高中数学必修二第三章直线与方程基础知识巩固训练题

第3章 直线与方程一、倾斜角与斜率 知识要点：1．当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．则直线l 的倾斜角α的范围是0≤＜απ．2．倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=．如果知道直线上两点1122()()P x y P x y ，，，，则有斜率公式2121y y k x x -=-．特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0．注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合．当α=0°时，斜率k =0；当090＜＜α︒︒时，斜率0＞k ，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180＜＜α︒︒时，斜率0＜k ，随着α的增大，斜率k 也增大．这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题．例1已知过两点22(23)A m m +-，，2(32)B m m m --，的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值．解：∵202232tan 4512(3)m mm m m --==+---，∴2320m m ++=，解得1m =-或2-． 但当1m =-时，A 、B 重合，舍去．∴2m =-．例2已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (－2，－9a )在一条直线上，求实数a 的值．解： 72533AB k a a-==--，7(9)793(2)5BC a a k --+==--．∵A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴AB BC k k =，即57935aa +=-，解得2a =或29a =．二、两条直线平行与垂直的判定 知识要点：1．对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =； （2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-．2．特例：两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴．例1四边形ABCD的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状．解：AB 边所在直线的斜率AB k ==，CD 边所在直线的斜率CD k ==，BC 边所在直线的斜率BC k ==，DA 边所在直线的斜率DA k ==∵AB CD BC DA k k k k ==，，∴AB //CD ，BC //DA ，即四边形ABCD 为平行四边形．又∵2(1AB BC k k =⨯=-， ∴AB ⊥BC ，即四边形ABCD 为矩形．例2已知ABC ∆的顶点(2,1)(6,3)，B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．解：设顶点A 的坐标为(,)x y ． ∵,AC BH AB CH ⊥⊥，∴11AC BHAB CHk k k k ⋅=-⎧⎨⋅=-⎩，即31()16511()123y x y x -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，化简为53335y x y x =+⎧⎨=-⎩，解之得：1962x y =-⎧⎨=-⎩．∴A 的坐标为(19,62)--．例3（1）已知直线1l 经过点M （－3，0）、N （－15，－6），2l 经过点R （－2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？ （2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （－2，－1）、Q （3，－6），问1l 与2l 是否垂直？解：（1）10(6)13(15)2l k --==---，235122202l k -==--，∴12l l k k =，∴1l ∥2l ． （2）1tan 451l k =︒=，11(6)123l k ---==---，∴121l l k k ⋅=-，∴1l ⊥2l ． 点评：当1l 与2l 的斜率存在时，1212//k k l l =⇒，12121k k l l ⋅=-⇒⊥．斜率不存在时，进行具体的分析．由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直．三、直线的点斜式方程 知识要点：1．点斜式：直线l 过点000()P x y ，，且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-． 2．斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+．3．点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线，若直线l 过点000()P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =． 4．注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000()P x y ，，后者才是整条直线． 例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30．解：（1）54(2)y x -=-； （2）tan3013)∵k y x =︒=+=-． 例2已知直线31y kx k =++．（1）求直线恒经过的定点；（2）当33≤≤x -时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 解：（1）由(3)1y k x =++，易知3x =-时，1y =，所以直线恒经过的定点(3,1)-．（2）由题意得(3)3103310＞＞k k k k -++⎧⎨++⎩，解得16＞k -．例3光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程．解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，∴k 2A B =6423+--=－2．故所求直线方程为y －6=－2（x +2），即2x +y －2=0．点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称，光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题．注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透． 例4已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程． 解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．∵直线l 经过点(5,4)P --，∴可设直线l 的方程为(4)[(5)]y k x --=--，即4(5)y kx +=+．则直线l 在x 轴上的截距为45k -，在y 轴上的截距为54k -．根据题意得14|5||54|52k k--=，即2(54)10||k k -=．当0＞k 时，原方程可化为2(54)10k k -=，解得122855，k k ==；当0＜k 时，原方程可化为2(54)10k k -=-，此方程无实数解．故直线l 的方程为24(5)5y x +=+，或84(5)5y x +=+．即25100x y --=或85200x y -+=． 点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解．而直线在坐标轴上的截距，可正可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距．四、直线的两点式方程 知识要点：1．两点式：直线l 经过两点111222()()P x y P x y ，，，，其方程为112121y y x x y y x x --=--． 2．截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=．3．两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线．4．线段12P P 中点坐标公式1212()22x x y y ++，．例1已知△ABC 顶点为(28)(40)(60)A B C -，，，，，，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程．解：求出AC 中点D 的坐标(4,4)D ，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得044044y x -+=-+，即240x y -+=． 例2菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程．解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示．根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称．所以A (－4，0)，C （4，0），B （0，3），D （0，－3）． 由截距式，得直线AB 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y ＋12＝0；直线BC 的方程：43x y+＝1，即3x ＋4y －12＝0；直线AD 的方程：43x y+--＝1， 即3x ＋4y ＋12＝0； 直线CD 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y －12＝0．五、直线的一般式方程 知识要点： 1．一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B不同时为0．直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线．2．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为0Ax By C '++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为0Bx Ay C '-+=．过点00()P x y ，的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=．经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=．3．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A C ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210AB A B ⇔-≠． 如果2220A BC ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠． 例1已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l ．解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0．（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--， 解得m ＝1．例2已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程．解：直线l ：3x +4y －12=0的斜率为34-，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），∴所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程．此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得．六、两条直线的交点坐标 知识要点：1．一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合． 2．方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点．例1判断下列直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．直线l 1：1nx y n -=-，l 2：2ny x n -=．解：解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+．当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l ．当1n =-时，方程组有无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合．当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-，l 1与l 2相交．∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21()11n n n n ---，． 例2求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程． 解：设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=． ∵平行于直线4370x y --=，∴(2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=，则所求直线方程为4360x y --=．七、两点间的距离 知识要点：1．平面内两点111()P x y ，，222()P x y ，，则两点间的距离为：12||PP ．特别地，当12P P ，所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12P P ，所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12P P，在直线y kx b =+上时，1212|||PP x x -． 2．坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．例1在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(58)M ，的距离为5，并求直线PM 的方程． 解：∵点P 在直线20x y -=上，∴可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得：22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即，解得3225a a ==或，∴3264(2,4)()55P 或，． ∴直线PM 的方程为858548258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或． 例2直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值． 解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点， 设()A a b '，，则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段||A B '== 例3已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy ． 设点A(a ，b )、B (－c ，0)、C (c ，0)，由两点间距离公式得：|AB |AC |AO ，|OC |=c ． ∴|AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++，|AO |2＋|OC |2=222a b c ++． ∴|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．八、点到直线的距离及两平行线距离 知识要点：1．点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2．利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-．这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==． 例1求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=，整理得(31)(3)100x y λλ++--=．由点到直线的距离公式可知，1d ==，解得3λ=±． 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或．例2在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离．解：直线方程化为450x y --=， 设2(,4)P a a ，则点P 到直线的距离为 222d ==．当12a =时，点1(,1)2P例3求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3．解：由点线距离公式，得d =．假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=．∵248417361400＜∆=-⨯⨯=-，∴21748360m m ++=无实根．∴3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在反证法思路的运用， 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解．从而假设不成立，即距离不等于3．另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=． 由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-．所以直线L 恒过定点(2,2)Q -．点P 到直线L 取最大距离时，PQ ⊥L ，即最大距离是PQ 3，∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点，由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大．本章总结：。

【巩固练习】1．直线Ax+By+C=0，当A ＞0，B ＜0，C ＞0时，必经过的象限是（ ）A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限2．在x 轴和y 轴上的截距分别是―2，3的直线方程是（ ）A ．2x ―3y ―6=0B ．3x ―2y ―6=0C ．3x ―2y+6=0D ．2x ―3y+6=03．直线3x y +=和直线2x y +=的位置关系是（ ）A ．相交不垂直B ．垂直C ．平行D ．重合4．（2016春 河南焦作期末）已知过点A （―2，m ），B （m ，4）的直线与直线2x +y ―1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．―8D ．105．不论m 为何实数，直线(m ―1)x ―y +2m +1=0恒过定点（ ）A ．1(1,)2-B ．（―2，0）C ．（―2，3）D ．（2，3）6.一条光线从点(5,3)M 射出，遇x 轴后反射，反射光线过点(2,6)N ，则反射光线所在的直线方程是( ).A ．3120x y --=B ．3120x y ++=C ．3120x y -+=D ．3120x y +-=7．直线方程(3a+2)x+y+8=0，若直线不过第二象限，则a 的取值范围是( )A.(-∞，-32)B.⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-32, C. (32，+∞) D.［32，+∞) 8. 直线220x y k -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于1，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k ≥-B ．1k ≤C ．||1k ≤D ．||1k ≥9. 已知2a―3b=4，2c―3d=4，则过点A （a ，b ），B （c ，d ）的直线l 的方程是________．10. 不论A 、B 取何值，只要A 、B 不同时为零，则直线Ax+By=0必恒过定点________；若A 、B 不同时为零，且A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0恒过定点________．11.若三条直线123:20,:30,:50l x y l x y l mx ny -=+-=++=交于一点，则实数,m n 满足的关系是 ．12．（2015秋 新沂市月考）若三条直线4x +y +4=0，mx +y +1=0，x ―y +1=0不能围成三角形，则实数m 取值范围是________．13．（2016春 河北唐山期末）已知平行四边形两边所在直线的方程为x +y +2=0和3x －y +3=0，对角线的交点是（3，4），求其他两边所在直线的方程．14．（2015春 徐州期末）在平面直线坐标系xOy 中，直线l ：2x +y －4=0．（1）若直线m 过点A （2，1），且与直线l 垂直，求直线m 的方程；（2）若直线n 与直线l 平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为9，求直线n 的方程．【答案与解析】1．【答案】A【解析】令x=0，得0C y B =->；令y=0，得0C x A=-<， 如右图，知直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限．2．【答案】C 【解析】由直线方程的截距式知，所求直线方程为123x y +=-，即3x ―2y+6=0，故选C ． 3．【答案】B【解析】1k =-，2k =，∴k 1k 2=―1，即两直线垂直．故选B ． 4．【答案】C【解析】∵过点A （―2，m ），B （m ，4）的直线与直线2x +y ―1=0平行， ∴422m k m -==-+， 解得m =－8．故选C ．5．【分析】将直线的方程(m －1)x ―y +2m +1=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点，此点即为直线恒过的定点．【答案】C【解析】直线(m ―1)x ―y +2m +1=0可为变为m (x +2)+(―x ―y +1)=0令2010x x y +=⎧⎨--+=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩ 故无论m 为何实数，直线(m ―1)x ―y +2m +1=0恒通过一个定点（－2，3）故选C ．【点评】本题考点是过两条直线交点的直线系，考查由直线系方程求其过定点的问题，解题的方法是将直线系方程变为120kl l +=，然后解方程组2100l l =⎧⎨=⎩，求出直线系120kl l +=过的定点，直线系过定点的这一直线用途广泛，经常出现在直线与圆锥曲线，直线与圆等的综合题型中．6. 【答案】D【解析】反射光线过点(2,6)N ，同时，还经过点(5,3)M 关于x 轴的对称点'(5,3)M -，所以，反射光线的斜率为6(3)325--=--，直线方程为3120x y +-=． 7．【答案】B 【解析】纵截距-8<0，斜率为-(3a+2)≥0⇒a ≤23-. 8．【答案】D【解析】直线220x y k -+=与两坐标轴交点为(2,0),(0,)A k B k -，所以，211|||||2|||22AOB S OA OB k k k ∆==-=，由题意21,k ≥得||1k ≥为所求． 9．【答案】2x ―3y ―4=0【解析】由题意可知A 、B 两点在直线2x ―3y=4上，又两点确定一条直线，∴l 的方程为2x －3y －4=0．10. 【答案】（0，0） （1，1）11．【答案】250m n ++=【解析】先求出前两直线的交点，然后把交点坐标代入3l 的方程，即可求出．12．【分析】三条直线1l ：4x +y +4=0，2l ：mx +y +1=0，3l ：x ―y +1=0不能围成三角形，可得2l ∥1l 或2l ∥3l 或2l 经过直线1l 与3l 的交点，解出即可．【答案】（4，1，－1）【解析】由题意，联立44010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩， 解得10x y =-⎧⎨=⎩，∴直线1l 与3l 的交点为（－1，0）；∵三条直线1l ：4x +y +4=0，2l ：mx +y +1=0，3l ：x ―y +1=0不能围成三角形，∴2l ∥1l 或2l ∥3l 或2l 经过直线1l 与3l 的交点，即―m =―4，或―m =1，或―m +0+1=0，解得m =4，或m =±1．故答案为：（4，1，－1）．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、三角形的性质．13．【答案】x +y ―16=0；3x ―y ―13=0．【解析】联立20330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得两直线交点为53(,)44P --， 设53(,)44P --关于（3，4）的对称点为Q （x ，y ）， 由中点坐标公式得：564384x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2935(,)44Q ， ∴与x +y +2=0平行的一边所在直线方程为：35291()44y x -=-⨯-，即x +y ―16=0； 与3x ―y +3=0平行的一边所在直线方程为：35293()44y x -=⨯-，即3x ―y ―13=0． 14．【分析】（1）根据两条直线垂直，斜率之积为―1，求出直线m 的斜率，写出它的直线方程；（2）根据两条直线平行，它们的斜率相等，求出直线n 的斜率，写出直线方程，求出在坐标轴上的截距，即可得出直线方程．【解析】（1）由题意知，直线l 的斜率为―2，所以直线m 的斜率为12， 所以直线m 的方程为11(2)2y x -=-， 即x ―2y =0；（2）由题意知，直线n 的斜率为―2，设直线n 的方程为y =―2x +b ，令x =0，得y =b ；令y =0，得2b x =； 所以92b b +=，解得b =6； 所以直线n 的方程为y =―2x +6，即2x +y ―6=0．【点评】本题考查了两条直线的平行与垂直的应用问题，也考查了求直线在坐标轴上的截距问题．。

第3章 3.3直线的交点坐标与距离公式 同步测试试卷（数学人A 版必修2）一、选择题（本题包括4小题，每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，每题6分，共24分）1. 两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y 轴上，那么k 的值是( )A.-24B.6C.±6D.不同于A 、B 、C 的答案 2. 点P(m-n,-m)到直线的距离等于( ) AB.C.D.3.在坐标平面内，与点A(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条４．点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) A.B.C.D.二、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

请将正确的答案填到横线上）5.已知ABC △中，(32)A ，，(15)B -，，C 点在直线330x y -+=上，若ABC △的面积为10，则点C 的坐标是 ．6. 一直线过点(20)P ，，且点43(2)3Q -，到该直线的距离等于4，该直线倾斜角为 .三、计算题（本题共5小题，共66分。

解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分。

有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）7. （10分）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．8. （12分）试求直线1l ：20x y --=，关于直线2l ：330x y -+=对称的直线l 的方程.建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分9. （12分）直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点是(01)，，求直线l 的方程．10.（14分） （1）已知(34)A -，，(23)B ，，在x 轴上找一点P ，使PA PB =，并求PA 的值；（2）已知点(4)M x -，与(23)N ，间的距离为72，求x 的值．11.（18分）已知直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12l l ∥，两平行直线间距离为5，而过点()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l 截得的线段长为10，求直线l 的方程．第3章 3.3直线的交点坐标与距离公式同步测试试卷（数学人A版必修2）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案５．６．三、计算题7.8.9.１０．１１．第3章 3.3直线的交点坐标与距离公式 同步测试试卷（数学人A 版必修2）答案一、选择题 1.C解析：两直线的交点在y 轴上，可设交点的坐标为(0，y 0)，则有由①可得y 0=，将其代入②得+12=0.∴ k 2=36，即k=±6. 2.A 解析： 将化为一般式nx+my-mn=0.由公式.3.Ｂ解析：以A ，B 为圆心，分别以1和2为半径，作圆再作两圆的公切线，即为所求，公切线有2条. 4.Ｄ 解析：.二、填空题５. (10)-，或5(8)3，解析：由题得：[]223(1)(25)5AB =--+-=．1102ABC S AB h ==△∵，4h =∴（h 为点C 到直线AB 的距离）． 设点C 坐标为00()x y ，，AB 的方程为32(3)4y x -=--，即34170x y +-=．由0000330341745x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得或00538x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴C 点坐标为(10)-，或5(8)3，． ６ 6π或2π 解析：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为2π，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为(2)y k x =-，即20kx y k --=．由24322341k k d k ---==+，解得3k =． 直线倾斜角为6π．综上，该直线的倾斜角为6π或2π．三、计算题7.解：由题意，若截距为0，则设所求l 的直线方程为y kx =．243321k k -=+∵，123142k -±=．若截距不为0，则设所求直线方程为0x y a +-=．43322a+-=∵，1a =∴或13a =，所求直线为123142y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．8．解法一：由方程组20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得5292x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线1l 、2l 的交点为A (52-，92-)．设所求直线l 的方程为95()22y k x +=+，即22590kx y k -+-=．由题意知：1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则31313113k k--=+⨯+，7k =-∴． 即所求直线l 的方程为7220x y ++=．解法二：在1l 上任取点P (1x ，1y )（2P l ∉）， 设点P 关于2l 的对称点为Q (x '，y ')．则11113302231x x y y y y x x ++⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩''''解得又点P 在1l 上运动，1120x y --=∴．4393432055x y x y -+-++--=∴''''．即7220x y ++=''，也就是7220x y ++=． 9.解：设直线l 的方程为1y kx -=或0x =，17310031y kx x x y k =+⎧⇒=⎨-+=-⎩， 172802y kx x x y k =+⎧⇒=⎨+-=+⎩， 由770312k k +=-+，得14k =-，又直线0x =不合题意．∴所求直线方程为440x y +-=．10. 解（1）设点P 为(0)x ，，则有PA ==PB ==由PA PB =得2262547x x x x ++=-+，解得95x =-． 即所求点P 为9(0)5-，且5PA ==． （2）由MN =MN ==，得24450x x --=，解得19x =或25x =-，故所求x 值为9+或5-．11. 解：∵12l l ∥，2160m -=∴，得4m =±．0m >∵，4m =∴．故1:480l x y n ++=，24820l x y +-=：． 又1l 与2l 间距离为5，222548n +=+∴，解得18n =或22n =-（舍）．故A 点坐标为(418)，．再设l 与1l 的夹角为θ，斜率为k ，1l 斜率为12-， 2sin θ=∵，4θ=π∴，1()2tan 1141()2k k--==+-π，解得13k =或3k =-．直线l 的方程为118(4)3y x -=-或183(4)y x -=--． 即3500x y -+=或3300x y +-=．。

高中数学必修2第三章知识点+习题+答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章直线与方程直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(bb kx y +=直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ ),(1212112121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。

第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程A 级 基础巩固一、选择题1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32 B ．－23C ．25D ．22．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝－5D ．a ＝－2，b ＝53．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－34．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个( )5．过点P (1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题6．过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为________，若点(a，12)在此直线上，则a＝________．7．在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°角的直线方程是____________．8．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________．三、解答题9．直线l过点(1，2)和第一、第二、第四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．10．已知在△ABC中，A、B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．B级能力提升1.已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b＞0，d＜0，a＜cB．b＞0，d＜0，a＞cC．b＜0，d＞0，a＞cD．b＜0，d＞0，a＜c2．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．3．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线经过第一、第三、第四象限，求a的取值范围．参考答案第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程A 级 基础巩固一、选择题1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32 B ．－23C ．25D ．2解析：由两点式得过(－1，1)和(3，9)的直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0.令y ＝0，得x ＝－32.答案：A2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝－5D ．a ＝－2，b ＝5解析：令x ＝0得y ＝－5，令y ＝0得x ＝2. 答案：B3．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3解析：因为l 1⊥l 2，所以2(k －3)2－2(3－k )＝0.即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3.答案：C4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个( )解析：由x m －y n ＝1，得y ＝n m x －n ；由x n －y m ＝1，得y ＝mn x －m ，即k 1与k 2同号且互为倒数．答案：B5．过点P (1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x a ＋yb＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝5.综上符合题意的直线共有3条． 答案：C 二、填空题6．过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为________，若点(a ，12)在此直线上，则a ＝________．解析：过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为y －73－7＝x －51－5，即x －y ＋2＝0，点(a ，12)在x －y ＋2＝0上，a －12＋2＝0. 所以a ＝10.答案：x －y ＋2＝0 107．在y 轴上的截距为－6，且倾斜角为45°角的直线方程是____________．解析：设直线的点斜式方程为y ＝kx ＋b ， 由题意得k ＝tan 45°＝1，b ＝－6， 所以y ＝x －6，即x －y －6＝0 答案：x －y －6＝08．若直线mx ＋3y －5＝0经过连接点A (－1，－2)，B (3，4)的线段的中点，则m ＝________．解析：线段AB 的中点为(1，1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 答案：2 三、解答题9．直线l 过点(1，2)和第一、第二、第四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y6－a ＝1，因为点(1，2)在直线l 上， 所以1a ＋26－a ＝1，解得：a 1＝2，a 2＝3，当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、第二、第四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、第二、第四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0. 10．已知在△ABC 中，A 、B 的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－3.所以C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即y ＝15x －12.B 级 能力提升1.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A ．b ＞0，d ＜0，a ＜cB ．b ＞0，d ＜0，a ＞cC ．b ＜0，d ＞0，a ＞cD ．b ＜0，d ＞0，a ＜c解析：由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a ＞0，k 2＝－1c ＞0且k 1＞k 2，所以a ＜0，c ＜0且a ＞c .又l 1的纵截距－b a ＜0，l 2的纵截距－dc ＞0，所以b ＜0，d ＞0. 答案：C2．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．解析：设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，所以6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.所以d ＝±12，则直线在x 轴上截距为3或－3. 答案：3或－33．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线经过第一、第三、第四象限，求a 的取值范围． (1)证明：法一 将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，所以l的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.由于上式对任意的a 总成立，必有⎩⎨⎧5x －1＝0，5y －3＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35.即l过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫15，35.以下同法一．(2)解：将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、第三、第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a －35＜0，即a ＞3.。

必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k tan k α=当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

《必修2》第三章“直线与方程”测试题(含答案)《必修2》第三章“直线与方程”测试题一．选择题：1. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）x y O x y O x y O xyOA B C D2．若直线20x ay ++=和2310x y ++=互相垂直，则a =（ ）A ．32-B ．32C ．23- D ．23 3．过11(,)x y 和22(,)x y 两点的直线的方程是( )111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----=4．直线2350x y +-=关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A 、3x+2y-5=0 B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=05 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）23-二．填空题：11. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程方程1=+y x 表示的图形所围成的封闭区域的面积为_________13 点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22xy +的最小值是________14 直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是15 已知直线,32:1+=x y l若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；23y x =-+三、解答题16．求过点(5,4)A --的直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为517． 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点为(0,0)时，求此直线方程18．直线313y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等， 求m 的值19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B （-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。

第三章 直线与方程[基础训练A 组] 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）D ．0180，不存在 表示一条直线，则实数m 满足0则2l 的方程为__________;若3l 4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。

4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

三、解答题 新课标第一网1．已知直线Ax By C ++=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴；（5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．2．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。