北京市海淀区2019届高三第一学期期中数学(理)试题

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2018.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{},{|,,}A x x a B =-≤=0123，若AB ≠∅，则a 的取值范围为( )（A ）(,1]-∞ （B ）[,)+∞1 （C ）(,]-∞3 （D ）[,)∞+3 2.下列函数中，是偶函数且在(,)+∞0上单调递增的是( )（A ）()||f x x x =-2（B ）()f x x=21 （C ）()|ln |f x x = （D ）||()e x f x = 3.e11d x x=⎰( ) （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）e 4.在等差数列{}n a 中，a =11，652a a =，则公差d 的值是( ) （A ）13- （B ）13 （C ）-14 （D ）145. 角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=-35，则tan θ=（A ）43- （B ）43 （C ）-34 （D ）346.已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“a a >21”是“数列{}n a 单调递增”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7.已知向量,a b,c 满足++=0a b c ，且222>>a b c , 则⋅a b ，⋅b c ，⋅c a 中最小的值是( ) （A ）⋅a b （B ）⋅b c （C ）⋅c a （D ）不能确定的8.函数(),()f x x g x x x ==-+23，若存在 ,,,[,]n x x x ∈12902，使得()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++121121，则n 的最大值为( )（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科)20佃.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1•已知集合A ={ -1,1,2}，B 二{x|x 1—0}，A. f (x)二.xB. f(x)=l nxC. f(x) =2xD. f(x) = tanx在L ABC中，若tan A = -2，贝cos A =(D.既不充分也不必要条件6.已知数列a 1的通项公式a n =2n(3n-13)，则数列的前n项和S n的最小值是(B)I sin n x,x引—1,0),7.已知a 0，函数f(x)2若l ax2 ax 1,x • [0,二)，2.A. {-1,1,2}B. {1,2}C. {-1,2}D. {2} F列函数中，值域为(0,；)的函数是(AD B =( A )3.4.在平面直角坐标系B—5xOy 中，已知点O(0,0), A(0,1),B(1,—2),C(m,0)，D.壬5若OB//AC，则实数m的值A. -21 B.2a ”是a・1”的(B)D. 2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件B. S4C. S5D. S s1 1f(t弓二，则实数t的取值范围为(A. [-2,0)B.[-1,0)C.[2,3)3、si n x +cosx8.已知函数f(x) ，在下列给出结论中：sin xcosx①二是f(x)的一个周期；D. (0,；)②f(X)的图象关于直线X二匸对称；4③f(x)在(一二0)上单调递减•2其中，正确结论的个数为(C)A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

19. [ (2x +1)dx = __________ .210. 已知数列｛a n｝为等比数列，若a i七3=5@ 七4 =10，则公比q= _________________ .211.已知a = log25,2& = 3,c =log32，则a ,b, c 的大小关系为________________n12.函数f (x) =2sinCe亠0,|「I：：：)的图象如图所示，则22 ________________________________ n n 申二，- . ,_13•已知「ABC是正三角形，若-■ AB与向量AC的夹角3 690'，则实数'的取值范围是_____________ 214. 定义在(0,；)上的函数f (x)满足：①当[1,3)时，f(x)=1-|x-2| :②f(3x)=3f(x).设关于x的函数F(x)二f(x)_a的零点从小到大依次为洛，X2,IH,X n,Hl .若a=1，则为x *二；若a 3 ，贝廿羽+X2 +111 +x2n = ____________________________ .答案：14; 6(3n -1)三、解答题:本大题共6小题，共80分。

北京海淀区2019高三上年末考试试题--数学（理）word版数 学〔理〕2018.01【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕复数52i=+ ( ) 〔A 〕2i - 〔B 〕21i 55+ 〔C 〕105i - 〔D 〕105i 33- 〔2〕如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF〔A 〕1123AB AD -〔B 〕1142AB AD +〔C 〕1132AB DA +〔D 〕1223AB AD -〔3〕假设数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，那么数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕9 〔4〕平面α，β，直线l ，假设αβ^，l αβ=，那么〔A 〕垂直于平面β的平面一定平行于平面α 〔B 〕垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α 〔C 〕垂直于平面β的平面一定平行于直线l 〔D 〕垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直〔5〕函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+?R 的部分图象如下图，那么(0)f = 〔 〕〔A 〕12-〔B〕2- 〔C 〕1- 〔D〕-〔6〕执行如下图的程序框图，输出的i 值为开始i=1,s=0 s=s+2 i -1ii= i +1〔 〕〔A 〕5 〔B 〕6 〔C 〕7 〔D 〕8〔A 〕()f x 既不是奇函数也不是偶函数〔B 〕()f x 在[,0]π-上恰有一个零点〔C 〕()f x 是周期函数〔D 〕()f x 在(,2π5π)6上是增函数〔8〕点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是〔〕 〔A 〕圆〔B 〕椭圆〔C 〕双曲线的一支〔D 〕直线【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上.〔9〕51)的展开式中2x 的系数是.〔用数字作答〕〔10〕假设实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+-?ïïï--?íïï+-?ïïî那么2z x y =+的最大值为.〔11〕抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为.〔12〕甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温〔单位：C °〕用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.22(1)2x y -+=，过点〔13〕圆C ：(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，那么直线l 的方程为.〔14〕正三棱柱'''ABC A B C -的正〔主〕视图和侧〔左〕视图如下图.设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度〔x 可以取到任意一个实数〕，对应的俯视图的面积为()S x ，那么函数()S x 的最大值为；最小正周期为.8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.【三】解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，sin B =. 〔Ⅰ〕求cos A 及sin C 的值；甲城市乙城市 9 08 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图〔Ⅱ〕假设2b =，求ABC ∆的面积. (16)〔本小题总分值13分〕为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. 〔Ⅰ〕求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；〔Ⅱ〕假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. (17)〔本小题总分值14分〕在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ??，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .〔Ⅰ〕求证：AB ^平面PBC ；〔Ⅱ〕求平面PAD 和平面BCP 所成二面角〔小于90°〕的大小； 〔Ⅲ〕在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？假设存在，求PMPB的值；假设不存在，请说明理由. (18)〔本小题总分值13分〕函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)〔本小题总分值14分〕焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2,Q 为椭圆C 的左顶点. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.〔ⅰ〕假设直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;〔ⅱ〕假设直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. (20)〔本小题总分值14分〕集合{1,2,3,,}(*)M n n =?N ，假设集合12{,,,}(*)m A a a a M m=臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+〔其中12,{1,0,1}λλ?〕，那么称集合A 为集合M 的一个m 元基底.〔Ⅰ〕分别判断以下集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；PABC D②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.〔Ⅱ〕假设集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n +?； 〔Ⅲ〕假设集合A 为集合{1,2,3,,19}M =的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准2018、01一. 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 题号 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕 〔6〕 〔7〕 〔8〕 答案 A D B D C ABD二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 〔9〕5〔10〕7〔11〕54〔12〕乙，乙〔13〕1)y x =+或1)y x =-+〔14〕8；3π注：〔13〕题正确答出一种情况给3分，全对给5分；〔12〕、〔14〕题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-.………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?.………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =.………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=.………………………………………8分〔Ⅱ〕因为sin sin b aB A=，2b =，………………………………………10分3=.所以3a =.………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==.………………………………………13分 (16)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，那么()23!15!10P A ⨯==.………………………………………4分 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分〔Ⅱ〕随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3.………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===.………………………………………10分因为01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量X 的数学期望为1.………………………………………13分 (17)〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为90ABC ??，所以AB BC ⊥.………………………………………1分因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以AB ^平面PBC .………………………………………3分 〔Ⅱ〕解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =，所以PO BC ⊥.因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ，所以PO ^平面ABCD .………………………………………4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直 线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -、不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =-，(2,1,0)DA =. 设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为0,0.DP DAìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，那么2, y z =-=-所以(1,2,=--m .………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=.所以cos ,2⋅==m n m n m n . 所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角〔小于90°〕的大小为4π. ………………………………………9分〔Ⅲ〕解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =.理由如 下：………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 那么MN ∥PA ，12AN AB =. 因为2AB CD =， 所以AN CD =. 因为AB ∥CD ，NMPABCD所以四边形ANCD 是平行四边形. 所以CN ∥AD . 因为, MNCN N PA AD A ==，所以平面MNC ∥平面PAD .………………………………………13分 因为CM Ì平面MNC ，所以CM ∥平面PAD .………………………………………14分 (18)〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.………………………………………2分当1a =时,(1)e f =,'(1)4e f =.………………………………………4分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-， 即4e 3e y x =-.………………………………………5分 〔Ⅱ〕令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =.………………………………………6分当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分因为函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-.………………………………………11分 所以要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-.……………………………………13分 (19)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =.………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……………………………………3分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . 〔ⅰ〕当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---〔不妨设点A 在x 轴上方〕.………………………………………5分那么直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为1AQ BQ k k ⋅=-， 所以AQ BQ ^. 所以2AQB π∠=.………………………………………6分 〔ⅱ〕当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.21222122240,25100144100.25100k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++.所以QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，那么QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，那么QM AB ^.记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k +==-=-++，所以点M 的纵坐标266()5520M M k y k x k=+=+. 所以222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NMk k k k +??++++ 222601320(520)k k +=?+. 所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是11213,21203,30213=-??????，41212,51213,61313=??????.………………………………………3分 〔Ⅱ〕不妨设12m a a a <<<，那么形如10i j a a ??(1)ij m ＃?的正整数共有m 个； 形如11i i a a ??(1)i m ＃的正整数共有m 个；形如11ij a a ??(1)ij m ??的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a -??(1)ij m ??的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n =含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22m m m m C C n +++?，即(1)m m n +?.………………………………………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知(1)19m m +?，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.* 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M =的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，那么410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，那么由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，那么16a =或5.易知{6,7,9,10}A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19}M =的4元基底，矛盾.当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5.………………………………………14分。

2019学年度第一学期期中考试高三理数一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e xy x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π 6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. 7.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y+=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

发奋的拼搏写就出孜孜不倦，辛勤的汗水洒落处点点花开，寂静的无人处蕴含着丝丝心声，完美的画卷中展现出似锦前程，胜利的号角在耳边回响，六月的骄阳似火绽放着无悔激情！最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

求的一项．1．已知集合A={x|x ＞2}，B={x|（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B=（）A ．{x |x ＞1}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ＞2或x ＜1}2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3．函数y=2x +的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．44．已知命题p ：?c ＞0，方程x 2﹣x +c=0 有解，则￢p 为（）A ．?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解B ．?c ≤0，方程x 2﹣x+c=0有解C ．?c ＞0，方程x 2﹣x +c=0无解D ．?c ＜0，方程x 2﹣x +c=0有解5．已知函数y=a x ，y=x b ，y=log c x 的图象如图所示，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f （x ）=cos 4x +sin 2x ，下列结论中错误的是（）A ．f （x ）是偶函数B ．函f （x ）最小值为C ．是函f （x ）的一个周期D ．函f （x ）在（0，）内是减函数8．如图所示，A 是函数f （x ）=2x 的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数g （x ）=2x +2的图象于点B ，若函数f （x ）=2x 的图象上存在点C 使得△ABC 为等边三角形，则称A 为函数f （x ）=2x 上的好位置点．函数f （x ）=2x 上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于 2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则?=．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为℃．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是．14．已知函数f（x）的定义域为R．?a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为．（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n+1﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．18．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求CD的长；（Ⅱ）求sin∠BAD的值．19．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．20．已知数列{a n}是无穷数列，满足lga n+1=|lga n﹣lga n﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a1=2，a2=3，求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n}中存在a k（k∈N*）使得lga k=0”是“数列{a n}中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n}中?a k（k∈N*），使得1≤a k＜2．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x |x ＞2}，B={x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B=（）A ．{x|x ＞1}B ．{x|2＜x ＜3}C ．{x|1＜x ＜3}D ．{x|x ＞2或x ＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【解答】解：由B 中不等式解得：1＜x ＜3，即B={x |1＜x ＜3}，∵A={x |x ＞2}，∴A ∩B={x|2＜x ＜3}，故选：B ．2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D ．3．函数y=2x +的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．4【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x +≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C ．4．已知命题p ：?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（）A ．?c ＞0，方程x 2﹣x +c=0无解B ．?c ≤0，方程x 2﹣x +c=0有解C ．?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解D ．?c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为?c ＞0，方程x 2﹣x +c=0无解．故选：A ．5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=log c x是对数函数，且x=2时，y=log c2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2?＞||2+||2﹣2?，即4?＞0，则?＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的充要条件，故选：C．7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据奇偶性的定义，判断函数f（x）是偶函数；化简函数f（x），求出它的最小值为；化简f（x），求出它的最小正周期为；判断f（x）在x∈（0，）上无单调性．。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 2019.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|10}A x x =+≤，{|}B x x a =≥. 若A B =R ，则实数a 的值可以为（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）2-（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是 （A ）y x = （B ）2y x =（C）y x =（D ）|1|y x =-（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若33S a =，且30a ≠，则43S S = （A ）1 （B ）53（C ）83（D ）3（4）不等式11x>成立的一个充分不必要条件是 （A ）102x <<（B ）1x > （C ）01x <<（D ）0x <（5）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为 （A ）35-（B ）35（C ）45-（D ）45（6）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ， AC AB AD λμ=+(λ，)μ∈R . 若λμ+=32， 则||||CD AB = （A ）13（B ）12（C ）1 （D ）2（7）已知函数()322f x x x x k =+--. 若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[0,)+∞（D ）(,0]-∞（8）设集合A 是集合*N 的子集，对于i ∈*N ，定义1, ,()0, .i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈*N 都满足()0i AB ϕ=且()1i A B ϕ=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*N 都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅； ③任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*N 都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+.其中所有正确结论的序号是 （A ）①② （B ）②③ （C ）①③（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 0B ．12±C ．1±D ．22±4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 .13.在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e-=． （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.232，12.0 13.3214.622，三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===，21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===，353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为Y 0123P156155630561056115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD（Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,,),(,,)DP DB =-=013210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3y x =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为5719（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22MF MB BF λ=+=-+-因为MFPC ，所以(0,3,3)MF PC μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+22221k =+因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220 得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x -0 + ()h x]极小值Z因为()'()x x a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Zx(,)022(,)+∞2所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n '()F x -0 + ()F x]极小值Z当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个， 所以1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=. （Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β=其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 013.三、解答题15．解： π()2f a = 所以π(2f 因为0a >（Ⅱ）因为f 设sin ,t x = 所以22y t =其对称轴为4t =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a -- 16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C ===(P ()E Y 所以P17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD又DH ⊥以D 所以(,D0因为AD ⊥设平面因为DP =u u u r 所以y x ⎧-⎪⎨+⎪⎩2令2z = 所以cos <由题知B PD C --为锐角，所以B PD C -- （Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点而MC PC ，设BF =33,)22-+因为PC ，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120λ-=18因为a 2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+1y y + 所以 |AB ==因为k ≤20法二：设11(,A x y 当直线l 是当直线l 所以x x t y ⎧+⎪⎨⎪=-⎩22228160t ∆=-> ，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ====-+因为t >22，所以|'|AB ∈19所以f 当a =所以f 曲线y因为f 得x 1当a >所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=22，令'()f x =0得当设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:,,)n y ，，所以(i i x x ， n x ++ n y ++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=. 当22α=所以α*的最小值为2n当n 所以 α* 当22α=1122(1,1,,1,0,0,,0)n n -+时，满足12n β-*=. 所以α*的最小值为12n - 综上：α12n β-*=.（Ⅲ）S 设集合S 记1S ={}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==11 / 11212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素， 对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。

2019-2020学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|−5≤x <1}C. {x|−5≤x ≤2}D. {x|x <1}2. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =xx+1 B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10=15，且S 2=S 7，则a 8=( )A. 6B. 7C. 8D. 9 4. 不等式x 2−2x −3<0成立的一个充分不必要条件是 ( )A. (−1,3)B. (−2,0)C. (−12,32)D. (−1,4)5. 设角α的终边与单位圆相交于点P(−35,45)，则sinα−cosα的值是( )A. −75B. −15C. 15 D. 756. 在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 37. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ⩽1x +2x ,x >1，设a ∈R ，若关于x 的方程f(x)=a|x −1|有且仅有一个实数解，则a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (2√6−4,3)C. (1,2√3−1)D. (2√6−4,2√3−1)8. 设集合A ={a, b}，集合，若A ∩B ={0}，则A ∪B 等于( )A. {−1,0,3}B. {−2,0,3}C. {0,3,4}D. {1,0,3}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若向量a ⃗ =(1,k)，b ⃗ =(−2,6)，且a ⃗ //b ⃗ ，则实数k = ______ ． 10. 已知函数f(x)={x(x +4),x <0,x(x −4),x ≥0,则该函数的零点的个数为________．11. 若数列{a n }的前n 项和为S n =log 3(n +1)，则a 5=_________．12. 已知两个单位向量a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为120°，则a ⃗ +b ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为___________．13.若函数f(x)=x+a2x , g(x)=x−lnx，对任意x1∈[1e,1]，存在x2∈[1e,1],使得g(x1)≤f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．14.已知ω>0，函数f(x)=cos(ωx−π3)过点(π2,0)，则ω的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且6a2，1，4a1成等差数列，3a6，a3，3a2成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b n=log31a n，记c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x.(1)求f(x)的最小正周期。

2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷数学试卷（理工类）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论．【详解】A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】观察两条件的互推性即可求解．【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.6.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选C.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知，，则_________，__________．【答案】(1). (2). --【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为(1). (2).【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.10.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值= 3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．11.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可．【详解】①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．12.如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.14.从标有数字，，，（，且，，，）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.（I）求的通项公式；（II）若，求.【答案】（I），.（II）【解析】【分析】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，即可得到的通项公式；（II）因为，利用分组求和法即可得到.【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，所以的通项公式为，.（II）因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.16.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递增区间；（II）若对任意，（为实数）恒成立，求的最小值.【答案】（I）最小正周期为,单调递增区间为，.（II）的最小值为2【解析】【分析】（I）根据二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f （x）的最小正周期及其单调递增区间；II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】（I）由已知可得.所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.（II）因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．17.在中，角，，的对边分别为，，，，，.（I）求；（II）求的面积.【答案】证明见解析（II）【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；（II）在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：（I）因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.（II）在中，由知为钝角，所以.，所以所以【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.已知函数（）（I）当时，求在区间上的最大值和最小值；（II）求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】（I）；.（II）“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【解析】【分析】（Ⅰ）先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．【详解】（I），当时，，当在内变化时，，的变化如下表：当时，；.（II）若，.当变化时，，的变化如下表：，因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．19.已知函数（）.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）试判断函数的单调性并证明；（III）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.【答案】（I）.（II）函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.（I）易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；（II）令，得，，分类讨论可得函数的单调性，（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.【详解】函数的定义域为，且.（I）易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.（II）令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】（I）数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）（III），【解析】【分析】（I）根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；（III）对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】（I）解：数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然所以.由题意可得，，，…，，…，.所以故即（III）对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.。

x 海淀区高三年级第一学期期中练习数学2019.11本试卷共4 页，150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A = {x | x +1 ≤ 0}，B = {x | x ≥a} . 若A B =R ，则实数a 的值可以为（A）2 （B）1（C）0 （D）-2（2）下列函数中，在区间(0, +∞) 上不是单调函数的是（A） y =x（B） y =x2（C）y =x +（D） y =| x -1|（3）已知等差数列{a }的前n 项和为S . 若S =a ，且a ≠ 0 ，则S 4 =（A）18（C）3n1> 1 n 3 3 3S35（B）3（D）3（4）不等式x0 <x <1（A）2成立的一个充分不必要条件是（B）x > 1（C）0<x <1 （D） x <0y（5）如图，角以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且P3 π点P 的横坐标为，则sin(5 2 （A）-35 +) 的值为3（B）5O 3 x5（C） - 454（D ）53+= （6） 在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AC = AB +AD (，∈R ) . 若，2C |D 则 | | AB |1 1（A ）3 （B ）2 （C ）1（D ）2 （7） 已知函数 f(x )= x 3 + x 2 - 2 x - k .若存在实数 x 0 ，使得 f (-x 0 ) = - f (x 0 ) 成立，则实数 k 的取值范围是 （A ）[-1, +∞) （C ）[0, +∞)（B ） (-∞, -1] （D ） (-∞, 0]⎧1, i ∈ A ,（8） 设集合 A 是集合 N * 的子集，对于i ∈ N * ，定义(A ) =i⎩⎨0, i ∉ A .给出下列三个结论：①存在 N * 的两个不同子集 A ， B ，使得任意i ∈ N * 都满足i( A B ) = 0 且i ( A B ) = 1 ；②任取 N * 的两个不同子集 A ， B ，对任意i∈ N * 都有(A i B ) =(A i )⋅(B i ) ；③任取 N * 的两个不同子集 A ， B ，对任意i∈ N * 都有(A i B ) =(A ) +i(B ).i其中所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）②③（C ）①③（D ）①②③第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．双曲线的左焦点的坐标为( )A．(-2,0) B．C．D．【答案】A【解析】先根据方程求出，再求出焦点坐标.【详解】由题意可知焦点在x轴上，，即，所以选A.【点睛】本题主要考查双曲线的方程及焦点坐标.确定焦点坐标的要素有两个：一是确定焦点的位置；二是求出的值.2．已知向量满足，且，则的夹角大小为A．B．C．D．【答案】B【解析】利用数量积和模长的关系先求出，再利用夹角公式求出夹角.【详解】,所以可得，，所以的夹角大小为.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和夹角.题目较为简单，熟记向量的坐标表示是求解关键.3．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】先用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.4．直线被圆截得的弦长为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出.【详解】圆心为，半径为；圆心到直线的距离为，因为弦长为2，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.5．以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A．6 B．7 C．8 D．12【答案】C【解析】画出图形，观察可得.【详解】如图，观察可得选项C.【点睛】本题主要考查作图能力和直观想象能力，学生往往忽视动手操作能力.6．已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】把函数拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当时，作出的图像，可以看出时，函数在区间上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.7．已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是A．函数的值域与的值域相同B．若是函数的极值点，则是函数的零点C．把函数的图像向右平移个单位，就可以得到函数的图像D．函数和在区间上都是增函数【答案】C【解析】先求出的导数，结合解析式的特点来判断.【详解】，所以选项A正确；由极值点定义可知选项B正确；把的图像向右平移个单位，得到与不相等；故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响. 8．已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为A．25 B．49 C．75 D．99【答案】D【解析】先分析集合元素的特点，通过列举可得.【详解】当或的值较小时，集合B中元素个数最多，即共有99个元素.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特点是求解的关键.二、填空题9．以抛物线的焦点为圆心，且与其准线相切的圆的方程为_______________.【答案】【解析】先确定圆心，再根据题意求出圆的半径即可.【详解】因为抛物线的焦点为，所以圆心为；抛物线的准线为，所以可得圆的半径为2，所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查抛物线的性质和圆的方程.圆的方程求解有直接法和待定系数法等. 10．执行如下图所示的程序框图，当输入的M值为15，n值为4 时，输出的S值为_____________.【答案】【解析】根据框图的逐步推演可得结果.【详解】第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：，此时，输出的值为24.【点睛】本题主要考查程序框图的求值问题.一般处理思路是根据框图的结构，进行实际运算，注意循环体结束的条件.11．某三棱锥的三视图如下图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为___________，__________.【答案】【解析】利用三视图把几何体还原，结合几何体的结构特征求解.【详解】把三视图还原，可得几何体，如图易知为最长的棱，长为；为最短的棱，长为2.【点睛】本题主要考查三视图.这类问题一般求解思路是先通过三视图，还原出几何体，再结合几何体的特征求解.12．设关于的不等式组表示的平面区域为，若中有且仅有两个点在内，则的最大值为______．【答案】0【解析】先画出平面区域，结合点的位置求解.【详解】如图，直线符合题意，此时.【点睛】本题主要考查线性约束条件表示的平面区域.利用不等式准确表示出区域是求解关键.13．在 ABC中，，且，则_______.【答案】【解析】先利用正弦定理化边为角，结合倍角公式求出，从而求出.【详解】因为，所以；，解得（舍），；所以，解得，由,所以，故为锐角，所以.【点睛】本题主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用边角关系进行转化，三角恒等变换也会经常使用.14．正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为_______；（Ⅱ）线段AP长度的最小值为_______.【答案】【解析】（Ⅰ）当点M与点C重合时，可以得到点与点重合，从而可得的长度；（Ⅱ）利用线面垂直得到等量关系，结合二次函数求解最值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设则,.因为平面，所以, .（Ⅰ）当点M与点C重合时,, ,此时的长度为；（Ⅱ）.【点睛】本题主要考查空间中的垂直关系及动线段的长度问题.动点引发的长度变化，要寻求其中不变的关系式，综合运用其他知识求解.三、解答题15．已知函数，其中（Ⅰ）比较和的大小；（Ⅱ）求函数在区间的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，最小值,当时，最小值. 【解析】（Ⅰ）代入直接比较大小即可；（Ⅱ）利用诱导公式和倍角公式化简，利用二次函数求解最值.【详解】（Ⅰ）因为所以因为，所以，所以（Ⅱ）因为设，所以所以其对称轴为当，即时，在时函数取得最小值当，即时，在时函数取得最小值【点睛】本题主要考查三角函数的性质.三角函数的性质问题处理方法为：先利用公式把目标函数式化为基本类型，再结合类型特征求解.16．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取3人，设表示这3人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【解析】（Ⅰ）利用古典概率的求解方法求解；（Ⅱ）先求的所有可能的值，再求解分布列和期望；（Ⅲ）先求，再根据结果判断.【详解】（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀所以所求概率约为（Ⅱ）的所有可能取值为因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人所以，，随机变量的分布列为（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有个所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【点睛】本题主要考查实际生活背景下的概率统计问题，侧重统计图表的识别和概率的求解.分布列和期望求解时，注意随机变量取值的确定及对应概率求解.17．在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到线面垂直；（Ⅱ）利用空间向量求解法向量，从而计算出二面角；（Ⅲ）利用反证法或者向量求解.【详解】（Ⅰ）在平面中过点作，交于因为平面平面平面平面平面所以平面因为平面所以又，且所以平面（Ⅱ）因为平面，所以又，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系所以，因为平面，所以取平面的法向量为设平面的法向量为因为，所以所以令，则，所以所以由题知为锐角，所以的余弦值为（Ⅲ）法一：假设棱上存在点，使得，显然与点不同所以四点共面于所以，所以，所以就是点确定的平面，所以这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证法二：假设棱上存在点，使得连接，取其中点在中，因为分别为的中点，所以因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合所以点在线段上，所以是，的交点，即就是而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证法三：假设棱上存在点，使得，设，所以因为，所以所以有，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证【点睛】本题主要考查空间位置的证明和二面角的求解.线面垂直可以通过线线垂直或者面面垂直来实现；二面角一般利用平面的法向量解决.18．椭圆的左焦点为F，过点的直线与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于轴的对称点为B’，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）利用椭圆的方程得到，从而可求离心率；（Ⅱ）结合韦达定理求出目标式的表达式，根据式子的结构选择合适的方法求解范围.【详解】（Ⅰ）因为，所以所以离心率（Ⅱ）法一：设显然直线存在斜率，设直线的方程为所以，所以，所以所以因为所以因为所以因为，所以法二：设当直线是轴时，当直线不是轴时，设直线的方程为所以，所以，，所以所以因为所以因为所以因为，所以综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的性质及范围问题.范围问题一般求解思路是：先把目标式求出，再结合目标式的特点选择合适的方法，常用均值定理，导数，二次函数等工具来完成.19．已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：对任意成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（Ⅰ）先求导数得到切线斜率，再求解切线方程；（Ⅱ）通过求解的最小值来比较大小.【详解】（Ⅰ）因为所以当时，所以，而曲线在处的切线方程为化简得到（Ⅱ）法一：因为，令得当时，，，在区间的变化情况如下表:00极大值极小值所以在上的最小值为中较小的值，而，所以只需要证明因为，所以设，其中，所以令，得，当时，，，在区间的变化情况如下表:极小值所以在上的最小值为，而注意到，所以，问题得证法二：因为“对任意的，”等价于“对任意的，”即“，”，故只需证“，”设，所以设，令，得当时，，，在区间的变化情况如下表:极小值所以上的最小值为，而所以时，，所以在上单调递增所以而，所以，问题得证法三：“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”因为，令得当时，，，在在上的变化情况如下表:00极大值极小值所以在上的最小值为中较小的值，而，所以只需要证明因为，所以注意到和，所以设，其中所以当时，，所以单调递增，所以而所以，问题得证法四：因为，所以当时，设，其中所以所以，，的变化情况如下表:极小值所以在时取得最小值，而所以时，所以【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数证明不等式.曲线的切线问题一般是先求斜率，结合切点可得切线方程，不等关系的证明一般是利用导数求解最值.20．设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.【答案】（1）；（2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，；（3）中的元素个数最大值为.【解析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解.【详解】(Ⅰ)满足的元素为（Ⅱ）记，，注意到，所以，所以因为，所以所以中有个量的值为1，个量的值为0.显然，当，时，满足，.所以的最大值为又注意到只有时，，否则而中个量的值为1，个量的值为0所以满足这样的元素至多有个，当为偶数时，.当时，满足，且.所以的最小值为当为奇数时，且，这样的元素至多有个，所以.当，时，满足，.所以的最小值为综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.（Ⅲ）中的元素个数最大值为设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个记，显然集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个，则则中至少存在两个元素，因为，所以不能同时为所以对中的一组数而言，在集合中至多有一个元素满足同时为所以集合中元素个数不超过个所以集合中的元素个数为至多为.记，则中共个元素，对于任意的，，.对，记其中，，记，显然，，均有.记，中的元素个数为，且满足，，均有.综上所述，中的元素个数最大值为.【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破.。

朝阳区2019届高三上学期期中统测数 学（理科） 2018.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}|0A x x a =-≤，{}1,2,3B =，若A B φ=，则a 的取值范围为A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (,3]-∞D. [3,)+∞2. 下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是A. 2()f x x x =-B. 21()f x x =Ｃ. ()ln f x x = D.()x f x e = 3. 11edx x=⎰ A. 1- B. 0 C. 1 D.e4.在等差数列{}n a 中，1=1a ,652a a =，则公差d 的值为 A. 13- B. 13 C. 14- D. 145.角θ的终边经过点(4,)P y ，且sin θ=35-，则n ta θ= A. 43- B. 43 C. 34- D. 346.已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n =+，则“21a a ”是“数列{}n a 单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知向量a,b,c 满足a +b+c =0，且222a b c ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是A. a bB. b cC. c aD. 不能确定的8.函数()f x x =，2()3g x x x =-+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值为A. 5B. 63C.7D.8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。