八年级上册数学-第一讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算1有理数运确实是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在明白得有理数的有关概念、法则的基础上，能依照法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于依照题目条件，将推理与运算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，进展思维的灵敏性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，能够依照运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1运算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，专门是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，如此便于运算．例2运算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直截了当运算专门苦恼，依照运算规则，添加括号改变运算次序，可使运算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来运算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一样思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3运算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出那个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．假如按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式运算，就能得到一系列的“-1”，因此一改“去括号”的适应，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，因此有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，因此有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，因此在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，可不能改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，因此任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，明显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．因此，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使运算大大简化．2．用字母表示数我们先来运算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．因此我们得到了一个重要的运算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①那个公式叫平方差公式，以后应用那个公式运算时，不必重复公式的证明过程，可直截了当利用该公式运算．例5运算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6运算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7运算：分析与解直截了当运算繁．认真观看，发觉分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，因此分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，因此原式=24 690．例8运算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数差不多上前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就能够连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9运算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．那个公式也能够反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题确实是一个例子．通过以上例题能够看到，用字母表示数给我们的运算带来专门大的益处．下面再看一个例题，从中能够看到用字母表示一个式子，也可使运算简化．例10运算：我们用一个字母表示它以简化运算．3．观看算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请运算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直截了当把20个数加起来，明显运算量较大，粗略地估量一下，这些数均在90上下，因此可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，如此会大大简化运算．因此总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 运算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观看发觉：第一算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，因此可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一样地，一列数，假如从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都能够用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13运算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观看发觉，上式从第二项起，每一项差不多上它前面一项的5倍．假如将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，因此两式相减将使差易于运算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①因此5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明假如一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 运算：分析一样情形下，分数运确实是先通分．本题通分运算将专门繁，因此我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再运算，这种方法叫做拆项法．解由于因此说明本例使用拆项法的目的是使总和中显现一些能够相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中专门常用．练习一1．运算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试运算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。

培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-． 分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]． 解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +）， 知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++． 练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0． 练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5． 练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ． 则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2． 练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201． 方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11， 故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。

【同步教育信息】一. 本周教学内容：有理数的混合运算——简便运算技巧（2）二. 重点、难点：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确地理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择简捷的算法，可以很好地提高思维的敏捷性。

将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。

三. 我们的目标：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。

整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数均为整数且互素）。

并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

【典型例题】一. 巧用错位相减例1. ；解：∴原式或者用下面的“错位相减法”求和。

令，则将这两式错位相减得即再将这两式错位后式减去前式得二. 巧用分析法例2.解：考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：∴原式说明：分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。

三. 巧换元例3. 计算：解：设，则原式例4. ；解：直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1。

∴原式=24690。

四. 巧相约例5. 计算：解：原式五. 巧用倒序配对例6. 计算：解：设原式，对括号内各项倒序排列后，再设，则：所以所以原式六. 巧用倒数法例7. 计算分析：因为与互为倒数，而比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。

初中部 年级 (学科)导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔： 审核： 审批： 印数： 教师评价：课题： 常见有理数巧算的技巧〖学习目标〗能巧妙运用有关数学定律和数学方法，解决复杂的有理数计算题。

1.〖重点难点预见〗利用运算律巧算2.凑整法计算3.恰当分组计算4.裂相想消巧算5.分解相约计算6.错位相减计算〖学习流程〗1.利用运算律巧算例1.()()[]5413431618387÷-⨯-+-小结：在计算中应该合理的使用各种运算规律，才能使计算变得简单有序2.凑整法计算例1. 89+899+8999+89999+899999小结：找到一定规律，使数凑成整数3.恰当分组计算例2. (1+3+......+2011) —（2+4+ (2010)小结：如何将一个算式分成若干个才能使计算变得简单4.裂相想消巧算例4.211⨯+321⨯+431⨯+ (200019991)小结：根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以互相抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫做拆项法。

常用的拆项方法：①()11111++⨯-=n n n n ②d n n d n n d ++⨯-=11)(③()()211+⨯+⨯n n n =()()()[]2111121+⨯++⨯-⨯n n n n5.分解相约计算例5.2006⨯20082008—2008⨯20062006小结：分解的目的是为了找到相同项6.错位相减计算例6. S=1+2+22+32+........+20112小结：n 2=122-⨯n ，常见与错位相减得计算中。

学科: 奥数教学内容：有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。

将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。

内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。

整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数。

并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

要点讲解：§1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。

★★例1观察图1中的数轴用字母a,b,c依次表示点A，B，C 对应的数，试确定这三个数的大小关系。

思路：由B点在A点右边，知b-a>0，而A，B都在原点左边，故ab>0，又c>0，这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小。

解：因为C点在1的右边，所以c>1，因为A点在-1与之间，B 点在与0之间，所以AB 的距离大于而小于1，即由同样的理由有，。

所以又ab>0,故从而有 0<ab<b-a<c。

所以★★例2：设a,b是两个有理数，且a<b,求证：.证明1：∵ a<b, ∴ b>a, ∴ b-a>0.而∴∴证明2 ∵∴即∴又∴即故说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b 之间存在一个有理数，由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。

第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++ .3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321 ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321- 的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321- 是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。

初中数学拔尖材料02 有理数的巧算初中代数的第一个任务是：引进负数，建立有理数．有理数是代数的基础，必须要学好它．本讲内容主要介绍有理数的巧算的各种方法．1．凑整法：一般凑成整一、整十、整百、整千等数．例1．计算：89899899989999899999++++． 例2．计算：13312155132642586538++++++．例3．正整数1，2，3，…，9998，9999所有数码之和是多少？例4．计算：100100100999999+1999⨯个个个．2．应用运算定律：为了简化运算，通常改变运算顺序，交换律、结合律与分配律并举． 例5．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？例6．计算：1311132148()48868-+-⨯-．例7．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++．3．应用添（去）括号：为了揭示规律，适当添或去括号．例8．计算：12345678979899100+--++--+++--．例9．计算：1111111 ()()() 22448819216384-------．例10．计算：162500012560425÷-⨯．4．拆项法：为了运算简捷，常常需要将一个数学拆成两个数或几个数．例11．计算：5527 57275628⨯+⨯．例12．计算：179111315131220304256-+-+-．例13．求1111 12233420132014++++⨯⨯⨯⨯的值．例14．计算：11113771111155559++++⨯⨯⨯⨯．例15．计算：10123410248162+++++．5．应用幂的性质：对幂的指数较大的，根据数的特点及其关系，运用幂的性质可以简化运算．例16．计算：12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-．例17．计算：76777241(1001)(0.125)()()()71311-⨯-⨯-⨯-⨯-．6．倒序相加法：将式子倒过来，对应相加后，和相同．例18．求和：1234100+++++．例19．求一列数的各项之和：1，3，5，7， (2013)例20．求10099989796959493929110987654321++--+++--++++--+++--之和．例21．计算：11111212312341232013++++++++++++++．7．错位相减法：为了简化运算，乘一个数，将式子错位，相减相消． 例22．求23201312222S =+++++．例23．计算：233572112222n n S +=+++++．8．观察找规律：为了简化运算，观察式子，寻找规律．例24．试写出34⨯，3334⨯，333334⨯，…的一般规律，并进行证明．例25．现有数组：（1，1，1）；（2，4，8）；（3，9，27）；…；求第100组的三个数之和．例26．有一串数：11，12-，22，12-，13，23-，33，23-，13，14-，24，34-，…； （1）711是第几个数？（2）第400个数是多少？综合练习1．298720002000200029872987⨯-⨯=_____________________2．1001(((1))------=重括号_____________________3．194144336+630.125+63+63=2323223238⨯⨯⨯_____________ 4．1111++++=144771097100⨯⨯⨯⨯_____________ 5．2235353599=999999n n ⨯个个_____________ 6．已知：1231055++++=1231005050++++=1231000500500++++= …………猜想：12310m ++++=_____________7．设200400a ≤≤，6001200b ≤≤，则b a 的最大值是_____________ 8．若33331231514400++++=，则333324630++++=_____________ 9．把分子为1、分母大于1的自然数的分数称为单位分数；若把单位分数16表示成分母不同的两 个单位分数之和，试求出所有可能的表示．10．一串数：11，11，12，12，22，22，13，13，23，23，33，33，……； （1）115是第几个数？（2）第2014个分数是多少？。

第一讲 有理数的巧算【讲义解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯.2、有理数的相关概念和性质法则：⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律； ⑵凑整法； ⑶拆项法（裂项相消）； ⑷分组相约法； ⑸倒序相加法； ⑹错位相减法； ⑺换元法； ⑻观察探究、归纳法.【专题精讲】【例1】计算：32333333251233()0.750.5()1()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-.【练习】计算：（1）999998998999998999999998⨯-⨯；（2）121121(111315)()()(111315)111315111315⨯⨯⨯-++-+÷⨯⨯；（3）2123246...23()15721014...57n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅.【例2】计算：（1）123456789101112...2013201420152016.--++--++--+++--+（2）12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-.【练习】计算：（1）12345678910...2017+--++--++-+；（2）201510012016100015(0.75)( 1.2)(1)()36-⨯-⨯-⨯-.【例3】计算：（1）11111++++...+2612209900； （2）11111 (4287013010300)+++++.【练习】计算：（1）4812164000...1335577919992001-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯；（2）1111+++...+135357579301303305⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（3）111320152+...+1111111(1)(1+(1)(1+(1+223232015++++））...）.【反思】一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可用裂项相消法求值.【常见裂项公式】① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()(1)(1)211n n n n =--+-+； ③ 1111()()n n d d n n d =-++； ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++. 【例4】计算：20151111+++...+2482 .【练习】2320151+2+2+2+ (2)+【例5】计算： 1121231232015+()()...(...)2334442016201620162016++++++++++.【练习】159...7997++++.【反思】一般地，等差数列求和，可用倒序相加法.【例6】计算：2320151111+++ (3333)【练习】2320151111+++...+5555.【反思】一般地，等比数列求和，可用错位相减法.【例7】计算：11111111111111(1...)(...)(1...)(...)23201523420162320162342015++++++++-++++++++【练习】（1）1111111111(...)(1...)(1...)( (2320002199922000231999)+++++-++++++；（2）11191008551(152627)(315355)1733201517332015+-÷+-= .【例8】请你归纳出3333123...n ++++的公式，并计算3333123...200++++的值.【练习】计算：（1）1111(1)(1)(1)...(1)2016201520141000---⋅⋅-；（2）1111(1)(1)(1)...(1)13243520152017+++⋅⋅+⨯⨯⨯⨯；（3）1111...1+21+2+31+2+3+ (100)+++.。

第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++Λ.3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++Λ，求333333028642+++++Λ的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++Λ例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+-Λ的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。