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有限Abel群的结构定理（Fundamental Theorem ofFinite Abelian Groups）有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups) 有限Abel群是群论中已被研究清楚了的重要群类，也是应用比较广泛的群类，本节的主要结论是有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群(循环p-群)的直积，而且表法是唯一的。
我们先看几个具体的例子。
4阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z422 ，其中是非Abel群;是Abel群，且6阶群有两种不同的类型，代表分别是ZZ,SS6633。
Z,Z，Z6238阶Abel群有三种不同的类型，代表分别是。
Z,Z，Z,Z，Z，Z8242229阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z933 这些有限Abel群都同构于循环群或者循环群的直积，并且每个循环群的阶都是一个素数的方幂，这些循环群的阶组成的有重集合正好是该群阶素数方幂乘积的所有可能组合。
例如8阶32Abel群，有三种情形:，分别对应于8写成素数方幂乘积所有可能的形式{2},{2,2},{2,2,2}32(三种):。
8,2,8,2，2,8,2，2，2下面我们讨论一般有限Abel群的结构。
引理1 设a是群G的一个元素，a的阶等于。
其中与是两个互素的正整数，m,mmmm1212那么a可以唯一的表示成，式中的阶是;;而且都am(i,1,2)a(i,1,2)a,aaaa,aaii12i1221是a的方幂。
证明因为与互素，所以存在整数使得。
于是mmu,uum，um,112121122umumum，umumumumum2211112211222211，令，则，而且a,a,a,aa,aa,aaa,a,aa,aa121221mm12都是的方幂。
因为，所以的阶是的因子。
由于a(i,1,2)adm(i,1,2)ma,e,a,eaiiii112与互素，从而互素，并且，故的阶等于。
通信⽹络基础（李建东盛敏）课后习题答案1.1答：通信⽹络由⼦⽹和终端构成（物理传输链路和链路的汇聚点），常⽤的通信⽹络有A TM ⽹络，X.25分组数据⽹络，PSTN ，ISDN ，移动通信⽹等。
1.2答：通信链路包括接⼊链路和⽹络链路。
接⼊链路有：（1）Modem 链路，利⽤PSTN 电话线路，在⽤户和⽹络侧分别添加Modem 设备来实现数据传输，速率为300b/s和56kb/s ；（2）xDSL 链路，通过数字技术，对PSTN 端局到⽤户终端之间的⽤户线路进⾏改造⽽成的数字⽤户线DSL ，x 表⽰不同的传输⽅案；（3）ISDN ，利⽤PSTN 实现数据传输，提供两个基本信道：B 信道（64kb/s ），D 信道（16kb/s 或64kb/s ）；（4）数字蜂窝移动通信链路，⼗⼏kb/s ～2Mb/s ；（5）以太⽹，双绞线峰值速率10Mb/s,100Mb/s 。
⽹络链路有：（1）X.25提供48kb/s ，56kb/s 或64kb/s 的传输速率，采⽤分组交换，以虚电路形式向⽤户提供传输链路；（2）帧中继，吞吐量⼤，速率为64kb/s ，2.048Mb/s ；（3）SDH （同步数字系列），具有标准化的结构等级STM-N ；（4）光波分复⽤WDM ，在⼀根光纤中能同时传输多个波长的光信号。
1.3答：分组交换⽹中，将消息分成许多较短的，格式化的分组进⾏传输和交换，每⼀个分组由若⼲⽐特组成⼀个⽐特串，每个分组都包括⼀个附加的分组头，分组头指明该分组的⽬的节点及其它⽹络控制信息。
每个⽹络节点采⽤存储转发的⽅式来实现分组的交换。
1.4答：虚电路是分组传输中两种基本的选择路由的⽅式之⼀。
在⼀个会话过程开始时，确定⼀条源节点到⽬的节点的逻辑通路，在实际分组传输时才占⽤物理链路，⽆分组传输时不占⽤物理链路，此时物理链路可⽤于其它⽤户分组的传输。
会话过程中的所有分组都沿此逻辑通道进⾏。
⽽传统电话交换⽹PSTN 中物理链路始终存在，⽆论有⽆数据传输。
专题02 勾股定理逆定理的应用题型一勾股数的应用1．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11，60，61 ；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．【解答】解：（1）11，60，61；故答案为：11，60，61．（2）后两个数表示为和，∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，∴n2+（）2＝（）2．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：，．2．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．【解答】解：（1）∵17＝42+12，15＝82﹣72，∴8，15，17是完美勾股数；∵41＝52+42，9＝52﹣42，∴9，40，41是完美勾股数；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，∴a＝，由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0∴a＞1，0＜b＜5∵a和b均为正整数∴b的可能值为：1，2，3，4．当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，∵（）2+（）2＝240，（4 ）2＝240，∴（）2+（）2＝（4 ）2，∴b＝4符合题意．∴a＝；a＝31，b＝4．3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）A．47B．62C．79D．98【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．4．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组： （11，60，61） ．【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，故答案为：（11，60，61）．5．观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： 16，63，65 ．【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．6．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是 132+842＝852 ．【解答】解：∵第一个等式是：32+42＝52；第二个等式是52+122＝132；第三个等式是72+242＝252；第四个等式是92+402＝412；第五个等式是112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是：132+842＝852，故答案为：132+842＝852．7．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【解答】解：（1）证明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2•2n2＝（2mn）2∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2∵m，n为正整数，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15∴a＝由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0∴a＞1，0＜b＜5∵a和b均为正整数∴b的可能值为：1，2，3，4．当b＝1时，a＝97307+＝1277，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，∵+＝240，＝240∴+＝∴b＝4符合题意．∴a＝；a＝31，b＝4．（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625∴152+202＝252∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．8．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．9．请认真阅读题意，并根据你的发现填空（1）将任何一组已知的勾股数中的每一个数都扩大为原来的正整数倍后，就得到一组新的勾股数，例如：3、4、5，我们把每一个数扩大为原来的2倍、3倍，则分别得到6、8、10和9、12、15，若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到 36，48，60 ，若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到 3n，4n，5n （2）对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数若勾股数为3、4、5．则有32＝4+5若勾股数为5、12、13，则有52＝12+13若勾股数为7、24、25，则有72＝24+25若勾股数为m（m为奇数）、n、 n+1 则有m2＝2n+1，用m表示n＝ 212m-当m＝17时，n＝ 144 ，此时勾股数为 17，144，145 ．【解答】解：（1）若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到36，48，60，若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到3n，4n，5n；（2）若勾股数为m（m为奇数）、n，n+1；用m表示n＝212m-；当m＝17时，n＝144；此时勾股数为17，144，145；故答案为：36，48，60；3n，4n，5n；n+1；212m-；144；17，144，145．题型二判断三角形形状10．（选做题）适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的有（ ）①②a＝b，∠A＝45°③④a＝2.5，b＝6，c＝6.5⑤∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°．A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①（14）2+（15）2≠（13）2，故不能构成直角三角形；②∵a＝b∴∠B＝∠A＝45°∴∠C＝90°，则三角形是直角三角形；③（）2+（）2≠（）2，故不能构成直角三角形；④2.52+62＝6.52，故能构成直角三角形；⑤∵∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°∴∠B＝58°∴∠C＝180﹣32﹣58＝90°∴△ABC是直角三角形．故能构成直角三角形的有②④⑤共3个．故选：B．11．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）A．三个内角度数之比是3：4：5B．三边的平方之比是5：12：13C．三边长度之比是1：：D．三个内角度数之比是2：3：4【解答】解：当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：180°×＝75°＜90°，故选项A不符合题意；当三边长的平方比为5：12：13时，因为（）2+（）2≠（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；当三边长度是1：：时，12+（）2＝（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项C符合题意；三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：180°×＝80°＜90°，故选项D不符合题意；故选：C．12．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5，∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C．13．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．【解答】解：△ABC是直角三角形．在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，根据勾股定理即可得到：AB＝＝；BC＝＝；AC＝＝5；则AC2＝BC2+AB2∴△ABC是直角三角形．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④+＝．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵Rt△ABC的面积为：ab或ch，∴ab＝ch，故①正确；②∵c2＜c2+h2，a2+b2＝c2，∴a2+b2＜c2+h2，∵ab＝ch，∴a2+b2+2ab＜c2+h2+2ch，∴（a+b）2＜（c+h）2，∴a+b＜c+h，故②正确；③∵（c+h）2＝c2+2ch+h2，h2+（a+b）2＝h2+a2+2ab+b2，∵a2+b2＝c2，（勾股定理）ab＝ch（面积公式推导）∴c2+2ch+h2＝h2+a2+2ab+b2，∴（c+h）2＝h2+（a+b）2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab＝ch，∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2，∵a2+b2＝c2，∴a2b2＝（a2+b2）h2，∴＝h2，∴＝，∴+＝，∴+＝，故④正确．故选：D．15．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C 的个数为（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，故选：B．16．下列说法错误的是（ ）A．△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形C．△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4【解答】解：A、△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；B、△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；C、△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，说法正确；D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4或，说法错误；故选：D．17．下列说法中正确的个数为（ ）（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形，该说法正确；（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形，该说法正确；（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形，该说法正确；（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形，该说法正确．故选：D．18．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状并说明理由．【解答】解：∵a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0，∴（a﹣6）＝0，（b﹣8）＝0，（c﹣10）＝0，∴a＝6，b＝8，c＝10，∵62+82＝102，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．19．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．【解答】解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 钝角 三角形．（2）猜想，当a2+b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形．。
随机过程作业题及参考答案（第⼆章）第⼆章平稳过程P1032. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证（1）若t T ∈，⽽{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程；（2）若t T ∈，⽽[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ?<数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=?==-=--?.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=?+，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ??=?+?=?-+--?? ??()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττ??=-+-=-+-+()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，⽽{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，⼆者均与t ⽆关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，⽽[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独⽴随机变量。
Φ服从在区间()02π，中的均匀分布。
考研数学二课本要点指导文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-MG129]高数部分：（配同济六版教材）第一章函数与极限（考研必考章节,其中求极限是本章最重要的内容,要掌握求极限的集中方法）第一节映射与函数（一般章节）一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解）注：P1--5集合部分只需简单了解P5--7不用看P7--17重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界P17--20不用看P21习题1.11、2、3大题均不用做4大题只需做（3）（5）（7）（8）5--9均做10大题只需做（4）（5）（6）11大题只需做（3）（4）（5）12大题只需做（2）（4）（6）13做14不用做15、16重点做17--20应用题均不用做第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求,可不看）一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解）P26--28例1、2、3均不用证p28--29定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30定理4不用看P30--31习题1-21大题只需做（4）（6）（8）2--6均不用做第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题一、（了解）二、（了解）P33--34例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35例6要会做例7不用做P36--37定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看p37习题1--31--4均做5--12均不用做第四节（重要）一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）p40例2不用做p41定理2不用证p42习题1--41做2--5不全做6做7--8不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)p43定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48定理6的证明不用看p49习题1--51题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要)两个重要极限(重要两个重要极限要会证明p50准则1的证明要理解p51重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)p53另一个重要极限的证明可以不用看p55--56柯西极限存在准则不用看p56习题1--71大题只做(1)(4)(6)2全做3不用做4全做,其中(2)(3)(5)重点做第七节(重要）p58--59定理1、2的证明要理解p59习题1--7全做第八节（基本必考小题）p60--64要重点看第八节基本必出考题p64习题1--81、2、3、4、5要做其中4、5要重点做6--8不用做第九节（了解）p66--67定理3、4的证明均不用看p69习题1--91、2要做3大题只做（3）——（6）4大题只做（4）——（6）5、6均要重点做第十节（重要,不单独考大题,但考大题会用到）一、（重要）二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）p74习题1--101、2、3、5要做,要会用5的结论.4、6、7不用做p74总习题一除了7、8、9（1）（3）（4）之外均要做其中要重点做的是3（1）（2）、5、11、14第二章(小题必考章节）第一节（重要）一、引例（数三可只看切线问题举例）二、导数的定义（重难点,考的频率很高）三、导数的几何意义（重要）另：数一数二要知道导数的物理意义,数三要知道导数的经济意义（边际与弹性）四、函数的可导性与连续性关系（要会证明,重要）p79导数的定义要重点掌握,基本必出考题p81--82例1--例6认真做以便真正掌握导数的定义p85可导性与连续性的关系要会证明）p86习题2--1不用做的是1、2、9（1）--（6）、10、12、13、14其余都要做其中重点做的是6、7、8、16、18、19第二章第二节（考小题）四、基本求导法则与求导公式（要非常熟）p88--89（1）（2）（3）的证明均不用看p89例1不用做p90定理2的证明要理解p91--92例6--8重点做p92定理3证明不用看p96例7不用做p97习题2--22题（1）（5）（7）（10）、3（1）、4、12均不用做其余全做其中13、14要重点做第二章第三节（重要,考的可能性大）p100例3不用做p103习题2--35、6、7、11均不用做,其余全做其中4、12要重点做第二章第四节（考小题）p107--110由参数方程所确定的函数的导数数三不用看p111三、相关变化率（不用看）p111习题2--41大题（1）（4）、3（1）（2）、9--12均不用做数三5--8也不用做其中4重点做第二章第五节（考小题）p119四、微分在近似计算中的应用（不用看,基本上只要有近似两个字,考纲均不作要求）习题2--55--12均不用做其他的全做p125总习题二4、10、15--18均不用做,其余全做其中2、3、6、7、14要重点做数三不用做12、13第三章（考大题难题经典章节,绝对重点章节）第一节(最重要,与中值定理应用有关的证明题）一、罗尔定理（要会证）二、拉格朗日中值定理（要会证）三、（柯西中值定理（要会证）另外,要会证明费马定理p128--133费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理一定要会独立证明,极其重要p134习题3--1除13、15不用做,其余全部重点做第三章第二节（重要,基本必然要考）p134--135洛必达法则要会证明习题3--2习题全做其中1、（1）（5）（10）（12）（15）（16）、3、4要重点做第三章第三节（掌握其应用,可以不用证明公式其本身）p140--141泰勒公式的证明不用看p145习题3--38、9不用做,其余全做,其中,10（1）（2）（3）要重点做第三章第四节（考小题）p152习题3--43（1）（2）（5）、5（1）（2）、8（1）（2）、9（1）（3）（5）、10（2）不用做,其余全做,重点做3（3）（6）（8）、4、5（3）（5）、6、13、15第三章第五节（考小题为主）p160例5不用做p161例6不用做p162例7不用做p162习题3--51（2）（3）（6）（9）、8--16均不用做,其余全做第三章第六节（重要基础章节）p169习题3--61不用做2--5都要做第三章第七节（了解,只有数一数二考,数三不用看）一、弧微分（不用看）二、（了解）三、（了解）p175四、（不用看）p177习题3--7数三均不用做数一数二只需做1—6第三章第八节（只要有近似,考研不考,不用看）p182总习题三数一、数二全做数三15不用做其中,2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）、11（3）、12、17、18、20要重点做第四章（重要、相对于数一、数三,数二考大题的可能性更大）第一节（重要）一、（理解）二、（会背,且熟练准确）三、（理解)p186例4不用做p188--189基本积分表一定要记得熟练、准确p192习题4--12（1）--（4）（6）（7）（9）（10）（11）（16）、3、4、6均不用做其余全做第四章第二节（重要,其中第二类换元法更加重要）p207习题4--21、2（1）（2）（3）（8）（9）（10）（13）（25）均不用做,其余全做第四章第三节（考研必考）p212习题4--3全做（分部积分法极其重要）第四节（重要）p218习题4--4全做第五节（不用看）p221总习题四全做第五章（重要,考研必考）第一节（理解）一、定积分问题举例（了解,其中变速直线运动的路程,数三不用看）二、定积分定义（理解）p228三、定积分的近似计算（不用看）p231--234四、定积分的性质（理解）性质1--7要理解,且能熟练应用,其中性质7最重要,要会独立证明p234习题5--11、2、3、6、8、9、10均不用做,其余全部做,且重点做5、11、12第五章第二节（重要）一、变速直线运动中的位置……的联系（了解,数三不用看）二、积分上限的函数极其导数（极其重要,要会证明）三、牛顿--莱布尼茨公式（重要、要会证明）p237定理1,要求会独立证明,极其重要p239定理3要求会独立证明p241例5不用做例6经典例题,极其重要,记住结论p243习题5--26（1）（2）（4）--（7）（9）、7、8均不用做,其余全做,其中数三2不用做需要重点做的为9（2）、10—13第五章第三节（重要,分部积分法更重要）p247--249例5、6、7经典例题,重点做,并记住其相应结论p252例12经典例题,记住结论p253习题5--31（1）（2）（3）（6）（12）（14）（15）（16）（21）（22）、7（1）（3）（8）（9）不用做,其余全部做,且重点做1（4）（7）（17）（18）（2 5）（26）、2、6、7（7）（10）（12）（13）第五章第四节(考小题）p260习题5--4全做,重点做1（4）、3.3题为经典公式,一定发要熟记第五节（不用看）注考纲不做要求,最好记住F（伽马,打不出来那个）函数的部分性质,可能给解题带来方便,可参考汤家凤视频）p268总习题五1（3）、2（3）（4）（5）、15、16均不用做其余全部做其中,重点做的是3、5、7、8、9、10（1）（2）（3）（8）（9）（10）、13、14、17第六章（考小题）第一节（理解）第二节（面积最重要）一、平面图形的面积p276--277极坐标情形只有数一数二看数三不用看二、体积（数三只看旋转体的体积）p280--281平行截面面积为已知的立体体积只有数一数二看三、平面曲线的弧长（数三不用看,数一数二记住公式即可）习题6--2数一全做数二21--30不用做数三5、6、7、8、15（4）、17、18、21--30不用做第三节（数三不用看,数一数二了解）p291--292习题6.3只有数一数二做数三不用做p292--293总习题六数一全做数二6不做数三只需做3、4、5第七章（本章对于数二相对最重要）第一节（了解）p294例2数三不用看p298习题7--1只需做1（3）（4）、2（2）（4）、3（2）、4（2）（3）、5第七章第二节（理解）p301--304例2、3、4只有数一数二看,数三不用看p304习题7--2只做1、2第七章第三节（理解）二、可化为齐次的方程（不用看）p306例2--p309均不用看p309习题7--31只做（1）（5）（6）2只做（2）3、4不用做第七章第四节（重要,熟记公式）p312例2不用看p314伯努利方程只有数一看p315习题7--41只做（3）（5）（8）（10）、2只做（2）（3）、3做4--7均不用做、8只有数一做第七章第五节（只有数一数二考,理解）p317例2不用看p319例4不用做p321例6不用做p316--p323数三均不用看p323习题7--5（数三不用做）数一数二只做1（3）（4）（5）（10）、2（1）（2）（6）3、4不用做第七章第六节（理解）一、（不用看）二、（重要）三、（不用看）p323--324二阶线性微分方程举例不用看p325--328定理1、2、3、4重点看p328--330常数变易法不用看p331习题7--6只做1（3）（4）（6）（7）（10）、3、4（1）（5）（6）第七章第七节、第八节（最重要,考大题备选章节）p335例4不用做p336--338例5不用做习题7--7只做1（1）（4）（7）（9）（10）、2（1）（2）（4）p346例5不用看p347习题7--8只做1（2）（4）（5）（6）（9）（10）、2（3）（4）、6其中6重点做第七章第九节（只有数一考,理解）p348--349欧拉方程只有数一看p349习题7--9数一只做（5）（8）第十节（不用看）p353总习题七数一做1（1）（2）（4）、2（2）、3（1）（3）（5）（7）（8）、4（3）（4）、5、7、8、10数二做1（1）（2）（4）、2（2）、3（1）（3）（5）（7）（8）、4（3）（4）、5、7数三做1（1）（2）（4）、2（2）、3（1）（3）（5）（7）（8）、4（3）（4）、5、7第八章（只有数一考,考小题,了解）（本章只有数一考,单独命题以考小题为主,但数一特有的绝对重要考点,曲线曲面积分要以本章为基础,建议数一同学好好复习本章）本章需要数一多加注意的考点有：曲面方程与空间曲线方程.球面‘柱面、旋转曲面,常用的二次曲面方程及其图形.本章题目没有给画....第九章（考大题经典章节,但难度一般不大）第一节（了解）p54n维空间部分不用看,只有数一同学需要记住空间两点之间的距离公式p55例2、3不用看p57最后四行只有数一看p58例4证明不用看,只需记住：求多重极限依然满足：无穷小量有界量=无穷小量p59例5以上多元函数极限存在与否重点看例5做p60例6不用做定义4不用看p61例7了解p62例8做p62性质1和性质2一般重要备注：连续函数的有界性定理,最值定理,介值定理的考察,一元函数远比多元函数重要p62习题9--11--4、7--10均不用做只做5（3）（4）（6）、6（4）（5）（6）第九章第二节（理解）二、高阶偏导数（重要）p63偏导数的定义及其计算法（重点看）p65例1、2不用做只做例3、4p66二元函数偏导数的几何意义不用看例5不用做p66--67多元函数偏导数的存在与连续的关系重点看例6不用做p68--69定理只记住结论即可例7、8均做习题9--21只做（3）（5）（6）（7）（8）、4、5（只有数一做）、6（2）（3）7、8、9、与2、3均不用做第九章第三节（理解）p70--71全微分的定义与可微分的定理1及其证明重点看p72--73可微分的定理2记住结论即可,证明不用看例1、2不用做,只做例3二、全微分在近似计算中的应用（不用看）p74--75均不用看p76习题9--3只做1（2）（4）、2、3、5其余均不用做第九章第四节p77定理1证明不用看p78其他情形不用做p79做例1、3、4例2不用做其中重点做例4p80--81例5不用做,全微分形式不变性重点看p82--83例6做习题9--4只做3、4、7、8（1）（3）、9、10、11、12（2）（4）其余均不用做第九章第五节（理解、小题）二、方程组的情形(不用看）p83--85隐函数存在定理（只有数一数二看）例1、2数一数二做p86--88不用看p89习题9--5只做1、2、5、7、8其余均不做第九章第六节（只有数一考,考小题）一、一元向量值函数及其导数（不用看）p94--99只有数一看例4、5、6、7均要做p100习题9--6（只有数一做）要做6、7、10、11、12其余均不用做第九章第七节（只有数一考,考小题）p102--103定理记住,证明不用看例1、2做p103--107例3、4数一做p107数量场、向量场不用看例7不用做p108--109习题9--7只做2、5、8、10.其余均不用做第九章第八节（重要,答题常考题型）p109定义与例1、2、3均要重点做和看p110定理1及其证明均要仔细看,定理2只要记住,证明不用看p111例4做p112--113例5例6不用做p113--115条件极值与拉格朗日乘数法重点看p116--117例7、9不用做只做例8p118习题9--8只做1、4、8（只有数一做）、12其余均不用做第九章第九节（只有数一考,了解）一、了解二（不用看）p119定理记住结论,证明不用看p121例1做p122--129极值充分条件的证明与第十节均不用看p129总习题九1、2、4、5、811、12、14（数一）、17（数一）,其余全不做第十章（重要,数二数三相对于数一,本章更加重要,数二数三基本必考答题）第一节（了解）p132--133二重积分的概念与性质（重要）p133平面薄片的质量可以不看p134--135定义与性质重点看p136习题10--1只做2、4（2）（3）、5（3）（4）其余均不用做第十章第二节（重要,数二数三及其重要）p--148直角坐标与极坐标均看（重要）例1、2、3、5做例6只有数一做例4不用做p149--153二重积分的换元法不用看p153习题10--2只做1（1）（4）、2（1）（3）、3记住结论、4（重点做）、6（2）（4）（6）8、9、10（只有数一做）、11（2）（4）、12（2）（3）（4）、13（1）（3）、14（2）（3）、15（2）（3）、18（数一）其余均不做第十章第三节（只有数一考）一、（了解）二、（重要）p157--163三重积分的概念与计算数一重点看例1、2、3、4均要做p164习题10--3（只有数一做）只做4、7、9、11其余均不用做第十章第四节（了解)p165--176（只有数一考,可以先不用看,上过强化班以后,再专门解决一些不太重要的边边角角的考点）p176--181含参变量的积分的章节与习题10--5均不用看与做p181总习题十只做1（1）（数一）（2）（3）、2（2）（4）、3（2）（3）、4、6、7（数一）、8（1）（3）、9（数一）其余均不用做第十一章（只有数一考,数二数三均不考,数一考大题考难题的经典章节）第一节（重要）一、对弧长曲线的概念（理解）与性质（了解）重点看二、对弧长曲线积分的计算法（重要）p187记住定理的结论,证明不用看p189只做例1.例2、3不用做p190习题1--1只做3（3）（4）（5）（8）,其余不用做第十一章第二节（重要）一、对坐标的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）重点看二、.........计算法（重要）p194--195定理及其证明要重点看p196--198例1--4均重点做例5不用做p199两类曲线积分之间的关系（记住结论）一般看p200--201习题11-2只做3（2）（4）（8）、4（3）（4）、7其余不用做第十一章第三节（重要）一、（重要）二、（重要）三、（理解）四、（不用看）p202定理1及其证明（重点看）p204例1、2不用做p204--205例3、4重点做p205平面上曲线积分与路径无关的条件（重点看）p206定理2记住结论,证明不用看p208定理3记住结论,证明不用看p209推论记住结论p210例5做p211例6不用做例7做p212--213曲线积分的基本定理不用看p213--215习题11-3只做3、5（2）（3）、8（2）（4）（7）其余不用做第十一章第四节（重要）一、（了解）二、（重要）p215--216对面积的曲面积分的概念与性质及计算法均要重点看p217--218例1、2重点做p219--220习题11--4只做3、4、5、6（1）其余均不用做第十一章第四节（重要）一、（了解）二、（重要）p215--216对面积的曲面积分的概念与性质及计算法均要重点看p217--218例1、2重点做p219--220习题11--4只做3、4、5、6（1）其余均不用做第十一章第五节（重要）一、（了解）二、（重要）三、（了解）p220对坐标的曲面积分（重点看）p220--228对坐标的曲面积分与性质计算法与两类曲面积分之间的联系均要重点看例1、2、3均要重点做习题11-5只做3（1）（2）（3）、4（1）（2）其余均不用做第十一章第六节高斯公式（重要）通量（不用看）与散度（了解）、一、（重要）二、（不用看)三、（了解）p229定理1及其证明重点看p231例1不用做例2重点做p232例3做p233定理2记住结论证明不用看p234例4不用做p235记住散度定义及公式p236例5做p236--237习题11--6只做1（2）（3）（5）、3（2）、4其余均不作第十一章第七节斯托克斯公式（重要）环流量（不用看）与旋度（了解）一、重要二、（不用看）三、（了解）p237定理1及其证明重点看p240例1、2重点做p241定理2只记住结论,证明不用看p242定理2只记住结论p243旋度记住定义与公式p244例4做p245习题11--7只做2（2）（3）（4）、3（2）、4（1）其余均不用做p246总习题十一只做1（1）（2）、2、3（1）（3）（5）（6）、4（1）（2）、7、9（1）（2）.其余均不用做第十二章（1、数二不考,不用看.2、数一数三考大题、考难题的经典章节）第一节（一般考点）一、（了解）二、（考选择题章节）三、（不用看）p248常数项级数的概念（重点看）p250例1、2、3均要做记住例1的结论p251--253熟练记住五大基本性质p254柯西审敛原理不用看p254习题12--1只做2（3）（4）、3（1）（2）（3）、4（3）（5）其余不用做第十二章第二节（理解、重要）四、（不用看）p256--p261正项级数的审敛法定理1--6均要重点看例1--8均要做p262交错级数及其审敛法（重要）定理7及其证明重点看p263定理8及其证明重点看p265l例9做四、（p265--267）不用看p268习题12--2只做1（2）（4）（5）、2（2）（3）（4）、3（2）（3）（4）、4（2）（4）、5（2）（4）（5）其余均不用做第十二章第三节（重要、重点看）一、（了解）二、（最重要）三、（乘或除不用看）p271定理1阿贝尔定理及其证明重点看p272定理2及其证明重点看p273--274例1--5均做p276幂级数的和函数的性质要熟练记住例6做（重点做）p277习题12--3只做1（2）（4）（6）（7）（8）、2（1）（3）其余均不用做第十二章第四节（数一相对于数三,本节更重要）p278--279定理及其证明重点看p280--285例1--6均要做公式（1）到（11）必须牢记其中p278的公式（4）最重要p285习题12--4只做2（2）（4）（6）、4、6其余均不用做p285--302第五节、第六节（不用看）第十二章第七节（数三不用看,数一了解）一、（不用看）p305公式（6）重要、牢记p306定理重要例1做p307例2做p309例3不做p311例4、5做p313例6做p315习题12--7只做2（2）、3、4、5其余均不用做第十二章第八节（了解,数三不用看）p317（6）记住公式,证明不用看例1做p318例2不用做p319傅里叶级数的复数形式（不用看）p322习题12--8只做1（2）（3）、2（2）其余不用做p322--323总习题十二全做,且全部重点做其中11、12只有数一做线代部分（配同济5版）第一章行列式（行列式很少单独考大题,但考大题必然会用到行列式）第一节（了解）第二节（了解）第三节（了解）p6从中间偏上一行“仿比,可以把行列式...情形”到p7上第三行（例5上面）可以不用看p7例6证明不用看,记住上下三角行列式即可四、（不用看）五、（理解）p9行列式性质1证明不用看只需举例说明p10......2............p11中间从“例如以数k...”到“以上诸性质请读者证明之”可以不用看p12例8经典例题p14例10证明不用看,记住结论即可p15例11不用做六、（理解）p16中间偏下引理及其证明不用看p17记住定理3,证明不用看p18例12证明不用看,只需记住范德蒙德行列式p19中间偏下,定理3的推论证明好好看一下p21例13经典例题七、（理解,考大题有时会用到）p22例14仔细算一下p23例15可以不用做p25--28习题一1（1）（2）、2（2）（5）、3、4（2）（4）、5（重点做一下）、6（2）（3）、8（1）（2）（3）、9（重点做,经典习题）、10（2）、12（重点做）线代第二章（考小题为主,但毫无疑问考大题必然会用到矩阵及其运算）第一节、（了解）p30从例1到p31倒数第三行“对应n阶方阵”以上可以不用看p32可以不用看第二节（理解）p34定义4上面的均不用看（知道法则即可）p37中从第五行“上节例1中..”到p38倒数第四行“等式得证”均可以不用看p40例8经典例题p41例9经典结论务必会证明p42六、（不用看）第三节（理解）p45例12经典例题（提升计算能力）第四节、（正在变得越来越重要）p51例17经典例题p53克拉默法则的证明重点看一下p54--56习题二要做的题1（2）（3）（5）、2、4、5（重点做）、6--9、10（2）（3）（4）、11（2）（3）、12（2）、14--17、18--21（均重点做）、22、23--24（重点做）、26、27、28（1）线代第三章（重要,基本必考大题）第一节（理解）第二节（掌握,基本每年考大题都会用到的概念）p66第八行定义4重点看p69--70矩阵秩的性质（1）--（8）与例8、9均要重点看、重点做第三节（重要,每年必考）p73例10重点做p74例11不用做例12重点做p75例13重点做p77定理7.证明重点做p78--80习题三要做的题1（1）、2、3、4（1）、5--8、9（重点做）、10（2）、11--12（重点做）、13（4）、14（3）、15--16（重点做）、18--21（均要重点做）线代第四章（重要,每年必考,可能考大题,也可能考小题）第一节（重要,考大题为主）p81从倒数第8行“在解析几何中..”到p82正中间“当R（A）..”往上均可以不用看第二节（重要,小题为主,但有时会考大题,证明向量组线性无关）第三节（重要,必考的概念）第四节（重要,常考大题)p97例12重要例题p100例13、14、15经典例题p101例16重要例题第五节（数二、数三不考,数一只需了解）p106--110习题四1--3、4（1）、5--7、8（重点做）、9、10、11（2）、12（2）、13、14、15（重点做）、16--18、20（2）、21--22（重点做）、23、24（重点做）、25（经典结论,务必会证明）、26（1）、27（重点做）、28--29（只有数一做）、30、31、32（重点做）、33--38（只有数一做）线代第五章（重要,每年考大题的必考章节）第一节（理解,以考小题为主）p111从中间偏下“内机具有下列性质”到p112前三行均不用看p112定义2的性质证明不用看定理1的证明要看p115从第四行到例3上面的解析几何术语解释不用看第二节（大题必然会用到）p118例5不用做例6重点做p119例7不用做p120例8、9重点做p120--121定理2证明不用看p121例10重点例题第三节（重要,考大题为主）p123定理4重要定理第四节（重要,考大题为主）p124定理5的证明不用看定理6、7重点看p125例12重点做p126例13重点做第五节（重要,大小题均有可能考）p127到定义8上面不用看p130例14重点做第六节（了解）第七节（理解,大小题均有可能考）p133倒数2、3、4行即负定不用看p134--习题五1、2（2）（3）、4--5（重点做）、6（2）、7、8（重点做）、9--11、12--14（重点做）、15、16（重点做）、17、19（2）、20、21--24（重点做）、25（2）、26（3）、27（2）、28（2）、29（只有数一做）、30（重点做）、31（3）、32--34（重点做）。
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
某某省某某市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 28第二十八讲避免漏解的奥秘人教新课标版“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略．解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．【例题求解】【例1】四条线段的长分别为9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则x可取值的个数为．( “信利杯”竞赛题)注：初中数学常见的分类方法有：(1)按定义、性质、法则、公式分类；(2)对参数分类；(3)按图形位置分类；(4)按图形特征分类；(5)按余数分类．注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．【例2】 方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(某某省选拔赛试题)思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)1-的偶次幂等于1．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 根据方程定义，r 是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以，应对r=0及r ≠0两种情况分类求解．【例4】 已知一三角形纸片ABC ，面积为25，BC 边的长为10，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与点A 、B 不重合)．过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ．设MN=x ．(1)用x 表示△AMN 的面积S △AMN ；(2)用△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BM(边AM 、AN 落在四边形BM 所在的平面内)，设点A 落在平面BM 内的点为A ′，△A ′MN 与四边形BM 重叠部分的面积为y ．①试求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；②当x 为何值时重叠部分的面积y 最大，最大为多少?(某某市中考题)思路点拨 折叠△AMN ，A 点位置不确定，可能在△ABC 内或在BC 边上或在△ABC 外，故需按以上三种情况分别求出y 关于x 的函数关系式，进而求出y 的最大值．注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类，最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系．【例5】 已知⊙O l 与⊙O 2外切，⊙O l 的半径R=2，设⊙O 2的半径是r ．(1)如果⊙O l 与⊙O 2的圆心距d=4，求r 的值；(2)如果⊙O l 、⊙O 2的公切线中有两条互相垂直，并且r ≤R ，求r 的值．(某某市中考题)思路点拨 题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一，故应分类讨论．注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形：(1)由点的不确定定引起的分类讨论；(2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论；(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论．学力训练1．已知m 为实数，如果函数62)4(2----=m mx x m y 的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的取值为．2．若实数a 、b 满足0582=+-a a ，0582=+-b b ，则1111--+--b a a b 的值为． 3．若半径为5和4的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于．4．已知⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 直线交⊙O 于A 、B 点，若PA ·PB=4，OP=5，则⊙O的半径为．5．和抛物线11082+-=x x y 只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为( )A ．76--=x yB ．1-=xC ．76--=x y 或1-=xD ．1-=y6．若线段AB 两端点到直线l 的距离分别为4和8，则AB 的中点到直线l 的距离是( )A ．2B ．4C ．6D ．2或67．点A(-4，0)，B(2，0)是xoy 坐标平面上两定点，C 是221+-=x y 的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC 可以画出( )A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个8．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的P 点有( )A ．1个B ． 2个C ．3个D ．4个9．已知关于x 的方程022)13(22=+++-k k x k x ．(1)求证：无论k 是取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长6=a ，另两边长为b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．(某某赛区选拔赛试题)10．已知：如图，抛物线C 1经过A ，B ，C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E ．（1）求抛物线C 1的解析式；（2）求四边形ABCD 的面积；（3）△AOB 与△BDE 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线C 1的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线C 2经过点E （抛物线C 2与抛物线C 1不重合），且顶点为M （a ，b ），对称轴与x 轴相交于点G ，且以M ，G ，E 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形全等，求a ，b 的值（只需写出结果，不必写出解答过程） (黄冈市中考题)11．以O 为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm 和5cm ，⊙O ′与这两个圆都相切，则⊙O ′的半径是．12．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值X 围是．(市宣武区中考题)14．已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M 为圆心，MC 为半径作圆，那么当m=时，⊙M 与直线AB 相切．15．关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值．(某某赛区选拔赛试题)16．华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；(3)若一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?(某某省竞赛题)17．如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长．18．已知关于x 的方程0)1(2=+++-p x q p x (q ≥0)的两个实数根为α，β且α≤β．(1)试用含有α，β的代数式表示p 和q ；(2)求证：α≤1≤β(3)若以α，β为坐标的点M(α，β)在△ABC 的三条边上运动，且△ABC 顶点的坐标分别为A(1，2)，B(21，1)，C(1，1)，问是否存在点M 使p +q =45，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(某某市中考题)19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系)(t f P =；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102㎏，时间单位：天)参考答案。
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
