山西省大同市口泉中学2015届高三上学期摸底考试数学(理)试题

山西省大同市2015届高三上学期调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）A．（1，2）B．C．∅D．2．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2 3．（5分）已知函数，则f（5）的值为（）A．B．C．D．14．（5分）命题p：若•＞0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，下列说法中正确的是（）A．“p或q”是真命题B．￢p为假命题C．“p或q”是假命题D．￢q为假命题5．（5分）设变量x，y满足约束条件：的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．46．（5分）一个几何体的三视图如图，其俯视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．（4+π）7．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）8．（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=012．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。

山西省大同市2015届高三（上）调研数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，函数f （x ）=ln的定义域为M ，则∁R M 为（ ）A ．（﹣1，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D ． [﹣1，1] 2．设复数z=﹣1﹣i （i 为虚数单位），z 的共轭复数为=（ ）A ．B ． 2C ．D ．13．抛物线y=x 2的准线方程是（ ） A ． y=﹣1B ．y=﹣2 C ．x=﹣1 D ． x =﹣24．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=3，则=（ ）A ． 2B ．C ．D ．35．执行程序框图，如果输入的t ∈[﹣1，3]，则输出的s 属于（ ）A ． [﹣3，4]B ． [﹣5，2]C ． [﹣4，3]D ． [﹣2，5] 6．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 4cos50°﹣tan40°=（ ）A ．B ．C ．D ． 2﹣18．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2B ．C ．D ． 5πa 29．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ． 向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ． 向右平移个单位长度10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ． 180B ．240 C ． 276 D ． 30011．已知双曲线﹣y 2=1的左右焦点为F 1、F 2，点P 为左支上一点，且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．D 、212．如图，偶函数f （x ）的图象如字母M ，奇函数g （x ）的图象如字母N ，若方程f （f （x ））=0，f （g （x ）=0的实根个数分别为m 、n ，则m+n=（ ）A ． 18B ． 16C ． 14D ． 12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上）13．设非零向量、、满足||=||=||，+=，则=_________．14．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为_________．15．设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2=_________．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的前n项和为T n，若=，则+= _________．三、解答题：本大题共5个小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．17．（12分）在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a2﹣2bccosA=（b+c）2（1）求∠A的大小；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．18．（12分）某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（1，0）点且斜率为1的直线与曲线C交于A、B两点，求弦长AB．21．（12分）已知函数在x=1处取到极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数．若对任意的x1∈R，总存在x2∈[1，e]，使得，求实数a的取值范围．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若，求的值．五、选修4-4：坐标系与参数方程．23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．六、选修4-5：不等式选讲．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤3的解集；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．。

2016-2017学年山西省大同市口泉中学高二（上）12月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≤0”的否定为（ ）A ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≥0B ．∀x ∉R ，x 2﹣2x+4≤0C ．∃x ∈R ，x 2﹣2x+4＞0D ．∃x ∉R ，x 2﹣2x+4＞02．命题“若a ＞0，则a ＞1”的逆命题．否命题．逆否命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．已知命题p 、q ，则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．k ＞3是方程+=1表示双曲线的（ ）条件．A ．充分但不必要B ．充要C ．必要但不充分D ．既不充分也不必要5．已知条件p ：|x+1|＞2，条件q ：5x ﹣6＞x 2，则￢p 是￢q 的（ ）A ．充要条件B ．充分但不必要条件C ．必要但不充分条件D ．既非充分也非必要条件6．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）A ． +=1B ． +=1C ． +=1D ． +=17．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±2x8．已知椭圆标准方程x 2+=1，则椭圆的焦点坐标为（ ）A ．（，0）（﹣，0）B ．（0，），（0，﹣）C ．（0，3）（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）9．焦点为（2，0）的抛物线的标准方程为（）A．y2=16x B．y2=8x C．y2=4x D．y2=2x10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．211．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．12．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为．14．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=6，则∠F1PF2= ．15．由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，+∞），则实数a= ．16．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，|AP|=2|PB|，则椭圆的离心率为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．（Ⅰ）焦点在y轴上，焦距是16，离心率e=；（Ⅱ）一个焦点为F（﹣6，0）的等轴双曲线．18．设命题p：f（x）=a x是减函数，命题q：关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R，如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是．19．已知椭圆C的焦点F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．20．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．22．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，是椭圆C上一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且，求直线l的方程．2016-2017学年山西省大同市口泉中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0【考点】命题的否定．【分析】根据题意，给出的命题是全称命题，则其否定形式为特称命题，分析选项，可得答案．【解答】解：分析可得，命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”是全称命题，则其否定形式为特称命题，为∃x∈R，x2﹣2x+4＞0，故选C．2．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题．否命题．逆否命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】四种命题的真假关系．【分析】因为原命题与它的逆否命题真假相同，故只需写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可．【解答】解：命题“若a＞0，则a＞1”是假命题，它的逆命题为：“若a＞1，则a＞0”为真命题．所以在四个命题中真命题的个数是2故选C3．已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由判断充要条件的方法，我们可知：若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的必要不充分条件；而根据已知条件可得：“p∨q为真命题”⇒“p∧q为真命题”为假命题，“p∧q为真命题”⇒“p∨q为真命题”是真命题．故得“p∨q为真命题”是“p ∧q为真命题”的必要不充分条件．【解答】解：由于“p∨q为真命题”，则p、q中至少有一个为真命题，又由“p∧q为真命题”，则p、q都为真命题，所以“p∨q为真命题”⇒“p∧q为真命题”为假命题，“p∧q为真命题”⇒“p∨q为真命题”是真命题．再根据充要条件的判断方法，可知“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件．故答案为B．4．k＞3是方程+=1表示双曲线的（）条件．A．充分但不必要 B．充要C．必要但不充分 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．【解答】解：方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．∴k＞3是方程+=1表示双曲线的充分但不必要条件．故选：A．5．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充要条件 B．充分但不必要条件C．必要但不充分条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：p：|x+1|＞2，得x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，q：5x﹣6＞x2，即q：x2﹣5x+6＜0，即2＜x＜3，即￢q：x≥3或x≤2，即￢p是￢q的充分不必要条件，故选：B．6．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由c=2，运用离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由2c=4，e==，解得c=2，a=2，b==2，即有椭圆方程： +=1．故选：C．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．8．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）A．（，0）（﹣，0）B．（0，），（0，﹣）C．（0，3）（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆标准方程x2+=1，则其焦点在y轴上，且c==3，则椭圆的焦点坐标为（0，3）和（0，﹣3），故选：C．9．焦点为（2，0）的抛物线的标准方程为（）A．y2=16x B．y2=8x C．y2=4x D．y2=2x【考点】抛物线的简单性质．【分析】由焦点为（2，0），=2，可得2p=8，又开口向右，即可得出抛物线的标准方程．【解答】解：∵焦点为（2，0），∴=2，∴2p=8，开口向右，∴抛物线的标准方程为y2=8x．故选B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，推出a、b关系，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：C．11．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】可设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，讨论曲线为椭圆或双曲线，运用椭圆或双曲线的定义，及离心率公式，即可得到结论．【解答】解：由于曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，可设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆，则由离心率公式，可得e===；若曲线为双曲线，则由离心率公式，可得e===．故选A．12．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C 的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得焦点为（2，0）．进而得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．【解答】解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为（2，0）．由题意双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，∴c=2．又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线的方程为．故答案为：．14．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=6，则∠F1PF2= ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义及余弦定理即可求得cos∠F1PF2，即可求得的值∠F1PF2．【解答】解：椭圆，a=5，b=3，c=，∵|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF2|=10﹣|PF1|=4．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===，∴∠F1PF2=，故答案为：．15．由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，+∞），则实数a= 1 ．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题的真假关系．【分析】存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4﹣4m＜0，所以m＞1，则a=1．【解答】解：存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，∴m＞1，m的取值范围为（1，+∞）．则a=116．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，|AP|=2|PB|，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故答案为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．（Ⅰ）焦点在y轴上，焦距是16，离心率e=；（Ⅱ）一个焦点为F（﹣6，0）的等轴双曲线．【考点】双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）由条件可知c=8，又e=，所以a=6，求出b，即可求出双曲线的标准方程；（Ⅱ）设所求等轴双曲线：x2﹣y2=a2，则c2=2a2=36，求出a，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由条件可知c=8，又e=，所以a=6，b==2，故双曲线的标准方程为=1．…（Ⅱ）设所求等轴双曲线：x2﹣y2=a2，则c2=2a2=36，∴a=3，故双曲线的标准方程为=1．…18．设命题p：f（x）=a x是减函数，命题q：关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R，如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是．【考点】复合命题的真假．【分析】根据指数函数的单调性求命题P为真命题的条件；分析关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R的等价条件是△＜0求命题q 为真命题的条件；利用复合命题真值表求解即可．【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1）是减函数，∴0＜a＜1，关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R，∴△=1﹣4a＜0⇒a＞，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴根据复合命题的真值表命题p、q一真一假当P真，q假时，0＜a≤．当p假，q真时，a≥1．故满足条件的实数a的取值范围是（0，]∪[1，+∞）．19．已知椭圆C的焦点F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的方程为：，由题意及a，b，c的平方关系即可求得a，b值；（2）联立方程组消去y可得关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可求x1+x2的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为：，由题意知，2a=6，c=2，∴a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，椭圆C的标准方程为：；（2）由，得10x2+36x+27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣=﹣，∴线段AB中点横坐标为﹣，代入方程y=x+2得y=﹣+2=，故线段AB中点的坐标为（﹣，）．20．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（Ⅰ）若a=1，求出p，q成立的等价，利用p∧q为真，即可求实数x的取值范围；（Ⅱ）根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，若命题p为真，则1＜x＜3；若命题q为真，则2＜x＜3，∵p∧q为真，即p，q都为真，∴，∴2＜x＜3，即实数F的取值范围是（2，3）．（2）若若q是p的充分不必要条件，∵a＞0，a＜x＜3a，若q是p的充分不必要条件，∴，则1≤a≤2，∴a的取值范围是{a|1≤a≤2}．21．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．【解答】解：（1）由已知双曲线C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）由双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，∴∴，∴b2=2∴所求双曲线为…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上∴，两方程相减得：得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0∴，∴∴弦AB的方程为即x﹣2y+3=0经检验x﹣2y+3=0为所求直线方程．…22．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，是椭圆C上一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用离心率为，是椭圆C上一点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用，求出k，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵在椭圆C上，∴又∵，a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，故所求椭圆方程为．…5分（Ⅱ）∵，∴．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，由，∴与矛盾，故直线l的斜率存在且不为零设直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，∴，，∴；由，得x1x2+y1y2=0，解得k=±2，∴所求直线l的方程为2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．…13分．。

山西省大同市口泉中学2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．4343π+D ．8343π+2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭4．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -5．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A 337--B 337-+ C ．4- D ．26．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π7．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．3D ．3-8．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 9．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( ) A 15-B 51+ C 51- D 51+51-10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．22y x =± C ．52y x =±D ．22y x =±11．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=12．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014-2015学年山西省大同一中、同煤一中联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|log4x＜1}，B={x|x≥2}，则A∩∁RB=（）A．（﹣∞，2）B．（0，2）C．（﹣∞，2] D．[2，4）【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：计算题．【分析】：求出A中其他不等式的解集确定出A，根据全集R及B求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解析】：解：由A中的不等式变形得：log4x＜1=log44，得到0＜x＜4，即A=（0，4）；∵B=[2，+∞），全集为R，∴∁RB=（﹣∞，2），则A∩∁RB=（0，2）．故选B【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解析】：解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=logax，y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据指数函数和对数的函数的单调性，和一次函数的纵截距所得的a的范围是否一致．故可判断．【解析】：解：当0＜a＜1，y=logax，y=ax均为减函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标小于1，当a＞1，y=logax，y=ax均为增函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标大于于1，观察图象知，A，B，D均错，只有C正确．故选：C【点评】：本小题主要考查，一次函数，对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．4．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5] B．[2，6] C．[3，10] D．[3，11]【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．【解析】：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．【点评】：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5．（5分）在等差数列{an}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（）A．24 B．39 C．52 D．104【考点】：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：利用等差数列的性质可把3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，化简6a4+6a10=48，从而可a1+a13=a4+a10=8而，从而可求【解析】：解：∵3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，利用等差数列的性质可得，6a4+6a10=48∴a1+a13=a4+a10=8∴故选C【点评】：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解析】：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos （φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．【点评】：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．7．（5分）如图所示，用过A1、B、C1和C1、B、D的两个截面截去正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个角后得到一个新的几何体，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．【解析】：解：由正视图的定义可知：点A、A1、C1在后面的投影点分别是点D、D1、C1，线段A1B在后面的投影面上的投影是以D1为端点且与线段A1B平行且相等的线段，即可得正视图．故选：A．【点评】：从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．8．（5分）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形【考点】：三角形的形状判断．【专题】：计算题．【分析】：通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．【解析】：解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC=60°，所以三角形是正三角形．故选A．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力．9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为Fl，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．【解析】：解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c==5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C【点评】：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）已知m、n表示两条不同直线，α表示平面．下列四个命题中，正确的个数是（）①若m∥α，n∥α，则m∥n②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n③若m⊥α，m⊥n，则n∥α④若m∥α，m⊥n，则n⊥αA． 4 B．3 C． 2 D．1【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理解答．【解析】：解：对于①，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或者异面；故①错误；对于②，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故②正确；对于③，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或者n⊂α内；故③错误；对于④，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或者n⊂α；故D错误；故选D．【点评】：本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练有关的定理，正确运用．11．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】：三角函数的化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解析】：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）=2lnx+1的图象与直线y=2x﹣a恰好有一个交点，设g（x）=ex﹣x2+a，当x∈[1，2]时，不等式﹣m≤g（x）≤m2﹣4恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[，e] C．[﹣e，] D．[，+∞）【考点】：函数恒成立问题．【专题】：导数的综合应用．【分析】：用导数求出曲线上某点切线方程，即可得到a的值，再利用导数求出函数g（x）=ex﹣x2+a，当x∈[1，2]时的最值，再根据不等式﹣m≤g（x）≤m2﹣4恒成立，求的m的范围【解析】：解：∵函数f（x）=2lnx+1的图象与直线y=2x﹣a恰好有一个交点，∴直线y=2x﹣a与f（x）相切设曲线的切点为P（x0，y0），∵f′（x）=，∴f′（x0）==2，∴x0=1，∴y0=2lnx0+1=1，∴2﹣a=1，∴a=1∴g（x）=ex﹣x2+1，∴g′（x）=ex﹣2x，x∈[1，2]设h（x）=ex﹣2x，x∈[1，2]∴h′（x）=ex﹣2＞0在[1，2]恒成立，∴h（x）=ex﹣2x，x∈[1，2]为增函数，∴h（x）min=h（1）=e﹣2＞0，∴g′（x）＞0在[1，2]恒成立，∴g（x）=ex﹣x2+1在[1，2]为增函数，∴g（1）≤g（x）≤g（2），即e≤g（x）≤e2﹣3∵当x∈[1，2]时，不等式﹣m≤g（x）≤m2﹣4恒成立∴解得m≥故选：D．【点评】：本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的集合意义，以及恒成立的问题，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．【考点】：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】：计算题．【分析】：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．【解析】：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）=故答案为【点评】：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．14．（5分）已知A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．【考点】：平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：根据点的坐标，分别算出=（5，5）、=（2，1），从而算出=15且||=5．再利用向量投影的公式加以计算，即可得到向量在方向上的投影的值．【解析】：解：∵C（﹣2，﹣1），D（3，4），∴=﹣=（5，5），同理可得=﹣=（2，1），∴=5×2+5×1=15，==5设、的夹角为α，则向量在方向上的投影为||cosα===故答案为：【点评】：本题给出A、B、C、D各点的坐标，求向量在方向上的投影．着重考查了平面向量的坐标运算、数量积的公式及其运算性质和向量投影的概念等知识，属于中档题．15．（5分）已知函数，若f（3﹣a2）＜f（2a），则实数a的取值范围是﹣3＜a＜1．【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据分段函数的解析式判断出函数的单调性，利用函数的单调性去掉“f”，转化为关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围．【解析】：解：∵函数，作出分段函数的图象如图所示，∴根据函数的图象可得，函数f（x）在定义域R上是单调递减函数，∵f（3﹣a2）＜f（2a），∴3﹣a2＞2a，即a2+2a﹣3＜0，∴﹣3＜a＜1，实数a的取值范围是﹣3＜a＜1．故答案为：﹣3＜a＜1．【点评】：本题考查了分段函数的图象，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．利用基本初等函数的单调性判断函数的单调性，运用了函数的单调性解不等式，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”．属于中档题．16．（5分）如图，已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是其准线l上的动点，直线PF 交抛物线C于A、B两点．若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点，则△DAB 的面积S的取值范围为（4，+∞）．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由抛物线C：y2=4x可得焦点F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PF的方程为：y=k（x﹣1）．与抛物线方程联立可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，利用根与系数的关系和弦长公式，求出点D（﹣1，0）到直线AB的距离d．再利用S△DAB=d•|AB|，即可得出所求范围．【解析】：解：由抛物线C：y2=4x可得焦点F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PF的方程为：y=k（x﹣1）．联立，化为k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2=2+，x1x2=1．∴|AB|=•=•=．点D（﹣1，0）到直线AB的距离d=．∴S△DAB=d•|AB|=•=4＞4．∴△DAB的面积S的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立，同时考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【考点】：解三角形的实际应用．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解析】：解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=3【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．18．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2an ﹣1﹣1=Sn﹣1，两个式子相减得an=2an﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nan=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．【解析】：解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1，两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n，∴Tn=1+（n﹣1）2n．【点评】：本题考查了数列an与Sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】：直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角．【专题】：计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想．【分析】：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA ⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解析】：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==﹣，故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．【点评】：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．20．（12分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1B1F2B2的内切圆半径为．（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦F1点的直线交椭圆于M、N两点，交直线x=﹣4于点P，设=λ，=μ，试证λ+μ为定值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B2F2的切点为G，连接OG，则|OG|=．由利用等积法得bc=，e=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0．由此利用韦达定理结合已知条件能证明λ+μ=0为定值．【解析】：（Ⅰ）解：如图所示，设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B2F2的切点为G，连接OG，则|OG|=．由==，|OB2|=b，|OF2|=c，|B2F2|=a，得bc=，又e=，a2=b2+c2，解得a=2，b=，故椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）证明：根据已知条件可设直线MN的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．又P（﹣4，﹣3k），由，，得，．…（9分）∴λ+μ=﹣=﹣=﹣，∵2x1x2+5（x1+x2）+8=2•==0，∴λ+μ=0为定值．…（13分）【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（12分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）求出导数，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．讨论①当﹣2≤a≤2时，②当a＜﹣2时，③当a＞2时，由导数符号确定函数的单调性，即可得到a的范围；（2）运用韦达定理可得a=x1+x2=x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．【解析】：解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣﹣1+=﹣，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，故在（0，+∞）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．③当a＞2时，△＞0，设g（x）=0的两个根x1，x2都大于零，令x1=，x2=，x1x2=1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，综上所述，a的取值范围是（2，+∞）．（2）依题意及（1）知，a=x1+x2=x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）=+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴k==﹣﹣1+a•=﹣2+a•．若k≤•a﹣2，则﹣2+a•≤•a﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1=，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）=﹣﹣1+•，记x1′=[﹣]，x2′═[+]，由（1）③知F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）=0，F（e）=0，所以，当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）=x22﹣ax2+1=0，得a=x2+≥e+（∵a=x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，所以a的取值集合是{a|a≥e+}．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题．22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：综合题；压轴题．【分析】：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解析】：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．。

2015年河南、河北、山西三省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A ={(x, y)|y =3x }，B ={(x, y)|y =2−x }，则A ∩B =( ) A {0} B {1} C {(0, 1)} D {(1, 0)}2. 已知复数z =1i(i+1)，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3. 函数f(x)=(x +1)|log 2x|−1的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4. 给定两个命题：p:∃a ∈R ，使y =x 2+ax+1为偶函数；q:∀x ∈R ，(sinx −1)(cosx −1)≥0恒成立． 其中正确的命题的为（ ）A p ∧qB p ∧￢qC p ∨￢qD ￢p ∨q5. 某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘成如图所示的茎叶图，若两种品牌销量的平均数为x 甲¯与x 乙¯，方差为S 甲2与S 乙2，则（ ） A x 甲¯<x 乙¯，s 甲2<S 乙2 B x 甲¯>x 乙¯，S 甲2<S 乙2 C x 甲¯>x 乙¯，S 甲2>S 乙2 D x 甲¯<x 乙¯，S 甲2>S 乙26. 已知数列{a n }是等比数列，且a 2+a 6＝3，a 6+a 10＝12，则a 8+a 12＝（ ） A 12√2 B 24 C 24√2 D 487. 执行如图所示的程序框图，若输出的k 值为5，则输入的整数p 的最大值为（ ）A 7B 15C 31D 638. 某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（ ） A 2√3+2 B 4√3+2 C 6 D 89. 若函数f(x)=sin(ωx −π4)(ω>0)在区间(0, π2)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A (0, 32] B [1, 32] C [1, 2] D (0, 2]10. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且与抛物线y 2=x 交于A 、B 两点，若△OAB （O 为坐标原点）的面积为2√2，则椭圆C 的方程为（ ） Ax 28+y 24=1 Bx 22+y 2=1 Cx 212+y 26=1 Dx 212+y 28=111. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为a 24，∠A =15∘，则b c+cb的值为（ ）A √2B 2√6C 2√2D √612. 已知a 、b ∈R ，当x >0时，不等式ax +b ≥lnx 恒成立，则a +b 的最小值为（ ） A −1 B 0 C 1e D 1本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 若变量x 、y 满足条件{2x −y +2≥0x −2y +1≤0x +y −5<0，则z =2x −y 的最小值为________．14. 已知双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与C 2:y 2b 2−x 2a 2=1(a >0, b >0)，给出下列四个结论：①C 1与C 2的焦距相等； ②C 1与C 2的离心率相等； ③C 1与C 2的渐近线相同；④C 1的焦点到其渐近线的距离与C 2的焦点到其渐近线的距离相等． 其中一定正确的结论是________（填序号）．15. 已知D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且BD =2AD ，AE =2EC ，点P 是线段DE 上的任意一点，若AP →=xAB →+yAC →，则xy 的最大值为________．16. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，M 、N 分别为棱BB 1，B 1C 1的中点，由M ，N ，A 三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17. 已知S n 是首项不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 2=a 3，a 1a 2=a 6． （1）求a n 和S n ；（2）求证：1S 1+1S 2+...+1S n<23．18. a、b、c、d四名运动员争夺某次赛事的第1、2、3、4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组2人，第一轮比赛（半决赛）：两组各进行一场比赛决出各组的胜者和负者；第二轮比赛（决赛）：两组中的胜者进行一场比赛争夺第1、2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3、4名，4名选手以往交手的胜负情况如表所示：若抽签结果为甲组：a、d，乙组：b、c，每场比赛中，以双方以往交手各自获胜的概率作为其获胜的概率．（1）求a获得第1名的概率；（2）求a的名次ξ的分布列及数学期望．19. 如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60∘，∠C=90∘，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′−BCD，如图2．（1）若二面角A′−BD−C的余弦值为√33，求证：A′C⊥平面BCD；（2）当三棱锥A′−BCD的体积最大时，求直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．20. 已知动点P到定点F(1, 0)的距离比到直线x+2=0的距离小1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l:2x+4y−9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：(I)直线AB的方程；(II)△FAB与△FCB的面积之比．21. 已知函数f(x)=xlnx−a2x2(a∈R)．（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点[1, f(1)]处的切线方程；（2）若函数g(x)=f(x)−x有两个极值点x1、x2，求证：1lnx1+1lnx2>2ae．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC＝PD；（2）若AC＝BD，求证：线段AB与DE互相平分．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23. 已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosθy =2+2sinθ （θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=−4cosθ． (1)求曲线C 1和C 2交点的直角坐标；(2)A 、B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB|最大时，求△OAB 的面积．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)=|2x +1|+|x −a|(a ∈R)． （1）当a =2时，求不等式f(x)≤4；（2）当a <−12时，若存在x ≤−12使得f(x)+x ≤3成立，求a 的取值范围．2015年河南、河北、山西三省高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. C3. B4. D5. A6. B7. C8. C9. A 10. A 11. D 12. B 13. −2 14. ①③ 15. 118 16. 132317. （1）解：设{a n }的公差为d ， 由已知得{2a 1+d =a 1+2da 1(a 1+d)=a 1+5d ，解得a 1=d =3，∴ a n =3+(n −1)×3=3n ． S n =3n +n(n−1)2×3=32n(n +1)．（2）1S n=23(1n −1n+1)，∴ 1S 1+1S 2+...+1S n=23(1−12+12−13+⋯+1n −1n +1) =23(1−1n+1)<23．18. 解：（1）设a 分别与b ，c ，d 比赛时，a 获胜为事件A b ，A c ，A d ， 则P(A b )=23，P(A c )=13，P(A d )=12，设b 分别与a ，c ，d 比赛时，b 获胜为事件B a ，B c ，B d ， 则P(B a )=13，P(B c )=23，P(B d )=12，设c 分别与a ，b ，d 比赛时，获胜为事件C a ，C b ，C d ， 则P(C a )=23，P(C b )=13，P(C d )=12，设d 分别与a ，b ，c 比赛时，d 获胜为事件D a ，D b ，D c ， 则P(D a )=12，P(D b )=12，P(D c )=12，若a 获得第一名，则甲组中a 胜，且a 与乙中的胜者比赛进仍获胜， ∴ a 获得第1名的概率：P =P(A d )P(B c )P(A b )+P(A d )P(C b )P(A c ) =12×23×23+12×13×13=518，∴ a 获得第1名的概率为518．（2）a 的名次ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ=1)=P(A d )P(B c )P(A b )+P(A d )P(C b )P(A c )=12×23×23+12×13×13=518，ξ=2，表示甲组中a 胜，且a 与乙中的胜者比赛时负，∴ P(ξ=2)=P(A d )P(B c )P(B d )+P(A d )P(C b )P(A c )=12×23×13+12×13×23=418，ξ=3表示甲组中a 负，且a 与乙组的负者比赛时获胜，∴ P(ξ=3)=P(D a )P(B c )P(A c )+P(D a )P(C a )P(A b )=12×23×13+12×13×23=418，P(ξ=4)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)−P(ξ=3)=518，Eξ=1×518+2×418+3×418+4×518=52．19. 解：（1）证明：在图(1)中，设AC ，BD 交于点O ， ∵ 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 互相垂直， ∠A =60∘，∠C =90∘，CD =CB =2，∴ CO =BO =DO =√2，AB =AD =2√2，AO =√6，∴ 将△ABD 沿BD 折起，A′O ⊥BD ，CO ⊥BD ，A ′O =√6，CO =√2， ∴ ∠A′OC 是二面角A′−BD −C 的平面角， 设A′C =x ，∵ 二面角A′−BD −C 的余弦值为√33，∴ cos∠A ′OC =6+2−x 22√6×√2=√33，解得x =2，即A′C =2，∵ BC =DC =2，A′B =A′D =2√2，∴ BC 2+A′C 2=A′B 2，CD 2+A′C 2=A′D 2，∴ BC ⊥A′C ，DC ⊥A′C ，又BC ∩CD =C ，∴ A′C ⊥平面BCD ．（2）解：三棱锥A′−BCD 的体积最大时，A′C ⊥平面BCD ， 以C 为原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CA′为z 轴， 建立空间直角坐标系，A′(0, 0, 2)，D(0, 2, 0)，A ′D→=(0, 2, −2)，平面A′BC 的法向量n →=(0, 1, 0)， 设直线A′D 与平面A′BC 所成角为θ， 则sinθ=|cos <A ′D →，n→>|=|2√8|=√22． ∴ 直线A′D 与平面A′BC 所成角的正弦值为√22．20. 解：（1）由题意可得动点P 到定点F(1, 0)的距离与到直线x +1=0的距离相等． ∴ 动点P 的轨迹E 是抛物线：点F 为焦点，直线x =−1为准线，可得方程为：y 2=4x ． (2)(I)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，线段AB 的中点M(x 0, y 0)，把A ，B 的坐标代入抛物线方程可得：y 12=4x 1，y 22=4y 2， 相减可得(y 1−y 2)(y 1+y 2)x 1−x 2=4，∴ 2y 0⋅k AB =4， ∵ k AB ×(−12)=−1，∴ k AB =2．∴ 2y 0=2，解得y 0=1，代入方程2x +4y −9=0可得2x 0+4−9=0，解得x 0=52．∴ M(52，1)，可得直线AB 的方程为：y −1=2(x −52)，化为2x −y −4=0．(II)令x =−1，代入直线AB 的方程2x −y −4=0，解得y =−6，∴ C(−1, −6)．联立{2x −y −4=0y 2=4x ，解得{x =1y =−2或{x =4y =4， ∴ A(4, 4)，B(1, −2)，|AB|=√32+62=3√5，|BC|=√22+42=2√5． ∴S △FAB S △FBC=|AB||BC|=32．21. 解：（1）当a =2时，f(x)=xlnx −x 2，f′(x)=lnx +1−x 2， ∴ f(1)=−1，f′(1)=−1，曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y =−x ；（2）g′(x)=f(x)′−1=lnx −ax ，函数g(x)=f(x)−x 有两个极值点x 1、x 2， 即g′(x)=lnx −ax =0有两个不同的实根，当a ≤0时，g′(x)单调递增，g′(x)=0不可能有两个不同的实根； 当a >0时，设ℎ(x)=lnx −ax ，ℎ′(x)=1−ax x，若0<x <1a 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 若x >1a 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， ∴ ℎ(1a )=−lna −1>0，∴ 0<a <1e ．不妨设x 2>x 1>0，∵ g ′(x 1)=g ′(x 2)=0，∴ lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0，lnx 1−lnx 2=a(x 1−x 2)， 先证1lnx 1+1lnx 2>2，即证lnx 2−lnx 1x 2−x 1<x 1+x 22x 1x 2，即证lnx 2lnx 1<x 22−x 122x 1x 2=12(x2x 1−x1x 2)令t =x 2x 1>1，即证lnt <12(t −1t )设φ(t)=lnt −12(t −1t )，则φ′(t)=2t−t 2−12t 2=−(t−1)22t 2<0函数φ(t)在(1, +∞)上单调递减，∴ φ(t)<φ(1)=0，∴ 证：1lnx 1+1lnx 2>2，又∵ ae <1，∴1lnx 1+1lnx 2>2ae ．22. ∵ PD 为圆的切线，切点为D ，AB 为圆的一条直径，∴ ∠PDA ＝∠DBA ，∠BDA ＝90∘， ∴ ∠DBA +∠DAB ＝90∘， ∵ PE ⊥AB∴ 在Rt △AFG 中，∠FGA +∠GAF ＝90∘， ∴ ∠FGA +∠DAB ＝90∘， ∴ ∠FGA ＝∠DBA ． ∵ ∠FGA ＝∠DGP ，∴ ∠DGP ＝∠PDA ， ∴ ∠DGP ＝∠PDG ， ∴ PG ＝PD ； 连接AE ，则∵ CE ⊥AB ，AB 为圆的一条直径， ∴ AE ＝AC ＝BD ， ∴ ∠EDA ＝∠DAB ， ∵ ∠DEA ＝∠DBA ， ∴ △BDA ≅△EAD ， ∴ DE ＝AB ，∴ DE 为圆的一条直径， ∴ 线段AB 与DE 互相平分．23. 解：(1)由{x =2cosθy =2+2sinθ ，得{x =2cosθy −2=2sinθ， 两式平方作和得：x 2+(y −2)2=4， 即C 1：x 2+y 2−4y =0；由ρ=−4cosθ，得ρ2=−4ρcosθ，即x 2+y 2=−4x ． 两式作差得：x +y =0，代入C 1得交点为(0, 0)，(−2, 2)．(2)如图，由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB|最大． 此时|AB|=2√2+4，O 到AB 的距离为√2．∴ △OAB 的面积为S =12×(2√2+4)×√2=2+2√2．24. 解：（1）当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −2|，当x ≥2时，f(x)≤4，即为(2x +1)+(x −2)≤4，即x ≤53成立，则有2≤x ≤53； 当x ≤−12时，f(x)≤4，即为−(2x +1)−(x −2)≤4，即x ≥−1，则−1≤x ≤−12； 当−12<x <2时，f(x)≤4，即为(2x +1)−(x −2)≤4，即x ≤1，则有−12<x ≤1．则原不等式的解集为[−1, 1]；（2）由a <−12，x ≤−12可得f(x)+x ={−2x +a −1,x <a−a −1,a ≤x ≤−12， ∵ 存在x ≤−12使得f(x)+x ≤3成立， ∴ 3≥|f(x)+x|min =−a −1， ∴ 求得a ≥−4，则a 的取值范围为[−4, −12)．。

山西省大同市2015届高三（上）调研数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）A．（1，2）B．[0，2]C．∅D．[1，2]2．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣23．已知函数，则f（5）的值为（）A．B．C．D．14．命题p：若•＞0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，下列说法中正确的是（）A．“p或q”是真命题B．￢p为假命题C．“p或q”是假命题D．￢q为假命题5．设变量x，y满足约束条件：的最大值为（）A．10 B．8C．6D．46．一个几何体的三视图如图，其俯视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．（4+π）7．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）8．函数y=的图象可能是（）9．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2C．3D．411．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=012．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。

山西大同同煤一中2015高三数学（理）第三次模拟考试（附答案）(时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I 卷(选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－210 B. 210 C ．－7210 D. 72102．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a ，则数列}{n a 的前5项和5S =（ ） A.7 B.15 C.20 D.25 3. 已知命题:p n ∃∈N ，104n n+<，则p ⌝为（ ） A ．n ∃∈N ，104n n +< B ．n ∀∈N ，104n n +> C ．n ∃∈N ，104n n +≤ D ．n ∀∈N ，104n n+≥4. 函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是 （ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 5. 如果21tan(),tan()544παββ+=-=，那么tan()4πα+的值是（ ） A. 223- B.223 C.1813 D. 1813-6. 以q 为公比的等比数列{n a }中，1a ＞0，则“13a a <”是“1>q ”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是（ ）A ．①④B ．①②C ．②③D ．③④8. 函数2()2ln f x x x bx a =+-+(0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A．．2 CD ． 1 9．已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为( )A ．B ．C ．D ．10．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A ．23 B ．1 C ．43 D ．5311. 已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++ 的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.912．已知函数()f x 的周期为4，且当(]1,3x ∈-时，()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩ (](]1,11,3x x ∈-∈，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38,315 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7,315 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34 D ．⎪⎭⎫⎝⎛7,34 第II 卷(非选择题,共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置13. 设变量x ，y 满足36020,3x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则变量1y z x =+的最大值为 ．14．设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，若534a a a ，，成等差数列，则=24S S . 15. 把函数21-+3=2x x x x f cos cos sin )(的图象上各点向右平移)(0>ϕϕ个单位，得到函数x x g 2=sin )(的图象，则ϕ的最小值为16. .已知y=f(x)+x 2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .三、解答题:本大题共6个小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且B a A b cos 3sin =（1）求角B 的大小；（2）若A C b sin 2sin ,3==，求,a c 的值．18．（本小题满分12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0A >，0ω>，02πϕ<<）的图象与x 轴相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）当[,]122x ππ∈时，求()f x 的值域．19. （本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1a =1,n s =n n a -n(n-1),(n=1,2,3...)（1）求证：数列{n a }为等差数列,并写出n a 关于n 的表达式20. （本题满分12分）已知平行四边形ABCD 中，6AB =，10AD =，8BD =，E 是线段AD 的中点．沿直线BD 将△BCD 翻折成△BC D '， 使得平面BC D '⊥平面ABD ． （1）求证：C D '⊥平面ABD ；（2）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值.21（本小题满分12分）.如图， 在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是BC 和1CC 的中点， 已知14AB AC AA ===，090BAC ∠=．（Ⅰ） 求证： B 1D ⊥平面AED ；（Ⅱ） 求二面角B 1-AE-D 的余弦值．22.（本小题满分12分）设函数1()2ln f x x x=+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对所有的x ≥1，都有()f x ≤ax ，求a 的取值范围.高三第三次模拟数学理答案一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.13、32 14、5 15、12π 16、 -1 三、解答题:本大题共6个小题，共70分. 17. 3π=B .32,3==c a 18.解析： 2sin(2)6y x π=+............................................4分()f x 的单调递增区间为，k Z ∈…………………………8分（Ⅲ）()f x 值域为[1,2]-…………………………………………………12分 19题解 （1）由n s = n n a -n(n-1),1+n s =(n+1) 1+n a -(n+1)n 两式相减可得1+n a = (n+1) 1+n a - n n a -2n所以1+n a =n a +2,即{n a }是公差为2的等差数列, n a = 2n-1.20证明：（1）略 5分（2）由（1）知C D '⊥平面ABD ，且CD BD ⊥，如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -． …………………… 6分则(0,0,0)D ，(8,6,0)A ，(8,0,0)B ，'(0,0,6)C ． ∵E 是线段AD 的中点，∴(4,3,0)E ，(8,0,0)BD =-． 在平面BEC '中，(4,3,0)BE =- ，'(8,0,6)BC =-， 设平面BEC '法向量为(,,)x y z =n ，∴ 0'0BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即430860x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，ABDEC 'Cxyz令3x =，得4,4y z ==，故(3,4,4)=n ．………9分 设直线BD 与平面BEC '所成角为θ，则||sin |cos ,|||||BD BD BD θ⋅=<>==⋅n n n ……………………………… 11分 ∴ 直线BD 与平面BEC '…………………… 12分 21解析：（Ⅰ）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.因为1B=AC 4A AA ==， 所以1000400042220404.?A B E D B （，，），（，，），（，，），（，，），（，，）()()()12,2,4,2,2,0,0,4,2B D AD AE =--==因为14400,B D AD ⋅=-++= ，所以1B D AD ⊥，即1B D AD ⊥.因为08801=-+=⋅AE D B ，所以AE D B ⊥1，即AE D B ⊥1. 又AD AE AED ⊂、平面，且AD AE A ⋂=，故1B D ⊥平面AED .（Ⅱ）由（Ⅰ）知()12,2,4B D =--为平面AED 的一个法向量.设平面1 B AE 的法向量为),,(z y x n =，因为)2,4,0(=AE ，)4,0,4(1=AB ，所以由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AB n AE n ，得⎩⎨⎧=+=+044024z x z y ，令y=1，得x=2，z=-2.即)2,1,2(-=n .∴662496||||,cos 11=⨯=⋅>=<D B n D B n ， ∴二面角1B AE D --22、解：（1）函数()f x 在1(0)2，上单调递减，在1(,)2+∞单调递增.（2）当x ≥1时， ()f x ≤ax 22ln 1x a x x⇔≥+ 令22ln 1()(1)x h x x x x =+≥，则23322ln 12(ln 1)()x x x x h x x x x---'=-= 令()ln 1(1)m x x x x x =--≥，则()ln m x x '=-，当x ≥1时，()0m x '≤ 于是()m x 在[1)+∞，上为减函数，从而()(1)0m x m ≤=，因此()0h x '≤， 于是()h x 在[1)+∞，上为减函数，所以当1x =时()h x 有最大值(1)1h =， 故1a ≥，即a 的取值范围是[1)+∞，.。

2015年山西省高考前质量监测试题数学一、选择题（共12小题；共60分）1. 若复数z满足z i−1=i+12（i为虚数单位），则z为 A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i2. A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有 A. 60种B. 48种C. 30种D. 24种3. 已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC+CB=0，则向量OC等于 A. 23OA−13OB B. −13OA+23OB C. 2OA−OB D. −OA+2OB4. 给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a>0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a,b∈R，a2−ab+b2<0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+βk∈Z则下列命题中的真命题为 A. p1∨p2B. p2∧p3C. p1∨¬p3D. ¬p2∧p35. 执行如图所示的程序框图，若输人的a的值为3，则输出的i= A. 4B. 5C. 6D. 76. 设P为双曲线C：x2−y2=1上一点，F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，若cos∠F1PF2=13，则△PF1F2的外接圆半径为 A. 94B. 9 C. 32D. 37. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A. 22B. 2C. 25D. 58. 对累乘运算\（\mathop{\pmb{\prod}}\）有如下定义：\（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times\cdots\times a_{n} \）则下列命题中的真命题是 A. \（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1007}2k \）不能被10100整除B. \（ \dfrac{\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{2015}\left（4k-2\right）}{\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{2014}\left（2k-1\right）}=2^{2015} \）C. \（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1008}\left（2k-1\right）\）不能被5100整除D. \（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1008}\left（2k-1\right）\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1007}2k=\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{2015}k \）9. 设变量x，y满足∣x−1∣+∣y−a∣≤1，若2x+y的最大值是5，则实数a的值是 A. 2B. 1C. 0D. −110. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q −1,32,与C交于点P，则点P的坐标为 A. 1,2B. 2,2C. 3,23D. 4,411. 设△ABC的三个内角为A，B，C，且tan A，tan B，tan C，2tan B成等差数列，则cos B−A=A. −31010B. −1010C. 1010D. 3101012. 设方程m+1∣e x−1∣−1=0的两根分别为x1，x2（x1<x2），方程∣e x−1∣−m=0的两根分别为x3，x4（x3<x4）若m∈0,12，则x4+x1−x3+x2的取值范围为 A. −∞,0B. −∞,ln35C. ln35,0 D. −∞,−1二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知三棱锥P−ABC的顶点都在球O的表面上，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的表面积为______．14. 一枚质地均匀的正六面体殷子，六个面上分别刻着1点至6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷般子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是______．15. 已知函数f x=∣2x+1∣,x<1log2x−m,x>1，若f x1=f x2=f x3（x1，x2，x3互不相等），且x1+x2+x3的取值范围为1,8，则实数m的值为______．16. 在△ABC中，AC=2AB=2，BC=3，P是△ABC内部的一点，若S△PABPA⋅PB =S△PBCPB⋅PC=S△PCAPC⋅PA（S表示相应三角形的面积），则PA+PB+PC= ______．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在数列a n中，a1=1，a n+1⋅a n=a n−a n+1．（1）求数列a n的通项公式；（2）若b n=lg a n+2a n，求数列b n的前n项和S n．18. 某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a，若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元／度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元／度）计费，未超出部分按平价计费．为确定a 的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；（2）在1的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变，月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；（3）在1、2条件下，若出台“阶梯电价”，前后全市缴纳电费总额不变，求议价b．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=2．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）设H为CD上一点，满足CH=2HD，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为63，求二面角H−PB−C的余弦值．20. 已知动点Q与两定点 −2,0，2,0连线的斜率的乘积为−12，点Q形成的轨迹为M．（1）求轨迹M的方程；（2）过点P−2,0的直线l交M于A，B两点，且PB=3PA，平行于AB的直线与M位于x 轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值．21. 已知函数f x=ln x+1−axx+1−x，a∈R．（1）当a>0时，求函数f x的单调区间；（2）若存在x>0，使f x+x+1<−xx+1a∈Z成立，求a的最小值．22. 如图，⊙O1与⊙O2交于C，D两点，AB为⊙O1的直径，连接AC并延长交⊙O2于点E，连接AD并延长交⊙O2于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G．（1）求证：GF⊥AG；（2）过点G作⊙O1的切线，切点为H，若G，C，D三点共线，GE=1，EF=6，求GH的长．23. 在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=31+2sinθ，点R22,π4（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．24. 设函数f x=∣x−3∣+∣2x−4∣−a．（1）当a=6时，解不等式f x>0；（2）如果关于x的不等式f x<0的解集不是空集，求实数a的取值范围．答案第一部分1. A2. B3. C4. D5. C6. C7. A8. D9. B 10. D11. D 12. B第二部分13. 12π14. 14315. 116.第三部分17. （1）由题意得1a n+1−1a n=1，又a1=1，所以1a1=1，所以数列1a n是首项、公差均为1的等差数列，所以1a n =n，即a n=1n，所以数列a n的通项公式为a n=1n．（2）由1得b n=lg n−lg n+2，所以S n=lg1−lg3+lg2−lg4+lg3−lg5+⋯+lg n−2−lg n+lg n−1−lg n+1+lg n−lg n+2 =lg1+lg2−lg n+1−lg n+2=lg2n+1n+2.18. （1）由频率分布直方图，可算得各组数据对应的频率及频数，如下表：分组0,2020,4040,6060,8080,100100,120频率0.040.120.240.300.250.05频数4122430255由表可知，区间0,80内的频率总和恰为0.7，由样本估计总体，可得临界值a的值为80．（2）由1知，月用电量在0,80内的70户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变，节电量为0度；月用电量在80,100内的25户住户，平均每户用电90度，超出部分为10度，根据题意每户每月节电10×60%=6度，25户每月共节电6×25=150度；月用电量在100,120内的5户住户，平均每户用电110度，超出部分为30度，根据题意，每户每月节电30×60%=18度，5户每月共节电18×5=90度；故样本中100户住户每月共节电150+90=240度，用样本估计总体，得全市每月节电量约为240×200000100=480000度．（3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不发生改变，故“超出部分”对应的总电费也不变．由1、2可知，在100户住户组成的样本中，每月用电量的“超出部分”共计10×25+30×5=400度，实行“阶梯电价”之后，“超出部分”节约了240度，剩余160度，因为……阶梯电价”前后电费总额不变，所以400×0.5=160×b，解得b=1.25．19. （1） 由 AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD =AB =1，可得 BD = 2． 又 BC = 2，所以 CD =2， 所以 BC ⊥BD ．因为 PD ⊥底面ABCD ，所以 PD ⊥BC ，又 PD ∩BD =D ， 所以 BC ⊥平面PBD ， 所以平面 PBD ⊥平面PBC ．（2） 由1可知 ∠BPC 为 PC 与平面 PBD 所成的角， 所以 tan ∠BPC =63， 所以 PB = 3，PD =1．由 CH =2HD 及 CD =2， 可得 CH =43，DH =23．以点 D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则 B 1,1,0 ，P 0,0,1 ，C 0,2,0 ，H 0,23,0 ． 设平面 HPB 的法向量为 n x 1,y 1,z 1 ，则 HP ⋅n =0HB ⋅n =0，即 −23y 1+z 1=0x 1+13y 1=0， 取 y 1=−3，则 n = 1,−3,−2 ．设平面 PBC 的法向量为 m x 2,y 2,z 2 ，则 PB ⋅m =0BC ⋅m =0，即 x 2+y 2−z 2=0−x 2+y 2=0，取 x 2=1，则 m = 1,1,2 ． 又 cos <m ,n >=m⋅n ∣m ∣∣n ∣=− 217， 故二面角 H −PB −C 的余弦值为217．20. （1） 设 Q x ,y ，则x + 2x− 2=−12x ≠± 2 ，化简得轨迹 M 方程为 x 22+y 2=1 x ≠± 2 ．（2） 由1知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x =my −2， 代人椭圆方程得 m 2+2 y 2−4my +2=0， Δ=8 m 2−2 ． 设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y1+y2=4mm+2①，y1y2=2m+2②，由PB=3PA得y2=3y1③，由①②③可得加m2=4．经检验，满足Δ>0．不妨取m=2，设直线CD的方程为x=2y+n，代入椭圆方程得6y2+4ny+n2−2=0，Δ=86−n2，设C x3,y3，D x4,y4，则y3+y4=−23n，y3y4=n2−26，又由已知及Δ>0，可得2<n2<6．又∣x3−x4∣=2∣y3−y4∣=212−2n23，则S四边形CEFD=12∣y3+y4∣∣x3−x4∣=229n26−n2≤229×62 =223,当且仅当n2=3时等号成立．所以四边形CEFD面积的最大值为223．21. （1）fʹx=−x2−x−ax+12，x>−1，当a≥14时，fʹx≤0，所以f x在−1,+∞上单调递减．当0<a<14时，当−1<x<−1−1−4a2时，fʹx<0，f x单调递减；当−1−1−4a2<x<−1+1−4a2时，fʹx>0，f x单调递增；当x>−1+1−4a2时，fʹx<0，f x单调递减．综上，当a≥14时，f x的单调递减区间为−1,+∞；当0<a<14时，f x的单调递减区间为 −1,−1−1−4a2，−1+1−4a2,+∞ ，f x的单调递增区间为−1−1−4a2,−1+1−4a2．（2）原式等价于ax>x+1ln x+1+2x+1，即存在x>0，使a>x+1ln x+1+2x+1x成立．设g x=x+1ln x+1+2x+1x，x>0，则gʹx=x−1−ln x+1x2，x>0，设 x=x−1−ln x+1，x>0，则 ʹx=1−1x+1>0，所以 x在0,+∞上单调递增．又 2<0， 3>0，根据零点存在性定理，可知 x在0,+∞上有唯一零点，设该零点为x0，则x0−1=ln x0+1，且x0∈2,3，所以g x min=x0+1x0−1+2x0+1x0=x0+2．又a>x0+2，a∈Z，所以a的最小值为5．22. （1）连接BC，GD．因为AB是⊙O1的直径，所以∠ACB=90∘．所以∠ABC+∠CAB=90∘．由A，B，C，D四点共圆，得∠ABC=∠FDC，由C，D，F，E四点共圆，得∠GEC=∠FDC，所以∠GEC=∠ABC，所以∠GEC+∠CAB=90∘．所以∠EGA=90∘．即GF⊥AG．（2）因为GH为⊙O1的切线，GCD为⊙O1的割线，所以GH2=GC⋅GD．又GCD，GEF为⊙O2的两条割线，所以GC⋅GD=GE⋅GF，所以GH2=GE⋅CF=7，所以GH=7．23. （1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x 23+y2=1，点R的直角坐标为R2,2．（2）设P θ,sinθ ，根据题意可得∣PQ∣=2−θ，∣QR∣=2−sinθ，所以∣PQ∣+∣QR∣=4−2sinθ+60∘，当θ=30∘时，∣PQ∣+∣QR∣取最小值2，所以矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为32,12．24. （1）由f x>0，可得x<2−3x+1>0，或2≤x≤3x−7>0，或x>33x−13>0，解得x<13或x>133．（2）因为∣x−3∣+∣2x−4∣<a的解集不是空集，∣x−3∣+∣2x−4∣=−3x+7,x<2x−1,2≤x≤3 3x−7,x>3，所以∣x−3∣+∣2x−4∣min=1，所以a>1．。