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广西南宁市第三中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西南宁市第三中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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南宁三中2017～2018学年度下学期高二月考（一）文科数学试题2018。
3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。
）1．已知集合{}{}221,30A x x B x x x =-<<=-<，那么A B =（ ） A. {}23x x -<< B. {}01x x <<C 。
{}20x x -<<D 。
{}13x x <<2．已知i 是虚数单位，则复数21i=+（ )A. 2i -B. 2iC. 1i -D. 1i +3．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图。
已知该市的各月 最低气温与最高气温具有较好的线性关系， 则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A 。
最低气温与最高气温为正相关B 。
10月的最高气温不低于5月的最高气温C 。
月温差（最高气温减最低气温）的 最大值出现在1月D. 最低气温低于0℃的月份有4个4．已知曲线()322f x x ax =-+在点()()1,1f 处切线的倾斜角为34π,则a 等于（ ）A 。
南宁三中2020~2021学年度下学期高二月考（三）文科数学试题一、选择题。
（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数i(2－i)＝( ) A ．－1－2i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ． 1－2i 2．已知a <b<0，下列不等式中成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab<1C ．a <4－bD ．11a b< 3．下图是函数性质的知识结构图，在处应填入( ) A ．图象变换 B ．零点 C ．奇偶性 D ．解析式 4．极坐标系中，点(2,)6π到极轴和极点的距离分别为( )A ．1,1B ．2,1C ．1,2D ．2,25．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数 D ．假设a 、b 、c 中至多有两个偶数 6．已知两个随机变量,x y 呈非线性相关关系，为了进行线性回归分析，设22ln ,(23)u y v x ==-，利用最小二乘法，得到线性回归方程为123u v =-+，则（ ） A ．变量y 的估计值的最大值为eB ．变量y 的估计值的最小值为eC ．变量y 的估计值的最大值为2eD ．变量y 的估计值的最小值为2e7．执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A ．67B ．37C ．89D ．498．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．－35B ．－45C ．35D ．459．在△ABC 中，若b ＝22，c ＝1，tan B ＝22，则a 的值为A ．4B ． 73C ．2D ．310．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π611．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．4812．已知函数f (x )的定义域为[－3，＋∞)，且f (6)＝2．()f x '为f (x )的导函数，()f x '的图象如图所示．若正数a ，b 满足f (2a ＋3b )<2，则b ＋3a －2的取值范围是( )A ．()3,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．9,32⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()9,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷相应位置上） 13．若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为________． 14．已知x ＞0，则xx 2＋4的最大值为________．15．已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＋a 11＋a 14＋a 17＋a 20＝13，则该数列前21项的和S 21＝________． 16．对于函数2()2cos 2sin cos 1()f x x x x x R =+-∈给出下列命题：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在区间5,28ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ③直线8x π=是()f x 的图象的一条对称轴；④()f x 的图象可以由函数22y x =的图象向左平移4π而得到． 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
某某某某市第三中学2020-2021学年高二数学上学期期中段考试题文（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.己知命题p ：Vx>0, 3r >x 3.则「"为（） A.色 > 0, y <X 3 B. Vx<0, 3V <X 3C.丸 >0, 3v ° <D.3心<£【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，改量词、否结论，即可得出结果.【详解】命题P 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即 可得到，该命题 否定为“戈）>0, 3^ <x ； w. 故选：C.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题型.2.甲乙两队积极准备一场篮球比赛，根据以往的经验知卬队获胜的概率是寺,2率是;，则这次比赛乙队获胜的概率是（）6【答案】B 【解析】 【分析】因为''乙队获胜”与“甲队不输”是对立事件，对立爭件的概率之和为1,进而即可求出结果. 【详解】由题意，“乙队获胜”与“甲队不输”是对立爭件，1 1 2因为甲队不输的概率是^+4=4，2 6 3所以，这次比赛乙队获胜的概率是1-|=7- 3 3故选；B.两队打平的概 1 - 3 B.3. 过点P（-2,0）,斜率是3的直线的方程是（）A. y = 3x-2B. y = 3x+2 c. y = 3(x-2) D.y = 3(x+2)【答案】D【解析】分析】由点斜式町求得直线方程.【详解】P(—2,0), k=3,由点斜式为y=3(x + 2),选D.【点睛】考查学生对点斜的掌握，较简单.4. 己知命题"：Hv0 e R ,使smxo =字：命题9：V XE R ,都有x'+x+i>0，则下列结论正确的是()A.命题“ PM”是真命题：B.命题“ pgq) ”是假命题：C.命题“(「p)vq”是假命题：D.命题“”是假命题.【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的性质判断命题"为假命题，由工+卄1 = 4+丄］「+ °>0判断命题9为真命题, I 2)4从而得出答案.【详解】因为y = suiA-的值域为［-u］,所以命题p为假命題因,r + .v+l = L-+iy + |>0,所以命题q为真命题则命题"PW是假命题，命题“是假命题，命题“ H)vq”是真命题，命题“(F)v(「q)”是真命题故选：B5. 在空间中，设加，“为两条不同直线，a, 0为两个不同平面，则下列命题正确的是A.若m!la且a//0，则m!IpB.若Q 丄0, mua, 则 m ± nc.若加丄a 且a//0,则加丄0D.若〃［不垂直于a,且nua,则〃7必不垂直于〃【答案】c 【解析】【详解】解：由皿刀为两条不同直线，a, B 为两个不同平面，知： 在A 中，若也〃 a 且a 〃 B ,则m 〃 B 或加B ,故.4错误：在尸中，若a 丄B, 2z?c a , ncB,则m 与刀相交、平行或异面，故乃错误; 在C 中.若刃丄a 冃a 〃 B ・则由线面垂育的判定定理得加丄B ,故C 正确： 在。
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广西南宁市第三中学2017—2018学年高二数学上学期期末考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ) 1、不等式102x x -≤-的解集为 （ ） A 。
{1}x x ≤B 。
{12}x x ≤≤C 。
{12}x x <≤D.{12}x x ≤<2、命题p:3e > ，命题q ：方程210x x -+=无实根，则（ ）A 。
命题p q ∧为真B . 命题p q ∨为真 C. 命题p ⌝为假 D 。
命题q ⌝为真3、设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、抛物线24y x =上一点P 到其焦点距离为6,则点P 到y 轴距离为 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85、执行右图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A 。
8 B. 9 C 。
27 D. 366、从1、2、3、5四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为( ）A.13 B 。
14 C 。
15 D 。
广西2021-2021学年高二数学(shùxué)3月月考试题文〔无答案〕试卷说明：本套试卷学生自已保存，在考试完毕之后只交答题卡。
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目的要求〕1．假设复数满足〔为虚数单位〕，那么z的一共轭复数为〔〕A． B． C． D．2.实数系的构造图如下图，其中1、2、3三个方格中的内容分别为〔〕A.有理数、零、整数B.有理数、整数、零C.零、有理数、整数D.整数、有理数、零3．在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是A. B. C. D.4．下面几种推理是演绎推理的是〔〕A．由金、银、铜、铁可导电，猜测：金属都可以导电 B．猜测数列5,7,9,11，…的通项公式为C．由正三角形的性质得出正四面体的性质 D．半径为的圆的面积，那么单位圆的面积5．有以下数据：x 1 2 3y 3以下(yǐxià)四个函数中，模拟效果最好的为〔〕A．B． C．D．6. 曲线C的极坐标方程ρ=2 ,给定两点P(0，π/2)，Q〔-2，π〕，那么有( )A. P在曲线C上，Q不在曲线C上B. P、Q都不在曲线C上C. P不在曲线C上，Q在曲线C上D. P、Q都在曲线C上7．假设框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是〔〕A. B. C. D.8．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影局部表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出〔〕A．性别与喜欢理科无关 B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些 D．男生不喜欢理科的比为60%9．某商场为了理解毛衣的月销售量y〔件〕与月平均气温x〔℃〕之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x171382〔℃〕24334055月销售量y〔件〕由表中数据(shùjù)算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为〔〕件．A.46B.40 C10．某班主任对全班50名学生进展了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业不认为作业多总数多喜欢玩电脑游戏18 9 27不喜欢玩电脑游8 15 23戏总数26 24 50根据表中数据得到 5.059，因为p(K≥5.024)=0.025,那么认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为〔〕(A) 95% (B) 97.5% (C)90% (D)无充分根据11．参数方程为参数〕的普通方程为〔〕A. B. C. D.12．设是曲线〔为参数,〕上任意一点，那么的取值范围是〔〕A． B． C．D．二、填空题(每一小题5分，一共20分)13. 甲、乙、丙三名同学中只有(zhǐyǒu)一人考了满分是，当他们被问到谁考了满分是时，答复如下．甲说：丙没有考满分是；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分是的同学是．14．假设0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，那么a＋b，，a2＋b2，2ab中最大的是________．15．方程是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体〔160，53〕的残差是________．16 .直线l的参数方程是〔其中t为参数〕，圆c的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，那么切线长的最小值是．三、解答题〔17题10分，其余每一小题12分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤〕17．复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．〔1〕假设z是纯虚数，求m的值；〔2〕假设在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽颗数之间的关系进展分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差101113128发芽数〔颗〕2325302616该农科所确定(quèdìng)的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进展检验. 〔1〕求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；〔2〕假设选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；〔3〕假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2〔颗〕，那么认为得到的线性回归方程是可靠的，试问〔2〕中所得的线性回归方程是否可靠？〔注：〕19．为考察某种药物预防禽流感的效果，进展动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的一共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本.〔1〕根据所给样本数据完成2×2列联表〔在答题卡上〕〔2〕请问能有多大把握认为药物有效？参考公式:〔其中〕20.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线过点，斜率为，曲线：．〔Ⅰ〕写出直线l 的一个参数方程及曲线C 的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕假设直线l 与曲线C 交于两点，求的值．21.在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy 中，曲线，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取一样的单位长度建立极坐标系，直线．〔1〕将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；〔2〕在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的间隔 最大，并求出此最大值． 22．一种十字绣作品由一样的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为．〔1〕求出，，，的值；〔2〕利用归纳推理，归纳出与)(n f 的关系式；〔3〕猜测)(n f 的表达式，并写出推导过程．2021年春季期3月月考试题高二数学〔文科〕参考答案一、选择题：CBCDA DACAB CB二、填空题 13. 甲 14． a＋b 15．16.三、解答(jiědá)题17．〔1〕∵z为纯虚数，∴解得m＝0.〔2〕∵z所对应的点在第四象限，∴解得－3<m<0.18．解：〔1〕设抽到不相邻两组数据为事件，因为从第5组数据中选取2组数据一共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以应选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是，〔2〕由数据，求得，由公式得，，所以关于的线性回归方程这〔3〕当时，同样地，当时，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠 19． 〔1〕填表不得禽流感得禽流感 总计服药 40 20 60 不服药 20 20 40 总计6040100〔2〕假设检验问题(w ènt í)H ：服药与家禽得禽流感没有关系由P()＝0.10 所以大概90％认为药物有效 12分20.解：〔Ⅰ〕∵ 直线l 过点()0,1P ，斜率为3，∴直线l 的一个参数方程为 ；∵θθρρcos 82cos +=， ∴ ， 即得，∴， ∴曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．〔Ⅱ〕把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211代入x y 42=整理得：，设点对应的参数分别为，那么， ∴．21.解：〔1〕 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：，∵曲线2C 的直角坐标方程为：，∴曲线2C 的参数方程为：．〔2〕设点P 的坐标，那么点P 到直线l 的间隔 为：，∴当sin 〔600－θ〕=-1时，点P 〔〕，此时(cǐ shí)．22．解：〔1〕由题图可得，，，观察题图可得.〔2〕，， ， ，…… 归纳：. 〔3〕由〔2〕知()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯， ()()431243f f -==⨯， ()()541644f f -==⨯， ……，以上各式相加得，又，所以.考点：数列(shùliè)递推式；归纳推理.内容总结（1）广西2021-2021学年高二数学3月月考试题文〔无答案〕试卷说明：本套试卷学生自已保存，在考试完毕之后只交答题卡（2）广西2021-2021学年高二数学3月月考试题文〔无答案〕试卷说明：本套试卷学生自已保存，在考试完毕之后只交答题卡。
广西南宁市第三中学2020-2021学年高二数学10月月考试题 理一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面 B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c3．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7B ．172C ．14D ．174．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝15．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．2506．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．87．已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为( ) A ．24B ．12C ．22D ． 28．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169B ．677C ．36D ．3679．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，AF ，EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为P ，P 点在△AEF 内的射影为O ，则下列说法正确的是( ) A ．O 是△AEF 的垂心B ．O 是△AEF 的内心C ．O 是△AEF 的外心D ．O 是△AEF 的重心10．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－3411．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为33，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为( )A ．2πB ．823πC ．2πD ．23π12．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．1B ．3C ．19D ．49二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm．14．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．15．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C (2，1)，过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）(1)求经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求圆C 的面积．18．（12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H ．(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．19．（12分）已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．20．（12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在， 试求出二面角F －PC －D 的余弦值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．22．（12分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．高二月考（二）理科数学试题参考答案1．B 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．2．C 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确．3．B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172．4．A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．5．A 由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100．6．B 初始值S ＝4，n ＝1．循环第一次：S ＝8，n ＝2；循环第二次：S ＝2，n ＝3；循环第三次：S ＝4，n ＝4，满足n>3，输出S ＝4． 7．C 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图：因为OE ＝（2）2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22．8．D 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4．所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367．9．A 由题意可知PA ，PE ，PF 两两垂直，所以PA⊥平面PEF ，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF ，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P ， 所以EF ⊥平面PAO ，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， ∴O 为△AEF 的垂心．10．D 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0．由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34 11．D 取AB 的中点为M ，连接CM ，取DE 的中点为N ，连接MN ，CN ，可知∠CMN 即为二面角C －AB －D 的平面角，利用余弦定理可求CN ＝32＝CM ，所以该几何体为正四棱锥，半径R ＝22，V ＝43πR 3＝2π3．12．A x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1．依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋（2b ）2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2，即a ＝±2b 时取等号．13． 24 底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24．14．36 取DE 的中点H ，连接HF ，GH ．由题设，HF ∥AD ．∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos∠HFG ＝2＋6－62×2×6＝36．15．(x －2)2＋(y －1)2＝5 由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)， Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．16．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离为d ＝|1－2k |k 2＋1，且|PQ |＝29－d 2，则S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值 92．因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时，由4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－7或k ＝－1，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0．17．(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和 (4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0．若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1，∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0．综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0．(2)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2． 又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π． 18．(1)解 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，又BD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23．(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH ．同理，EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，BC ⊂平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．19． (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0．即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ．∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12．∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3．(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2， 当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2．又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．即a ＋c 的取值范围是(3，2]．20．(1)证明 取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N ．∵CN ⊥AB ， DA ⊥AB ，∴CN ∥DA ，又AB ∥CD ，∴四边形CDAN 为平行四边形，∴CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6，在Rt△BNC 中，BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6，∴AB ＝12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点，∴EM ∥AB 且EM ＝6，又DC ∥AB ，∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE ∥CM ．∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面BPC ．(2)解 由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点， DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (8，0，0)，B (8，12，0)，C (0，6，0)，P (0，0，8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 坐标为(8，t ，0)，则CF →＝(8，t －6，0)，DB →＝(8，12，0)，由CF →·DB →＝0得t ＝23．又平面DPC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)，设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．又PC →＝(0，6，－8)，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，163，0．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ， 不妨令y ＝12，有n ＝(8，12，9)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝81×82＋122＋92＝817．又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角F －PC －D 的余弦值为817．21．(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1． (2)∵b n a n ＝3n －1，∴b n ＝a n ·3n －1＝(2n ＋1)·3n －1，∴T n ＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n ＋1)×3n －1，3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n ， 两式相减得，－2T n ＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)×3n＝3＋2×3（1－3n －1）1－3－(2n ＋1)×3n ＝－2n ×3n ， ∴T n ＝n 3n ．22．(1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4．(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1． 若x 轴平分∠ANB ，则k AN＝－k BN⇒y1x1－t＋y2x2－t＝0⇒k（x1－1）x1－t＋k（x2－1）x2－t＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2（k2－4）k2＋1－2k2（t＋1）k2＋1＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。
广西南宁市第三中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西南宁市第三中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）理科数学试题2018.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。
）1．下列不等式中错误的是( ） A ．若a b >，则b a < B ．若,a b b c >>，则a c >C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >,则ac bc >2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若132,12a S ==，则6a =（ ）A ．8B ．10C ．14D ．123．命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ） A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠- B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-4．若12z i =+，则41iz z =⋅-（ )A ．1B ．1-C ．iD ．i -5．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A ．B ．C ．2D ．46．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话： 甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了。
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二10月月考（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格；②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈. 较为合理的抽样方法是（ ）A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样， ③简单随机抽样2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为( )A ．3，13，23，33，43，53B ．2，14，26，38，42，56C ．5，8，31，36，48，54D ．5，10，15，20，25，303．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面 B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c5．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B ．172 C ．14 D ．176．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A．100B ．150C ．200D ．2507．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝18．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．89．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为( )A ．1169B ．677C ．36D ．36710．过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦，则最短弦的长为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．411．已知点A ,B ,C ,D 均在球O 上，33AB BC AC ===，，若三棱锥D -ABC 体积的最大值为33，则球O 的体积为( ) A ．32π B ．16π C ．π316 D ．π332 12．曲线y ＝1＋24x -与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(512，34』 B ．(13，34』 C ．(0，512) D ．(512，＋∞) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间『80，130』上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm ．14．总体由编号为01，02，03，...，49，50的50个个体组成，利用随机数表（如上图，选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为________15．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________． 16．已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C (2，1)，过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ的面积最大时，直线l 的方程为________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）(1)求经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求圆C 的面积．18．（12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H ．(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围．20．（12分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于,A B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD==．(1)求证：EA EC⊥；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，1EF=，求E到平面ADF的距离.21．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设24(1)(1)nn nba a+=--，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．——★ 参*考*答*案 ★——1．B ①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.2．A 根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为10的等差数列，B 选项编号公差为12；C 选项编号不成等差；D 选项编号公差为5；A 选项编号满足公差为10的等差数列，正确 3．B 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．4．C 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确．5．B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172．6．A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．7．A 由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100． 8．B 初始值S ＝4，n ＝1．循环第一次：S ＝8，n ＝2；循环第二次：S ＝2，n ＝3；循环第三次：S ＝4，n ＝4，满足n>3，输出S ＝4．9．D 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4．所以s 2＝17『(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2』＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367．10．C 设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r=2，当弦过点A 且与CA 垂直时为最短弦，22||(23)(21)2CA =-+-22||2r CA =-=2211．D 如图，设M 是ΔABC 的外心，则三棱锥D −ABC 体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心O 在DM 上．∵BA =BC =√3,AC =3，∴cos∠BCA =32√3=√32，即∠BCA =30°=∠BAC ，∴BM =12×ABsin∠BCA =12×√312=√3．又S ΔABC =12×√3×3sin30°=3√34，∴13×3√34×DM =3√34，DM =3．∵DM ⊥平面ABC ，∴DM ⊥BM ，设球半径为R ，则由BM 2+OM 2=OB 2，得 (√3)2+(3−R)2=R 2，解得R =2，∴球体积为V =43πR 3=43π×23=32π3．12．A 据题意画出图形，如图，直线l 过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y ＝124x -图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ＝222421k k-+=+，解得k＝512；当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为()4122---＝34，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为(512，34』 13．24 底部周长在『80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在『90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24．14．43 根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是08,02,14,07,4315．(x －2)2＋(y －1)2＝5 由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．16．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离为d ＝|1－2k |k 2＋1，且|PQ |＝29－d 2，则S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝⎛⎭⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92．因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时，由4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－7或k ＝－1，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0．17．(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0．若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1，∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0．综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0．(2)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2， C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2． 又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π．18．(1)解 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，又BD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23． (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH ． 同理，EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，BC ⊂平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．19．(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0．即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ． ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12．∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3． (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2．又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2』．即a ＋c 的取值范围是(3，2』． 20．(1)证明：因为矩形ABCD ⊥平面ABE ，CB ⊂平面ABCD 且CB AB ⊥，所以CB ⊥平面ABE ，从而AE BC ⊥，①又因为在半圆ABE 中，AB 为直径，所以90AEB ∠=︒，即AE BE ⊥，②由①②知AE ⊥平面BCE ，故有EA EC ⊥．(2)因为AB //CD ，所以AB //平面DCE ．又因为平面DCE ⋂平面ABE EF =， 所以AB //EF ，在等腰梯形ABEF 中，1EF =，1AF =，120AFE ∠=︒，所以1sin1202AEF S EF AF ∆=⨯⨯⨯︒=，1122ADFSAF AD =⨯= 设所求距离为d ，则E ADF D AEF V V --=，即1133ADF AEF S A d S D ∆∆⨯=⨯⨯⨯，即1111233d ⨯=⨯，得d =21．(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1． (2)41111()2(24)(2)22n b n n n n n n ===-⨯+++，则111111111111111323(1)()()...()(1)2322423522221242(1)(2)n n T n n n n n n +=-+-+-++-=+--=-+++++22．(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4．(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1． 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
广西南宁市第三中学2020-2021学年高二数学上学期月考试题（一）文（含解析）一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 11cos6π=（ ）．A. 12-B.12D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，直接化简求解，即可得出结果.【详解】11cos cos 2cos cos 66662πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题主要考查根据诱导公式化简求值，属于基础题型. 2. 已知集合{}0,1,2,3,4S =，{}24|T x x x =<，则ST（ ）A. {}1,2B. {}1,2,3C. {}1,2,3,4D.{}0.1,2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】先求集合T ，再求ST .【详解】2404x x x <⇒<<，求得集合{}|04T x x =<<，所以{}1,2,3S T =.故选：B【点睛】本题考查集合交集，属于基础题型. 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：0a =，10b =，a b <，判断框条件不成立，开始执行循环体；8b =，1a =，a b <，继续循环；6b =，2a =，a b <，继续循环；4b =，3a =，a b <，继续循环；2b =，4a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 222石 B. 220石C. 230石D. 232石【答案】C 【解析】 【分析】根据米255粒内夹谷29粒，求得频率，再根据频率计算这批米内夹谷量. 【详解】根据米255粒内夹谷29粒，则频率为29255， 则这批米内夹谷约为292020230255⨯=（石）. 故选：C.【点睛】本题考查了用样本估计总体，属于基础题.5. 设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列说法错误．．的是（ ） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n ； B. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥； C. 若//m α，//n α，则//m n ； D. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥．【答案】C 【解析】 【分析】直接由直线平面的定理得到选项,A B 正确；对于选项C ， m ，n 可能平行、相交或异面，所以该选项错误；对于选项D ，m 与β内一直线l ，所以l α⊥，因为l 为β内一直线，所以αβ⊥．所以该选项正确.【详解】对于选项A ，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，所以该选项正确； 对于选项B ，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，所以该选项正确；对于选项C ，若//m α，//n α，则m ，n 可能平行、相交或异面，所以该选项错误； 对于选项D ，若m α⊥，//m β，则m 与β内一直线l ，所以l α⊥，因为l 为β内一直线，所以αβ⊥．所以该选项正确. 故选：C ．【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 过点（1，-3）且平行于直线x +2y -3=0的直线方程为（ ） A. 270x y --=B. 210x y ++=C. 250x y --=D.250x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】由题意可先设所求的直线方程为x+2y+c=0再由直线过点（1，﹣3），代入可求c 的值，进而可求直线的方程【详解】由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0， ∵直线过点（1，–3），代入x+2y+c=0可得1–6+c=0， 解得c=5，∴所求直线方程为x+2y+5=0， 故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x+2y+c=0．7. a ，b ，c ，d R ∈，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A. 若0a b +>，则c a c b +>- B. 若a b >，c a <，则b c > C. 若a b >，c d >，则a bc d< D. 若22a b >，则a b >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若0a b +>，则a b >-，a c c b +>-，故A 正确； 对选项B ，令5a =，2b c ==，满足a b >，c a <，不满足b c >，故B 错误； 对选项C ，令5a =，3b =，2c =，0d =，此时满足a b >，c d >， 则a bc d<无意义，故C 错误； 对选D ，令5a =-，1b =满足22a b >，不满足a b >. 故选：A【点睛】本题主要考查不等式的性质，特值法为解题的关键，属于简单题. 8. 已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. 221()f x x x =-B. 221()f x x x =- C. 31()f x x x=- D.31()f x x x=-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性进行判断即可.【详解】由图象可知，该函数为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，并且在(0,)+∞上单调递增，因为函数221()f x x x =-和221()f x x x =-为偶函数，排除A ，B ；又31()f x x x=-为奇函数，在(0,)+∞上单调递减，排除C ； 而31()f x x x=-为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，并且在(0,)+∞上单调递增. 故选：D.【点睛】本题考查根据函数的图象判断函数的解析式，考查学生对于函数单调性、奇偶性的判断，较简单.9. 如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图．已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是（ ）A. 棱长都为2的四面体B. 棱长都为2的直三棱柱C. 底面直径和高都为2的圆锥D. 底面直径和高都为2的圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三视图得到该几何体是半径为1的球体，再依次判断选项中几何体的内切球半径是否大于1，即可得到答案.【详解】由三视图可知：该几何体是半径为1的球体. 对选项A ，设该四面体为PABC ，如图所示：D 是AB 的中点，连接PD ，CD ，则22213=-PD CD .设F 为ABC 的中心，则F 在CD 上，连接PF ，则1333==DF CD ，()2232633⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭PF ， 设四面体PABC 的内切球半径为R ，内切球球心为O ，已知O 在PF 上， 连接OA ，OB ，OC ，由-----=+++P ABC O PAB O PAC O PBC O ABC V V V V V ， 所以126111133333△△△△△⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ABC PAB PAC PBC ABC S S R S R S R S R即2643=R ，616=<R ，故A 不正确. 对选项B ，设直三棱柱的底面为ABC ，D 为ABC 的中点，E 为ABC 的中心，连接CD ，则E 在CD 上，如图所示：因为ABC 内切圆的半径为2211321333==-=<1DE CD ， 故B 不正确.对选项C ，如图所示：其内切圆半径显然小于1，故C 不正确； 对选项D ，如图所示：显然其内切球半径为1，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查几何体的内切球，同时考查了三视图，属于中档题.10. 已知函数()224x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则（ ）A. ()f x 的最大值为2B. ()f x 的图象关于直线52x π=对称 C. 4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 D. ()f x 的最小正周期为π【答案】B 【解析】 【分析】 A. 根据[]sin 1,124π⎛⎫+∈-⎪⎝⎭x 判断；B.根据正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈判断；C.利用函数奇偶性定义判断；D.利用最小正周期公式判断.【详解】因为当sin 124x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x，故A 错误； 因为()24x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴满足242x k πππ+=+，k Z ∈，当1k =时，52x π=，故B 正确.因为1424428x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，13342442828x x f x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则44f x fx ππ⎛⎫⎛⎫-≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是奇函数，故C 错误；因为()f x 的最小正周期2412T ππ==，故D 错误； 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11. 斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13…画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字为正方形的边长）．自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列，如图2．若一圆锥底面圆的周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，且轴截面为等边三角形，则该圆锥的高为（ ）A. 273B.32C.5334D.5332【答案】B 【解析】 【分析】根据图1可以求出螺旋线的长度，再根据其等于圆锥底面圆的周长可以求出底面圆的半径，然后根据轴截面为等边三角形可求出圆锥的高，从而得解． 【详解】图1中螺旋线的长度为()23581321272πππ++++++=，圆锥底面圆的半径为r ，则227r ππ=，解得272r =332r =． 故选：B ．【点睛】本题以数学文化为背景让学生欣赏数学的美，主要考查弧长公式、圆锥的基本知识，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题．12. 过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰梯形D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面的基本性质作交点、交线．根据平面的位置关系确定线线位置关系．【详解】如图，过AB 和1OO 中点M 作截面ABM ，1,D D 分别是11,AB A B 中点，111,O DC O D C ∈∈，直线DM 是截面ABM 与平面11DD C C 的交线，在平面11DD C C 中延长DM 与1CC 相交于点H ，由于13DODC =，∴13OM CH =，而112OM CC =，因此H 在1CC 的延长线上，连接BH 交11B C 于E ，连接AH 交11A C 于F ，连接,,AF FE EB ，四边形ABEF 为截面．由正三棱柱的性质可得//EF AB ，AF BE =，四边形ABEF 是等腰梯形． 故选：C ．【点睛】本题考查棱柱的截面，掌握平面的基本性质是解题关键．要注意两直线的交点只有在同一平面内才可作出．同样平行线也只能在同一平面内才能作出．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷相应位置上）13. 设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是________.【答案】5 【解析】 【分析】首先作出可行域，再根据2y x z =-+表示斜率2k =-的一组平行线，根据平移求出最优解，再求目标函数的最大值.【详解】作出x ，y 满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中()2,1A ，()1,1B ，O 为坐标原点设(),2z F x y x y ==+，2y x z =-+表示斜率2k =-的一组平行线，将直线:2l z x y =+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值()max 2,12215z F =⨯+==.故答案为：5【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱DC 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据1111ABCD A B C D -是正方体，易得11BC AD ，则1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成角或其补角，然后在三角形1AED 中，利用余弦定理求解.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正方体， 所以11BC AD ，连接1AD ，1D E ，如下图所示：则1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成角或其补角， 不妨设正方体棱长为2， 三角形1AED中，AE ===1D E AE =1AD ==.所以2221111cos 2AD AE D E D AE AD AE +-∠==⨯.又异面直线夹角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故异面直线AE 与1BC.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法以及余弦定理的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.15. 在ABC ∆中，60ABC ∠=，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅=___________. 【答案】1-； 【解析】 【分析】计算BA BC ⋅，然后将BE 用,BA BC 表示，最后利用数量积公式可得结果. 【详解】由60ABC ∠=，22BC AB ==， 所以1cos 1212⋅=∠=⨯⨯=BA BC BA BC ABC 又E 为AC 的中点， 所以()12=+BE BA BC 所以()211111122222⋅=-⋅+=--⋅=--=-AB BE BA BA BC BA BA BC 故答案为：1-【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.16. 已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2AB =.平面α⊥平面β，αβ直线AB ，若平面α、β截球O 所得的截面分别为1O 和2O ，则12OO =________.【答案】3 【解析】 【分析】将题中点线面放置到长方体1111ABCD A B C D -中，通过解三角形推出结果即可. 【详解】解：将题中点线面放置到长方体1111ABCD A B C D -中，如图所示：平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ,则2AB OA OB ===，可得114AC BD ==，设BC a =，1CC h =， 22224a h ++=，得2212a h +=，则22221212322h a O O OO OO ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3【点睛】本题考查球的截面问题，空间两点距离公式的应用，考查转化思想及空间想象能力，计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步聚） 17. 学校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取6名参加座谈会，你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；（2）利用样本估计总体的方法，估计全校每周阅读时间的中位数a （a 的值精确到0.01）. 【答案】（1）按照1：2进行名额分配，理由见解析；（2）8.99a ≈； 【解析】 【分析】根据每周阅读时间为[)6.5,7.5与每周阅读时间为[)7.5,8.5的差异明显，采用分层抽样的方法，再根据两者频率分别为0.1，0.2求解.（2）根据0.030.10.20.350.680.5+++=>，由中位数[)8.5,9.5a ∈求解.【详解】（1）每周阅读时间为[)6.5,7.5的学生中抽取2名，每周阅读时间为[)7.5,8.5的学生中抽取4名.理由：每周阅读时间为[)6.5,7.5与每周阅读时间为[)7.5,8.5是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本， ∵两者频率分别为0.1，0.2，∴按照1：2进行名额分配. （2）∵0.030.10.20.350.680.5+++=>， ∴中位数[)8.5,9.5a ∈，由()0.030.10.28.50.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及分层抽样方法，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.18. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =-；（2）2312n n -+.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111a b ==，14427a b ==，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．（2）由（1）知21n a n =-，13n n b -=，可得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，则数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-． 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （2）求证：平面//EFG 平面PM A ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先证明BC ⊥平面PDC ，再利用线线平行证明GF ⊥平面PDC ，即证面面垂直； （2）先利用中位线证明//EG PM ，////GF BC AD ，再由此证明面面平行即可.【详解】解析：（1）证明：由已知MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，∴PD ⊥平面ABCD ． 又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，∴BC DC ⊥， 又PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，在PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴//GF BC ，∴GF ⊥平面PDC ． 又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC ．（2）∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，∴//EG PM ，//GF BC ， 又∵四边形ABCD 是正方形，∴//BC AD ，∴//GF AD ， ∵EG 、GF 在平面PM A 外，PM 、AD 在平面PM A 内， ∴//EG 平面PM A ，//GF 平面PM A ，又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交，∴平面//EFG 平面PM A ．【点睛】本题考查了线线、线面、面面之间平行与垂直关系的转化，属于中档题. 20. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB BC CD ===，3AD =.（1）若6A π∠=，求sin BDC ∠；（23cos A C -.【答案】（1）32；（2）1. 【解析】 【分析】(1)在ABD △中，利用余弦定理求出BD ，进而在BCD 中求出sin BDC ∠；(2)在ABD △和BCD 中分别使用余弦定理表示BD 3cos A C -的值．【详解】(1)在ABD △中，3AD =，1AB =，6A π∠=，231323cos423162BD π=+-=-=，得1BD =， 所以1BD BC CD ===，3BDC π∠=，3sin 2BDC； (2)在ABD △中，由余弦定理得21323423BD A A =+-=-， 在BCD 中，由余弦定理得2112cos 22cos BD C C =+-=-，42322cos A C -=-，3cos 1A C -=3cos A C -为定值1.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题．21. 如图，四棱锥S ABCD -中，M 是SB中点，//AB CD ，BC CD ⊥，且2AB BC ==，1CD SD ==，又SD ⊥面SAB .（1）证明：//CM 面SAD ； （2）求四棱锥S ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）作AS 的中点为G ，可以证明四边形GMCD 为平行四边形，从而//GD CM ，也就是//CM 平面SAD ；（2）取AB 的中点为H ，连接,DH DB .过S 作ST DH ⊥交DH 于T ，可以证明ST ⊥平面ABCD ，故ST 为四棱锥S ABCD -的高，从而求得S ABCD -的体积. 【详解】（1））如图，取AS 的中点为G ，连接,,GD GM MC . 因为,G M 为,AS BS 的中点，所以1//,2GM AB GM AB =. 又12CD AB =，所以//,GM CD GM CD =，故四边形GMCD 为平行四边形， 所以//GD CM .又CM ⊄平面SAD ，DG ⊂平面SAD ，故//CM 平面SAD .（2）如图，取AB的中点为H ，连接,DH DB .过S 作ST DH ⊥交DH 于T .在梯形ABCD 中，//,HB CD HB CD =，所以四边形BHDC 为平行四边形， 又DC CD ⊥，所以四边形BHDC 为矩形，故CD HD ⊥. 因为SD ⊥面SAB ，所以SD AB ⊥.//CD AB所以CD SD ⊥，HD SD D ⋂=，所以CD ⊥ 平面SDH . 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面SDH .因为ST DH ⊥，ST ⊂平面SDH ，平面SDH ⋂平面ABCD HD =，所以ST ⊥平面ABCD ，故ST 为四棱锥S ABCD -的高.因为SD ⊥平面SAB ，SH ⊂平面SAB ，所以SD SH ⊥. 在矩形BHDC 中，2HD BC ==.在Rt SHD ∆ 中，2213SD SH DH SD ST DH ⨯⨯-===， 所以()113312232S ABCD V -=⨯+⨯=【点睛】（1）要证明立体几何中的线线垂直，我们可以有下面几种途径：①平面几何中的垂直关系（如果勾股定理等）；②利用线面垂直得到线线垂直；③如果一条直线垂直于两条平行线中一条，那么也垂直另一条.（2）线面平行的证明，可以通过在平面中找出与已知直线平行的直线（用平行投影或中心投影）来证明，也可以把已知的直线放置在一个平面中，通过证明面面平行来证明. （3）体积的计算关键是高，可以通过构建面面垂直来作出高. 22. 圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.（1）若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；（2）已知1a >，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.过点M 任作一条与x 轴不重合的直线与圆22:9O x y +=相交于两点,A B .问：是否存在实数a ，使得ANM BNM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）220x x y -+=或225440x y x y +--+=；（2）存在，9a = 【解析】 【分析】（1）先将圆转化为标准方程，由圆C 与y 轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等，列出方程求解即可；（2）先求出,M N 两点坐标，假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的 方程为()1y k x =-，代入229x y +=，用韦达定理根据NA ，NB 斜率之和为0，求得实数a的值，在检验成立即可.【详解】解：（1）由圆C 与y 轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等.故先将圆C的方程化成标准方程为：222221122122244a a a a a a x y a ++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵22210a a -+>恒成立，∴12a +=0a =或4a =， 即可得到所求圆C 的方程为：220x x y -+=或225440x y x y +--+=；（2）令0y =，得()2110x a x a -++=，即()()10x x a --=所以()1,0M ，(),0N a假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，代入229x y +=得，()22221290kxk x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y 从而212221k x x k +=+，212291k x x k-=+， 因为()()()()()()122112121211k x x a x x a y y x a x a x a x a --+--⎡⎤⎣⎦+=----而()()()()()()1221121211212x x a x x a x x a x x a --+--=-+++- 21 - ()2222292218212111k k a a a k k k --=-++=+++ 因为ANM BNM ∠=∠，所以12120y y x a x a +=--，即221801a k -=+，得9a =.当直线AB 与x 轴垂直时，也成立.故存在9a =，使得ANM BNM ∠=∠.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及直线与圆，圆与圆的综合性问题.。
南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B.C.D.2.复数，则的虚部为（ ）A.B. C. D.3.已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）A.4B.1C.3D.24.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若实数m 满足，则曲线与曲线的（ ）A.离心率相等B.焦距相等C.实轴长相等D.虚轴长相等6.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）A.2B.3C.4D.67.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）A.B.4C.6D.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（）{}1,{22}A xx B x x =>=-<<∣∣()R A B ⋂=ð()2,1-(]2,1-(),2∞-(]1,2i 21iz -=+z 3i 23232-3i 2-()()3,2,5,1,,1a b x =-=- a bx 1m =()1:110l x m y +++=()2:110l m x my +--=05m <<221155x y m -=-221155x y m -=-2212:1,,94x y C F F +=P C 122PF PF -=12PF F 222x y -=12,F F P ()0,2Q 1PQ PF +()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F ()11,P x y C 12PF F ()22,Q x y 12x =2x =CD.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若，则直线的倾斜角为C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D.直线的纵截距为10.已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点的坐标为C.直线与抛物线相切D.11.已知正方体棱长为4，点是底面正方形内及边界上的动点，点是棱上的动点（包括点），已知为中点，则下列结论正确的是（）A.无论在何位置，为异面直线B.若是棱中点，则点C.存在唯一的位置，使平面D.AP与平面所成角的正弦最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与之间的距离是__________.13.若圆与圆相内切，则__________.14.已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若1-2()()1,3,1,3A B-AB90()1,245 ()3,42y kx=-2-()1,2A()220y px p=>()1,0Q-2p=F()2,0AQ AF AQ⊥1111ABCD A B C D-N ABCD M 1DD1,D D4,MN P=MN,M N1,AP CCM1DD P,M N1A P∥1AB C11A BCD121:68100l x y+-=2:6850l x y+-=221:(2)1C x y-+=222:460C x y x y m++++=m=()222210,0x ya ba b-=>>12,F F M､，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C 的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C 的方程.16.（15分）记的内角的对边分别为，且.（1）求角A ；（2）若，求的周长.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.19.（17分）已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值；122π,3F MF OM ∠==()2:20C y px p =>F ()3,A m y ()ABC ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =a ABC =ABC P ABCD -ABCD PAD CD ⊥,,,,PAD E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD EFG ABCD ()2222:10x y E a b a b+=>>()()121,01,0,F F M -､E 12MF F E :l y kx m =+E ,P Q 22434k m +=OPQ O ()222Γ:1,0y x b b-=>12,A A ()2,0M -l Γ,P Q 2e =b（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围.2b MA P =P P OQ ΓR 121A R A P ⋅=b南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题参考答案题号1234567891011答案BBAABCDABCDACABD12.13. 14. 15.（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，故，故抛物线标准方程为.（2）设圆C 方程：，由已知，解得，圆C 方程为.16.（1）因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以1/0.5223-y x =()3,Am 2p x =-352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭4p =28y x =()222()0x y b rr +-=>22222((3)b r b r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22b r =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +-=sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =2sin sin cos sin sin B A A A B =sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =()0,πA ∈π3A =（2）在中，由已知，因为由余弦定理可得，即，即，又，所以.所以的周长周长为17.（1）证明：是等边三角形，是的中点，，又平面平面，又平面平面平面.由（1）得平面，连接，建立以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示，底面是边长为4的正方形，则，，则，设平面的法向量为，则取平面的法向量为，又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为ABC11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= π,3A a ==2222cos a b c bc A =+-217()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=ABC 5PAD O AD PO AD ∴⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PAD CD PO ∴⊥,AD CD D AD ⋂=⊂,ABCD CD ⊂,ABCD PO ∴⊥ABCD PO ⊥ABCD OG O ,,AD OG OP x y z O xyz -ABCD ()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0O A B C -()()(((2,0,0,0,4,0,0,0,,1,,D G P E F ---()(0,2,0,1,2,FE EG == EFG (),,n x y z = 20,20,n FE y n EG x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ x =0,1,y z ==∴EFG )n = ABCD (0,0,OP =∴EFG ABCD.18.（1）根据题意，.在椭圆上顶点，此时.所以，则求椭圆的方程.（2）如图所示，设，联立直线与椭圆的方程得，.，又，因为点到直线的距离，所以.1cos ,2OP n OP n OP n ⋅<>===⋅ 1c =M E 121212MF F S F F MO b === 2224a b c =+=E 22143x y +=()()1122,,,P x y Q x y l E 22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484120k x kmx m +++-=()()()22222222Δ644344121924814448430k m k mk m k m =-+-=-+=-+>21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++2PQ x =-===O PQ d =22434k m +=22222211666322343442PQOm m m S PQ d k k m =⨯⨯=====++综上，的面积为定值.19.（1）由题意得，则.（2）当时，双曲线，其中，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；...②当以为底时，，设，则，联立解得或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即.综上所述：.（3）由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①②，OPQ 3221c ce a ===2,c b ===b=22Γ:183y x -=()()22,0,1,0M A -2MA P 2MA P 12x =-P 2A P 23MP MA ==(),P x y 2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩P 2MP MA >MP 223A P MA ==()00,P x y 000,0x y >>()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,P (2,P ()()121,0,1,0A A -l 120A R A P ⋅=0l k ≠:2l x my =-()()1122,,,P x y Q x y OQ ΓR ()22,R x y --()22222222214301x my b m y b my b y x b =-⎧⎪⇒--+=⎨-=⎪⎩2210b m -≠()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>2122241b m y y b m +=-2122231b y y b m =-()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-则，因为在直线上，则，即，即，将①②代入有即，化简得所以，代入到，得，所以，且，解得，又因为，则，综上知，.()()122112111A R A P x xy y ⋅=-+--=()()1122,,,P x y Q x y l 11222,2x my x my =-=-()()2112331my my y y ----=()()2121213100y y m y y m +-++=()22222223413100,11b b mm m b m b m +⋅-⋅+=--()()2222231341010bmm b m b m +-⋅+-=2223100b m b +-=22103m b=-2210b m -≠21031b -≠23b ≠221030m b =-≥2103b ≤0b >21003b <≤()(2100,33,,3b b ⎛⎤∈⋃∴∈⋃ ⎥⎝⎦。
