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导数及应用一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题02 三角函数（教师版）一、高考预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、 反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。
2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。
解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。
成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。
图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可。
3．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
选考系列一、高考预测几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大．矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是点M的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以极点为圆心，半径为1的圆．4．同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线．5．任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x＝f(t)，y＝g(t)，借助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围．7．注意柯西不等式等号成立的条件⇔a1b2－a2b1＝0，这时我们称(a1，a2)，(b1，b2)成比例，如果b1≠0，b2≠0，那么a1b2－a2b1＝0⇔＝.若b1·b2＝0，我们分情况说明：①b1＝b2＝0，则原不等式两边都是0，自然成立；②b1＝0，b2≠0，原不等式化为(a＋a)b≥ab，是自然成立的；③b1≠0，b2＝0，原不等式和②的道理一样，自然成立．正是因为b1·b2＝0时，不等式恒成立，因此我们研究柯西不等式时，总是假定b1·b2≠0，等号成立的条件可写成＝.三、易错点点睛几何证明选讲几何证明选讲是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意．重点把握以下内容：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；5．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义．如图，A，B，C，D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．易错提醒(1)对四点共圆的性质定理和判定定理理解不透．(2)不能正确作出辅助线，构造四边形．(3)角的关系转化不当．矩阵与变换矩阵与变换易错易漏 (1)因矩阵乘法不满足交换律，多次变换对应矩阵的乘法顺序易错． (2)图形变换后，所求图形方程易代错．已知矩阵M ＝\o(\s\up12(1b ，N ＝\o(\s\up12(c0，且MN ＝\o(\s\up12(2－2 .(1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程． 解 方法一 (1)由题设得解得易错提醒 (1)忽视将C 1的参数方程和C 2的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程，即转化目标不明确．(2)转化或计算错误． 不等式选讲设a 、b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥(a 2＋b 2)．证明 由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－(a 2＋b 2)＝a 2(－)＋b 2(－) ＝(－)[()5－()5]．当a ≥b 时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0； 当a <b 时，<，从而()5<()5，得(－)[()5 －()5]>0.所以a 3＋b 3≥(a 2＋b 2)．易错提醒 (1)用作差法证明不等式入口较易，关键是分解因式，多数考生对分组分解因式不熟练．(2)分解因式后，与零比较时，易忽略分类讨论．设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。
高等数学（乙）1复习要点第一篇：高等数学(乙)1复习要点高等数学（乙）1 复习要点（2012.12）第一章函数与极限1．数列与函数极限（左右极限）、两个重要极限、（*极限存在准则）2.函数在点连续性的讨论、间断点的分类3.无穷小阶的比较、性质、等价无穷小4*．连续函数在闭区间上的性质第二章导数与微分1.导数的定义2.熟记求导法则（如函数的积、商、复合、反函数等等）和求导公式（常用函数等）3.由方程确定的隐函数求一阶、二阶导数4.参数方程确定的函数求导、（*二阶导数）5.函数的微分6.曲线的切线方程与法线方程的求法（曲线可能为y f(x)或隐函数方程确定或参数方程确定）7.常用函数的n阶导数第三章微分中值定理及应用1*.三大微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）2.函数的单调区间与极值求法3.利用单调性证明不等式、如何证明函数为常数（恒等式的证明）4*.泰勒公式5.函数图形的凹凸区间与拐点求法、渐近线的求法6.如何求未定式的极限（洛必达法则）（各种类型的未定式的极限）7.函数的最大值、最小值求法（含应用题）8*.导数在经济中的应用(如边际、弹性等)第四章不定积分1.原函数、不定积分的概念与性质2.熟记基本的不定积分公式3.计算不定积分方法：凑微分法、变量代换法、分部积分法（掌握变量代换法、分部积分法的被积函数的特点）第五章定积分及其应用1．定积分的性质（了解）2．微积分基本定理（积分上限函数求导公式等、牛顿-莱布尼茨公式）3.会用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分（如分段函数、绝对值函数等等）4.定积分的换元法与分部积分法5.会求平面图形的面积、平面图形绕x轴、y轴旋转一周的立体体积6.反常积分注：打*号为难点内容第二篇：高等数学复习要点高等数学复习要点第一章：1.“抓大头”法求函数极限的公式，P15公式(1-3)2.无穷大量、无穷小量的概念；无穷小量的比较(高阶、低阶、等价无穷小的区分)；利用等价无穷小的式子求极限(P23第二行四个表达式);无穷小量乘以有界变量仍是无穷小(P21例1.34)3.利用两类重要极限求极限4.会判断分段函数在分界点处是否有极限(P12例1.20及相应课后习题)5.会求函数的连续区间(类型P31 T6 T7)6.闭区间上连续函数的性质(P29 定理1.8；推论1.3；例1.47)第二章：1.会用基本导数公式求导数2.会求函数在某点的导数(先求导函数再带入点,求该点导数值)3.导数的几何意义(会求曲线的切线法线方程)4.复合函数求导5.利用微分定义求函数的微分(先求导再乘以dx)6.会求高阶导数(例如函数的四阶导数，注意高阶导数的符号表示y(n)n≥4)7.可导与连续的关系(函数在某点可导一定连续，反之连续不一定可导；函数连续是函数函数可导的必要条件)第三章：1.会用洛必达法则求极限(特别∞-∞型，Ｐ82例3.8及习题3-2Ｔ15 T16)2.会用导数判断函数单调性，求极值点、极值(三步走)3.注意函数的极值点与驻点的关系(P85 定理3.8及其下面一段的文字说明)4.利用导数求闭区间上函数的最大最小值(例如P87 例3.16的类型)5.求函数的凹凸区间及拐点(三步走)6.会求曲线的垂直渐近线第四章：1.熟记不定积分的基本公式2.导数与不定积分互为逆运算(P96 第三行至第八行)3.直接积分法(P98)3.凑微分法求函数积分(两类：1:复合函数凑内层函数 2:凑公式)十个解答题考察类型：1.求极限（∞-∞）2求四阶导3.求不定积分（凑微分法）4.求曲线的凹凸与拐点.4.利用第二个重要极限求极限(或者讨论函数的极限是否存在，若存在，极限值是多少.)5.函数的极值.6.证明方程在某区间内至少有一个实根.7.求曲线在某点处的切线方程和法线方程.(曲线在何处的切线平行于已知直线)9.求函数的微分.10.求不定积分（直接积分法）第三篇：高等数学复习要点总结高等数学复习要点总结★高等数学复习要点总结希望有参考作用★ 张宇下面是我给一个朋友写的，大概是今年4月份写的，发给同学们做个参考：我把高数的东西整理了一下，按照这个复习，保证可以串起来，同时别忘了把基本功打好！高等数学1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功； 4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；8）两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意lnx的定义域>0;9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。
第八章 空间解析几何知识要点：会向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；了解单位向量、方向余弦的概念。
两向量平行或垂直的充要条件。
向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法。
1、向量→→→→+-=k j i a 32与→→→→++=k j i b 254的夹角是（ C ） A 、4π B 、3π C 、2π D 、6π 2、向量()111,,a x y z →=与 ()222,,b x y z →=平行的充要条件是（ A ）A 、0=⨯→→b a B 、1212120x x y y z z ++= C 、cos ,0a b →∧→⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、0=⋅→→b a3、若c a b a⋅=⋅，则（ D ）A 、c b =B 、b a ⊥且c a⊥ C 、0 =a 或()0 =-c b D 、()c b a -⊥4、直线与平面的位置关系是（ D ）． A. 垂直 ； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行． 5、直线与平面的位置关系是（ A ）． A. 垂直 ； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行．6、直线431232--=+=-z y x 与平面03=-++z y x 的关系是（ C ） A 、垂直 B 、平行 C 、直线在平面上 D 、以上都不对7、在z 轴上与两点()7,1,4-A 和()2,5,3-B 等距离的点的坐标为 ⎪⎭⎫⎝⎛91400， 8、在轴上与点和点等距离的点为 9、z 轴上与点()1,7,3A -和点()5,5,7B -等距离的点是 （0,0,2） . 10、设向量与垂直，则 8 11、设，且，则=12、设()2,1,2=→a ，()10,1,4-=→b ，→→→-=a b c λ，且→→⊥c a ，则=λ 3 13、已知两点和，平行于37423zy x =-+=-+3224=--z y x 723zy x =-=8723=+-z y x y ()7,3,1-A()5,7,5-B ()0,2,0(0,1,4)a =-(1,,2)b k =k =4,2λ=+-=+a i j k b i k ⊥a b λ12()5,0,4A ()3,1,7B AB )2,1,3-14、平行于()6,7,6a →=-的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭. 15、已知点()1,3,4A -，()2,1,1B --，()3,1,1C --，则ABC ∠= 4π16、求平行于y 轴，且经过点()2,2,4-P 和()7,1,5Q 的平面方程 解：y 轴的方向向量()0,1,0=s ，()9,1,1-=PQ则所求平面的法向量为()1,0,9911010-=-=⨯=k j i PQ s n 所求平面方程为()()()()0212049=+-+-+-z y x 即0389=--z x17、求过点()()27413821，，，，，P P -且垂直于平面0217531=+-+z y x ：π的平面方程。
高数B1复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March高等数学上册知识点一、 函数与极限（一） 函数1、函数定义及性质，常用的经济函数； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数（5类）：图像特征，性质 4、函数的连续性与间断点；（重点） 间断点：第一类，第二类；5、 闭区间上连续函数的性质. （二） 极限1、 定义2、 无穷小（大）量无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 3、 求极限的方法1）极限运算准则及函数连续性； 2） 两类重要极限：（重点）a)1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 3）等价无穷小代换：（重点）二、 导数与微分（一） 导数1、定义，左（右）导数定义 2、几何意义； 3、可导与连续的关系； 4、 求导的方法1）导数定义；（重点） 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）；（重点） 5）隐函数求导数；（重点） 6）参数方程求导；（重点） 7）对数求导法. （重点） 8）抽象函数求导（重点） 5、高阶导数：定义，计算 6、 导数在经济中的应用：边际函数、弹性函数（二） 微分 1）定义； 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且()dy f x dx '=（重点）三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：（重点），Lagrange 中值定理（重点）；（二） 洛必达法则（重点）（三） 单调性及极值1、 单调性判别法：（重点）2、 极值及其判定定理：a) 第一充分条件：（重点）b) 第二充分条件：（重点）3、 凹凸性及其判断，拐点1）判定定理（重点）：3）拐点：坐标))(,(00x f x .4、最值及其判断，经济应用. （重点）（四） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；（重点）3、 利用极值（最值）.（五） 渐近线铅直渐近线，水平渐近线.四、 不定积分（一） 概念和性质1、 原函数： 定义（重点）2、 不定积分：定义，性质.3、 基本积分表（13个公式）；（重点）（二） 换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）： 2、 第二类换元法（三角代换、倒代换、根式代换等）：（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （重点）（四） 有理函数积分1、“拆”；五、 定积分（一） 概念与性质：1、 定义：2、 性质：（7条）（二） 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）（重点）1、 变上限积分：定义，求导公式2、 （牛顿-莱布尼茨公式）。
第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。
偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若0=βαlim ，则α是比β高阶的无穷小量。
（2）若c βα=lim（不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=βαlim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=βαlim，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限 （1）100==→→xxx x x x sin lim sin lim使用方法：拼凑[][][][][][]000==→→sin lim sin lim，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致（2）e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→10111)(lim lim使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、()() ⎝⎛>∞<==∞→m n m n m n ba X Q x P mn x ,,,lim00()x P n 的最高次幂是n,()x Q m的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。
m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8、连续、间断 连续的定义：[]0)()(lim lim000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 或)()(lim00x f x f x x =→间断：使得连续定义)()(lim00x f x f x x =→无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0x f x x -→、)(lim 0x f x x +→至少有一个不存在（2）、第一类间断点：)(lim 0x f x x -→、)(lim 0x f x x +→都存在注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。
1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-a a dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-a a dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-aa 奇函数 、⎰⎰=-a a a 02偶函数偶函数。
在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。
这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。
1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。
用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A ⇒E 、(A B)⇒C 、(C D E)⇒F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A 、B 、D ，求证F 成立。
为了证明F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。
正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。
如对于证明F 成立必备逻辑公式中的A ⇒E 就可能有A ⇒H 、A ⇒(I K)、(A B) ⇒M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(A B) ⇒M ，因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。
如对于模型中的(A B) ⇒C ，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。
从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。
通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。
针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。
当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了。
从出题人的角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。
“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。
如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(C D E) ⇒F再倒推想到 (A B) ⇒C、 A⇒E就可以证明了。
如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。
其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。
下表列出了中值定理证明问题的几种类型：从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱，如表格中B 、C 的条件是一样的，同时A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。
故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个ε使得k f=)(ε”、看到题目欲证结论中出现类似“存在一个ε使得k f =)(ε”的形式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子0)(='εf ；而见到式子)()()()(a f b f g f -=''εε也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在处理本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。
所以说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。
综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。
希望这些想法对你能有一点启发。
不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。
这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。
我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。
依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。
1.4 高数第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。
历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。
对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放在第一位的；分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。
这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。
这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“辨明类型——〉套用对应方法求解”的套路 ，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。
先讨论一下一阶方程部分。
这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。
各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循——这些方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy 这样的形式，再积分得到答案。
对于可分离变量型方程0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f ，就是变形为dx x f x f )()(21=-dy y g y g )()(12，再积分求解；对于齐次方程)(x y f y ='则做变量替换x yu =，则y '化为dxdu x u +，原方程就可化为关于x u 和的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程)()(x q y x p y =+'第一步先求0)(=+'y x p y 的通解，然后将变形得到的dx x p y dy)(-=积分，第二步将通解中的C 变为C(x)代入原方程)()(x q y x p y =+'解出C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程)()(x q y x p y =+'n y ，先做变量代换n y z -=1代入可得到关于z 、x 的一阶线性方程，求解以后将z 还原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy 比较特殊，因为其有条件x N y M∂∂∂∂=，而且解题时直接套用通解公式⎰+x x dx y x M 0),(0⎰=y y C dy y x N 0),(.所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。
对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。
对于)()(x f y n =型方程，就是先把)1(-n y 当作未知函数Z ，则y n '=)( 原方程就化为 dx x f dz )(= 的一阶方程形式，积分即得；再对)2(-n y 、)3(-n y 依次做上述处理即可求解；),(y x f y '='' 叫不显含 y 的二阶方程，解法是通过变量替换 p y ='、p y '='' (p 为x 的函数)将原方程化为一阶方程；),(y y f y '=''叫不显含x 的二阶方程，变量替换也是令p y ='（但此中的p 为y 的函数），则p p p y dy dp dx dy dy dp '===''，也可化为一阶形式。
所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换u x y =”，“求解贝努利方程就用变量替换n y z -=1”一样，在这里也要记住“求解不显含y 的二阶方程就用变量替换p y ='、p y '='' ”、“求解不显含x 的二阶方程就用变量替换p y ='、p p y '=''”。
