山东大学《高等数学》期末复习参考题 (12)

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

山东大学(南新区、软件学院)2009～2010年度第一学期高等数学(本科) 课程试卷一、填空题(每小题4分，共20分)二、选择题(每小题4分，共20分)2018sin cos (1)lim_____.3ln(1)x x x x x →+=+sin 1(2)e sin ,'______x y y x=⋅=设则2120e e sin (3)lim[]_____.||e 1x xx xk xk x →+-=+设存在，则常数22()22(4)()()3()d 2,()_____.()e e ln 2009d 1,_____.d f y y f x f x x f x x f x y y x x f yf x=--==='≠=⎰设是连续函数，且满足则(5)设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且则(6)(,)()tan (A)0(B)1(C)2(D)3xy xππ-=在内函数的可去间断点的个数为2(7)ln(1)()(A)(1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(1,)y x =+-∞--+∞函数单调增加且其图形为凹的区间是，00000000000000000000000(8)(,)(,),'(,)()(2,)(,)(,)(,)(A)lim(B)lim(,)(,)(,)(,)(C)lim(D)limx x x x x x z f x y x y x y f x y f x x y f x y f x y f x x y xxf x x y y f x y f x y f x y x x x ∆→∆→∆→→==-∆---∆∆∆+∆+∆--∆-设函数在点处存在对的偏导数，则sin 2(9)(0,1)()cos (A)210(B)210(C)210(D)220ttx ty ty x y x y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩+-=--=++=+-=e 曲线在点处的法线方程为e三、计算、证明题(每小题10分，共60分)1(10)ln(1)()(A)0(B)1(C)2(D)3x y x =++曲线e 渐近线的条数为120...(11)lim(),.x x nx x x n n→+++e e e 求极限其中是给定的正整数32ln(1)0arcsin ()60e 1sin 4()00().ax ax x x x f x x x ax x x x a f x x a x f x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩==，(12)设函数，，问为何值时，在连续；为何值时，是的可去间断点？333(0).z axy x y a =-->(13)求函数的极值[]32261871,4y x x x =---(14)求函数在上的最大值和最小值.12121221()(0,)()1'(1)4,0,0()()().()(0,)'().f x f x x f x x f x x x f x x f x f x f x +∞==>>=++∞(15)设在上有定义，在处可导且若对所有的有试证：在上可导，并求[]22(16),().(),()()0.(),,() 2.y x Bx C x x a x b a b f x a b f a f b y f x y x Bx C a b a b f ξξ=-++==<====-++''=-设抛物线与轴有两个交点又在上有二阶导数，且若曲线与在（）内有一个交点，求证：在（）内存在一点，使答案（请各位老师在阅卷前先演算一遍，发现错误及时反馈。

高数一期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解是：A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)C. \( y = e^{2x} \)D. \( y = x^2 \)答案：B4. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是：B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，则 \( f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( 2x - 4 \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( x\ln(x) - x + C \)3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 的交点坐标是\( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( (0,0) \) 和 \( (2,4) \)4. 函数 \( y = e^{3x} \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( 9e^{3x} \)三、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。

\[\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx = \left[ x^3 - x^2 + x\right]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1\]2. 求函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值。

11-12高数上期末：一、填空题 （共5小题，每题4分，共20分）1. 设0 < a < b , 则()1lim .nnnn ab--→∞+=2. 2232ln (1)d ()d x t t yy y x x y t t=-+⎧==⎨=+⎩设函数由参数方程所确定，则________.3. 100()()d x x x x x ϕϕ=⎰设是到离最近的整数的距离，则.4. 322A y x x x x =-++曲线 与轴所围图形的面积=________.5.3s in (),()d x f x x f x x x'=⎰已知的一个原函数为则_________.一、选择题 （共5小题，每题4分，共20分） 6.下列命题中正确的一个是( )(A) 若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→≥⇒∃>,当00x x δ<-<时，有()()f xg x ≥；(B) 若0δ∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >且0lim(),x x f x →0lim ()x x g x →都存在,则0lim()lim ()x x x x f x g x →→>(C)若0δ∃>,当00x x δ<-<时恒有()()f xg x >，则lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥;(D)若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→>⇒∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >7.0000(2)()()lim()2h f x h f x f x x h→--=设在处可导，则0000(A )()(B )()(C )()(D )2()f x f x f x f x ''''--000(3)0()()''()0()0y f x x f x f x fx '===<8.设在点的某邻域内具有连续的三阶导数,若，且，则()''00000(A )()()(B )()()(C )()()(D )(,())()f x f x f x f x f x f x x f x y f x =是的极大值是的极大值是的极小值为曲线的拐点9. 设2s in ()es in d ,x txf x t t π+=⎰则()F x ______.(A )为正常数 (B )为负常数 (C )恒为零 (D )不为常数10. 若连续函数()f x 满足关系式20()()d ln 2,2xt f x f t =+⎰则()f x =______(A )e ln 2x2(B )eln 2x()e ln 2xC + 2(D )eln 2x+三、解答题（共6道小题，4个学分的同学选作5道小题，每题12分，共60分；5个学分的同学6道题全做，每题10分，共60分）11. 求极限201(1)lim s inx x x→10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中(),012.(),()0(0)0,,0(0)(0)0,(),()0g x x f x g x x g x x g g f x f x x ⎧≠⎪''==⎨⎪=⎩'''===设函数其中可导,且在处二阶导数存在，且试求并讨论在处的连续性.[]110()0,1(0,1)(1)=e()d xk f x f k x f x x-⎰13.已知函数在上连续,在内可导,且满足(1).k >其中 1(0,1),()(1)().f f ξξξξ-'∈=-证明：至少存在一点使得14.()()d xf tg x t t -⎰求(0),x ≥0x ≥其中当时，(),f x x =s in ,02.0,2x x x x ππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩而g ()=15. 求微分方程243(1)22x y x y x y '++=满足初始条件 01|2x y ==的特解2s in s in s in 16.(1)lim 1112n n nn n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.计算 (2).()[0,1]1()2,f x f x ≤≤设函数在连续,且 证明：1119()d d .()8f x x x f x ≤⎰⎰一．填空题1.1a2.(65)(1)t t t++ 3. 25 4.37125. 22ln ln x x C -+二．选择题6. D7. A8. D9. A 10. B 三．解答题 11. 21(1)lim s inx x x→2211s in1,lim 0lim s in0x x xx xx→→≤=∴=有界10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中()()0013131(1)(1)(1)1ln 1lim 1limln ln ln 33333lim eeeex x xx x x x x xx x a b c a b c a b c a b c x x xx a b c →→⎛⎫⎛⎫++-++--+-+-⋅+ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→=====原极限2222()(0)()()1()(0)1(0)limlimlimlim(0)222()(),0()1(0),02()()()(0)(lim ()limlimlim(0)l x x x x x x x x f x f g x g x g x g f g xxxxx g x g x x xf xg x x g x g x g x g g x f x xxxg →→→→→→→→'''--'''====='-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩'''--'==-''=-12.解：）0()1im(0)(0)22()0x g x g f xf x x →''''=='∴=在处连续1-11-1111113.[0,],(1)e().11, 1.(0,1).()e (),()[0,](0,)(1)=(1)e ()().(0,)()e()e()e()0,e0,xf f kk kF x x f x F x F f f F F f f f f ηηξξξξηηηηηηηηηηξξξξξξξ-----∃∈=><∈===''=-+=>由积分中值定理，使得得则令由题意知在上连续，内可导且由罗尔中值定理，在内存在一点，使得得-1()()()0()(1-)().(0,1).f f f f ξξξξξξξξξ''-+=⇒=∈其中20014.,d d .()()d ()()d ()()d ;()()d =()s in d s in ;2()()d ()s in d 0 1.2s in 2()()d =12xxxx x xxu x t u t f t g x t t f x u g u u f x u g u u x f x u g u u x u u u x x x f x u g u u x u u u x x x x f t g x t t x x πππππ=-=--=--=-≤<--=-≥-=-+=--≤<--≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则于是当0时，当时,，0所以，⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4322342222222d 2215.,d 3(1)3(1)d d ,3d d 1d 22d 22-,--(1)3d 3(1)3(1)d 11d 2-0,(1)z (1)(d 1y x x yyxx x z y z y yxxz xx zxx z z xx x x xxzxz z C x x u x x ----+=++==-+==++++==+=++讲方程改写为：这是贝努里方程.令则，代入上述方程得：即， 这是一阶线性非齐次方程，它对应的齐次方程为它的通解为，令22222222203321)d d (1)2(),(1)d d d 22d 2(1)2()(1)()-,-,d 11d 11,(1)1(1),1111(1).|81,7.2(78).x x z u x x u x xxu x x u x x x u x x u x xxxxxu C z C x xC x y C C yy x =--=++++-+==+++=+=+++=++==+==+则将其代入得即积分得即的通解为从而原方程的通解为由初始条件，有故所求的特解为11112s ins ins in 12116.(1)(s ins ins in )s in111212lims ins in ()d .2s ins ins in 121(s ins ins in )s in111112limni nn i ni n i n nn nnnnnn n ni x x nnn i n nn n nnn nnn n nnn πππππππππππππππππ=→∞==→∞+++<+++=+++==+++>+++=++++++∑∑⎰∑而另一方面且1112s in=s in ()d .12.ni i x x nnππππ===∑⎰所以由夹逼准则知原式111011100(2)1()2(()1)(()2)0,(()1)(()2)10()d 2d 3()()1d 3()19()d d .()8f x f x f x f x f x f x x x f x f x xx f x f x xx f x ≤≤∴--≤--≤+≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰得，即，得到从而整理得：。

高数测试题二 (导数及应用).)arctan 2(lim )3();cot 1(lim )2(;sin 4cos lim)1(.12203x x x x x x xxxx x π+∞→→→--求求求极限：._____)(2)()(lim)(''.22=--++=→h a f h a f h a f a x x f h 点附近连续，则在设.),0()11()(..3的单调性在函数讨论+∞+=x xx f也是极小值是极小值，也是极大值是极大值，是极大值是极小值，是极小值是极大值，，下列命题中正确的是设)2()0()D ()2()0()C ()2()0()B ()2()0()A (._____cos sin )(.4ππππf f f f f f f f x x x x f +=.)()2();0()1(0,arctan 0,)(.53的单调增减区间确定，求：设x f f x x x x x x f '⎩⎨⎧≥<-=拐点；函数图形的凹凸区间及；函数的增减区间及极值，求已知函数)2()1()1(.623-=x x y(D)3(C)1(B)2(A)._____33ln 2.7=-===-+=y y y y xx y 的水平渐近线方程为函数 .,1)3,1(.823b a bx ax y 的拐点，求是曲线设++= 何者更大，为什么？和，问设22212121e e 20.9x x x x x x <<< .)(e 0.10x a a a x a a x +<+>>，证明：，常数设.0)(')1,0(:).0(d )(3)1,0(]1,0[)(.11132==⎰ξξf f x x f x f ，使得内存在一点在证明内可导，且上连续，在在设函数)(')(2)('),1,0(.0)0()1,0(]1,0[)(.12ξξξξξf f f f x f =+∈=使试证：至少存在一点内可导，且上连续，在在设还是极小值点？，的极值点，是极大值点为的极值点？如果是否是试判定，，且的一个解，若是方程设)()(0)('0)(04'2'')(..130000x f x x f x x f x f y y y x f y =>=+-=.03.143出根的值有两个互异实根，并指，使方程求=+-q x x q.8,0)(.152面积为最大相交所围成的三角形的切线与直线上求一点，使过该点的第一象限部分在抛物线===x y x y答案.8124112124cos lim 12124cos sin 2lim12sin cos 1lim 4cos lim sin 4cos lim)1.(100002003030=+=+=+=+-=-=-→→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x 解xx x x x x x x x x x x x 2222202220220sin cos sin lim )sin cos 1(lim )cot 1(lim )2(-=-=-→→→解.6131213sin cos cos lim 21cos sin limcos sin lim )cos )(sin cos (sin lim200030040=⋅=+-=-⋅+=-+=→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x.eeeelim )arctan 2(lim .e 1)3(2)(11arctan 1lim 1)arctan 2ln(lim)arctan 2ln()(ln 22ππππ--⋅+⋅+∞→+∞→+∞====+∞→+∞→x x x xx x x x xx x f x x x 故形式求解型，可转化成属于解).('').(''2)('')(''lim 2)(')('lim )(2)()(lim)(')(''.200020a f a f h a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f x f x f h h h 故应填有存在，利用洛必达法则存在，则因为解=-++=--+=--++→→→)A (),0()(),0(0)(01111ln )(),,0(011)11ln(lim ),0()(0)1(1)1(1111)(11)11ln()(11)11ln(11)(.322故应选上单增。

山东大学(南新区、软件学院)高等数学(本科) 课程试卷一、填空题(每小题4分，共20分)2018sin cos (1)lim_____.3ln(1)x x x x x →+=+sin 1(2)e sin ,'______x y y x=⋅=设则2120e e sin (3)lim[]_____.||e 1x xx xk xk x →+-=+设存在，则常数 22()22(4)()()3()d 2,()_____.()e e ln 2009d 1,_____.d f y y f x f x x f x x f x y y x x f yf x=--==='≠=⎰设是连续函数，且满足则(5)设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且则二、选择题(每小题4分，共20分)(6)(,)()tan (A)0(B)1(C)2(D)3xy xππ-=在内函数的可去间断点的个数为2(7)ln(1)()(A)(1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(1,)y x =+-∞--+∞函数单调增加且其图形为凹的区间是，00000000000000000000000(8)(,)(,),'(,)()(2,)(,)(,)(,)(A)lim(B)lim(,)(,)(,)(,)(C)lim(D)limx x x x x x z f x y x y x y f x y f x x y f x y f x y f x x y xxf x x y y f x y f x y f x y x x x ∆→∆→∆→→==-∆---∆∆∆+∆+∆--∆-设函数在点处存在对的偏导数，则sin 2(9)(0,1)()cos (A)210(B)210(C)210(D)220ttx ty ty x y x y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩+-=--=++=+-=e 曲线在点处的法线方程为e1(10)ln(1)()(A)0(B)1(C)2(D)3x y x =++曲线e 渐近线的条数为三、计算、证明题(每小题10分，共60分)120...(11)lim(),.x x nx x x n n→+++e e e 求极限其中是给定的正整数32ln(1)0arcsin ()60e 1sin 4()00().ax ax x x x f x x x ax x x x a f x x a x f x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩==，(12)设函数，，问为何值时，在连续；为何值时，是的可去间断点？333(0).z axy x y a =-->(13)求函数的极值[]32261871,4y x x x =---(14)求函数在上的最大值和最小值.12121221()(0,)()1'(1)4,0,0()()().()(0,)'().f x f x x f x x f x x x f x x f x f x f x +∞==>>=++∞(15)设在上有定义，在处可导且若对所有的有试证：在上可导，并求[]22(16),().(),()()0.(),,() 2.y x Bx C x x a x b a b f x a b f a f b y f x y x Bx C a b a b f ξξ=-++==<====-++''=-设抛物线与轴有两个交点又在上有二阶导数，且若曲线与在（）内有一个交点，求证：在（）内存在一点，使答案一、填空题(每小题4分，共20分)83(1) sin sin 2111(2)'cos e sin e cos ,x x y x x x x =⋅⋅- 2k =(3)210(4)33x - 223''()(1'()).(1'())f y f y x f y ---(5)二、选择题(每小题4分，共20分)(6)(D)(7)(C)(8)(B)(9)(A)(10)(D)三、计算、证明题(每小题10分，共60分)122()............................................................................21ln ln().........................................................................x x nx x x x nxy ny x n+++=+++=e e e (11)令，分e e e 则20022012...41lim ln lim ln()2121lim ..................................................82............................................x x nx x x x x nx x xnx x n y x n n n n n→→→+⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦+++++++===+++=分e e e e e e 分e e e 所以原极限e..................................................10分3200022200003lim ()lim lim 6 (31)arcsin 112lim ()4lim 4lim 2 4............................62lim (x x x ax ax x x x x ax ax f x a x x x ax a x a f x a x xf ---++++→→→→→→→===---+--+-===+(12)分e e 分令()222)lim ()2461 2.1lim ()6(0)()0.2lim ()12(0)0()...........................10330330x x x x f x a a a a a f x f f x x a f x f x f x z ay x xa z ax y y-→→→=+=-=-=-=-====-=≠=∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，有，解得或当时，，即在处连续当时，，则是的可去间断点分(13)解方程组，得驻点：0,0，(),......................................3a 分()()()222222222636..........................................................................603090.,636270.z z zx a y x x y y A B a C AC B a a a A a B a C a AC B a ∂∂∂=-==-∂∂∂∂===-=-<=-==--=>又，，分于是在点0,0处有，，，故0,0不是函数的极值点.又在点处有，，，()3max 60,.......................................10A a a a z a =-<=又，故所给函数在处有极大值分[][][]21212()14.................................2'61218,'01,3,.............................................................6143()14m y x M m y x x y x x x x y x M =--===(14)由于在，上连续，因此必要最大值和最小值分令得＝－分因为不在区间，内，所以是在，上的极值疑点，于是＝{}{}{}ax (1),(3),(4)max 29,61,4729min (1),(3),(4)61..............................................................................10f f f m f f f =---=-==-分12121221(15)1,()()()(1)1(1)1(1)2(1)(1)0..............................................20,0()()1(1)()x x f x x x f x x f x f f f f f x x x f x x f x x f x f x x x x ===+=⋅+⋅==>+∆>+∆-⎧∆⎫⎡⎤=+-⎨⎬⎢⎥∆∆⎣⎦⎩⎭=解令由条件知，即有分在时考虑函数平均变化率的表示式，利用题设条件有001(1)()(1)()(1)(1)1()()(1)..................60'(1)4,(1)(1)()()()()()lim lim '(1)x x x x f x xf f x x x x xf f x x f x x f x xf x x x x x xx f xf f f x x f x f x f x f x x f x x x x xx∆→∆→∆∆⎡⎤+++-⎢⎥∆⎣⎦∆+-∆∆⎡⎤=++=+⎢⎥∆∆⎣⎦∆→=∆+-+∆-=+=+=+∆∆分对上式取时的极限，并利用有4.()()0'() 4.............................10f x f x x f x x>=+由导数定义知在处可导且有分[]2121112(16)()()().....................................................................5(),()()()0.(,)(,)'()'()20'()'x f x x Bx C x a b a c b a c c b f B f ϕϕϕϕϕξξϕξξξϕξ=--++===∈∈=+-=令辅助函数，分由题设条件可知在上也有二阶导数且由罗尔定理知，存在，，使和＝[]22121212()20..............................8'(),(,)''()''()20,''() 2.................................10B x f a b f ξξϕξξξξξϕξξξξξξ+-=∈=+=<<<<=-分将函数在上应用罗尔定理，知存在，使，即分。