2017-2018年广西南宁三中高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

广西南宁市第三中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题1. 不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵∴ 或∴ 不等式的解集为，故选D.2. “”是“直线和直线平行”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，直线即3x＋2y＋6＝0，直线，即，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线与直线平行时，能得出或．综上所述，选A．3. 已知命题；命题，则下列结论正确的是（）A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是真命题【答案】C【解析】命题中，的最大值为，所以为假命题；命题中，判别式小于，所以为真命题，所以命题是真命题，命题是假命题，命题是真命题，命题是假命题．故选C.4. 在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】由三角形的性质及正弦定理知，，又∵，∴，故选D.5. 的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以有，且，由余弦定理推论得，故正确答案是C.6. 设是等差数列的前n项和，已知，则等于（）A. 13B. 35C. 49D. 63【答案】C【解析】试题分析：依题意有，解得，所以. 考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．7. 在由正数组成的等比数列中，若, 则的值为（）A. 3B. 9C. 27D. 81【答案】C【解析】根据等比数列的性质可得，，故选C.8. 下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】B学##...学##...学##...学##...9. 已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆的半径为，则，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.故选C.10. 已知数列满足，则的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，∴，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C.11. 在△ABC中，若，则△ABC是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】试题分析：,，，．是等腰三角形．故A正确．考点：1正余弦定理；2两角和差公式．12. 若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，且，在同一坐标系中，画出和的图象，当函数的图象的左支经过点时，求得，当函数的图象的右支和的图象相切时，方程组有唯一的解，即有唯一的解，故，解得，所以实数的取值范围是，故选B．点睛：本题涉及分段函数，二次函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.13. 若满足约束条件则的最小值为_____________．【答案】【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最小值，即．【考点】简单的线性规划问题14. 已知函数，若对任意的都有，则实数a的取值范围是__________________．【答案】【解析】根据题意得，即，解得.故填.15. 在中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是__________．【答案】【解析】由，得因为在三角形中，所以即，=，，所以。

2017-2018学年广西南宁三中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，2，3}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i3．（5分）设a＝2sin15°cos15°，b＝，则a+b＝（）A．B．C．D．4．（5分）如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A．5.3B．4.3C．4.7D．5.75．（5分）下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（）A．B．y＝sin22x﹣cos22xC．y＝sin2x+cos2x D．y＝sin2x cos2x6．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+2π）＝f（x），当x∈（0，π）时，，则＝（）A．B．C．1D．8．（5分）若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2＝1关于直线l：x﹣y+5＝0对称，则圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣6）2＝1B．（x﹣6）2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．（x+1）2+（y+3）2＝19．（5分）函数f（x）＝x﹣ln|x|的图象为（）A．B．C．D．10．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线与两条渐近线分别交于P，Q两点，若△PFQ是直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，△ABC的面积，则△ABC的周长为（）A．6B．5C．4D．12．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）已知向量，，若，则m＝．14．（5分）下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是．15．（5分）已知x，y满足，则的最大值为．16．（5分）设函数f（x）＝x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a3+a5＝22，b2b4＝b6．（Ⅰ）数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝a n﹣b n，求数列{c n}前n项和．18．（12分）某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下．理科文科（Ⅰ）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；（精确到0.01）（Ⅱ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关：参考公式与临界值表：19．（12分）如图，点C在以AB为直径的圆O上，P A垂直于圆O所在的平面，Q为AP 的中点，G为△AOC的重心．（1）求证：平面OGQ⊥平面P AC；（2）若P A＝AB＝2AC＝2，求三棱锥P﹣OCQ的体积．20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆C上一点M到左右两个焦点F1，F2的距离之和是4．（1）求椭圆的方程；（2）已知过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形AMBF1面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx+b（a，b为实数）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．（1）求实数a，b的值及函数（x）的单调区间；（2）设函数g（x）＝，证明g（x1）＝g（x2）（x1＜x2）时，x1+x2＞2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为（﹣1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若存在x∈R使得f（x）≤m成立，求实数m的最小值．2017-2018学年广西南宁三中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵M＝{x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{﹣1，0，1，2}，故选：B．2．【解答】解：复数z满足（i是虚数单位），∴1+z＝i﹣iz，∴z＝＝＝＝i．则z的虚部为1．故选：C．3．【解答】解：∵，，∴，故选：D．4．【解答】解：由几何概型概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为，∵正方形的面积为10，∴由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为，故选：B．5．【解答】解：对于A，是奇函数，周期为π，不合题意；对于B，y＝sin22x﹣cos22x＝﹣cos4x，是偶函数，不合题意；对于C，y＝sin2x+cos2x既不是奇函数又不是偶函数，不合题意；对于D，y＝sin2x cos2x是奇函数，符合题意，故选：D．6．【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD的边长AD＝，AB＝2，高PO＝1，AO＝OB＝1，则P A＝PB＝，PD＝PC＝＝＝，PH＝，则四棱锥的侧面S＝S△P AB+S△P AD+S△PCD+S△PBC＝2×1+×+2×2+＝3+，故选：B．7．【解答】解：因为f（x+2π）＝f（x），所以函数的周期为2π，∴＝，故选：C．8．【解答】解：设圆心（﹣2，6）关于直线x﹣y+5＝0对称的点的坐标为（m，n），则由求得m＝1，n＝3，故对称圆的圆心为（1，3），对称圆的半径和原来的圆一样，故对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，故选：C．9．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x﹣ln（﹣x）是增函数，故排除A，C，D；故选：B．10．【解答】解：由题设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线与两条渐近线分别交于P，Q两点，若△PFQ是直角三角形，所以双曲线两条渐近线的夹角为90°，可得a＝b，c＝，从而，故选：A．11．【解答】解：在△ABC中，∵△ABC的面积＝＝，∴ab＝4．再由余弦定理c2＝4＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣4，∴a2+b2＝8，∴a+b＝＝＝4，故△ABC的周长为a+b+c＝4+2＝6，故选：A．12．【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10．故三角形ABC的内切圆半径r＝＝2，又由AA1＝3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值＝，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．【解答】解：∵，∴﹣1×3+2m＝0，解得．故答案为．14．【解答】解：第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3＝7根火柴棒；第3个图形中有4+3×2＝10根火柴棒；……第10个图形中有4+3×9＝31根火柴棒．故答案为：31．15．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，0）连线的斜率，∵，∴的最大值为．故答案为：．16．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣，有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣＝x2﹣＝f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣＝x2﹣，其导数f′（x）＝2x+＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若f（2x）≤f（4﹣x），必有|2x|≤|4﹣x|，即4x2≤x2﹣8x+16，变形可得：3x2+8x﹣16≤0，解可得：﹣4≤x≤，即x的取值范围为；故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．因为a3+a5＝2a4＝22，所以a4＝1＝2+3d．解得d＝3．又因为b2b4＝b1b5＝b6＝qb5，所以q＝b1＝2．所以a n＝3n﹣1，b n＝2n，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n＝3n﹣1，b n＝2n，n∈N*．因此数列{a n}前n项和为．数列{b n}的前n项和为．所以，数列{c n}的前n项和为，n∈N*．18．【解答】解：（Ⅰ）理科数学成绩的频率分布表中，成绩小于105分的频率为0.35＜0.5，成绩大于120分的频率为0.25＞0.5，故理科数学成绩的中位数的估计值为105+15×＝110.625分．（Ⅱ）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：≈0.250＜2.706，故没有90%的把握认为数学成绩与文理科有关．19．【解答】（1）证明：如图，延长OG交AC于M，∵G为△AOC的重心，∴M为AC的中点，∵O为AB的中点，∴OM∥BC，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∴OM⊥AC，∵P A⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，∴P A⊥OM，又P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，P A∩AC＝A，∴OM⊥平面P AC，又OM⊂平面OGQ，∴平面OGQ⊥平面P AC．（2）解：由（1）知OM⊥平面P AC，所以OM就是点O到平面P AC的距离，由已知可得，OA＝OC＝AC＝1，∴△AOC为正三角形，∴．所以．20．【解答】解：（1）依题意，椭圆C上一点M到左右两个焦点F1，F2的距离之和是4，则2a＝4，a＝2，因为，所以c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x＝my+1，则由，可得3（my+1）2+4y2＝12，即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＝36m2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0，又因为，所以四边形AMBF1是平行四边形，设平面四边形AMBF1的面积为S，则，设，则m2＝t2﹣1（t≥1），所以，因为t≥1，所以，所以S∈（0，6]，所以四边形AMBF1面积的最大值为6．21．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）＝a（1+lnx），∵曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1，∴，解得a＝1，b＝0．令f′（x）＝1+lnx＝0，得x＝．当x＞时，f′（x）＞0，f（x）在（）上单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上单调递减．∴f（x）单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（2）证明：由（1）得：f（x）＝xlnx，故g（x）＝，（x＞0），由g（x1）＝g（x2）（x1＜x2），得，即＞0．要证x1+x2＞2，需证，即证＞．设（t＞1），则要证t﹣＞2lnt（t＞1）．令h（t）＝t﹣，则h′（t）＝1+＝．∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即t﹣．故x1+x2＞2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（其中t为参数）．∴直线l的普通方程为x﹣y+1＝0．∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝6x，即（x﹣3）2+y2＝9．（Ⅱ）直线l的参数方程为（其中t为参数）代入曲线C的直角坐标方程（x﹣3）2+y2＝9．得：（t﹣4）2+（）2＝9，整理，得＝0，＝4＞0，t1t2＝7，t1+t2＝4，∴|P A|+|PB|＝|t1+t2|＝4．23．【解答】解：（1），∴，即或或x∈∅，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）知，函数，∵存在x∈R使得f（x）≤m成立⇔f（x）min≤m，∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

南宁三中2017~2018学年度下学期高二期考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：直接利用交集的定义求解.详解：集合，，故选D.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得到结论.详解：，，在复平面内所对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可.详解：四个选项中的函数都是偶函数，在上三个函数在上都递减，不符合题意，在上递增的只有，而故选D．点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.4. 已知双曲线的虚轴长为8，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.详解：由虚轴长为可得，右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，，解得，则双曲线的方程为，故选A.点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.5. 为了解某高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（）A. 0047B. 1663C. 1960D. 1963【答案】D【解析】,故最后一个样本编号为,故选D.6. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的正方形的边长，可以求得正方形的面积，再根据随机投掷的点的个数以及落在阴影部分的点的个数，可以得出阴影的面积与正方形的面积比，结合几何概型的有关知识，可以求得阴影部分的面积.详解：根据题意，正方形的面积为，所以阴影部分的面积，故选C.点睛：该题考查的是有关几何概型的有关知识，首先根据题中所给的落在阴影部分的点的个数和随机投掷的点的总数，可以求得其比值，结合，求得结果.7. 若满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化成对数，再根据对数单调性比较大小.详解：因为，，所以因为单调递增，所以因此，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行8. 设，则“”是“直线和直线平行”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先求出两直线垂直的充要条件，再利用集合间的包含关系进行判定.详解：若直线和直线平行，则，即，即“”是“直线和直线平行”的充分必要条件.点睛：本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. 8 C. 6 D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是一个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.详解：根据三视图知：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到函数的图象对应的函数解析式为再根据所得函数为偶函数，可得故的一个可能取值为：故选B．11. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，则球的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 100πD. 104π【答案】C【解析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：，，∴三角形的外接圆直径，，平面，，∴该三棱柱的外接球的半径，∴该三棱柱的外接球的表面积为，故选C．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.12. 设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意为偶函数，先求得在上连续，且为减函数，等价于，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值.详解：易知函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，则由，得，即，即在上恒成立，则，解得，即m的最大值为，故选B.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知实数x,y满足，则的最大值为__________．【答案】3【解析】分析：画出不等式组对应的可行域，利用线性规划就可以求出的最大值．详解：可行域如图所示，由的，当东至县过时，，故填．点睛：一般地，二元不等式（或等式）条件下二元函数的最值问题可以用线性规划或基本不等式求最值．14. 在的展开式中，的系数为____________.【答案】【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可.详解：结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.16. 如图所示，AC与BD交于点E，AB∥CD，AC=3，AB=2CD=6，当tanA=2时，=_____．【答案】12【解析】分析：根据余弦定理求出，再由余弦定理可得，根据平面向量的数量积公式求解即可.详解：由,可知，在中，,，，故答案为.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式，余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 已知公差不为0的等差数列的前n项和成等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求n及此等比数列的公比.【答案】(1);(2)9，.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，则数列的通项公式为；(2)由（1）知，则，，结合等比数列的性质可得，公比.试题解析：(1)设数列的公差为由题意可知，整理得，即，所以；（2）由（1）知，∴，∴，，又，∴，∴，公比.18. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球3次均未命中的概率为，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．【答案】(1);(2)见解析.【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用对立事件及独立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，，的概率，再写出概率分布表，运用数学期望的计算公式计算：解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.（Ⅰ）由题意得：，解得，所以乙投球的命中率为．（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，甲投球的命中率为，则有，，，，可能的取值为0，1,2,3，故，，，，的分布列为：的数学期望．点睛：随机变量的概率及分布是高中数学中的选修内容，也是高考考查的重要考点。

2017-2018学年广西南宁三中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案．）1．（5分）设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件5．（5分）已知sin，则cos2α＝（）A．B．C．D．6．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．（5分）已知向量＝（m﹣1，2），＝（m，﹣3），若⊥，则实数m等于（）A．2或﹣3B．﹣2或3C．D．38．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：B．2：2：C．1：1：2D．1：1：4 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．C．D．10．（5分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：x2+（y﹣2）2＝4交于A，B两点，则|P A|•|PB|的值是（）A．1B．3C．D．411．（5分）抛物线y2＝2px与直线ax+y﹣4＝0交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F，则|F A|+|FB|等于（）A．7B．C．6D．512．（5分）已知方程ln|x|﹣ax2+＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a ﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积是．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（1）＝1，且对任意x∈R，都有，则不等式的解集为．三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．18．（12分）在等差数列{a n}中，a2+a7＝﹣23，a3+a8＝﹣29（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求{b n}的前n项和S n．19．（12分）某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）若成绩在[50，60）的学生中男生比女生多一人，从成绩在[50，60）的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AA1＝AB＝2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求点C到平面AEF的距离．21．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）设函数f（x）＝x2﹣m1nx，g（x）＝x2﹣（m+1）x，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．2017-2018学年广西南宁三中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案．）1．（5分）设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．2．（5分）复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【解答】解：＝＝＝i，故选：A．3．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故B正确；这12天的AQI指数值的中位数是＝99.5，故C不正确；从4日到9日，AQI数值越来越低，空气质量越来越好，故D正确，故选：C．4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知sin，则cos2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，故选：C．6．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．7．（5分）已知向量＝（m﹣1，2），＝（m，﹣3），若⊥，则实数m等于（）A．2或﹣3B．﹣2或3C．D．3【解答】解：根据题意，量＝（m﹣1，2），＝（m，﹣3），若⊥，则有•＝0，即m（m﹣1）+2×（﹣3）＝0，解可得m＝﹣2或3；故选：B．8．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：B．2：2：C．1：1：2D．1：1：4【解答】解：△ABC中，A：B：C＝1：1：4，所以三个内角分别为30°，30°，120°；则a：b：c＝sin A：sin B：sin C＝：：＝1：1：．故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．C．D．【解答】解：根据三视图恢复成三棱锥P﹣ABC，其中PC⊥平面ABC，S＝＝2，△ABC三棱锥体积积V＝＝，故选：C．10．（5分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：x2+（y﹣2）2＝4交于A，B两点，则|P A|•|PB|的值是（）A．1B．3C．D．4【解答】解：设A，B对应的参数分别为t1，t2，把l的参数方程（t为参数）代入曲线C：x2+（y﹣2）2＝4，得：（）2+（t）2＝4，整理得：t2+t﹣3＝0，∴t1+t2＝﹣1，t1t2＝﹣3，∴|P A|•|PB|＝|t1|•|t2|＝|t1t2|＝3．故选：B．11．（5分）抛物线y2＝2px与直线ax+y﹣4＝0交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F，则|F A|+|FB|等于（）A．7B．C．6D．5【解答】解：把点（1，2），代入抛物线和直线方程，分别求得p＝2，a＝2∴抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x+y﹣4＝0，联立消去y整理得x2﹣5x+4＝0解得x和1或4，∵A的横坐标为1，∴B点横坐标为4，根据抛物线定义可知|F A|+|FB|＝x A+1+x B+1＝7故选：A．12．（5分）已知方程ln|x|﹣ax2+＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由ln|x|﹣ax2+＝0得ax2＝ln|x|+，∵x≠0，∴方程等价为a＝，设f（x）＝，则函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝，则f′（x）＝＝＝，由f′（x）＞0得﹣2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞﹣1，得x＞，此时函数单调递减，即当x＞0时，x＝时，函数f（x）取得极大值f（）＝＝（﹣1+）e2＝e2，作出函数f（x）的图象如图：要使a＝，有4个不同的交点，则满足0＜a＜e2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为1．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y＝﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z＝0×3+1＝1，故答案为：114．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝4【解答】解：由等比数列的性质以及正项等比数列得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8，∴a8＝2，a9＝2，∴a8a9＝4，故答案为：4．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a ﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积是．【解答】解：由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；＝ab sin C＝×6×＝．所以S△ABC故答案为：．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（1）＝1，且对任意x∈R，都有，则不等式的解集为（﹣1，1）．【解答】解：设，g（1）＝f（1）则．∵对任意x∈R，都有，∴g′（x）＜0，即g（x）为实数集上的减函数．不等式即为g（x2）＞0＝g（1）．则x2＜1，解得﹣1＜x＜1．∴不等式的解集为（﹣1，1）．故答案为（﹣1，1）．三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C2的极坐标方程为．∴，∴C2的直角坐标方程为即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），点P在C1上，∴设，∵曲线C2是直线，∴|PQ|的最小值即为点P到直线C2的距离d的最小值，，当且仅当时，d的最小值为，此时P的直角坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）在等差数列{a n}中，a2+a7＝﹣23，a3+a8＝﹣29（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差是d．由已知（a3+a8）﹣（a2+a7）＝2d＝﹣6，∴d＝﹣3，∴a2+a7＝2a1+7d＝﹣23m，得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2（2）由数列{a n+b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴，∴＝3n﹣2+2n﹣1，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+2+22+…+2n﹣1）＝，＝+2n﹣119．（12分）某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）若成绩在[50，60）的学生中男生比女生多一人，从成绩在[50，60）的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．【解答】解：（1）成绩在[50，60）的学生共有100×0.005×10＝5人，其中男生3人，女生2人，分别记为1，2，3，4，5，其中1，2，3为男生，选出两人，基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，其中都是男生的有：（1，2），（1，3），（2，3）共3种，故此2人都是男生的概率为p＝．（2）由频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05＝73．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AA1＝AB＝2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求点C到平面AEF的距离．【解答】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，∴AF⊥BC．又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…（2分）设AB＝AA1＝1，则B1F＝，EF＝，B1E＝．∴B1F2+EF2＝B1E2，∴B1F⊥EF．又AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF．…（4分）而B1F⊂面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．…（5分）（2）解：设点C到平面AEF的距离为h，则由题意，AF⊥CF，AF⊥EF，∴S△ACF ＝＝1，S△AEF＝＝，由等体积可得，，∴h＝．21．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c＝3，a﹣c＝1，∴a＝2，c＝1∴b2＝a2﹣c2＝3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）＝0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD＝﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，∴∴7m2+16mk+4k2＝0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1＝﹣2k时，l的方程y＝k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为22．（12分）设函数f（x）＝x2﹣m1nx，g（x）＝x2﹣（m+1）x，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m＞0，f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）f（x）与g（x）图象的交点个数，即函数h（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x2﹣mlnx+（m+1）x的零点个数问题，h′（x）＝﹣，令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，∴h（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，＝h（1）＝m+＞0，∴h（x）极小值∴h（x）和x轴有1个交点，即函数f（x）与g（x）图象的交点个数是1个．。

广西南宁市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共25分)1. （2分） (2018高一上·黄陵期末) 设集合M={a| x∈R，x2+ax+1＞0}，集合N={a| x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p：a∈M，命题q：a∈N，那么命题p是命题q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件2. （2分） (2015高二上·安庆期末) 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB= ．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A .B .C .D .3. （2分）是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的点，且，则的面积为A . 4B . 6C .D .4. （2分） (2017高三下·平谷模拟) 执行如下图所示的程序框图，则输出的值是（）．A .B .C .D .5. （2分）学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43，则总人数N为（）A . 801；B . 808；C . 853；D . 912.6. （2分）如表为某公司员工工作年限x（年）与平均月薪y（千元）对照表．已知y关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y 2.5t4 4.5A . 回归直线一定过点（4.5，3.5）B . 工作年限与平均月薪呈正相关C . t的取值是3.5D . 工作年限每增加1年，工资平均提高700元7. （2分）设f(x)=xlnx，若f'(x0)=2，则x0=（）A . eB . e2C .D . ln28. （2分）已知P为椭圆上的一点，，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为6，则满足条件的点P的个数为（）A . 1B . 2C . 4D . 69. （2分） (2017高一上·武汉期末) 方程x﹣sinx=0的根的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）(2018·全国Ⅲ卷理) 设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点。

南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（三）数学（文）试题（考试时间:2018年5月28日(15:00—17:00)）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合{24}A x x x =<->或，{3}B x x =≤，则()u C A B =（ ）A ．{|34}x x -≤≤B ．{|23}x x -≤≤C ．{|32x x -≤≤-或34}x ≤≤D ．{|24}x x -≤≤2．已知复数512iz i=-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3．已知1sin cos 3x x +=-，则sin cos x x =（ ）A ．13B ．13-C ．49D ．49-4．设βα,是两个不同的平面，直线m α⊂，则“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象,只需把函数sin(2)6y x π=+的图象（ ） A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向右平移2π个单位 6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2|log |1()2x f x x x=--的大致图像为（ ）8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在 9． 所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比 10． 较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式 11． 值的一个实例.若输入 ,n x 的值分别为3,3，则输出 的值为（ ） 12． A．15B ．16C ． 47D ． 489．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，2F 为其右焦点，1A 为其左顶点，点()0,B b 在以12A F 为直径的圆上，则此双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ．3C.31+ D ．51+ 10．在ABC ∆中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =， 1cos 3A =，则a =（ ）A ．5B ． 3C ．10D ． 411．设a b c ，，均为正数，122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a b c ，，的大小关系为 ( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<12．已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且满足()()'1f x f x +<恒成立， ()02018f =，则不等式()20171xf x e -<+的解集为（ ）A ． ()0,+∞B ． (),0-∞C ． (),e +∞D ． (),e -∞二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卷的相应位置13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且a ∥b ，则b =14．若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是 .15．若圆()2221x y -+=与双曲线222:1(0)9x y C m m -=>的渐近线相切，则实数m 的值为________. 16．已知函数()x af x x-=，()g x ax =，若对任意()0,x ∈+∞都有()()f x g x ≤成立， 则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写成必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为的等差数列，满足37a =，且1a 、2a 、6a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）某公司在某条商业街分别开有两家业务上有关联的零售商店，这两家商店的日纯利润变化情况如下表所示：（Ⅰ）从这几天的日纯利润来看，哪一家商店的日平均纯利润多些？（Ⅱ）由表中数据可以认为这两家商店的日纯利润之间有较强的线性相关关系. ①试求与之间的线性回归方程（系数精确到小数点后两位）；②预测当店日纯利润不低于2万元时，店日纯利润的大致范围（精确到小数点后两位）；（Ⅲ）根据上述5日内的日纯利润变化情况，试从平均水平和离散情况比较两家商店的经营状况．附：线性回归方程y bx a =+中，1521()()ˆ()niii ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：51()()0.691iii x x yy =--=∑，.521()0.5i i x x =-=∑，521() 1.22i i y y =-=∑19．（本小题满分12分）如图，底面为等腰梯形的四棱锥E ABCD -中，EA ⊥平面ABCD ，F 为EA 的中点， //AB CD ， 2AB CD =， 3ABC π∠=.（Ⅰ）证明： //DF 平面EBC ；（Ⅱ）若2AE AB ==，求三棱锥E BCF -的体积.20．（本小题满分12分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）当1k =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()0,2内存在两个极值点，求实数k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且54QF PQ =． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点， 与圆()2211x y +-=相交于B ，C 两点（A 、B 两点相邻）， 过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ， 求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．二选一：共10分，请在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩， （ 为参数），点P是曲线C 上的一动点，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的方2sin()14πρθ-=（Ⅰ）求线段OP 中点M 的轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()11f x x x =--+， （Ⅰ）解不等式()1f x x <-； （Ⅱ）若max 3()4m f x =， 且22223a c b m ++=， 求2ab bc +的最大值.南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（三）数学（文）试题答案一、选择题：13．6 14．2 15．3 16．1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，三、解答题：17．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠,由题意有2216a a a =，即2333()(2)(3)a d a d a d -=-+因为37a =，即2(7)(72)(73)d d d -=-+，解得3d =或0d =（舍） 所以7(3)332n a n n =+-⨯=-.（Ⅱ）由题意有322n n b -=，又3131322282n n n n b b ++-===，故数列{}n b 是以12b =为首项，8为公比的等比数列，所以()2182(81)187n nn S -==--.18．【解析】（Ⅰ）由题意，可知0.20.50.80.9 1.10.75x ++++==（万元）； 0.230.220.51 1.50.695y ++++==（万元）.所以从平均水平来讲，家商店的日平均纯利润要更多些.（Ⅱ）①根据题意，得1521()()0.691ˆ 1.382 1.380.5()niii ii x x yy bx x ==--===≈-∑∑， 故ˆˆ0.69 1.3820.70.27740.28ay bx =-=-⨯=-≈-， 题号 123456789101112选项B B D AC CD D D B A A所以与之间的回归方程为ˆ 1.380.28yx =-. ②令，得1.380.282x -≥，解得，即店日纯利润不低于2万元时，店日纯利润大约不低于1.65万元.（Ⅲ）店的日纯利润的方差为522110.5()0.155Ai i S x x ==-==∑， 店的日纯利润的方差为52211 1.22()0.24455Bi i S y y ==-==∑,x y 相差不大，两家商店的日纯利润平均水平相当，但，故店日纯利润比B 店的更集中、稳定些。

南宁三中2017～2018学年度下学期高二期考文科数学试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M={|﹣1≤＜3，∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）A. {﹣1，0，2，3}B. {﹣1，0，1，2}C. {0，1，2}D. {0，1，2，3}【答案】B【解析】 ,选B.2. 已知复数z满足，则z的虚部为（）A. iB. －1C. 1D. －i【答案】C【解析】由已知，1＋z＝（1－z）i，则z＝＝i，虚部为1考点：复数的概念，复数的代数运算3. 设，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由条件利用二倍角公式求得各个选项中式子的值，从而得出结论．详解：所以故选：D点睛：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．4. 如图，已知正方形的面积为，向正方形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为，因为正方形的面积为，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为，故选B.【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．详解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，且故排除A；∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故排除B；∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，符合题意，故选：D．点睛：本题主要考查诱导公式、二倍角公式、三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．6. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】几何体如图,侧面积是 ,选B点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．7. 已知函数对任意，都有，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用条件得到函数的周期性为，从而，再结合已知条件即可得到结果.详解：由可知周期为，所以，又当时，，所以故选：C点睛：本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，属于基础题．8. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：圆的圆心为，半径，点关于直线的对称点为，即对称圆的圆心为，所以圆的方程为考点：圆的方程及点的对称9. 函数的图象为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用函数的单调性即可做出正确判断.详解：当x时，是增函数，从而可排除A，C，D，故选:B点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10. 双曲线（a）0，b>0）的右焦点为F，直线与两条渐近线分别交于两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：联立方程得到两点坐标，利用是直角三角形，建立关于a，b的方程从而得到双曲线的离心率.详解：由题意可得F，渐近线方程为联立可得：，同理可得Q又是直角三角形所以，即所以双曲线的离心率为故选：A点睛：求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．11. 在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝，△ABC的面积S△ABC＝，则△ABC的周长为（）A. 6B. 5C. 4D. 4＋2【答案】A【解析】在△ABC中，∵△ABC的面积S△ABC==ab⋅sin C=ab⋅∴ab=4.再由余弦定理c2=4=a2+b2−2ab⋅cos C=a2+b2−4，∴a2+b2=8，∴a+b==4，故△ABC的周长为a+b+c=4+2=6，故选A.12. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若则V的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.视频第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知向量=（，2），=（3，），若，则=___________.【答案】4【解析】分析：利用数量积与垂直的关系即可得出．详解：由题意可得：∵，∴﹣1×4+2=0，解得．故答案为．点睛：本题考查了向量垂直的坐标运算，熟练掌握数量积与垂直的关系是解题的关键．14. 下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是________．【答案】31【解析】分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可．详解：第1个图形中有根火柴棒；第2个图形中有根火柴棒；第3个图形中有根火柴棒；第10个图形中有根火柴棒．点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在的基础上增加几个的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15. 已知满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】根据题意作出可行域：目标函数则可以理解为可行域中的点与的斜率的最大值，由图可知最大斜率为：16. 设函数，则使成立的的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.详解：因为函数，所以时， ,可得在单调递减，，所以函数为偶函数，所以在单调递增，又因为，，，，，故答案为.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题：共70分。

2017-2018 学年度第一学期期末联考试卷高二数学（文科）注意事项1.考试时间120 分钟，满分150 分。

试题卷总页数： 4 页。

2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。

3.需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑。

需要书写的地方一律用0.5MM 签字笔。

4.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆心为（-1, 1），半径为 2 的圆的方程是2 A（.x+1）2 C.（x+1）(y 1)2 1(y 1)2 22B.（x-1）2D.（x-1）(y 1)2 1(y 1)2 22. 已知抛物线方程为y2 =4 x ，则该抛物线焦点坐标为（1,0）B. ( 1,0)C. (0, 1)D. (0,1)A.3. “x 2”是1“ x 2”成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设 m R ，命题“若m 0 则方程 x2 +x m 0 有实根”的逆否命题是A.若方程x2+x m 0 有实根，则 m 0B. 若方程x2+x m 0 有实根，则 m 0C.若方程x2+x m 0 没有实根，则 m 0D.若方程 x2 +x m 0 没有实根，则 m 05. 设 m, n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若m ， n ，则 m nB. 若m n，m ，则， nC.若m ， m ，则D.若m ，，则， m6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. 2C. 3D. 47. 命题“x0 (0, ),lnx 0 x0 2”的否定是A. x0 (0, ),lnx 0 x0 2B. x0 (0, ),lnx 0 x0 2C. x0 (0, ),lnx 0 x0 2D. x0 (0, ),lnx 0 x0 28. 函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 的图像如图所示，则函数y f (x) 的图像可能是9.直线x 2y 5 5=0 被圆x2 y 2 2x 4 y 0 截得的弦长为A. 4 6B.4C.2D.110.函数 f (x) (x 3)e x的单调递增区间是A. ( ,2)B. (0,3)C. (1,4) D（. 2，+）11. 已知椭圆x2 y 21(a b 0) 的左、右顶点分别为A1 , A2,且以线段 A1 A2为直径的C:b2a2圆与直线 bx-ay 2ab 0 相切，则椭圆 C 的离心率为6B. 3C.2 1A.3 3 D.3 312. 若0 x1 x2 1，则A. e x2 e x1 ln x2 ln x1B. e x2 e x1 ln x2 ln x1C. x2e x1 x1e x2D. x2e x1 x1 e x2二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .把答案填写在答题卡的相应位置上.13. 双曲线x2y2 （1 a>0）的一条渐近线方程为y3x ，则a=. a2 9 514.已知长方体的长、宽、高分别为3、2、 1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为.15. 已知函数 f (x) ax ln x, x (0,)，其中 a 为实数， f (x) 为 f (x) 的导函数，若f（ 1）=3 ，则a=.16. 若曲线f (x, y) 0 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 f (x, y) 0 的“自公切线”，下列方程① x2 y2 1 ；② y x2 x ，③y 3sin x 4cos，则对应曲线有“自公切线”的有.三、解答题，本大题共 6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知Rt ABC 的顶点坐标A(0, 2) ,直角顶点 B( 1, 2 2) ，顶点C在x轴上，求：（1）点 C 的坐标；（2）斜边所在直线的方程 .18. 已知函数 f (x) 1 x3 x2 3x ，求：3（1 ）函数y f (x) 在点（ 3,f(x) ）处的切线方程；（2 ）函数y f (x) 的极值.2 21 ，求：19. 已知圆的方程为：（x-1）y（1）斜率为 3 且与圆相切的直线的方程；（2）过定点（ 2， -3）且与圆相切的直线的方程 .20. 如图，在三棱锥P ABC 中，PA AB ,PA BC , AB BC ,D为线段AC的中点，E 为线段 PC 上一点 .（1）求证：PA BD ;（2）求证：平面BDE平面PAC.21. 已知椭圆 C 的两个顶点分别为A( 2,0),B(2,0) ,焦点在x轴上，离心率为3. 2（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）点 D 为x轴上一点，过点 D 作x轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N ，过点 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E. 求证：BDE 于BDN 的面积之比为4:522. 设函数f (x) ax x ln x 的图像在x e处切线的斜率为 3.（1 ）求实数 a 的值；（2 ）若 k Z ,且 k f (x) 对任意 x e2恒成立，求k的最大值.x 1。

2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试数学（文）一、选择题：共12题1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接根据交集的定义求解即可.详解：集合，，，，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 复数（）A. B. C. i D.【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简即可得结果.详解：因为，故选C.点睛：本题考查复数代数式的乘除运算，是基础题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 是表示空气质量的指数, 指数值越小,表明空气质量越好,当指数值不大于100时称空气质量为“优良”如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据,图中点表示4月1日的指数值为201,则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】D【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.4. 设，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分析：根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.详解：由可得，而由得或所以, “”是“”的充分非必要条件,故选A.点睛：本题主要考查充分条件与必要条件，属于简单题.高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意一下几点：（1）要看清，还是；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）或成立，不能推出成立，也不能推出成立，且成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提.5. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. B. 6 C. 14 D. 18【答案】B【解析】模拟法：输入；不成立；成立输出,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.视频7. 已知向量，，若，则实数等于（）A. 或B. 或C.D.【答案】A【解析】分析：利用，结合向量的数量积计算公式可得，可得的值. 详解：由得解得或,故选A.8. 已知中，角,,的对边分别为,,，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用三角形内角和定理求得三个内角分别为，由正弦定理可得结果.详解：中，因为，所以，所以可得三个内角分别为，则故选A.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,该三棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为等腰三角形,根据三视图中数据可得结果.详解：由所给三视图得到该几何体的直观图，如图三棱锥所示，其中，，三棱锥的体积，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10. 在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点，则的值是（）A. 1B. 3C.D. 4【答案】B【解析】分析：将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数的几何意义，利用韦达定理求解即可.详解：设对应的参数分别为，把的参数方程代入，得，整理得，所以，故选B.点睛：本题主要考查直线参数方程中参数的几何意义，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 11. 抛物线与直线交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2).该抛物线的焦点为F，则（）A. 5B. 6C.D. 7【答案】D【解析】分析：把点，代入抛物线和直线方程，分别求得和，得到直线和抛物线方程，联立消去，可分别求得和的横坐标，再根据抛物线的定义可得结论.详解：将点的坐标代入抛物线与直线，得，所以抛物线，直线，由得或，所以，又抛物线的准线，结合抛物线的定义可得，故选D.点睛：本题主要考查抛物线的应用，属于基础题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 12. 已知方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可. 详解：由得因为设易得函数是偶函数，当时，；则由得得即得此时函数单调递增， 由得得即得此时函数单调递减，即当时，函数取得极大值作出函数的图像如图.要使有4个不同的实数根，需满足实数的取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的单调性和极值，借助数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属于难题.二、填空题：共4题每题5分共20分13. 若变量满足约束条件则的最小值为________.【答案】1【解析】试题分析：变量x，y满足约束条件表示的区域如图所示，由z＝3x＋y得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z取得最小值1．考点：线性规划．14. 在各项均为正数的等比数列中，若则_________【答案】【解析】分析：由等比数列的性质得，结合，即可得结果.详解：由等比数列的性质得，因为数列的各项均为正，所以，所以，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解答比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.15. 在中,内角所对应的边分别为，若，，则的面积为_________.【答案】【解析】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进行求解即可.详解：因为，，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16. 定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】分析：由，构造单调递减函数，利用其单调性求解.详解：，设，则，是上的减函数，且，不等式，即为，即，得，解得，原不等式的解集为，故答案为.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题：共6题17. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)由利用两角和的余弦公式，结合可得曲线的直角坐标方程；(2)设，因为曲线是直线，所以的最小值即为点到直线的距离的最小值，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.详解：(1)由，可得；所以的直角坐标方程为(2)设，因为曲线是直线，所以的最小值即为点到直线的距离的最小值，,当时，取最小值为，此时，所以，，此时的直角坐标为.点睛：本题主要考查参数方程的应用、点到直线距离公式、辅助角公式以及极坐标化为直角坐标的方法，属于中档题.利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．18. 在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为．利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列是首项为，公比为的等比数列，可得．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．试题解析：（）设等差数列的公差为，∵，∴，解得，∴数列的通项公式为．（）由数列是首项为，公比为的等比数列得，即，∴，∴．∴当时，；当时，．19. 某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是.(1)若成绩在的学生中男生比女生多一人，从成绩在的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)基本事件有，共种，其中都是男生的有共种,利用古典概型概率公式可得结果；(2)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生语文成绩的平均分.详解：(1)成绩在的学生共有5人，其中男生3人，女生2人，分别记为1，2，3，4，5，其中1，2，3为男生；选出两人，基本事件有，共10种，其中都是男生的有共3种，故概率为.(2)平均分的估计值为.点睛：本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】.试题分析：（1）由已知条件推导出，再根据边长利用勾股定理证得，进而得到平面平面（2）利用等体积转化列方程即可求出.试题解析：（1）证明：是等腰直角三角形斜边的中点，∴．又∵侧棱，∴面面∴面，.，则，∴，∴．又，∴⊥平面．…而面，故：平面平面．（2）解：∵⊥，侧棱所以，所又,,设点到平面的距离为，解得：21. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证:直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义，知，；（2）联立方程，得到根与系数的关系，以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D，所以,试题解析：（ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程为。

2017-2018学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）不等式的解集为（）A．B．C．D．2．（5分）命题p：，命题q：方程x2﹣x+1=0无实根，则（）A．命题p∧q为真B．命题p∨q为真C．命题￢p为假D．命题￢q为真3．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y2=4x上一点P到其焦点距离为6，则点P到y轴距离为（）A．5B．6C．7D．85．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8B．9C．27D．366．（5分）从1、2、3、5四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系式为，则其瞬时速度为1米/秒的时刻为（）A．t=0B．t=1C．t=3D．t=1和t=3 8．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a2018=（）A．2018B．2019C．4035D．40369．（5分）已知△ABC的角A、B、C所对边的边为a，b，c，acosA=bcosB，则该三角形现状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S6=9，则S12=（）A．15B．16C．9D．611．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）已知，若f（x）＞a在（0，+∞）上恒成立，则a的范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值与最小值之差为．14．（5分）设函数f（x）=alnx﹣，（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，则a=．15．（5分）△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，已知∠A=60°，，则b=．16．（5分）已知函数f（x）=2sinx﹣x+k在区间上有两个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图组号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值．18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，b=2，求△ABC的面积S．19．（12分）已知正项等比数列{a n}中，a1+a2=6，a4﹣a2=12．（I）求{a n}的通项公式；（II）设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）设AB=a，求点B到平面SAC的距离．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0），A（0，2），且|AF|=，椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，当直线l与椭圆C有唯一公共点M时，作OH ⊥l于H（O为坐标原点），若|MH|=|OM|，求k的值．22．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．2017-2018学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）不等式的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，⇒（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解可得：1≤x＜2，即不等式的解集为{x|1≤x＜2}，故选：D．2．（5分）命题p：，命题q：方程x2﹣x+1=0无实根，则（）A．命题p∧q为真B．命题p∨q为真C．命题￢p为假D．命题￢q为真【解答】解：命题p：∵＜e，∴，是假命题；命题q：∵△=1﹣4=﹣3＜0，∴方程x2﹣x+1=0无实根，是真命题．∴p假q真，故选：B．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．4．（5分）抛物线y2=4x上一点P到其焦点距离为6，则点P到y轴距离为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：由抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，抛物线y2=4x上一点P到其焦点距离为6，故点P的横坐标为5．则点P到y轴距离为5．故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8B．9C．27D．36【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．6．（5分）从1、2、3、5四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：任取两个数字组成两位数共有12种可能，能被5整除的只有15、25、35三种，∴从1、2、3、5四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为p=．7．（5分）一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系式为，则其瞬时速度为1米/秒的时刻为（）A．t=0B．t=1C．t=3D．t=1和t=3【解答】解：根据题意，质点的位移S与时间t满足，则S'=t2﹣4t+4，令S'=1，即t2﹣4t+3=0，解可得：t=1或t=3；故选：D．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a2018=（）A．2018B．2019C．4035D．4036【解答】解：∵数列{a n}的前n项和，∴，故a2018=2×2018﹣1=4035，法2：a2018=S2018﹣S2017=20182﹣20172=（2018+2017）（2018﹣2017）=4035，故选：C．9．（5分）已知△ABC的角A、B、C所对边的边为a，b，c，acosA=bcosB，则该三角形现状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形【解答】解：∵acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，化为A=B或A+B+．∴哎三角形为直角三角形或等腰三角形．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S6=9，则S12=（）A．15B．16C．9D．6【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，S6=9，S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列，∴S6﹣S3=3，S9﹣S6=0，S12﹣S9=﹣3，∴S12=6．故选：D．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C12．（5分）已知，若f（x）＞a在（0，+∞）上恒成立，则a的范围为（）A．B．C．D．【解答】解：，∴≥2=，函数f（x）在（0，+∞）上最小值为，故．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值与最小值之差为7．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（2，3），可得B（0，2）化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9．当直线y=﹣3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．则z=3x+y的最大值与最小值之差为：7．故答案为：7．14．（5分）设函数f（x）=alnx﹣，（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，则a=1．【解答】解：，由题意函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，知y=f（x）在x=1处导数值为0，解之得a=1．故答案为：1．15．（5分）△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，已知∠A=60°，，则b=1或3．【解答】解：∵∠A=60°，，∴由余弦定理得13=b2+16﹣8bcos60°，可得：b2﹣4b+3=0，∴解之得b=1或3．故答案为：1或3．16．（5分）已知函数f（x）=2sinx﹣x+k在区间上有两个零点，则实数k的取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）=2sinx﹣x+k在区间上有两个零点，∴f（x）′=2cosx﹣1，令f（x）′=0，解得x=，∴f（x）的增区间为：[0，]；f（x）的减区间为：[，]∴，解得k∈，故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2=10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P=1﹣=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（Ⅱ）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是=0.17，所以由频率分布直方图得，a==0.085，同理可得，b==0.125．18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，b=2，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵asinB+bcosA=0，∴sinAsinB+sinBcosA=0即sinB（sinA+cosA）=0，由于B为三角形内角，所以sinA+cosA=0，∴而A为三角形内角，∴；（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=c2+b2﹣2cbcosA，即，解得（舍）或，∴．19．（12分）已知正项等比数列{a n}中，a1+a2=6，a4﹣a2=12．（I）求{a n}的通项公式；（II）设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）∵正项等比数列{a n}中，a1+a2=6，a4﹣a2=12．∴由已知得：，…．（2分）解得a1=2，q=2…．（4分）故…．（6分）（II）∵…．（8分）∴数列{b n}的前n项和：S n=2+2•22+3•23+…+n•2n，①，②…．（10分）①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，…．（11分）∴．…．（12分）20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）设AB=a，求点B到平面SAC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，∵△SAB，△SAC是等边三角形，∴SB=SC所以△SBC是等腰三角形…（1分）∵O为BC中点，∴SO⊥BO，…（2分）∴△ABC为等腰直角三角形，∴OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC，…（3分）又△SBC为等腰三角形，∴SO⊥BC，且SO=SA，…（4分）从而OA2+SO2=SA2．∴△SOA为直角三角形，SO⊥AO．…（5分）又AO∩BO=O．∴SO⊥平面ABC．…（6分）解：（Ⅱ）设点B到平面SAC的距离为h，故三棱锥体积为…（8分）三棱锥体积为…（10分）∵V S=V B﹣SAC，解之得，﹣BAC故点B到平面SAC的距离为a．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0），A（0，2），且|AF|=，椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，当直线l与椭圆C有唯一公共点M时，作OH ⊥l于H（O为坐标原点），若|MH|=|OM|，求k的值．【解答】解：（1）由F（c，0），A（0，2），且|AF|=，得，解得c=，又，∴a=2，则b2=a2﹣c2=1，故椭圆C的标准方程为：；（2）设M（x0，y0），由|MH|=|OM|，知|OH|=|OM|，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．令△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，得m2=1+4k2，且=，，∴，由点到直线距离公式可得|OH|=．则，由|OH |=|OM |，得|OH |2=|OM |2，即16k 4﹣8k 2+1=0，解得：，k=．22．（12分）已知函数f （x ）=x 3+3ax 2+3x +1． （Ⅰ）求a=时，讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若x ∈[2，+∞）时，f （x ）≥0，求a 的取值范围． 【解答】解：（I ）当a=时，f （x ）=x 3+3x 2+3x +1，f′（x ）=3x 2+6x +3，令f′（x ）=0，可得x=﹣，或x=﹣，当x ∈（﹣∞，﹣）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（﹣，﹣）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；（II ）由f （2）≥0，可解得a ≥，当a ≥，x ∈（2，+∞）时，f′（x ）=3（x 2+2ax +1）≥3（）=3（x ﹣）（x ﹣2）＞0，所以函数f （x ）在（2，+∞）单调递增，于是当x ∈[2，+∞）时，f （x ）≥f （2）≥0，综上可得，a 的取值范围是[，+∞）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。