广西南宁三中2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题文普通班含解析

2019-2020学年广西省南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．108．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣211．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．1012．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为．15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.220．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x+1＞1}＝{x|x＞﹣1}，∁B A＝[3，+∞）．故选：A．2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（i﹣2）＝5，则z＝﹣＝﹣＝﹣2﹣i．则在复平面内，＝﹣2+i对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f′（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．解：f′（x）＝3x2﹣4x，令f′（x）＝3x2﹣4x＞0，解得x＜0或x＞，所以当x∈[﹣1，0），（，3]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，C错误，所以x＝0是它的极大值点，D正确，因为f（0）＝0，f（3）＝27﹣2×9＝9，所以函数f（x）的最大值为9，A正确，因为f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f（）＝﹣2×＝﹣，所以函数f（x）的最小值为﹣3，B正确，故选：C．5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）＝+x 在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域解：函数f（x）＝+x的定义域为[，+∞）∵y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数故f（x）＝+x在[，+∞）上为增函数∴当x＝时，函数取最小值，无最大值，故函数f（x）＝+x的值域是[，+∞）故选：A．6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果．解：①若p∧q为假命题，则命题p和q为一真一假和全部为假，故p，q均为假命题错误；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0；故错误．③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数；当函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数，则a＞1．故③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；正确．④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数则φ＝kπ+（k∈Z），故错误．故选：A．7．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．10【分析】令g（x）＝x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值．解：令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．8．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，构造函数h（x）＝f（x）﹣2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围．解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，假设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）＝+x﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则＝6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故选：B．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣2【分析】根据题意，分析可得f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数，据此可得f（100）＝﹣f（），结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝f（），则有f（﹣x）＝f（+x），又由f（x）为定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数；则f（100）＝f（﹣+67×）＝f（﹣）＝﹣f（），又由f（）＝f（+）＝f（﹣）＝f（）＝﹣1＝1；故f（100）＝﹣f（）＝﹣1；故选：B．11．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，结合图象容易解答本题．解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝0．【分析】进行对数的运算即可．解：原式＝3+2×0﹣3×1+3×0＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为（0，3]．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．解：定义域（0，+∞），＝，易得当0＜x≤3时，f′（x）≤0，函数单调递减，故函数的单调递减区间（0，3]，故答案为：（0，3]15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，由导数值等于0求得a 的值．解：由y＝ax2﹣lnx，得：，∴y′|x＝1＝2a﹣1．∵曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1＝0，即a＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是[﹣，+∞）．【分析】由已知可知x＝2是f′（x）＝0唯一的根，进而可转化为﹣k＝在x＞0时没有变号零点，构造函数g（x）＝，x＞0，结合导数及函数的性质可求．解：函数定义域（0，+∞），＝，由题意可得，x＝2是f′（x）＝0唯一的根，故e x+kx2＝0在（0，+∞）上没有变号零点，即﹣k＝在x＞0时没有变号零点，令g（x）＝，x＞0，则，当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝2时，g（x）取得最小值g（2）＝，故﹣k即k．故答案为：[﹣）．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．【分析】（1）在△ADC中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系．解：（1）∵∠B＝，，BD＝2，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝在△ADC中，由正弦定理得：又，∴∠C＝（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B，即∴，∵BD＝3CD．∴，当且仅当时，取“＝”．所以△AC面积的最大值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．【分析】（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，由三角形中位线定理可得DE∥BC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，证明B1H⊥平面ABC，得B1H 是三棱柱的高，且，再求出三角形ABC的面积，然后利用等体积法求三棱锥A﹣DCA1的体积．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，∵D是AB的中点，E是AC1的中点，∴DE∥BC1．又DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，∵BC＝BB1，∠CBB1＝60°，∴△CBB1是等边三角形，得B1H⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴B1H⊥平面ABC，∴B1H 是三棱柱的高，且．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴．则．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.2【分析】（1）分别求出＝3，＝16，从而＝10，＝254，＝47，求出＝≈0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出K2＝18.75＞10.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）依题意＝＝3，＝＝16，故＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，则＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：＝＝＝18.75＞10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）＝+3×＝．20．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．【分析】（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）＝的最大值即可得出a的范围；（II）令＝t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）＝e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，即4a＝有两解，由（1）可知0＜a＜．由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞lnx1﹣lnx2，只需证明＞ln，令h（x）＝﹣lnx（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝4代入f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）＞9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，可得f（x）min≥5﹣a，再解关于a的不等式可得a的范围．解：（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣4|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＜﹣1或，∴不等式的解集为；（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣a）|＝|a﹣1|，∴f（x）min＝|a﹣1|．∵对任意x∈一、选择题，恒有f（x）≥5﹣a，∴f（x）min≥5﹣a，即|a﹣1|≥5﹣a，∴a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．。

南宁三中2019~2020学年度下学期高二期考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设i 为虚数单位，复数z 满足()25z i -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算进行化简，然后在利用共轭复数的定义和复数的几何意义求解即可. 【详解】因为()25z i -=，所以()()()5252222i z i i i i +===----+， 由共轭复数的定义知，2z i =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的定义和复数的几何意义；考查运算求解能力；属于基础题.2. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A 【解析】【详解】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲． 考点：推理与证明． 3. 用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ）A.121k + B.112224k k -++C. 122k -+ D.112122k k -++ 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求．【详解】当n k =时，等式的左边为111111234212k k -+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++，故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．4. 已知函数()322f x x x =-，[]13,x ∈-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A. 最大值为9B. 最小值为3-C. 函数()f x 在区间[]1,3上单调递增D. 0x =是它的极大值点【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间[]1,3-上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选项的正误. 【详解】()322f x x x =-，则()()23434f x x x x x '=-=-.令()0f x '>，可得0x <或43x >；令()0f x '<，可得403x <<.当[]13,x ∈-时，函数()y f x =在区间[)1,0-,4,33⎛⎤⎥⎝⎦上均为增函数，在区间40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，C 选项错误；所以0x =是函数()y f x =的极大值点，D 选项正确；因为()00f =，()327299f =-⨯=，()11213f -=--⨯=-，46416322327927f ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值为9， 最小值为3-，A 、B 选项正确. 故选：C.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5. 抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A.112B.16C.15D.56【答案】C 【解析】 【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤=（ ） A. 38B.1314C.45D.78【答案】D 【解析】 【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为4182=．从中取3次，X 为取得次品的次数，则13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ()3102323331(2)(2)(1)0111722228P X P X P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫≤==+=+==⎛⎫+= ⎪⎝⎭⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选择D 答案．【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．7. 2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F ，6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为（ ） A. 36种 B. 48种 C. 56种D. 72种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间5人分2种情况讨论：若BC 相邻且与D 相邻，若BC 相邻且不与D 相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻分2步进行分析：①领导和队长站在两端，有222A =种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC 相邻且与D 相邻，有232312A A =种安排方法，若BC 相邻且不与D 相邻，有22222324A A A =种安排方法，则中间5人有12+24=36种安排方法， 则有23672⨯=种不同的安排方法； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了带有限制的排列问题，解题关键是掌握分步计数原理和特殊元素优先排列，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（ ） A. 0.18 B. 0.21C. 0.39D. 0.42【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以3:1获胜的概率是：()()()10.60.610.50.50.610.60.50.510.60.60.50.50.21P =⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=． 甲队以3:0获胜概率是： 20.60.60.50.18P =⨯⨯=则甲队不超过4场即获胜的概率120.210.180.39P P P =+=+=故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．9. 电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）A.1027B.448729C.100243D.4081【答案】B 【解析】 【分析】先求,A C 连通的概率，再求,B D 连通的概率，然后求,A B 连通的概率. 【详解】先考虑,A C 没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为111339P =⨯=. 所以,A C 连通的概率18=199P -=. ,E F 连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为224339P =⨯=, 所以,E F 没有连通的概率为：45=199P -=. 则,B D 之间没有连通的概率5525=9981P =⨯所以,B D 连通的概率255618181P =-=， 所以,A B 连通的概率. 568448=819729P =⨯ 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题. 10. 已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,1B. ()1,+∞C. ()0,1D. [)1,+∞ 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数， 所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立，分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -最大值为1，故1a ≥.考点：函数导数与不等式，恒成立问题． 11. 已知随机变量()21,XN σ，且()()0P X P X a ≤=≥，则()53221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A. 680 B. 640C. 180D. 40【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可以根据正态分布的相关性质以及()()0P X P X a ≤=≥得出2a =，然后根据二项分布的展开式找出()53221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭展开式中包含4x 的项，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为随机变量()21,XN σ，()()0P X P X a ≤=≥，所以2a =，代入可得()532212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 故()532212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中包含4x 项为：()()()23323220323444535322240640680Cx C C x C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，系数为680， 故选：A.【点睛】本题考查正态分布以及二项分布的相关性质，主要考查根据二项分布的展开式的相关性质求特殊项的系数，考查计算能力，是中档题. 12. 在R 上可导的函数3211()232f x x ax bx c =+++，当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈ 时取得极小值，则21b a --的取值范围是 （ ） A. 11(,)22- B. 11(,)24-C. (1,14)D. 1(,1)2【答案】C 【解析】试题分析：()()()()()20002{10{21,202f b f x x ax b f a b a b f a b >>=++∴<∴+<-'''∴>>-'+在由()()()2,0,1,0,3,1---所构成的三角形的内部，21b a --可看作点(),a b 与点1,2的连线的斜率，结合图形可知21,114b a -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭考点：函数极值及线性规划点评：函数在极值点处的导数为零且在极值点两侧导数一正一负，线性规划问题取得最值的位置一般是可行域的顶点处或边界处，本题有一定的综合性二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选的不同选法的种数为______. 【答案】64 【解析】 【分析】从10人中任选3人担任村长310C ，去掉没有甲、乙2人的情况38C ，即可得出结果. 【详解】从10人中任选3人担任村长310C ，去掉没有甲、乙2人的情况38C331081205664C C -=-=故答案为：64【点睛】本题考查了组合问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.14. 定积分1024x dx π⎫-⎪⎭⎰的值______. 【答案】1 【解析】 【分析】⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4π，再利用微积分基本定理求出1024x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值即可.【详解】1024x dx π⎫-⎪⎭⎰ 1024x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰，因为⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4π，121002|1444x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，所以100211444x πππ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰，故答案为：1【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，考查了定积分的几何意义，属于基础题.15. 已知45015(2)(1)(1)(1)x x a a x a x +-=+++++，则135a a a ++=____________．【答案】1 【解析】 【分析】令0x =以及令2x =-，即可求得结果. 【详解】由()()()()450152111x x a a x a x +-=+++++，令x =0可得：2=a 0+a 1++a 5；令x =−2可得：0=a 0−a 1+a 2+−a 5.相减可得：2(a 1+a 3+a 5)=2， 则a 1+a 3+a 5=1. 故答案为：1.【点睛】本题考查通过赋值法求系数和，属基础题. 16. 已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为______. 【答案】ln21-- 【解析】 【分析】将问题转化为()()ln 234x aa x h x x x ee --=-+-++有零点，利用()()ln 23d x x x =-+-的最值，和44x a a x e e --+≥的最值根据等号成立的条件求解参数的取值. 【详解】构造函数：()()()()34ln 23x aa x h x f x g x x e e x --=--=++-+-，存在实数0x 使()()003f x g x -=成立， 即()()ln 234x aa x h x x x ee --=-+-++有解，考虑函数()()()()11ln 23,1,2,22x d x x x d x x x x +'=-+-=-=∈-+∞++， ()()0,2,1d x x '<∈--，()()0,1,d x x '>∈-+∞所以()()ln 23d x x x =-+-在()2,1x ∈--递减，在()1,x ∈-+∞递增， 所以()()min 14d x d =-=-，44x a a x e e --+≥，当且仅当42x a a x e e --==时，取得等号，所以()ln 2340x aa x x x ee ---+-++≥要使()()ln 234x aa x h x x x e e --=-+-++有零点，必须零点1-，且1142a a e e --+==，即ln 21a =--. 故答案为：ln21--.【点睛】此题考查根据方程有根转化为函数有零点求解参数的取值范围，关键在于准确构造函数，利用函数单调性和基本不等式求解最值.三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17-21题每题12分，选做题10分，共70分）17. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和均值． （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】(1)见解析；（2）11()()48P A P B +=. 【解析】试题分析：X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, X 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量X 的分布列并计算数学期望，Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和. 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()1111113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.18. 如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14- 【解析】 【分析】（1）证明BC AQ ⊥及PB AQ ⊥，即可证明：AQ ⊥平面PBC ，问题得证．（2）建立空间直角坐标系，由（1）得(3AQ =-为平面PBC 的法向量，求得平面PCD 的法向量为()0,3,1n =，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D，()2,2,0C -，(0,0,23P ，()2,0,0B -，所以(0,2,23DP =-，()2,0,0CD =， 由（1）知，AQ 为平面PBC 的法向量， 因为Q 为PB 的中点， 所以()1,0,3Q -， 所以(3AQ =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n CD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =. 所以2cos ,33AQ nAQ n AQ n⋅==+ 14=. 因为二面角B PC D --为钝角， 所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．19. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：1()()ni xx y y r --=∑22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：25.2≈【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）分别求出3x =，16y =，从而521()10ii x x =-=∑，521()254ii y y =-=∑，51()()47i i i x x y y =--=∑，求出()()0.933niix x y y r --==≈∑，从而得到管理时间y 与土地使用面积x 线性相关．（2）完善列联表，求出218.7510.828K =>，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】解：依题意：123458101325243,1655x y ++++++++==== 故51()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑552211()411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑则5521()()0.933)(x x y y r x y--===≈-∑∑，故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关． （2）依题意，完善表格如下：计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16， 故35125(0)(),6216P X===1235125(1)(),6672P X C ==⨯⨯=233332515(2)(11(3)62),721666P P X X C C⎛⎫=== ⎪⎭⨯⎝==⨯= 故x 的分布列为则数学期望为12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （或由1(3,)6X B ~，得11()362E X =⨯=【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线l ：(0,0)y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆221x y +=相切.试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）【解析】 【分析】（1）由题可知，求得直线FM 的方程0bx cy bc +-=，再由点到直线的距离公式，联立求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）由直线与圆相切，求得221m k =+，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得,,AB AF BF ，即计算求得三角形的周长．【详解】（1）由题可知，(),0F c ，()0,M b ，则2b c -=-，直线FM 的方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +-==，解得1b =，c =又2223a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线():0,0l y kx m k m =+与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222316310k x kmx m +++-=，所以()()22223612311k m k m ∆=-+-= ()2221231240k m k -+=>，122631km x x k -+=+，()21223131m x x k -=+，所以12AB x =-=又221m k =+，所以AB =. 因为AF ==1=，同理2BF x =.所以)123AF BF x x +=+，所以ABF ∆的周长是()122331x x k +-=+则ABF ∆的周长为定值【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】（Ⅰ）e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（I ）先求得函数的导数，根据函数在()0,∞+上的单调性列不等式，分离常数a 后利用构造函数法求得a 的取值范围.（II ）将极值点12,x x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用构造函数法证得上述不等式成立.【详解】（I ）()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减， ∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x --'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数； 当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ， 则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，由（I ），知e04a <<． 由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数．∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立．综上，得1212x x a+>． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C . （1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：cos 4ρθ=； （2）2.【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线1C 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线2C 的极坐标方程； （2）由2OM =,求得OBM OAM ABM S S S ∆∆∆=-，求得ABM ∆面积的表达式，即可求解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)， 消去参数，可得普通方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设点B 的极坐标为(,)ρθ，点A 点的极坐标为00(,)ρθ， 则0000,,2cos ,OB OA ρρρθθθ====，因为||||8OA OB ⋅=，所以08ρρ⋅=，即82cos θρ=，即cos 4ρθ=， 所以曲线2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（2）由题意，可得2OM =, 则2211||||242cos 42cos 22ABM B OBM O M A A S S S OM x x θθ∆∆∆=⋅-=⋅⋅=-=--， 即242cos ABM S θ∆=-， 当2cos 1θ=，可得ABM S ∆的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23. 设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ．（1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞ 【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法，当4a =，分11,2,222x x x ≤<<≥三种情况讨论，求解不等式即可得解； （2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得21221(2)1x x a x x a a -+-≥---=-， 再转化为15a a -≥-恒成立，再分10a -≥和10a -<讨论即可得解. 【详解】解：（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 则()9f x >等价于12459x x ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩或12239x ⎧<<⎪⎨⎪>⎩或2459x x ≥⎧⎨->⎩， 解得1x <-或72x >， 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）由绝对值不等式的性质有：()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立，有15a a -≥-恒成立，当5a ≥时不等式显然恒成立，当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<，综上，a 的取值范围是[3,)+∞．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。

2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，由平面几何的性质可得2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=，代入离心率21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得出结果.【详解】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，所以OH 为线段1F G 的中垂线，故122OF OG OF F G ===，所以2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=， 所以离心率2211tan 23b e a π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质以及渐近线和离心率，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 2．从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】【分析】从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果. 【详解】由排列数的定义可知，从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为236A =.故选：D. 【点睛】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.3．某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A ，则不同的安排有（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B 【解析】 【分析】按照村小A 安排一个人和安排两个人两种情况分类讨论，按先分组后排序的方法，计算出不同的安排总数. 【详解】村小A 安排一人，则有2232C A ；村小A 若安排2人，则有1232C A .故共有1212323212C A C A +=.选B.【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查简单的排列组合计算问题，属于基础题. 4．如图，向量OZ uuu r对应的复数为Z ，则复数2z的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得z ，代入2z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由图可知，1z i =-，∴222(1)11(1)(1)i i z i i i +===+--+， ∴复数2z的共轭复数是1i -． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 5．求函数2y x =- ）A ．[0，+∞）B ．[178，+∞） C ．[54，+∞） D ．[158，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y ＝2x【详解】=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1， ∴y ＝2t 2﹣t+2＝2（t 14-）2151588+≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用． 6．已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ，且()()12125E X ,D X ==，那么n 与p 的值分别为 A ．4165, B ．2205,C ．4155,D ．3125,【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值． 【详解】∵X ～B （n ，p ）且()()12125E X D X ==，， ∴()121215np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得n ＝15，p 45=故选C ． 【点睛】本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题． 7．若，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。

2019-2020学年南宁市名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．2．如图所示，程序框图输出的某一实数y 中，若32y =，则菱形框中应填入( )A ．11i ≤B ．11i ≥C ．13i ≥D ．13i ≤3．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现4． “0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A 5B ．2C 10D ．16．已知二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，则22H a b =+的取值范围为（ ） A ．(0,2]B ．2]C ．(0,1]D ．(3⎤⎦7． “3a =”是“圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件8．已知函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a的取值范围为（ ）A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 9．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．410．已知21zi i=++，则复数z =（ ）AB ．2C ．13i -D ．13i +11．已知单位向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角为60o ，若2OC OA OB u u u r u u u r u u u r=+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形12．给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程0.212ˆy x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是()A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知曲线1xe y x a=+在1x =处的切线l 与直线230x y +=垂直，则实数a 的值为______.14．已知复数z ＝(m ＋1)＋(m ﹣2)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数m 的值为_______． 15．已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ，()60.78P X <=，则()2P X ≤=__________．16．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()f x 2x a x 1,a R =-+-∈．（1）若不等式()f x 4x 1≤--无解,求实数a 的取值范围； （2）当a 2<时，函数()f x 的最小值为2,求实数a 的值．18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），它与曲线C ：（y －2）2－x 2＝1交于A 、B 两点． （1）求|AB|的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为32,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离．20．（6分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），已知直线l 的方程为40x y -+=.（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.21．（6分）已知数列{}n a 满足12a =，()12n n a a n N *+=∈，设()23log 2n n b a n N *=-∈，数列{}n c 满足n n n c a b =.（1）求证：数列{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S .22．（8分）若展开式66nx x 中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）此展开式中是否有常数项，为什么？参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算． 2．B 【解析】分析：由已知中的程序语句可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出实数对(,)x y ，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案． 详解：由题意，当1,1i y ==时， 第1次循环，不满足条件，3,2i y ==； 第2次循环，不满足条件，5,4i y ==； 第3次循环，不满足条件，7,8i y ==； 第4次循环，不满足条件，9,16i y ==；第5次循环，不满足条件，11,32i y ==，此时输出结果32y =， 所以判断框填写的条件应为11i ≥，故选B ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的判断条件的添加问题，其中极大中应模拟程序框图的运行过程，把握程序框图的运算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3．C 【解析】 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,L ， 由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)． 4．C 【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可. 详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则：2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．C 【解析】 【分析】 整理得到21iz i-=+，根据模长的运算可求得结果. 【详解】由2z zi i +=-得：21iz i -=+21i z i -∴===+ 本题正确选项：C 【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题. 6．A【解析】 【分析】先求出二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出22H a b =+的取值范围. 【详解】因为二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所以有：2(1)010(1)010*********f a b f a b a aa b ≥+-⎧⎧⎪⎪-≥--⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-<-<-<-<⎪⎪⎪⎪∆>+>⎪⎪⎩⎩……，对应的平面区域为下图所示：则令2211120102222m a b b a m m m =+∴=-+∴<≤∴<≤，则22H a b =+的取值范围为(0,2]，故本题选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键. 7．B 【解析】 【分析】由圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆心(,)C a a 的距离是3 2. 求出a 的值，然后判断两个命题之间的关系。

2019-2020学年南宁市名校数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知x ，0y >，21x y +=，若21x y+>234m m ++恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1m ≥-或4m ≤- B ．4m ≥或1m ≤- C ．41m -<<D ．14-<<m2．已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．等腰三角形3．2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：经计算2K 的观测值8.249k ≈. 附表：参照附表，所得结论正确的是（ ）A ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” 4．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，且函数()321233g x x x =+-在区间(),5c c +上存在最大值，则a b c -+的最大值为（ ） A ．-6B ．-9C ．-11D ．-45．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．1206．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（ ） A ．70B ．140C ．420D ．8407．已知空间向量(3,a =r 1，0)，(),3,1b x =-r ，且a b ⊥r r ，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．28．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e -∞ B ．39[,)e +∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦9．某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有（ ） A ．24种B ．30种C ．36种D ．72种10．设随机变量X 服从正态分布()2N 3, σ，若P(X 4)0.7<=，则P(x 2)<=A ．0.3B ．0.6C ．0.7D ．0.8511．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 A ．B ．C ．D ．12．已知()3f x x x =+是定义在R 上的函数，且对于任意()0x π∈，，不等式()()sin 1cos 0f x x f x a -+-≤恒成立，则整数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知2i 1-是方程220x px q ++=(,)p q ∈R 的一个根，则p q +=________14．ABC ∆中，1,2AB AB AC =⋅=u u u r u u u r，则tan ACB ∠的最大值为____________.15．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以3:1获胜的概率P =______ 16．函数y x =与函数12y x =在第一象限的图象所围成封闭图形的面积是_____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据： 年份x2014 2015 2016 20172018 足球特色学校y （百个）0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱.（已知：0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较）：（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.参考公式和数据：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，()2110,ni i x x =-=∑()211.3,ni i y y =-=∑13 3.6056≈，()()()121ˆ,niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 18．已知椭圆()222:220C x y b b +=>.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且211AB =，求AOB ∆的面积. 19．（6分）设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（6分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA ⊥BD ；（2）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．21．（6分）用数学归纳法证明：()()()2222*24(2)221335212121n n n n N n n n +++⋯+=∈⋅⋅-++． 22．（8分）为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数； （2）已知跑步千米数在[20,30)的人数是跑步千米数在[60,70)的110，跑步千米数在[40,50)的人数是跑步千米数在[50,60)的12，现在从跑步千米数在[20,40)的跑友中抽取3名代表发言，用ξ表示所选的3人中跑步千米数在[20,30)的人数，求ξ的分布列及数学期望.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：用“1”的替换先解21x y+的最小值，再解m 的取值范围。

广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（三)文(含解析）一、选择题(本题共12小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。

已知集合{}{}|32,,|24A x x n n Z B x x ==+∈=-<<，则A B =（)A 。

∅B 。

{}1,2- C. {}1- D 。

{}2【答案】B 【解析】 【分析】先计算集合A ,再计算A B 得到答案。

【详解】{}{}|32,=...,4,1,2,5,...A x x n n Z ==+∈--，{}|24B x x =-<< 故{}1,2AB =-。

故选B【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题型. 2.i 为虚数单位，复数11z i =-在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限 C 。

第三象限 D 。

第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到1122z i =+，得到对应象限. 【详解】由11z i=-，则111(1)(1)22+==+-+i z i i i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，即复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A 。

【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数对应象限，属于简单题。

3。

函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A 。

[]0,3B 。

[]1,3C 。

[]1,0-D. []1,3-【答案】D 【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案。

解析：()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤,∴当1x =时，min1y=-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max3y=,∴13y -≤≤.故选：D 。

点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论4.函数43y x =的图像大致是( ）A 。

2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（文）试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意得：，所以，故，故选C.2．若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2B 3C ．32D ．1【答案】D【解析】由222231323x y c a b e a a 可知虚轴，而离心率+-=====，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.3．若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩，则3z x y =-的最大值是A ．2-B ．1-C ．5D ．3【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()3,4处取得最大值为5.4．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A．1 B．13C．12D．14【答案】B【解析】首先由三视图得到几何体为四棱锥，根据图中数据明确底面和高，即可求得该几何体的体积．【详解】由已知三视图得到几何体是四棱锥，底面是两边分别为12的平行四边形，高为1，如图所示：∴该几何体的体积为111211323V =⨯⨯⨯⨯= 故选B. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．“x a >”是“x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 6．已知22log 3a =，4logb π=，30.6c -=a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】采用“0,1”分段法，找到小于0、在0~1之间和大于1的数，由此判断出三者的大小关系. 【详解】因为010.6c >=，401log 4b <<=，0a <，所以c b a >>.故选B. 【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.7．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.8．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x ∈[a ，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f(x)=x 2-3x+4与g(x)=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）． A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[]1,0-C ．(],2-∞-D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】∵2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”∴函数2()()()54y h x f x g x x x m ==-=-+-在[0,3]上有两个不同零点∴(0)40(3)20525()4024h m h m h m ⎧⎪=-≥⎪=--≥⎨⎪⎪=-+-<⎩，解得924m -<≤-.故选A.9．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +⋅=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201820182a =B ．10092018323S =⋅- C ．数列21{}n a -是等差数列 D ．数列{}n a 是等比数列【答案】B【解析】分析：由11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈可知数列{}n a 隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈， 当n 2≥时，112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项135a a a L ，，，，成等比， 偶数项246a a a L ，，，，成等比， 对于A 来说，20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=，错误；对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a L L =+++++++()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---，正确；对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列 ，错误； 对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误， 故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.10．已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8【答案】D【解析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解. 【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号. 11．设棱锥M ABCD -的底面是正方形，且,MA MD MA AB =⊥,AMD △的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A．2 B1C．12-D．1-【答案】B【解析】设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设AD EF a ==，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】解：AB AD ⊥Q ，AB MA ⊥，AB ∴⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面ABCD ． 记E 是AD 的中点，从而ME AD ⊥．ME ∴⊥平面ABCD ，ME EF ⊥．设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球． 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是MEF V 的内心． 设球O 的半径为r ，则2MEFS r EF EM MF=++V设AD EF a ==，1AMD S =V Q所以2ME a ∴=，222MF a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以222122222r a a a a =≤=-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.当且仅当2a a=，即2a =时，等号成立. ∴当2AD ME ==时，满足条件的最大半径为21-.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．12．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则yx的最大值为__________3【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【详解】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，设ykx=，即kx ﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y 2＝1，yx的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：2211kk=+，解得k3=±，所求yx的最大值为：3．故答案为3．【点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式yx的几何意义，考查计算能力．14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__★__【答案】【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得k的不等式组，解不等式组即可得k的取值范围。

春季学期期考试题高二数学(文科)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 复数(1)z i i =+(i 为虚数单位)的共轭复数是( ).A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 2. 命题“对任意R x ∈，都有02≥x ”的否定为( ).A ．对任意R x ∈，使得02<xB ．不存在R x ∈，使得02<xC ．存在R x ∈0， 都有020≥xD ．存在R x ∈0， 都有020<x3．“(21)0x x -=”是“0x =”的( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设z 是复数， 则下列命题中的假命题是( ).A ．若20z ≥， 则z 是实数B ．若20z <， 则z 是虚数C ．若z 是虚数， 则20z ≥D ．若z 是纯虚数， 则20z < 5. 椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( ).A ．2B ．3C ．5D ．76. 若2)(x x f =，则)(x f 在x ＝1处的导数为( ).A ．2xB ．2C ．3D ．47． 已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于( ).A．14 B．4 C ．32 D ．438. 曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为( ).A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°9. 设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ).A ．6B ．7C ．8D ．1210．若双曲线22221x y a b -=则其渐近线方程为( ). A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．12y x=± D．2y x=± 11．已知函数y ＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ).A ．(2，3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝( )．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 14．曲线2x y =在点)1,1(处的切线方程为_______. 15. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1422=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．16. 已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为__________.三、解答题：(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算: (1) 2)21()1)(1(i i i ++-+；(2) (3－2i )2－3(1－i )2＋i；18. (本小题满分12分)设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线右支上，且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积为S .19．(本小题满分12分)已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2＋by 2＝34相交于两个不同点，求实数b 的取值范围．20.(本小题满分12分)设x ＝－2，x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1) 求常数a ，b ；(2) 判断x ＝－2，x ＝4是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．21. (本小题满分12分)已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2 (元)．(1) 要使平均成本．．．．最低应生产多少件产品？ (2) 若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？22. (本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．春季学期期考试题高二数学(文科)----答案一、1~6 AABCDB 7~12 CBABBC13． 5 14． 12-=x y 15. 8 16. 217．解： (1) (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1－(－1)＋1＋4i ＋(－4)＝－1＋4i. ………………………………5分(2) (3－2i )2－3(1－i )2＋i ＝9－12i ＋4i 2－3＋3i 2＋i＝9－12i －4－3＋3i 2＋i ＝2－9i 2＋i ＝(2－9i )(2－i )(2＋i )(2－i ) ＝4－2i －18i ＋9i 25＝4－2i －18i －95＝－5－20i 5＝－1－4i.………………………………10分 18.解： 由题设知⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝4， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. ②………………4分 ②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2. …………………8分 ∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. ……………………12分 19．解： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋by 2＝34，得(4b ＋4)y 2－8y ＋1＝0. …………………4分因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以⎩⎨⎧4b ＋4≠0Δ＝64－4(4b ＋4)＞0，……………………8分 解得b ＜3，且b ≠－1.又方程x 2＋by 2＝34表示椭圆，所以b ＞0，且b ≠1.综上，实数b 的取值范围是{b |0＜b ＜3且b ≠1}．……………………12分20.解： (1) f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由极值点的必要条件可知，x ＝－2，x ＝4是方程f ′(x )＝0的两根． ∴a ＝－3，b ＝－24. ……………………6分 (2) f ′(x )＝3x 2－6x －24＝3(x ＋2)(x －4)当x <－2时，f ′(x )>0， 当－2<x <4时，f ′(x )<0， 当x >4时，f ′(x )>0，∴x ＝－2是f (x )的极大值点，x ＝4是f (x )的极小值点．………………12分21.解： (1)设平均成本为y ，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋x 40＋200， y ′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x ＝1 000. 当x <1 000时，y ′<0； 当x >1 000时，y ′>0.∴当x ＝1 000时，y 取得极小值，也是最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．………………6分(2)设利润为L (x )，则L (x )＝500x －⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240，L ′(x )＝300－x20. 令L ′(x )＝0，得x ＝6 000.当x <6 000时，L ′(x )>0；当x >6 000时，L ′(x )<0， ∴当x ＝6 000时，L (x )取得极大值，也是最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品． ……………………12分22.解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，则a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. ……………………5分(2) 设点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2 B ＝4x 2 A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . ……………………12分。