=的解的个数的情况，记k为该方程的解的个数．请写出k的所有可能取值，并对k的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出a，b的数值）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】复数z=1﹣2i的虚部是﹣2．故选：A．﹣2x﹣3，故错误，2．【解答】对于A：（x﹣2）′＝﹣sinx，故正确，对于B，（cosx）′＝对于C，（sin）′=cosx，故正确，对于D，（e x）′=e x，故正确，故选：A．3．【解答】由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，故f（x）的极大值点的个数为1个，故选：B．4．【解答】函数f（x）的导函数f′（x）=（1﹣x）e﹣x．则（1﹣x）e﹣x≥0，可得x≤1，函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，1]．若f（x）在（m，m+2）上单调递增，可得m+2≤1，解得m≤﹣1．故选：D．5．【解答】p：取z1=2+i，z2=1+i，虽然满足：z1﹣z2＞0，但是z1＞z2不成立，由于复数若不完全是实数，不能比较大小，因此是假命题；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”，利用复数相等的定义可知：是真命题．其真假情况是p假q真．故选；C．6．【解答】由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．据四个选项提供的信息，当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，这样每当h增加一个单位增量△h时，根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选A．7．【解答】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵=a，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．8．【解答】由题意，导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象，并且最低点为（1，1），所以原函数在x=1出的导数为1，由此排除选项A，B；再由导函数的定义域为R，而排除选项C；故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.9．【解答】原式==﹣i+2，故答案为：2﹣i．10．【解答】f（x）==1+﹣∴f′（x）=（1+）′＝故答案为：．11．【解答】∵f（x）=ax+cosx，∴f′（x）=a﹣sinx，∵f（x）=ax+cosx在（﹣∞，+∞）上是单调增函数，∴a﹣sinx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，∴a≥1．故答案为：[1，+∞）．12．【解答】∵a n+2a n+1=7×3n﹣1，且a1=1，∴1+2a2=7，a2+2a3=7×3，解得a2=3，a3=9．由a n+2a n+1=7×3n﹣1，变形为：a n+1﹣3n=﹣，∴由a1=1，可得a2=3，同理可得a3=32，依次递推可得：a n=3n﹣1．故答案分别为：9；3n﹣1．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13．【解答】（Ⅰ）6，3（Ⅱ）：f'（x）=3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣3）（x+1），因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．14．【解答】（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，只需证AB⊥平面BCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知AB⊥BC，只需证AB⊥DC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD．（Ⅱ）证明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又因为DC?平面ABE，所以DC∥平面ABE．又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，所以DC∥AE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以假设错误，原结论正确．故答案为AB⊥平面BCD；AB⊥DC；在平面ABE内存在直线与DC平行；DC∥AE；AC=2DE．15．【解答】（本小题12分）（Ⅰ）解：因为，x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知可得f'（1）=a﹣1=2，解得a=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）因为f（1）=﹣1，所以﹣1=2+b，解得b=﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解1：当a＜0时，因为，所以不合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当a=0时，f（x）=﹣x对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=a，f'（x），f（x）情况如下：x（0，a）a（a+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗极大值↘﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以f（x）的最大值为f（a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，依题意有f（a）=alna﹣a=a（lna﹣1）≤0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为a＞0，所以lna≤1，即a≤e．综上，所求a的取值范围为[0，e]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解2：对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立，即成立，设，当a＜0时，因为，显然不恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当a=0时，不等式显然成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当a＞0时，则，g'（x），g（x）的情况如下：（0，e）e（e+∞）xg'（x）+0﹣g（x）↗极大值↘﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以g（x）的最大值为g（e）=ae﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）故只需ae﹣1≤1，即a≤e．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上，所求a的取值范围为[0，e]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）16．【解答】对于集合中最大的数a4，因为a4+a4＞a4，3+a4＞a4，1+a4＞a4；所以a4﹣a4，a4﹣3，a4﹣1都属于该集合；又因为0≤a1＜1＜3＜a4，所以a4﹣a4＜a4﹣3＜a4﹣1＜a4；所以a1=a4﹣a4=0，a4﹣3=1，a4﹣1=3，故a1=0，a4=4．17．【解答】k的可能取值为0，1，2，3；当k=0时，选用函数y=e x与y=ax2+bx研究，其图象如下，；当k=1时，选用函数y=e x与y=ax2+bx研究，其图象如下，；当k=2时，选用函数y=e x与y=ax2+bx研究，其图象如下，；当k=3时，选用函数y=与y=ax+b研究，其图象如下，．。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（文科） 2016.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =IA. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,),(2,4)x =-=-a b . 若a b P ，则x 的值为 A. 2-B. 12-C. 12D. 23. 已知命题p ：0x ∀>，1x x+≥2命题q ：若a b > ，则ac bc >. 下列命题为真命题的是 A. q B. p ⌝ C. p q ∨ D. p q ∧ 4. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+= A.34 B.34- C. 43 D. 43- 5. 已知函数,log ab y x y x ==的图象如图所示，则 A. 1b a >> B. 1b a >> C. 1a b >> D. 1a b >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 给定条件：①0x ∃∈R ,00()()f x f x -=-；②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+ 的函数个数是下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是 A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在R 上的函数f (x )={2x +a,x ≤0,ln (x +a ),x >0. 若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤< C. 01a ≤< D. 102a -<≤第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（文科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,0,1--C ．{}|21x x -<<D ．{}|21x x -≤<2、已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ A ．1B ．2C ．3D ．43．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2636、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为 A 、12 B 、1 C 、32D 、2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．函数22x y =-10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为＿＿ 14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X ，均满足,,,i j s t X X M X X M ∀∈∃∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3c 的值．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A．3 B．2 C．3 D．35．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x－1，1()ln x g x x -=（Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

2016-2017海淀高三期中练习数学文科试题及答案海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2016.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}B x x x=--<，则A B=A x x=>，{(1)(3)0}IA. {1}x x<<x x<< C. {13} x x> B. {23}D. {2x x>或1}x<2. 已知向量(1,),(2,4)=-=-a b. 若ab P，则x的值为xA. 2-B. 1- C. 122D. 23. 已知命题p：0x∀>，1x+≥2命题q：若a b>，则ac bc>.x下列命题为真命题的是A. qB.p⌝ C.p q∨ D.p q∧4. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+=A. 34B.34-C. 43 D.43-5. 已知函数,log aby x y x ==A. 1b a>> B. b >C.1a b >> D.1a b >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 给定条件：①0x ∃∈R ,0()()f x f x -=-；②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+ 的函数个数是 下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知定义在R上的函数若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是A. 1122a -≤≤B. 102a ≤< C. 01a ≤<D.102a -<≤第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()f x A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A．3 B．2 C．3 D．35．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ．27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4 阅卷须知:DABC1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCACBCB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ …………………2分在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠ …………………4分因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα= …………………7分（Ⅱ）因为π6α=，π2β=, 由（Ⅰ）得πsin32π23sin 6AC BC == …………………9分 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠ …………………11分代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数9． 3±10． 511.1212．2213y x -=13．4,614． 2,[62,2)[23,4]-3.64.4 4.4 3.644x +++== …………………2分则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g …………………3分 （Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s .…………………6分（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，， …………………7分1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ== …………………9分 随机变量ξ的分布列为…………………11分 随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. …………………13分 17解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. …………………2分 因为ABPA A =，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB …………………4分 （Ⅱ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ,所以BC PB ⊥ …………………5分 在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以MNBC . …………………6分在正方形ABCD 中，AD BC , 所以MN AD ， …………………7分ξ 7.2 7.4 88.2 8.6 9.4p14 18 14 18 18 18所以 MN AD ，可以确定一个平面，记为α所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分 （Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, …………………9分 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P . 设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =, 设PN PC λ=, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =-，所以(2,2,22)AN λλλ=-，又(0,2,0)AD =，所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，…………………10分取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=, …………………11分 因为(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-, …………………12分 因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==, 所以211|cos ,|2||||12()1m n m n m n λλλλ-⋅<>===-+ 解得12λ=, 所以3PN = …………………14分 18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分22111'()x f x x x x -=-=…………………2分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：z x NMDCB APx (0,1) 1 (1,)+∞'()f x -+()f x极小值…………………4分 函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=， 所以()f x 的最小值为0 …………………5分 （Ⅱ）解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞， …………………6分22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x --+-===…………………7分 由（Ⅰ）得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥…………………8分所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分 （Ⅲ）证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即00201ln 11ln x x x +-= …………………11分又000001,ln x y y x x -==，则0001ln x x x -=. …………………12分 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾 所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分19解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分32c e a ==， …………………2分 得22134a a -=， …………………3分 解24a =， …………………4分椭圆C 的标准方程为2214x y +=. …………………5分 （Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， …………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分 令0y =，则222002016(4)(1)4y xx x -+=-， …………………10分因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， …………………11分 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤） 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，0直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交， 则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<， …………………9分 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< …………………10分 因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---， 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-，该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()25,(2)5y x x x x --=-<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 方法三：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，0直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分若该圆与x 轴相交，则 04|1|x ->004||y x ， …………………10分 即2200044(1)()0y x x -->， 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ …………………12分该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()2525=22y x x x --=-≤-； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法四： 记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， ……………………….8分所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥， 所以2EH HN HM =⋅， ……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅- 220002016168()y x x x -+-=- ……………………….10分 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈， ……………………….12分 所以0882252522EF EH x ==-≤-=所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法五：设直线 OP 与4x =交于点T 因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT==== 所以AO BOTN TM=，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分 又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为0y y x x =, ……………………….7分 令4x =,得004y y x =, 所以04(4)y T x ， ……………………….8分 而041r TN x ==- ……………………….9分 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- ……………………….10分 所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 ……………………….11分所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤ ……………………….12分 而22220004422(1)()y EF r d x x =-=-- 088252522x =-≤-= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = …………………3分（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合. 设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k kk +++⋅⋅⋅+=，而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k+<, 矛盾，所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n =35. …………………8分 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数. 当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N . …………………10分 定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成， 定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成， 根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆，此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-，此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-，2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =， 集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A．3 B．2CD5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（文科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1,0,1--C ．{}|21x x -<< D ．{}|21x x -≤<2、已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝A ．1B ．2C ．3 D ．43．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3C ．72D ．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为ABC．3 D．36、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为A 、12 B 、1 C 、32D 、2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．函数y10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C 的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为＿＿14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X ，均满足,,,i j s t X X M X X M ∀∈∃∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为c 的值． 16．（本小题满分13 分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。