北京海淀区2021届高三第一学期期中练习数学试卷WORD版)

4 / 47 2 海淀区 2020~2021 学年第一学期期中练习高三数学参考答案2020.11一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACCDBCABAB二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

题号 （11）（12）（13） （14）（15）答案2-3253 41 2π 3 π32 三、解答题共 6 小题，共 85 分。

（16）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）由正弦定理得：b sin B =c .sin C因为 sin B = 2sin C ， 所以 b = 2c .因为 cos A = 3， 0 < A < π ，4所以 sin A =因为 S = ，= 7 .4所以 S = 1 bc sin A = 1 ⨯ 2c 2⨯ sin A = 2 2所以 c 2 = 4 .7 .所以 c = 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b = 2c .因为 cos A = 3，4所以 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 4c 2 + c 2 - 4c 2 ⨯ 3= 2c 2 .4所以 a = 2c .所 以 a= .c（17）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n } 的公差为 d ，则 a n = a 1 + (n -1)d .数学答案 第 1 页（共 10 页）1- cos 2 A⎩ 因为 a 5 = 9 ， a 3 + a 9 = 22 ，⎧a 1 + 4d = 9, 所以 ⎨2a+ 10d = 22. ⎩ 1⎧a 1 = 1,解得： ⎨d = 2.所以 a n = 2n -1 .（Ⅱ）选择①②设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 .因为 S 3 = 7 ，所以 b 2 = S 3 - b 1 - b 3 = 2 . 所 以 q =b 2= 2 .b 1b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择①③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 . 所以 q 2 =b 3= 4 ， q = ±2 .b 1因为 b n +1 > b n ，数学答案 第 2 页（共 10 页）所以 q = 2 .b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择②③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 S 3 = 7 ， b 1 = 1，所以 1 + q + q 2 = 7 . 所以 q = 2 ，或 q = -3 .因为 b n +1 > b n ， 所以 q = 2 .b (1 - q n )所 以 S n = 11 - q= 2n -1 .因 为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .（18）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）因为e x > 0 ，由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) > 0 ，得2x 2 - 3x > 0 . 所以 x < 0 ，或 x > 3 .2所以 不等式 f (x ) > 0 的解集为{x x < 0, 或 x > 3}.2（Ⅱ）由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) 得： f '(x ) = e x (2x 2 + x - 3)数学答案 第 3 页（共 10 页）= e x(2x + 3)(x -1) .令f '(x) = 0 ，得x =1 ，或x =-3 （舍）.2f (x) 与f '(x) 在区间[0, 2] 上的情况如下：x0 (0,1)1(1, 2) 2f '(x)- 0 +f (x) 0 ↘-e ↗2e2所以当x = 1 时，f (x) 取得最小值 f (1) =-e ；当x = 2 时，f (x) 取得最大值f (2) = 2e2.（19）（本小题共14 分）解：（Ⅰ）因为所以所以y = sin x 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +3π] （k ∈Z ）.2 22kπ +π≤x +π≤ 2kπ +3π ， k ∈Z .2 6 22kπ +π≤x ≤ 2kπ +4π ， k ∈Z .3 3所以函数f (x) 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +4π] （k ∈Z ）.3 3（Ⅱ）因为所以因为所以f (x) = 2sin(x +π) ，6f (x -π) = 2sin x .6g(x) =f (x) f (x -π) ，6g(x) = 4sin(x +π)sin x6= 4(3sin x +1cos x)sin x2 2= 2 3 sin2x + 2 cos x sin x= 3 (1- cos 2x)+ sin 2x= 2sin(2x -π) +33 .因为0 ≤x ≤m ，所 以-π≤ 2x -π≤ 2m -π .3 3 3因为g(x) 的取值范围为[0, 2 + 3] ，数学答案第 4 页（共10 页）所以 sin(2x -π) 的取值范围为[-33,1].2所 以 π≤ 2m -π≤4π.2 3 3解得： 5π≤m ≤5π .12 6所以m 的最大值为5π. 6（20）（本小题共14 分）解：由 f (x) =ax3- 3ax2+ 2 + 4a 可得： f '(x) = 3ax2- 6ax = 3ax(x - 2) .（Ⅰ）当a =-1 时，f (3) =-2 , f '(3) =-9 .所以曲线y =f (x) 在点(3, f (3)) 处的切线方程为y =-9x + 25 .（Ⅱ）①当a = 0 时，f (x) = 2 在R 上不具有单调性．②当a > 0 时，令 f '(x) = 0 得 x1= 0, x2= 2 .f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)+ 0- 0+f (x)极大值极小值所以 a ≥ 2 .③当a < 0 时，f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)- 0+ 0-f (x)极小值极大值所以 a + 3 ≤ 0 ，即a ≤-3 .综上所述，a 的取值范围是(-∞, -3] [2, +∞) .（Ⅲ）先证明： f (x1) +f (x2 ) ≥ 4 .由（Ⅱ）知，当a > 0 时，f (x) 的递增区间是(-∞,0) ，(2, +∞) ，递减区间是(0, 2) .因为 x1+x2> 2 ，不妨设 x1≤x2，则 x2> 1.数学答案第 5 页（共10 页）m - 4 a< a n 0 2 2 2 ①若 x 1 ≤ 0 ，则 x 2 > 2 - x 1 ≥ 2 .所以 f (x 1) + f (x 2) > f (x 1) + f (2 - x 1) = 4 + 4a > 4 .②若 x 1 > 0 ，因为 x 2 > 1，所以 f (x 1) + f (x 2 ) ≥ f (2) + f (2) = 4 ，当且仅当 x 1 = x 2 = 2 时取等号. 综上所述，f (x 1) + f (x 2 ) ≥ 4 .再证明： f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .假设存在常数 m （ m ≥ 4 ），使得对任意 x 1 + x 2 > 2 ， f (x 1) + f (x 2) ≤ m .取 x = 2 ，且 x > 2 + ，则1 2f (2) + f (x ) = 2 + ax 3 - 3ax 2 + 2 + 4a= 2 + ax (x - 2)2 + a (x - 2)2 + 2 > a (x - 2)2 + 4 > m ，2 222与 f (x 1) + f (x 2) ≤ m 矛盾.所以 f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .（21）（本小题共 15 分）解：（Ⅰ）取i =1, j = 2 ，则存在a k （ 2 < k < 4 ），使得 a k = 2a 2 - a 1 ，即 a 3 = 2a 2 - a 1 .因为 a 1 = a = 3 ， a 2 = b = 5 ，所以 a 3 = 2a 2 - a 1 = 7 .（Ⅱ）假设{a n } 中仅有有限项为0 ，不妨设 a m = 0 ，且当 n > m 时，a n 均不为0 ，则m ≥ 2 .取i = 1, j = m ，则存在a k （ m < k < 2m ），使得a k = 2a m - a 1 = 0 ，与 a k ≠ 0 矛盾.（Ⅲ）①当a < b 时，首先证明数列{a n } 是递增数列，即证∀n ∈ N * ， a n < a n +1恒成立.若不然，则存在最小的正整数 n 0 ，使得a n ≥ a n +1 ，且 a 1 < a 2 <.显然 n 0 ≥ 2 .取 j = n 0 ,i = 1, 2, , n 0 -1，则存在a k （ n 0 < k < 2n 0 ），使得数学答案 第 6 页（共 10 页）。

高三上学期期中备考题目分类-函数一．函数的三要素1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）函数()21log 1f x x x =+-的定义域为___________.2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为_______． 二．函数的性质1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．2yxB ．ln y x =C ．2x y =D ．sin y x x =2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．ln ||y x =C ．2x y -=D ．22y x x =- 3. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2ln y x =B ．3||y x =C ．1y x x=- D ．cos y x =4. （2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题）下列函数值中，在区间(0,)+∞上不．是．单调函数的是（ ）A ．y x =B ．2yxC ．y x =D ．1y x =-5. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．1y x=B ．lg y x =C ．cos y x =D ．2xy =6. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）设函数f(x)={3x −1,x ⩽a|x +1|,x >a .①若a =1，则f (x )的值域为___________；②若f (x )在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是___________.7. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()(1)f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________. 8. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,4三．函数与方程-零点问题1. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）2. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）设函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若方程()0f x k -=有且只有一个根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[0,2]3. （2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中数学试题）函数11()1f x x x x=-+-,设1x 、2x 、3x 是曲线()y f x =与直线y a =的三个交点的横坐标,且123x x x <<，则下列命题错误的是（ ）A ．存在实数a ，使得324x x ->B ．任给实数a ，都有314x x ->C ．存在实数a ，使得211x x ->D ．任给实数a ，都有321x x ->4. （2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题）已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞5. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞)C ．[-1，3]D ．(-∞，3]6. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞7. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]0,a 上可找到()2,n n n N *≥∈个不同的数1x 、2x、、n x ，使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯⋯=f (x n )x n，则n 的取值为（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}2,4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,4四．函数的应用1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）当强度为x 的声音对应等级为f (x )分贝时，有0()10lgxf x A =(其中A 0为常数)，装修电钻的声音约为120分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A ．2B ．lg 2C ．102D ．1062. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y (mg/m³)随时间t (h)变化的规律可表示为1 ,02 11 ,0)2(at ty aat t⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，如图所示，则a=_____;实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入. 五．初等函数：指数与对数1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）已知a =log 34，πb =3，c 3=9，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知ln3a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<3. （2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>4. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈(-∞，0]时，1()2,3xf x =+则23(log )2f =（ ）A ．12B ．1C ．77D ．11115. （2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中数学试题）已知,a b 为不相等的两个正数，且lg 0ab =，则函数x y a =和x y b =的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称6. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知函数f(x)=log 2(x +a)，若f(2)=2，则a =________．【答案】一．函数的三要素 ：1. 由题意得010x x >⎧⎨-≠⎩，解得：0x >且1x ≠，故函数()f x 的定义域是()()0,11,+∞.故答案为：()()0,11,+∞.2. ∵x >1，10x ∴->，411151y x x ∴=-++≥=-，当3x =时，等号成立.所以函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为5.故答案为：5二．函数的性质1. 对于A ，函数是偶函数，在()0,∞+递减，不合题意；故A 错误，对于B ，函数是偶函数，在()0,∞+递增，合题意；故B 正确， 对于C ，函数不是偶函数，不符合题意；故C 错误，对于D ，函数在()0,∞+不是单调递增，不符合题意；故D 错误. 故选：B.2. 因为3y x =为奇函数，函数2x y -=和函数22y x x =-不具有奇偶性，故排除A ，C ，D ， 又ln ||y x =为偶函数且在(0,)+∞上递增，故B 符合条件.3. 对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，∵()3f x x =的定义给域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误；对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.4. 由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2yx 在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．5. A. 1y x=，是奇函数，排除；B. lg y x =，是偶函数，0x >时，lg y x =，单调递增，正确；C. cos y x =，偶函数，0x >时，是周期函数，排除；D. 2x y =，非奇非偶函数，排除；故选B6.解：①若a =1，则31,1()1,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，当x ≤1时，f (x )=3x ﹣1∈(﹣1，2]， 当x >1时，f (x )=|x +1|>2，∴f (x )的值域为(﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣1，+∞)；②在同一平面直角坐标系内作出函数y =3x ﹣1与y =|x +1|的图象如图：由图可知，要使函数31,()1,x x af x x x a ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩在R 上的增函数，只需-1≤a ≤1，则实数a 的取值范围是[﹣1，1]. 故答案为：①(−1,+∞)；②[﹣1,1].7. 证明：()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证. 故答案为：①②推出③8. 解：根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B三．函数与方程-零点问题1. 函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f < 所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．2. 22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩方程()0f x k -=有且只有一个根，等价于()f x k =图像有一个交点. 画出函数图像：根据图像知：2k > 故选：B3. 解：函数11()1f x x x x=-+-的定义域为()()(),00,11,-∞+∞，易知()f x 在这三段定义域上分别单调递增， 其大致图象如下曲线()y f x =与y a =的三个交点的横坐标1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则12301x x x <<<<，取0.5a =时，即()0.5f x =得(1)(2)(0.5)0x x x +--=，所以11x =-，20.5x =，32x =，21 1.51x x -=>，3134x x -=<，存在0.5a =时，3134x x -=<，所以B 不成立，对于D ：要证321x x ->，即321x x -> ①当32x ≥显然成立②当()31,2x ∈时()310,1x -∈，321x x -> 又()f x 在()0,1上单调递增()()()3231f x f x f x ->=令()()()1111111112112F x f x f x x x x x x x x x=--=-+--+-=+----- 当()1,2x ∈时112x>- ()30F x ∴>即()()3310f x f x --> 即321x x ->即任给实数a ，都有321x x ->，故D 正确；显然A 、C 也成立； 故选：B ．4. ∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ．5.作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e--⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C6.设00x >，则00x -<，()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则0020x a x -+=在()0,∞+上有解，即002x a x =+在()0,∞+上有解，由002x y x =+在()0,∞+上的值域为(1,)+∞，则实数a 的取值范围是(1,)+∞.故选：D7.∵f (x )x =f (x )−0x−0，则代数式()f x x表示曲线()y f x =上的点()(),x f x 与原点连线的斜率， 设()()()1212n n f x f x f x k x x x ====，可知直线y kx =与函数()y f x =的图象有()2,n n n N *≥∈个交点，作出函数()y f x =与直线y kx =的图象如下图所示：由图象可知，直线y kx =与函数()y f x =的图象有2或3或4或5个交点， 因此，n 的可能取值的集合为{}2,3,4,5.故选：A.四．函数的应用1. 解：根据题意，0()10lg x f x A =， 装修电钻的声音约为120分贝，此时对应的声音强度为x 1，则有1012010lgx A =，变形可得121010x A =，普通室内谈话的声音约为60分贝，此时对应的声音强度为x 2，则有206010lg x A =，变形可得62010x A =，变形可得：61210x x =， 故选：D.2. 由题知：当12t =时，1y =，即21a ，解得2a =. 所以1( 12,021,0)22t t y a t t⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，. 当102t <<时，2y t =，单调递增，当12t ≥时，12y t =，单调递减， 令10.752t<，解得23t >， 所以经过23小时后方可进入房间. 故答案为：2；23五．初等函数：指数与对数1.∵a =log 34>1，且a <log 39=2，即a ∈(1，2). ∵πb =3，∴b =log π3<log ππ=1， ∵c 3=9，∴c =√93>√83=2， 则b <a <c ，故选：D.2.由函数单调性可知ln3ln 1a e =>=，0.3log 20b =<， 0.200.30.31c =<=，01c ∴<<， 所以b c a <<.故选：C3. 因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 4. 23log 02>，∴22log 3222332121(log )(log )(log )21223333f f f =-==+=+=． 故选：B ．5. ∵a ，b 为不相等的两个正数， 1b a∴=， 则x x y b a -==，函数x y a =和x y a -=的图象关于y 轴对称， ∴函数x y a =和x y b =的图象关于y 轴对称． 故选：B ．6.∵f(x)=log 2(x +a)，()()22log 22f a ∴=+=，得24a +=，解得2a = 故答案为：2.。

北京市海淀区2021届高三语文上学期期中练习试题（扫描版）新人教版海淀区高三年级第一学期期中练习答案语文2021.11一、本大题共7小题，共29分。

1．(2分)B2．(3分)D3．(3分)B4．(3分)A5．(3分)D6. ①(3分) B ②(2分)C ③(2分)C④(3分)甲：烟笼寒水月笼沙乙：别时茫茫江浸月丙：好似一江春水向东流要求：书写工整，笔画不清按错别字算。

每句1分，错一字该句便不得分。

7. (5分)①再而衰②彼竭我盈③尔后汉因此倾颓也④能谤讥于市朝⑤闻寡人之耳者要求：书写工整，笔画不清按错别字算。

每句1分，错一字该句不得分。

二、本大题共5小题，15分。

8.(3分)C9.(3分)D10.(3分)C11.(3分)D12.(3分)写对1个成语得1分，从不同角度写出3个意思适当的成语即可得3分。

词义表达重复的只得1分。

例：临事处置的态度方面：临危不乱( 处变不惊)、从容不迫(镇定自假设、泰然自若) 、胸有成竹、举重假设轻、智勇兼备……劝止邢隆的策略、才能方面：口齿伶俐(三寸之舌、对答如流、慧心妙舌、辩才无碍)……解郡县之厄的人格方面：敢作敢当、当仁不让……三、本大题共2小题，共11分。

13.(5分)盖竹之体/瘦劲孤高/枝枝傲雪/节节干霄/有似乎士君子//豪气凌云/不为俗屈/故板桥画竹/不特为竹写神/亦为竹写生/瘦劲孤高/是其神也画对2处得1分，可断可不断的不扣分，画错2处扣1分，扣完5分为止。

译文：画竹的方式，没必要崇尚、拘泥于已有的格局，关键是领会其精神，这确实是梅道人（吴镇，字仲圭，号梅花道人，元朝嘉兴人）能够超越上品佳作的缘故所在。

竹子的体态，瘦硬有力特立挺拔，枝枝凌雪傲立，节节挺拔高入云霄，有如士人君子般豪气凌云、不被俗世所压服的品格。

因此我画竹，不只为竹子绘神，也为竹子注入动气。

瘦硬有力，这是它的神态；豪迈凌云，这是它的本性；依托于石头，却又不受石头的限制，这是它的节操；竹子形貌衰败，但是不失刚直的气概，这是它的品性。

数学试题（答案在最后）2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（）A.0B.1- C.0或1- D.0或1【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213-=-m 和33m -=-两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A.25n a n =- B. 310n a n =- C.228n S n n=- D.2122n S n n =-【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3.已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<.故选：B4.设()()1i 21i z -=+，则z =（）A.B.1C.D.2【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出()21i 2i 1iz +==-，求出模长.【详解】()()22221i 21i 12i i 2i 1i1i z ++===++=--，故2z =.故选：D5.下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（）A.y =B.21y x =C.lg y x= D.332x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．【详解】选项A ，y =(0,)+∞上的增函数，错误；选项B ，21y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的减函数，错误；选项C ，lg y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的增函数，正确；选项D ，332x xy --=是奇函数，是区间(0,)+∞上的增函数，错误；故选：C6.已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（）A.6- B.5- C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据,,a c b c = ，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t 的值．【详解】由()3,4a = ，()1,0b = ，则()3,4c a tb t =+=+，又,,a c b c = ，则cos ,cos ,a c b c =，则a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅ ，即a b a b c c⋅⋅=，31t+=，解得5t =，故选：C.7.函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（）A.若0a b +=，则()f x 为奇函数B.若π2a b +=，则()f x 为偶函数C.若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D.若πa b -=，则()f x 为奇函数【答案】B 【解析】【分析】根据选项中,a b 的关系，代入()f x 的解析式，对AD 用特值说明()f x 不是奇函数，对BC 用奇偶性的定义验证即可.【详解】()f x 的定义域为R ，对A ：若0a b +=，()()()cos sin f x x a x a =++-，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f a a =-=不恒成立，故()f x 不是奇函数；对B ：若π2a b +=，()()()()πcos sin cos cos 2f x x a x a x a x a ⎛⎫=+++-=++- ⎪⎝⎭，()()()()()cos cos cos cos ()f x x a x a x a x a f x -=-++--=-++=，故()f x 为偶函数，B 正确；对C ：若π2b a -=，()()()πcos sin 2cos 2f x x a x a x a ⎛⎫=++++=+ ⎪⎝⎭，()()2cos ()f x x a f x -=-+≠，故()f x 不是偶函数，故C 错误；对D ：若πa b -=，()()()()()cos πsin cos sin f x x b x b x b x b =++++=-+++，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f b b =-+=不恒成立，故()f x 不是奇函数；故选：B8.已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),1∞-- B.(],1-∞- C.(),2-∞- D.(],2-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的定义证明()f x 为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m 的取值范围.【详解】当0x <时，0x ->，()f x =()()f x f x -==-，当0x >时，0x -<，()f x =()()f x f x -==-，当0x =时，()00f =，所以对任意的R x ∈，()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，又当0x >时，()f x =为单调递减函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递减函数，所以不等式()()20f x m f x ++>可化为()()2f x m f x +>-，所以2x m x +<-，所以x m <-，由已知对任意的1x ≤有x m <-恒成立，所以1m <-，即1m <-，故m 的取值范围是(),1∞--.故选：A.9.已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b -的最小值是A.1B.1+ C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离211.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（）A.(1,)-+∞ B.(1,0]- C.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩，20x x k --=的两个不同非负实根，所以1400k k ∆=+>⎧⎪=-≥，解得104k -<≤．故选：D ．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos 2α=，再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1cos 2α=，由诱导公式得1cos 2πsin 2αα⎛⎫= ⎪⎭=+⎝.故答案为：1212.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21nn S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.【详解】根据21nn S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13.若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______【答案】1a <【解析】【分析】写出全称量词命题的否定，2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，分0a =，0a <和0a >三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，当0a =时，不等式为20x <，有解，满足要求，当0a ≠时，若0a <，此时220ax x a ++<必有解，满足要求，若0a >，则2440a ∆=->，解得01a <<，综上，a 的取值范围为1a <.故答案为：1a <14.若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______【答案】①.②.π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数()f x 进行化简，再根据最大值求出A ，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由()cos sin f x A x x x ϕ=-=+（），其中1tan Aϕ=，又函数()f x 的最大值为2，则2=，又0A >，则A =，3tan 3ϕ=，不妨取π6ϕ=，故()π2cos 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()f x 的对称中心满足πππ62x k +=+，k ∈Z ，解得ππ3x k =+，k ∈Z ，即()f x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z ，则()f x 的一个对称中心可为：π,03⎛⎫⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（∈0,+∞）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①.①②④②.0a ＞或 a e ≤-．【解析】【分析】（1）令12x x -=，由0∆=，可判断；由sin x =1x 有解，可判断是否具有性质P ；令1+x x =1x，此方程无解，由此可判断；由()1ln 1,x xy y =+=两图象在()1，-+∞有交点可判断；（2）问题转化为方程 1ln x x a=有根，令()ln g x x x =，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a 的取值范围．【详解】解：（1）在 0x ≠时，()1f x x=有解，即函数具有性质P ，令12x x-=，即2210x -+-=，∵880∆=-=，故方程有一个非0实根，故()2f x x =-+具有性质P ；()()sin ]02[f x x x π=∈，的图象与1y x=有交点，故sin x =1x 有解，故()()sin ]02[f x x x π=∈，具有性质P ；令1+x x =1x ，此方程无解，故()1f x x x=+，（∈0,+∞）不具有性质P ；令()1ln 1x x +=，则由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点，所以()1ln 1x x+=有根，所以()()ln 1f x x =+具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②④；（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程 1ln x x a=有根，令()ln g x x x =，则()'ln +1g x x =，令()'ln +10g x x ==，解得1=x e，当11x e -<<时，()'0g x <，所以()g x 在11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，当1>x e 时，()'>0g x ，所以()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()1111ln g x g e e e e⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()ln g x x x =的值域[1e-，+∞），∴11a e ≥-，解之可得：0a ＞或 a e ≤-．故答案为：①②④；0a ＞或 a e ≤-．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC V 中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．【答案】（1）选②或③，4B π=；（2）ABC V 的面积为1.【解析】【分析】（1）选①，利用三边关系可判断ABC V 不存在；选②：利用余弦定理可求得角B 的值；选③：利用正弦定理可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理可求得c 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积．【小问1详解】解：因为sin A B =，b =，则2a ==.选①：因为4c =，则a b c +<，则ABC V 不存在；选②：因为222b a c -=，则222a c b +-=，由余弦定理可得222cos 22a cb B ac +-==，()0,B π∈ ，则4B π=；选③：cos sin a B b A = ，则sin cos sin sin A B A B =，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，sin cos 0B B =>，故tan 1B =，从而4B π=.【小问2详解】解：因为4B π=，2a =，b =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即220c -+=，解得c =，因此，11sin 21222ABC S ac B ==⨯⨯=△.17.已知n S 是等差数列的前n 项和，51120S a ==，数列是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列和的通项公式；（2）设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.【答案】（1）22n a n =-，2nn b =（2）3或4【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和公式求出首项与公差，即可求出数列的通项公式，再求出数列的首项与公比，即可得的通项公式；（2）先求出{}n c 的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列的公差为d ，则511115452021020S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，设等比数列的公比为()1q q >，则()2251131112b q b q b q b q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；【小问2详解】由（1）得()()2212n n nS n n -==-，则()12n n nn n n S c b -==，()()2111113222n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，当3n =时，1340,n n c c c c +-==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +->> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.18.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cos sin 6cos sin cos 62222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()231cos 231π3sin cos 3cos 2332cos 23sin 22222226x f x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-+=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k x k k -+＃+，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a ≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．19.1.已知函数()21ex ax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.【答案】（1）当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a 分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在()0,1上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】()()()()221212e e x x ax a x ax x f x -+-+-+-'==，当0a =时，()()2e x x f x --'=，由()0f x '>得：2x <，由()0f x '<，得：2x >，故此时()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-当0a >时，令()()()120g x ax x =-+-=得：=−1<0或2x =由()0g x >得：12x a -<<，此时()0f x '>由()0g x <得：1x a <-或2x >，此时()0f x '<故此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上：当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()1,20,1a ⎛-⊂⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,1上单调递增，又()010f =-<，()10ea f =>所以()()010f f ⋅<，由零点存在性定理可得：：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点20.已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）y x=-（2）()max sin12ef x =-（3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在R x ∈上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-，所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121ef -=->，所以()()max sin112e f x f =-=-.【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e xf x x a +>恒成立等价于sin e x x a x <-恒成立.令()sin e x x x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx -≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1ex x h x '-=，()h x '与()h x 的情况如下：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 1e - 所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-.21.已知数列记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N（1）对于数列：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{}3,5,6T =；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题目给出的集合T 的定义求解即可；（2）假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意可得123a a +=，1236a a a ++=，235a a +=，所以{}3,5,6T =.【小问2详解】假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =成立.【小问3详解】由题意得()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故{}**2,2,k T n n n k =∈≠∈N N ，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2020910012m ∴=-=，故m 的最大值为1001．【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

2014届海淀区高三期中数学试卷及答案数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高一（上）期中数学试卷一.选择题（共10道小题，每小题4分，共40分）1．已知全集为U ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{﹣3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{3} B ．{﹣3，2} C ．{2} D ．{﹣2，3}2．命题“∀x ∈R ，|x |+x 2≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，|x |+x 2＜0 B ．∀x ∈R ，|x |+x 2⩽0 C ．∃x 0∈R ，|x |+x 2＜0 D ．∃∈R ，|x |+x 2⩾03．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a ＜1bB ．a 2＞b 2C ．a |c |＞b |c |D ．ac 2+1＞b c 2+14．下面四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ） A ．f(x)=x 2−1x+1，g(x)=x −1 B ．f(x)=|x|，g(x)={x(x ≥0)−x(x ＜0)C ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2D ．f （x ）＝x 0，g （x ）＝15．已知函数f （x ）＝x 3﹣5x +1，则下列区间中一定包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣1，0） C ．（0，1） D ．（1，2）6．已知a ，b 为实数，则“a +b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7．函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1，且有f （1）＜f （2）＜f （3），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜32 B ．a ≤32C ．a ，1D ．a ≤18．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ） A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件9．设函数f(x)={x 2−(a −1)x +2，x ≥1(3a +1)x −5，x ＜1在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(−13，3] B ．(−13，2)C ．(−13，2]D ．[2，3]10．设集合A 是集合N *的子集，对于i ∈N *，定义φi (A)={1，i ∈A 0，i ∉A，给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈N *都满足φi （A ∩B ）＝0且φi （A ∪B ）＝1； ②任取N *的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N *都有φi （A ∩B ）＝φi （A ）•φi （B ）； ③任取N *的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N *都有φi （A ∪B ）＝φi （A ）+φi （B ）． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分） 11．函数f(x)=√3xx−2的定义域为 ．12．方程组{y −x =2x 2+y 2=4的解集为 ．13．已知f （x ）为R 上的奇函数，x ＞0时，f(x)=x 3+1x，则f （﹣1）+f （0）＝ ．14．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．15．若关于x 的不等式ax 2+x +b ＞0的解集是（﹣1，2），则a +b ＝ ．16．对任意的x 1＜0＜x 2，若函数f （x ）＝m |x ﹣x 1|+n |x ﹣x 2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），写出满足条件的一组实数m ，n 的值分别为 ， ．三.解答题（共3道小题，每小题12分，共36分）17．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||x|＞2}．（1）求A∩B，B∪（∁U A）；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜a+2}，若C⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）画出函数y＝x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，4]的图象；（2）讨论当k为何范围时，关于x的方程x2﹣2x﹣3﹣k＝0在x∈（﹣1，4]上的解集元素个数分别为0个，1个，2个．19．（12分）已知函数f(x)=x 2+1x．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）当x ∈（1，+∞）时，判断f （x ）的单调性并证明；（3）在（2）的条件下，若实数m 满足f （3m ）＞f （5﹣2m ），求m 的取值范围．四.填空题（共2道小题，每小题5分，共10分） 20．若正数x ，y 满足1y +13x=1，则3x +4y 的最小值为 ．21．已知函数f(x)=x2−|x|(x ∈(−2，2))，有下列结论： ①∀x ∈（﹣2，2），等式f （﹣x ）+f （x ）＝0恒成立； ②∀m ∈[0，+∞），方程|f （x ）|＝m 有两个不等实根；③∀x 1，x 2∈（﹣2，2），若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④存在无数多个实数k ，使得函数g （x ）＝f （x ）﹣kx 在（﹣2，2）上有三个零点． 则其中正确结论序号为 ．五、解答题（共3道小题，共40分）22．二次函数f （x ）满足f （0）＝1，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求： （1）求f （x ）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，函数f （x ）的图象总在一次函数y ＝2x +m 图象的上方，试确定实数m 的取值范围．条件①：f （x +1）﹣f （x ）＝2x ；条件②：不等式f （x ）＜x +4的解集为（﹣1，3）．23．已知函数f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求证：对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x；（Ⅱ）记函数y＝|f（x）﹣2x﹣m|在区间[0，4]的最大值为G（m），求G（m）的最小值．24．如果f （x ）是定义在D 上的函数，且对任意的x ∈D ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y =11−x ；②y ＝x +1；③y ＝x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f （x ）＝x +1x 2+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）已知f (x)={x 2+1，x ∈Ax ，x ∈B 是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10道小题，每小题4分，共40分）1．已知全集为U，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{﹣3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{3}B．{﹣3，2}C．{2}D．{﹣2，3}解：根据题意，图中阴影部分表示集合A、B的公共部分，即A∩B，∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{﹣3，2}，∴A∩B＝{2}，故选：C．2．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0B．∀x∈R，|x|+x2⩽0C．∃x0∈R，|x|+x2＜0D．∃∈R，|x|+x2⩾0解：根据全称命题的否定是特称命题值，命题“∀x∈R，|x|+x2⩾0”的否定是“∃x0∈R，|x0|+x02＜0”．故选：C．3．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．1a ＜1bB．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．ac2+1＞bc2+1解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；B选项不对，当a＝0，b＝﹣1时不等式不成立，故排除；C选项不对，当c＝0时，不等式不成立，故排除；D选项正确，由于1c2+1＞0，又a＞b故ac2+1＞bc2+1故选：D．A ．f(x)=x 2−1x+1，g(x)=x −1B ．f(x)=|x|，g(x)={x(x ≥0)−x(x ＜0)C ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2D ．f （x ）＝x 0，g （x ）＝1解：∵对于A 选项，f （x ）的定义域{x |x ≠﹣1}，定义域不同，不是同一个函数， 选项C 也是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数， 选项D 也是定义域不同，后者是全体实数，前者是不等于0， 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝x 3﹣5x +1，则下列区间中一定包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）解：函数f （x ）＝x 3﹣5x +1，是连续函数， 并且f （﹣2）＝3＞0， f （﹣1）＝﹣1+5+1＝5＞0， f （0）＝1＞0；f （1）＝1﹣5+1＝﹣3＜0， f （2）＝8﹣10+1＝﹣1＜0， f （0）f （1）＜0，由零点存在定理，函数f （x ）在（0，1）有零点； 故选：C ．6．已知a ，b 为实数，则“a +b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：“a +b ＞4”⇒“a ，b 中至少有一个大于2”，反之不成立． ∴“a +b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件． 故选：A ．7．函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1，且有f （1）＜f （2）＜f （3），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜32B ．a ≤32C ．a ，1D ．a ≤1解：∵f （x ）＝x 2﹣2ax +1，∴f （1）＝2﹣2a ，f （2）＝5﹣4a ，f （3）＝10﹣6a ，∴2﹣2a ＜5﹣4a ＜10﹣6a ， 解得：a ＜32． 故选：A ．8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ） A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解：根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x ⋅x 8=800+18x 2 这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)=800+18x 2x =800x+18x （x 为正整数） 由基本不等式，得f(x)≥2√800x ⋅18x =20 当且仅当800x=18x =10时，f （x ）取得最小值、可得x ＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 故选：B ． 9．设函数f(x)={x 2−(a −1)x +2，x ≥1(3a +1)x −5，x ＜1在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(−13，3] B ．(−13，2)C ．(−13，2] D ．[2，3]解：函数f(x)={x 2−(a −1)x +2，x ≥1(3a +1)x −5，x ＜1在R 上是增函数，可得：{a−12≤13a +1＞03a +1−5≤1−a +1+2， 解得−13＜a ≤2故实数a 的取值范围是（−13，2]． 故选：C ．10．设集合A 是集合N *的子集，对于i ∈N *，定义φi (A)={1，i ∈A 0，i ∉A，给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈N *都满足φi （A ∩B ）＝0且φi （A ∪B ）＝1； ②任取N *的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N *都有φ（A ∩B ）＝φ（A ）•φ（B ）；③任取N *的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N *都有φi （A ∪B ）＝φi （A ）+φi （B ）．其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 解：∵对于i ∈N *，定义φi (A)={1，i ∈A0，i ∉A ， ∴①例如A ＝{正奇数}，B ＝{正偶数}，∴A ∩B ＝∅，A ∪B ＝N *，∴φi （A ∩B ）＝0；φi （A ∪B ）＝1，故①正确；②若φi （A ∩B ）＝0，则i ∉（A ∩B ），则i ∈A 且i ∉B ，或i ∈B 且i ∉A ，或i ∉A 且i ∉B ；∴φi （A ）•φi （B ）＝0；若φi （A ∩B ）＝1，则i ∈（A ∩B ），则i ∈A 且i ∈B ；∴φi （A ）•φi （B ）＝1；∴任取N *的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N *都有φi （A ∩B ）＝φi （A ）•φi （B ）；正确，故②正确； ③例如：A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，A ∪B ＝{1，2，3，4}，当i ＝2时，φi （A ∪B ）＝1；φi （A ）＝1，φi （B ）＝1；∴φi （A ∪B ）≠φi （A ）+φi （B ）；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A ．二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分）11．函数f(x)=√3x x−2的定义域为 [0，2）∪（2，+∞） ．解：由题意得：{3x ≥0x −2≠0，解得：x ≥0且x ≠2， 故函数f （x ）的定义域是[0，2）∪（2，+∞），故答案为：[0，2）∪（2，+∞）．12．方程组{y −x =2x 2+y 2=4的解集为 {（x ，y ）|（0，2），（﹣2，0）} ． 解：由题意可得，y ﹣x ＝2，即y ＝x +2，又∵x 2+y 2＝4，∴x 2+y 2＝x 2+（x +2）2＝4，解得x ＝0或x ＝﹣2，当x ＝0时，y ＝2，当x ＝﹣2时，y ＝0，故方程组{y −x =2x 2+y 2=4的解集为{（x ，y ）|（0，2），（﹣2，0）}． 故答案为：{（x ，y ）|（0，2），（﹣2，0）}．13．已知f （x ）为R 上的奇函数，x ＞0时，f(x)=x 3+1x ，则f （﹣1）+f （0）＝ ﹣2 ．解：根据题意，f （x ）为R 上的奇函数，则f （0）＝0，x ＞0时，f(x)=x 3+1x，则f （1）＝1+1＝2，则f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣1；则f （﹣1）+f （0）＝﹣2；故答案为：﹣2．14．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 ．解：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有（15﹣x ）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x ）人， 由此可得（15﹣x ）+（10﹣x ）+x +16＝38，解得x ＝3，所以15﹣x ＝12，即所求人数为12人，故答案为：12．15．若关于x 的不等式ax 2+x +b ＞0的解集是（﹣1，2），则a +b ＝ 1 ．解：关于x 的不等式ax 2+x +b ＞0的解集是（﹣1，2），∴﹣1，2是方程ax 2+x +b ＝0的两个根，∴﹣1+2=−1a ，﹣1×2=b a ，解得a ＝﹣1，b ＝2；∴a +b ＝﹣1+2＝1．故答案为：1．16．对任意的x 1＜0＜x 2，若函数f （x ）＝m |x ﹣x 1|+n |x ﹣x 2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），写出满足条件的一组实数m ，n 的值分别为 1 ， ﹣1 ．解：当x ≤x 1时，f （x ）＝﹣m （x ﹣x 1）﹣n （x ﹣x 2）＝﹣（m +n ）x +（mx 1+nx 2），由图可知，{m +n =0mx 1+nx 2＜0； 当x 1＜x ＜x 2时f （x ）＝m （x ﹣x 1）﹣n （x ﹣x 2）＝（m ﹣n ）x +（﹣mx 1+nx 2），由图可知，{m−n＞0−mx1+nx2=0，当x＞x2时f（x）＝m（x﹣x1）+n（x﹣x2）＝（m+n）x﹣（mx1+nx2），由图又可得出m＝﹣n＞0，同时使得mx1+nx2＜0和﹣mx1+nx2＝0成立，故有，m＞0且m+n＝0（或m＝﹣n＞0）时满足条件，故答案为：m＝1，b＝﹣1．三.解答题（共3道小题，每小题12分，共36分）17．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||x|＞2}．（1）求A∩B，B∪（∁U A）；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜a+2}，若C⊆B，求实数a的取值范围．解：（1）全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||x|＞2}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，∁U A＝{x|x≤﹣1或x≥3}，B∪（∁U A）＝{x|x≤﹣1或x＞2}；（2）因为集合C＝{x|a＜x＜a+2}，当C⊆B时，a+2≤﹣2或a≥2，解得a≤﹣4或a≥2，所以实数a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥2}．18．（12分）已知函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）画出函数y＝x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，4]的图象；（2）讨论当k为何范围时，关于x的方程x2﹣2x﹣3﹣k＝0在x∈（﹣1，4]上的解集元素个数分别为0个，1个，2个．（1）如图所示，（2）依题意转化为函数y ＝x 2﹣2x ﹣3，x ∈（﹣1，4]的图象与直线y ＝k 交点的个数进行求解，根据（1）中的图象可得：当k ＜﹣4或k ＞5时x 2﹣2x ﹣3＝k ，x ∈（﹣1，4]解集元素为0个；当k ＝4或0≤k ≤5时x 2﹣2x ﹣3＝k 在x ∈（﹣1，4]上的解集为1个元素；当﹣4＜k ＜0时x 2﹣2x ﹣3＝k 在x ∈（﹣1，4]上的解集为2元素．19．（12分）已知函数f(x)=x 2+1x ．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）当x ∈（1，+∞）时，判断f （x ）的单调性并证明；（3）在（2）的条件下，若实数m 满足f （3m ）＞f （5﹣2m ），求m 的取值范围．证明：（1）f(x)=x 2+1x 为奇函数，利用如下：f （﹣x ）=(−x)2+1−x =−1+x 2x =−f （x ）， 故f （x ）为奇函数，（2）x ∈（1，+∞）时，f （x ）的单调性递增，利用如下：设1＜x 1＜x 2，f （x ）＝x +1x ，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 1+1x 1−x 2−1x 2=（x 1﹣x 2）+x 2−x1x 1x 2， ＝（x 1﹣x 2）（1−1x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在（1，+∞）上单调递增，（3）解：由f （3m ）＞f （5﹣2m ）可得3m ＞5﹣2m ＞1，解得，1＜m ＜2．故m 的范围（1，2）四.填空题（共2道小题，每小题5分，共10分）20．若正数x ，y 满足1y+13x =1，则3x +4y 的最小值为 9 ． 解：∵正数x ，y 满足1y +13x =1，∴3x +4y ＝（3x +4y ）（1y+13x ）=3x y +4y 3x +5≥2√3x y ⋅4y 3x +5＝9， 当且仅当3x y =4y 3x 且1y +13x =1，即x ＝1，y =32时等号成立．故答案为：9．21．已知函数f(x)=x 2−|x|(x ∈(−2，2))，有下列结论： ①∀x ∈（﹣2，2），等式f （﹣x ）+f （x ）＝0恒成立；②∀m ∈[0，+∞），方程|f （x ）|＝m 有两个不等实根；③∀x 1，x 2∈（﹣2，2），若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④存在无数多个实数k ，使得函数g （x ）＝f （x ）﹣kx 在（﹣2，2）上有三个零点．则其中正确结论序号为 ①③④ ．解：已知函数f(x)=x 2−|x|(x ∈(−2，2))，有下列结论： 对于①，因为∀x ∈（﹣2，2），f （﹣x ）+f （x ）=−x 2−|−x|+x 2−|x|=−x 2−|x|+x 2−|x|=0，所以①对； 对于②，因为当m ＝0∈[0，+∞）时，方程|f （x ）|＝0，只有一个实根x ＝0，所以②错；对于③，因为当x ∈（﹣2，0]时，f （x ）=x x+2=1−2x+2，单调递增， 当x ∈[0，2）时，f （x ）=x 2−x =−1−2x−2，单调递增，所以f （x ）在（﹣2，2）上单调递增，所以∀x 1，x 2∈（﹣2，2），若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2），所以③对；对于④，函数g （x ）＝f （x ）﹣kx 在（﹣2，2）上有三个零点，即方程x 2−|x|=kx 在（﹣2，2）上有三个根，因为x ＝0必为一根，只要方程12−|x|=k 有两个根， 即只要2﹣|x |=1k 有两个根，由函数图象知1k∈（0，2），k ∈（12，+∞），所以④对． 故答案为：①③④．五、解答题（共3道小题，共40分）22．二次函数f （x ）满足f （0）＝1，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求f （x ）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，函数f （x ）的图象总在一次函数y ＝2x +m 图象的上方，试确定实数m 的取值范围．条件①：f （x +1）﹣f （x ）＝2x ；条件②：不等式f （x ）＜x +4的解集为（﹣1，3）．解：选条件①：（1）设f （x ）＝ax 2+bx +c ，由f （0）＝1得c ＝1，故f （x ）＝ax 2+bx +1．因为f （x +1）﹣f （x ）＝2x ，所以a （x +1）2+b （x +1）+1﹣（ax 2+bx +1）＝2x ．即2ax +a +b ＝2x ，所以 {2a =2a +b =0，∴{a =1b =−1， 所以f （x ）＝x 2﹣x +1，选条件②：（1）设f （x ）＝ax 2+bx +c ，由f （0）＝1得c ＝1，故f （x ）＝ax 2+bx +1，因为不等式f （x ）＜x +4的解集为（﹣1，3），所以：ax 2+bx +1＜x +4的解集为（﹣1，3），即ax 2+（b ﹣1）x ﹣3＝0的根为﹣1和3，∴﹣1+3=−b−1a 且（﹣1）×3=−3a ，∴a ＝1，b ＝﹣1，所以f （x ）＝x 2﹣x +1，（2）由题意得x 2﹣x +1＞2x +m 在[﹣1，1]上恒成立．即x 2﹣3x +1﹣m ＞0在[﹣1，1]上恒成立． 设g （x ）＝x 2﹣3x +1﹣m ，其图象的对称轴为直线x =32，所以g （x ）在[﹣1，1]上递减．故只需最小值g （1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m ＞0，解得m ＜﹣1．23．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x ．（Ⅰ）求证：对于任意的x ∈[0，4]，总有2x ﹣4≤f （x ）≤2x ；（Ⅱ）记函数y ＝|f （x ）﹣2x ﹣m |在区间[0，4]的最大值为G （m ），求G （m ）的最小值．（Ⅰ）证明：对于任意的x ∈[0，4]，总有2x ﹣4≤f （x ）≤2x ，等价于对于任意的x ∈[0，4]，总有﹣4≤f （x ）﹣2x ≤0，令g （x ）＝f （x ）﹣2x ＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4，则当x ∈[0，4]时，g （x ）∈[﹣4，0]，即对任意的x ∈[0，4]，总有﹣4≤f （x ）﹣2x ≤0，∴对于任意的x ∈[0，4]，总有2x ﹣4≤f （x ）≤2x ；（Ⅱ）解：y ＝|f （x ）﹣2x ﹣m |＝|（x ﹣2）2﹣4﹣m |，当m ≤﹣4时，由（Ⅰ）知，对任意的x ∈[0，4]，总有﹣4≤f （x ）﹣2x ≤0，则此时（x ﹣2）2﹣4﹣m ≥0，即有y ＝（x ﹣2）2﹣4﹣m ，故x ＝0或x ＝4时，y 有最大值为G （m ）＝﹣m ；当﹣4＜m ＜﹣2时，由图可得，当x ＝0或x ＝4时，y 有最大值G （m ）＝﹣m ；当m ≥﹣2时，由图可得，当x ＝2时，y 取得最大值G （m ）＝|﹣4﹣m |．综上可知，G （m ）={−m ，m ＜−2|−4−m|，m ≥−2． 当m ＜﹣2时，G （m ）＞2，当m ≥﹣2时，G （m ）≥2．故G （m ）的最小值为2．24．如果f （x ）是定义在D 上的函数，且对任意的x ∈D ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y =11−x ；②y ＝x +1；③y ＝x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f （x ）＝x +1x 2+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）已知f (x)={x 2+1，x ∈Ax ，x ∈B 是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．解：（Ⅰ）①②是“X ﹣函数”，③不是“X ﹣函数”；（Ⅱ）由f （x ）＝x +1x 2+a 是“X ﹣函数，f（﹣x）＝﹣x+1x2+a，﹣f（x）＝﹣x−1x2−a，可得f（﹣x）＝﹣f（x）无实数解，即1x2+a＝0无实数解，所以a≥0，则a的取值范围为{a|a≥0}；（Ⅲ）对任意的x≠0，若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）＝f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且﹣x∈B，f（﹣x）＝﹣f（x），与f（x）是“X﹣函数”矛盾，舍去；所以对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B，则（0，+∞）⊆A，（﹣∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（﹣0）＝﹣f（0），与f（x）是“X﹣函数”矛盾，舍去．所以0∈A，经检验，A＝[0，+∞），B＝（﹣∞，0）符合题意．。

海淀区2020-2021学年第二学期期中练习高三数学2021. 04本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ＝{1}，B ＝{x | x ≥a ）。

若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是（A ）（－∞、1）（B ）（－∞，1]（C ）（1，＋∞）（D ）[1，＋∞）（2）如图，在复平面内，复数z 对应的点为P .则复数zi的虚部为（A ）1 （B ）－1 （C ）2（D ）－2（3）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 5＝S 5＝5，则a 1＝（A ）－5（B ）－4（C ）－3 （D ）－2（4）在6()a x x-的展开式中，x 4的系数为12，则a 的值为（A ）2（B ）－2（C ）1（D ）－1（5）函数①()sin cos f x x x =+，②()sin cos f x x x =，③21()cos ()42f x x π=+-中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是 （A ）①②（B ）②（C ）③（D ）②③（6）已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当x ＞1时，f （x ）＝log 2x ，则(8)(2)f f --=（7）已知a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，若a ⊥c ，则|c |＝（A ）3（B（C （D （8）已知点211(,)A x x ，222(,)B x x ，1(0,)4C ，则“△ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）设无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n 若－a 1＜a 2＜a 1，则（A ）{S n }为递减数列 （B ）{S n }为递增数列 （C ）数列{S n }有最大项（D ）数列{S n }有最小项（10）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h 的平面为a ，记平面a 截牟合方盖所得截面的面积为s ，则函数S ＝f （h ）的图象是第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知函数f （x ）＝x 3＋at 若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线的斜率为2.则实数a 的值是_____________。

【分析】根据定义域、零点个数、单调性和极限等方面逐个判断即可．
Hale Waihona Puke 【解答】解：对于 A，当 x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意； 对于 B，令 f（x）＝0 得 x4＝1，∴x＝±1，即 f（x）有两个零点，不符合题意；
对于 D，f（x）的定义域为（0，+∞），不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的意义，函数单调性、零点个数的判断，属于中档题．
高考复
【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取 得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择 题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．
8．（5 分）（2021•北京模拟）设函数 f（x）的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 x∈D，都有 f （x+m）＞f（x），则称 f（x）为 D 上的“m 型增函数”．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 当 x＞0 时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若 f（x）为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是 （）
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a푛 + 1 = 2푎푛(푛 ∈ 푁 ∗ )，且 a2 是 S2 与 1 的等差中项．
（I）求{an}的通项公式； 1
（II）若数列{푎푛}的前 n 项和为 Tn，且对∀n∈N*，Tn＜λ 恒成立，求实数 λ 的最小值． 7
19．（14 分）已知函数 f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx，a∈R

北京市海淀区2022-2023学年第一学期期中练习高三数学本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U C A = A.(0,2][3,)+∞U B.(0,2)(3,)+∞U C.(,2][3,)-∞+∞UD.(,2)(3,)-∞+∞U2. 在同一个坐标系中，函数log a y x =与x y a =(01)a a >≠且的图像可能是A BC D3. 已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ⋅=a bA.4B. C.4-D.-4. 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为 A.2 B.2- C.4 D.4-5. 已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是 A.||a b > B.||a b >C.2a ab >D.2ab b >6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均已Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称. 若3sin 5α=，则cos β= A.45-B.45 C.35-D.357. 已知函数()f x . 甲同学将()f x 的图像向上平移1个单位长度，得到图像1C ；乙同学将 ()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图像2C . 若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是A.12()log f x x =B.2()log f x x =C.()2x f x =D.1()()2x f x =8. 已知函数()e e x x f x a b -=+(0)ab ≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 若P 是ABC △内部或边上的一个动点，且AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的最大值是 A.14B.12C.1D.210. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A.9 B.10C.11D.12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

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2022年北京市海淀区高三数学期中考试本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U C A = A.(0,2][3,)+∞ B.(0,2)(3,)+∞C.(,2][3,)-∞+∞D.(,2)(3,)-∞+∞2. 在同一个坐标系中，函数log a y x =与x y a =(01)a a >≠且的图像可能是A B C D3. 已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 A.4 B.2 C.4-D.42-4. 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为 A.2 B.2-C.4D.4-5. 已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是 A.||a b >B.||a b >C.2a ab >D.2ab b >6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均已Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称.若3sin 5α=，则cos β= A.45-B.45 C.35-D.357. 已知函数()f x . 甲同学将()f x 的图像向上平移1个单位长度，得到图像1C ；乙同学将 ()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图像2C . 若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是 A.12()log f x x =B.2()log f x x =C.()2x f x =D.1()()2x f x =8. 已知函数()e e x x f x a b -=+(0)ab ≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 若P 是ABC △内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是 A.14B.12C.1D.210. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为 （参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A.9 B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。