七年级上册数学有理数有理数的运算知识点整理

人教版七年级数学上册第一章《有理数》知识点归纳一、有理数的有关概念1.正数与负数我们把以前学过的数大于零叫做正数。

有时在正数前面也加上“+”（正）号。

如+0.5、+3、+1/2……“＋”号可以省略。

我们把在以前学过的数（0除外）前面加上负号“-”的数叫做负数。

如－３、－０.５、-2/3……0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界。

正数与负数可以用来表示具有相反意义的量。

相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。

与一个量成相反意义的量不止一个。

2．有理数正整数、0统称自然数；正整数、0、负整数统称整数；正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数整数可以看做分母为1的分数。

正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。

可以这样说:有理数都能写成分数的形式；能写成分数（分子分母互质）形式的数是有理数.有理数的分类（两种）正整数整数零有理数负整数分数正分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负有理数负整数负分数3. 数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.4.相反数一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的左右，表示－a和a，我们说这两点关于原点对称.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数.5.绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

对任意有理数a ，总有0a ≥。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。

）6.比较大小（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

七年级上册数学月考知识点整理七年级上册数学月考知识点整理一、有理数的加减乘除1. 有理数的加法和减法有理数的加法定义：对于任意的有理数a、b，a+b也是一个有理数，且满足以下运算规律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)存在零元素：a+0=a存在负元素：a+(-a)=0有理数的减法定义：对于任意的有理数a、b，a-b也是一个有理数，且满足以下运算规律：减法的定义：a-b=a+(-b)减法的性质：a-b=c等价于a=b+c2. 有理数的乘法和除法有理数的乘法定义：对于任意的有理数a、b，a*b也是一个有理数，且满足以下运算规律：交换律：a*b=b*a结合律：(a*b)*c=a*(b*c)存在单位元素：a*1=a存在倒数元素：a*(1/a)=1有理数的除法定义：对于任意的有理数a、b（b≠0），a/b也是一个有理数，且满足以下运算规律：除法的定义：a/b=a*(1/b)除法的性质：a/b=c等价于a=b*c二、整数的运算1. 整数的加法和减法整数的加法定义：对于任意的整数a、b，a+b也是一个整数，且满足有理数加法的运算规律。

整数的减法定义：对于任意的整数a、b，a-b也是一个整数，且满足有理数减法的运算规律。

2. 整数的乘法和除法整数的乘法定义：对于任意的整数a、b，a*b也是一个整数，且满足有理数乘法的运算规律。

整数的除法定义：对于任意的整数a、b（b≠0），a/b也是一个整数或有理数。

三、平方根与立方根1. 平方根的概念平方根的定义：对于任意的非负数a，如果存在一个非负数x，使得x的平方等于a，即x^2=a，则x称为a的平方根，记作√a。

2. 平方根的性质平方根的非负性：对于任意的非负数a，其平方根x满足x≥0。

平方根的唯一性：对于任意的非负数a，其平方根x是唯一的。

3. 立方根的概念立方根的定义：对于任意的实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，即x^3=a，则x称为a的立方根，记作∛a。

初一数学上册知识点总结实数：—有理数与无理数统称为实数。

有理数：整数和分数统称为有理数。

无理数：无理数是指无限不循环小数。

自然数：表示物体的个数0、1、2、3、4～（0包括在内）都称为自然数。

数轴：规定了圆点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

相反数：符号不同的两个数互为相反数。

倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

绝对值：数轴上表示数a的点与圆点的距离称为a的绝对值。

一个正数的绝对值是本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

数学定理公式有理数的运算法则⑴加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。

⑵减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

⑶乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。

⑷除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数;两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数，都得0。

角的平分线：从角的一个顶点引出一条射线，能把这个角平均分成两份，这条射线叫做这个角的角平分线。

数学第一章相交线一、邻补角：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点，并且有一条公共边，这样的角叫做邻补角。

邻补角是一种特殊位置关系和数量关系的角，即邻补角一定是补角，但补角不一定是邻补角。

二、对顶角：是两条直线相交形成的。

两个角的两边互为反向延长线，因此对顶角也可以说成“把一个角的两边反向延长而形成的两个角叫做对顶角”。

七年级数学上册知识点多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

《有理数》知识要点一、有理数的概念1、正数和负数： (1）、大于0的数叫做正数. （2）、在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.（3）、数0既不是正数,也不是负数 .(4）、在同一个问题中,分别用正数与负数表示具有相反的量 .2、有理数：(1）凡能写成分数形式的数，都是有理数。

整数和分数统称有理数.注意：0既不是正数，也不是负数；—a 不一定是负数，如：—（-2）=4，这个时候的a=—2. π不是有理数；(2)有理数的分类:①按定义分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②按性质分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 （3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数；a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数; a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数。

3、数轴【重点】：（1)、规定原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

它满足以下要求:（1)、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（2）、画数轴的步骤:一画（画直线）；二取（取原点和正反向）；三选（选取单位长度)；四标（标数字）。

数轴的规范画法:是条直线,数字在下,字母在上.注意:（1）所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

原点表示数0.(2）、正数在原点的右边，与原点的距离是|a|个单位长度； 负数在原点的左边，与原点的距离是|a ｜个单位长度。

4、相反数：（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

注意：① a —b 的相反数是b —a ；a+b 的相反数是—a —b ；② 相反数的商为-1; ③ 相反数的绝对值相等。

（3）、a 和-a 互为相反数。

0的相反数是0,正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

相反数是它本身的数只有0。

(4）、在任意一个数前面添上“-”号， 表示原数的相反数。

有理数及其运算知识点总结大全一、本章知识概述本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分：主要内容是有理数的有关概念.首先是理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．其次是认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.第二部分：学习有理数的加减法运算，通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．第三部分：主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，运用乘法运算律简化计算；根据有理数除法法则进行有理数的除法运算，求有理数的倒数；根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算，通过实例感受当底数大于1时，乘方运算结果的快速增长．根据有理数混合运算顺序的规定，进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，在运算过程中，合理使用运算律简化运算；使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，使用计算器进行实际问题的复杂运算．二、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念 比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数. 为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略. 对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.2、有理数的概念及分类 整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数． 到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数. 通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义. 一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了. 相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.7、有理数大小的比较法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小.8、有理数加法法则在中，a 叫做底数，n 叫做指数，叫做幂．n a na 的读法有两种：n a (1)读作a 的n 次幂．(2)读作a 的n 次方．20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．21、科学记数法把一个大于10的数记成的形式，其中a 的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记10na 数法．22、有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义 随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数、负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数 . 正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .2、数集的概念 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .3、多重符号的化简规律 单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 . 括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 . 在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .4、两个负有理数的大小比较 两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 . 两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .5、有关绝对值的计算及化简107。

第二章有理数及其运算一、有理数1.用正、负数表示具有相反意义的量2.有理数的分类(1)按定义分类(2)按符号分类二、数轴1.数轴的概念规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.2.用数轴上的点表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.3.比较有理数的大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．(2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数．三、绝对值1.相反数的概念及性质（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等2.绝对值的概念及性质（1）一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值（2）一个正数的绝对值是它本身.（3）一个负数的绝对值是它的相反数.（4）0的绝对值是0.3.比较两个负数的大小两个负数，绝对值大的反而小．三、有理数的运算1.有理数的加法(1)加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数。

(2)加法的运算律加法的交换律加法的结合律2.有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.3.有理数的乘法(1)乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.(2)乘法的运算律乘法的交换律乘法的结合律乘法对加法的分配律4.有理数的除法除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数.5.有理数的乘方乘方运算规律：(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(3)0的任何正整数次幂都是0．(4)a的偶次幂是正数，即a n≥0(其中n为偶数)．6.有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．四、科学记数法1.科学记数法的概念一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．2.a与n的取法在a×10n形式中，n的值是原数整数位数减1，a 则是将原数保留一位整数得来的．。

第4讲有理数的加减乘除乘方运算知识点1 加减运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. .有理数加法运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 加减混合运算技巧：把符号相同的加数相结合； 把和为整数的加数相结合；把分母相同或便于通分的加数相结合； 既有小数又有分数的运算要统一后再结合； 把带分数拆分后再结合； 分组结合； 先拆项后结合.【典例】⎧⎪⎨⎪⎩加减运算有理数的运算乘除运算乘方运算()a b a b -=+-a b b a +=+()()a b c a b c ++=++1.计算：（1）4+（﹣6）；（2）（﹣116）+（-23）；（3）-2-（﹣3.5）；（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.【方法总结】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．注意：绝对值有括号的作用.2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；（2）(−478)−(−512)+(−414)−(+3178)；（3）−200956−(+200823)−(−401834)+(−112)；（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.【方法总结】（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误. 【随堂练习】1．（2017秋•小店区校级月考）计算：（1）﹣3+（﹣4）﹣（﹣5）； （2）1+（﹣2）+|﹣2|﹣5； （3）﹣5﹣（+11）+；（4）．2．（2016秋•靖远县校级月考）计算题： （1）27﹣28+（﹣7）﹣32 （2）1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣4； （3）0.5+（﹣）﹣（﹣2.75）+0.25 （4）3+（﹣1）+（﹣3）+1+2．知识点2 乘除运算有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值． 多个有理数相乘：（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于． 有理数乘法运算律：（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．00000ab ba（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．整除：一个整数a 除以一个不为0的整数b ，商是整数，而没有余数，则我们说a 能被b 整除（或说b 能整除a ）.【典例】1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）； （2）（﹣8）÷（﹣1.25）； （3）11÷17×(−411)； （4）(−1.5)×45÷(−25)×34．【方法总结】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．()()ab c a bc =()a b c ab ac +=+1本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．2.计算：（1）37×（﹣45）×712×58；（2）292324÷（﹣112）；（3）﹣5×（﹣115）+13×（﹣115）﹣3×（﹣115）.【方法总结】（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．【随堂练习】1．（2017秋•夏邑县期中）小华在课外书中看到这样一道题：计算：（）+（）．她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．2．（2017秋•兴化市期中）小明对小丽说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数与6的差的三分之一，我可以知道你计算的结果．”请你根据小明的说法探索：（1）如果小丽一开始想的那个数是﹣5，请列式并计算结果； （2）如果小丽一开始想的那个数是2m ﹣3n ，请列式并计算结果； （3）根据（1）、（2），尝试写出一个结论．3．（2017秋•盐都区校级月考）阅读下列材料： 计算：÷﹙﹣+﹚． 解法一：原式=÷﹣÷+÷=×3﹣×4+×12=．解法二：原式=÷﹙﹣+﹚=÷=×6=．解法三：原式的倒数=﹙﹣+﹚÷=﹙﹣+﹚×24=×24﹣×24+×24=4． 所以，原式=．（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣+﹣﹚．知识点3 乘方乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；（2）在中，叫做底数，叫做指数；（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂． 注意：，其底数为，；，其底数为，；，其底数为，； n n a n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个n a a n n a a n n a a n a n ()224-=()2-()()()22224-=-⨯-=224-=-2()()222121224-=-⨯=-⨯⨯=-239=749⎛⎫⎪⎝⎭372333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，其底数为，； ，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写． 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方. 科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 万，亿 .【典例】1.一张纸的厚度为 0.09mm （毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．【方法总结】根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm ，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm ；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm ；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm ；对折n 次后纸的厚度为0.09×2n mm ，据此列出算式．即可求解．本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积． 2.若|x −2|+(y −23)2=0，则y x =__________．【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入计算即可求解．239=77323339777⨯==221391224⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51511010n a ⨯110a ≤<n n 101n -101410=810=3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；（2）用科学记数法表示出690000这个数；（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．【方法总结】用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．【随堂练习】1．（2017秋•石景山区期末）（﹣1）2018÷．2．（2017秋•蚌埠期中）﹣32×（﹣）3=______．3．（2017秋•浦东新区期中）用简便方法计算：﹣35×（﹣）5×（﹣5）6（结果可用幂的形式表示）综合运用1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．2.2.5+（﹣214）﹣1.75+（﹣12）=____．3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．6.计算：（﹣0.5）+|0﹣614|﹣（﹣712）﹣（﹣4.75）．7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？8.计算下列各式：（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；（2）91819×15；（3）﹣100×18﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.。

第一章有理数一、有理数：1.定义：凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；2.有理数的分类:3.注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。

4.自然数Û0和正整数a＞0 Ûa是正数；a＜0 Ûa是负数；a≥0 Ûa是正数或0 Ûa是非负数；a≤0 Ûa是负数或0 Ûa是非正数.二、数轴1.定义：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

三、相反数1.只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。

2.注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；3.相反数的和为0 Ûa+b=0 Ûa、b互为相反数。

4.相反数的商为-1。

5.相反数的绝对值相等。

四、绝对值1.正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；2、绝对值可表示为：4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0；五、有理数比大小1.正数永远比0大，负数永远比0小；2.正数大于一切负数；3.两个负数比较，绝对值大的反而小；4.数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；5.-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。

六、倒数1.定义：乘积为1的两个数互为倒数；2.注意：（1）0没有倒数（2)若ab=1Ûa、b互为倒数（3）若ab=-1Ûa、b互为负倒数2.等于本身的数汇总：（1）相反数等于本身的数：0（2）倒数等于本身的数：1，-1（3）绝对值等于本身的数：正数和0（4）平方等于本身的数：0,1（5）立方等于本身的数：0,1，-1.七、有理数加法法则1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

七年级上数学有理数知识点在七年级上数学学习中，有理数是一个重要的知识点。

有理数包括整数、正数、负数、零以及它们的运算。

下面将介绍有理数的基本概念、加减乘除运算以及应用。

一、有理数的基本概念有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括正有理数、负有理数和零。

其中，正有理数是大于零的有理数，负有理数是小于零的有理数，零是既不是正有理数也不是负有理数的有理数。

二、有理数的加减乘除运算1. 加法运算：有理数的加法运算满足交换律、结合律和零元素。

即对于任意的有理数a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=a。

2. 减法运算：有理数的减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。

其中，-b表示b的相反数。

有理数的减法运算满足a+(-a)=0。

3. 乘法运算：有理数的乘法运算满足交换律、结合律和单位元素。

即对于任意的有理数a、b和c，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×1=a。

4. 除法运算：有理数的除法可以转化为乘法，即a÷b=a×(1/b)，其中1/b表示b的倒数。

有理数的除法运算满足a÷a=1。

三、有理数的应用有理数在生活中的应用非常广泛。

以下列举了一些常见的应用场景：1. 温度计：温度既可以是正数，也可以是负数，用有理数来表示。

正数表示高温，负数表示低温。

2. 海拔高度：海拔高度也可以是正数和负数，正数表示高于海平面，负数表示低于海平面。

3. 账户余额：银行账户的余额可以是正数，表示存款金额；也可以是负数，表示欠款金额。

4. 游戏得分：游戏得分可以是正数，表示得分；也可以是负数，表示失分或扣分。

总结：有理数是包括整数、正数、负数和零的集合。

有理数的加减乘除运算满足一定的运算规律。

有理数在生活中有着广泛的应用，可以用来表示温度、海拔高度、账户余额和游戏得分等。

通过学习有理数的概念和运算规律，我们可以更好地理解和应用数学知识。

第一章有理数的运算期末总复习资料知识点一：有理数的加、减、乘、除、乘方运算1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与0相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a；⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：a-b=a+(-b)。

4.在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”5.有理数的乘法法则①：、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）②任何数同0相乘，都得0；③几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0 ④几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：ab=ba⑵乘法结合律(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律a(b+c)=ab+ac6.有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即a（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得07.乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

第一章有理数1.1正数和负数1.正数：大于0的数.2.负数：小于0的数.3.0即不是正数，也不是负数.4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.1.2有理数及其大小比较1.整数：正整数、0、负整数，统称整数.2.有理数：可以写成分数形式的数.（1）正有理数：可以写成正分数形式的数.（2）负有理数：可以写成负分数形式的数.3.数轴（1）定义：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.（在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点；规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的长度为单位长度.）（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.（3）原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.（4）数轴上特殊的最大（小）数①最小的自然数是0，无最大的自然数；②最小的正整数是1，无最大的正整数；③最大的负整数是-1，无最小的负整数.4.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（1）任何数都有相反数，且只有一个；（2）0的相反数是0；（3）互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0.5.绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.6.有理数的大小比较（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小.第二章有理数的运算2.1有理数的加法与减法1.有理数加法法则（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数与0相加，仍得这个数.2.有理数加法运算律（1）加法交换律：a+b=b+a（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.2.2有理数的乘法与除法1.有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.（2）任何数与0相乘，都得0.2.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；但0没有倒数.3.有理数乘法的运算律（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.4.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数.（注意：0不能做除数）（1）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.（2）0除以任何一个不等于0的数，都得0.2.3有理数的乘方1.乘方：求n个相同乘数的积的运算.（1）乘方的结果叫作幂.（2）在a n中，a叫作底数，n叫作指数.（3）负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0.2.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1，整数位数=10的指数+1.第三章代数式3.1列代数式表示数量关系1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子.（1）单独的一个数或字母也是代数式.（2）列代数式应注意：若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应用小括号括起来.2.反比例（1）两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.（2）反比例关系可以用xy=k或kyx来表示，其中k叫作比例系数.（k≠0）3.2代数式的值1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果.2.求代数式的一般步骤（1）代入：用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数值都不能改变；（2）计算：按照代数式指明的运算，根据有理数的运算方法进行计算.第四章整式的加减4.1整式1.整式（1）定义：单项式和多项式的统称.（2）单项式：数与字母的乘积组成的式子叫单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.（3）系数；一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数.（4）次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.（5）多项式：几个单项式的和.（6）项：组成多项式的每个单项式.（7）常数项：不含字母的项.（8）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数.4.2整式的加法与减法1.同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项.3.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.4.整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项.（1）步骤：①列出代数式；②去括号；③合并同类项.（2）去括号的法则①括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；②括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变.第五章一元一次方程5.1方程1.等式：用“=”号连接而成的式子.2.等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c.（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，（c≠0），那么a/c=b/c.3.方程：含未知数的等式（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）.4.方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值.5.一元一次方程（1）概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程.（2）一般形式：ax+b=0（a≠0）5.2解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边.2.解一元一次方程的一般步骤化简方程——分数基本性质去分母——同乘（不漏乘）最简公分母去括号——注意符号变化移项——变号（留下靠前）合并同类项——合并后符号系数化为1——除前面5.3实际问题与一元一次方程1.用方程解决问题（1）行程问题：路程=时间×速度（2）利润问题：利润=售价-进价，售价=标价×（1-折扣）（3）等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；（4）利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率（5）顺水逆水问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度第六章几何图形初步6.1几何图形1.几何图形：把从实物中抽象出来的各种图形的统称.2.立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形.（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）3.平面图形：有些几何图形的各部分都在同一平面内，这样的图形是平面图形.（三角形、四边形、圆、多边形等）4.展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.5.点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.（2）点动成线，线动成面，面动成体.6.2直线、射线、线段1.直线、线段、射线（1）线段：线段有两个端点.（2）射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线只有一个端点.（3）直线：将线段的两端无限延长就形成了直线.直线没有端点.（4）两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.（5）相交：两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交.（6）两条直线相交有一个公共点，这个公共点叫交点.（7）中点：M点把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点.（8）线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.（两点之间，线段最短）（9）距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.2.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图.6.3角1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边.或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的.2.平角和周角（1）平角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角.（2）周角：终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角.3.角的表示（1）用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等.（2）用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等.（3）用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等.（4）用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等.注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧.4.角的度量单位及换算（60进制）（1）角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”.（2）换算1°=60'，1'=60”把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1'”.把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1''”.5.角的分类6.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.7.余角和补角（1）余角：两个角的和等于90度，这两个角互为余角.即其中每一个是另一个角的余角.（2）补角：两个角的和等于180度，这两个角互为补角.即其中一个是另一个角的补角.（3）补角的性质：等角的补角相等.（4）余角的性质：等角的余角相等.。

初一上册有理数运算法则知识点必备有理数是数学中的一个常考点，专门多同学在做题的时候经常会遇见，在那个地点把七年级上册有理数运算法则知识点告诉大伙儿，以备同学们在遇到的时候参考一下。

(1)有理数的加法法则：1. 同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加;2. 绝对值不等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;3. 一个数与零相加仍得那个数;4. 两个互为相反数相加和为零。

⑵有理数的减法法则：减去一个数等于加上那个数的相反数。

补充：去括号与添括号：去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变;括号前是“-”号时，将括号连同它前边的“-”去掉，括号内各项都要变号。

添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变;在“-”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。

⑶有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;②任何数与零相乘都得零;③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负;当负因数的个数为偶数个时，积为正;④几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。

⑷有理数的除法法则：法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;法则二：除以一个数等于乘以那个数的倒数。

⑸有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。

正数的任何次幂差不多上正数;负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

⑹有理数的运算顺序：有理数的混合运算法则即先算乘方或开方，再算乘法或除法，后算加法或减法。

有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。

[5*(4-5+5)]÷5=(5*4)÷5=4⑺运算律：①加法的交换律：a+b=b+a;②加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c);课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

1.有理数的概念：有理数包括整数和分数，正数、负数和零都是有理数。

有理数可以用分数表示，也可以用小数表示。

2.有理数的绝对值：有理数的绝对值是其与零的距离，表示为，a。

正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数。

3.有理数的加法和减法：有理数之间的加法和减法遵循下面的法则：-同号相加，数值相加，符号不变；-同号相减，数值相减，符号不变；-不同号相加，数值相减，结果的符号由大的数决定，绝对值取两数的差；-不同号相减，数值相加，结果的符号由大的数决定，绝对值取两数的和。

4.有理数的乘法和除法：有理数之间的乘法和除法遵循下面的法则：-同号相乘或相除，结果为正数；-不同号相乘或相除，结果为负数；-0乘以任何数的结果为0；-0不能作为除数。

5.分数的约分和扩展：分数可以进行约分和扩展。

约分是指将分子和分母同时除以一个数，使得两者之间的最大公约数为1、扩展是指将分子和分母同时乘以一个数，得到一个等值的分数。

6.分数的加法和减法：分数之间的加法和减法，需要将分数转化为相同的分母，然后进行相应的运算。

具体的步骤有：-找到两个分数的最小公倍数，将分母变为最小公倍数；-分子进行相应的运算；-约分。

7.分数的乘法和除法：分数之间的乘法和除法，直接将分子相乘或分子乘以除数的倒数即可。

8.实际问题中的运用：有理数的运算在实际问题中有广泛的应用。

例如在温度计上，正数表示温度高于摄氏度，负数表示温度低于摄氏度；在海拔高度的计算中，正数表示山上，负数表示山下等。

以上就是七年级上册数学第四章的主要知识点总结。

这些知识点是初步掌握有理数运算的基础，通过练习和实际问题的运用，可以更好地理解和应用这些概念。

七年级数学上册“有理数的运算”知识点梳理导图知识点一、有理数的加法（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；例：1＋2＝3（1和2都是正数，和取正号；|3|＝|1|＋|2|）﹣2＋（﹣3）＝﹣5（﹣2和﹣3都是负数，和取负号；|﹣5|＝|﹣2|＋|﹣3|）（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差；例：2＋（﹣1）＝1（|2|＞|﹣1|，和取正号；|1|＝|2|－|﹣1|）2＋（﹣3）＝﹣1（|﹣3|＞|2|，和取﹣号；|﹣1|＝|﹣3|－|2|）（3）互为相反数的两个数相加得０；例：1＋（﹣1）＝0；﹣2＋2＝0（4）一个数与０相加，仍得这个数；例：1＋0＝1；﹣2＋0＝﹣2（5）两个数相加，交换加数的位置，和不变；例：1＋2＝2＋1＝3；1＋（﹣2）＝（﹣2）＋1＝﹣1；（﹣1）＋（﹣2）＝（﹣2）+（﹣1）＝﹣3（6）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；例：1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6；(﹣1)+(﹣2)+(﹣3)=(﹣1)+[(﹣2)+(﹣3)]=[(﹣1)+(﹣2)]+(﹣3)=﹣6习题1：计算（1）：3+4； （2）：﹣4＋（﹣5）； （3）：5＋（﹣6）；（4）：﹣7＋8； （5）：9＋0； （6）：﹣10＋0；（7）：10＋11＋12； （8）：（﹣11）+（﹣12）+（﹣13）； （9）：12＋（﹣13）＋（﹣14）知识点二、有理数的减法（1）减去一个数，等于加这个数的相反数例：1－2＝1＋（﹣2）＝﹣1；（﹣2）－3＝（﹣2）＋（﹣3）＝﹣50－5＝0＋（﹣5）＝﹣5习题2：计算（1）：3－4； （2）5－4； （3）（﹣6）－5； （4）（﹣6）－（﹣7）；（5）：8－7； （6）0－9 （4）0－（﹣10）知识点三、有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； 例：1×2＝2（1和2都是同号，积为正；|2|＝|1|×|2|）（﹣2）×（﹣3）＝6（﹣2和﹣3都是同号，积为正；|6|＝|﹣2|×|﹣3|） 2×（﹣3）＝﹣6（2和﹣3是异号，积为负；|﹣6|＝|﹣2|×|﹣3|）（2）任何数与０相乘，都得０；例：0×0＝0；1×0＝0；（﹣2）×0＝0（3）乘积是１的两个数互为倒数；例： 2×12＝1（2与12互为倒数）（﹣3）×(﹣13)＝1（﹣3与﹣13互为倒数）（4）两个数相乘，交换乘数的位置，积不变；例：1×2＝2×1＝2；5×（﹣6）＝（﹣6）×5＝﹣30（5）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；例：﹣1×2×3＝﹣1×（2×3）＝（﹣1×2）×3＝﹣6；（6）一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加； 例：2×（1＋3）＝2×1＋2×3＝8（7）α×b 也可以写为α·b 或αb ；当用字母表示乘数时，“×”可以写成“·”或省略； 例：5×α可以写成5·α或5α习题3：计算（1）2×3； （2）：（﹣3）×（﹣4）； （3）：4×（﹣5）；（4）：0×100； （5）：1×2×3； （6）：（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）；（7）：（﹣3）×（﹣4）×5；（8）：2×（2＋3）；（9）：3×（4－5）；（10）4×[（﹣3）+（﹣4）]知识点四、有理数的除法（1）除以一个不等于０的数，等于乘这个数的倒数例：4÷（﹣2）＝4×（﹣1）＝22（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商例：（﹣8）÷（﹣2）＝4（﹣8和﹣2都是同为负号，商为正；|4|＝|﹣8|÷|﹣2|）8÷（﹣2）＝﹣4（8和﹣2一正一负为异号，商为负；|﹣4|＝|8|÷|﹣2|）（3）０除以任何一个不等于０的数，都得０例：0÷（﹣9）＝0；0÷9＝0习题4：计算（1）：6÷（﹣3）；（2）：（﹣10）÷（﹣2）；（3）：10÷（﹣10）；（4）：0÷4知识点五、有理数的乘方（1）求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。

七年级数学（上册）重点知识点整理总结有理数1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；(3)0a 1aa >⇔= ；0a 1aa <⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|,ba ba =. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a.13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n=-a n或(a-b)n=-(b-a)n, 当n 为正偶数时: (-a)n=a n或 (a-b)n=(b-a)n. 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.代数初步知识1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ；（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2； a 与b 差的平方是：（a-b ）2；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2，非正数是：-a 2.整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

有理数第二讲有理数的运算一、梳理知识（一）有理数的加减法1、有理数的加法法则：①同号相加，符号不变，绝对值相加②绝对值不相等的异号相加，符号与较大绝对值的相同，绝对值大的减去小的③互为相反数的两个数相加得0④一个数与0相加，仍得这个数减去一个数等于加上这个数的相反数2、简化计算：①互为相反数的两数先相加②符号相同的数先相加③分母相同的先相加④几个数相加得到整数的先相加（带分数化为假分数，小数化为分数）（二）有理数的乘除法1、乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘②几个不为0的数相乘，奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正（奇负偶正）任何数与0相乘得02、除法法则：①两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除②除以一个数等于乘以这个数的倒数0除以任何一个不等于0 的数得0乘法交换律：乘法结合律：乘法对加法的分配律：（三）有理数的乘方定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数．n a读作a的n次方．（将n a看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.（四）科学记数法科学记数法形式：10na ⨯，其中110a ≤<，n 为正整数．有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式 二、例题 例1 计算1、12411()()()23523+-++-+- 2151()054(9)3663-+-+-+-2、54(3)(1)(0.25)65-⨯⨯-⨯- 1(12)()(100)12-÷-÷-3、 9181799⨯-33514(1)(8)(3)[(2)5]217---⨯+-÷-+课堂练习：计算20(14)1813-+---- 215[4(10.2)(2)]5---+-⨯÷-512557÷例21、某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向行驶，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里），依先后次序记录如下：+9、-3、-5、+6、-7、+10、-6、-4、+4、-3、+7（1）将最后一名乘客送到目的地时，出租车离公园多远？在公园的什么方向？（2）若出租车每公里耗油量为0.1升，则这辆出租车每天下午耗油多少升？2、一辆货车从超市出发送货．先向南行驶30km到达A单位，继续向南行驶20km到达B单位．回到超市后，又给向北15km处的C单位送了3次货，然后回到超市休息．（1）C单位离A单位有多远？（2）该货车一共行驶了多少km？课堂练习：1、教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：+5，-4，-8，+10，+3，-6，+7，-11．（1）将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？（2）若汽车耗油量为0.2升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为6.20元/升，则小王共花费了多少元钱？2、小明去一水库进行水位变化的实地测量，他取警戒线作为0m ，记录了这个水库一周内的水位变化情况（测量前一天的水位达到警戒水位，单位：m ，正号表示水位比前一天上（1）这一周内，哪一天水库的水位最高？哪一天的水位最低？最高水位比最低水位高多少？ （2）与测量前一天比，一周内水库水位是上升了还是下降了？例31、某市去年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值精确到 ，有效数字为 .2、国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为 ；41.2010⨯精确到 ，有效数字为 .3、用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值 60290（保留两个有效数字）； 0.03057（保留3个有效数字） 2345000（精确到万位）； 34.4972（精确到0.01）课堂练习：1、近似数2.75万精确到 ，有效数字有 个，分别为 .2、据《维基百科》最新统计，使用闽南语的人数在全世界数千语种中位列第21名，目前有约70010000人使用闽南语，70010000用科学记数法表示为 ；3、42.110⨯精确到 ，有效数字为 . 4、用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值 1250（保留两个有效数字）； 0.1200（保留3个有效数字） 12050（精确到千位）； 120.12（精确到0.001）作业1、计算：)611()212()31(1---++-- 21122()(2)2233-+⨯--2、据统计，今年春节期间，凤凰古城接待游客约为210000人，其中210000人用科学记数法表示为 人 3、近似数2.10万精确到 ，有效数字为 ；52.1010⨯精确到 ，有效数字为 .4、用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值 2014（保留两个有效数字）； 0.3450（保留2个有效数字） 201305（精确到万位）； 0.12450（精确到千分位）5、食品厂从袋装食品中抽出样品30袋，检测每袋的质量是否符合标准．超过和不足的部分分别用正、负数表示，记录如下：（1）这批样品的平均质量比每袋的标准质量是多还是少？多或少多少克？ （2）食品袋中标有“净重100±2克”，这批抽样食品中共有几袋质量不合格？这批抽样食品的总质量是多少？。

有理数知识点总结归纳正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数,也不是负数注意：①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数；当a表示负数时,-a 是正数；当a表示0时,-a仍是0;如果出判断题为：带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写;所以省略“+”的正数的符号是正号;2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃表示的意义⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数;如：有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数0和正整数统称为自然数⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数;理解：只有能化成分数的数才是有理数;①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数;②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数;注意：引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数;2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 0不能忽视正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数也叫自然数②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴;注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的;2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示;⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系;如,数轴上的点π不是有理数3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小;4.数轴上特殊的最大小数⑴最小的自然数是0,无最大的自然数；⑵最小的正整数是1,无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之,a是正数,则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之,a是负数,则a<0⑶a=0表示a是0；反之,a是0,,则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置;相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0;注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0;2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数,且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数；互为相反数的两个数,在数轴上的对应点0除外在原点两旁,并且与原点的距离相等;0的相反数对应原点；原点表示0的相反数;说明：在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称;4.相反数的求法⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得如：5的相反数是-5；⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简如；5a+b 的相反数是-5a+b;化简得-5a-b；⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简如：-5的相反数是--5,化简得55.相反数的表示方法⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0;当a>0时,-a<0正数的相反数是负数当a<0时,-a>0负数的相反数是正数当a=0时,-a=0,0的相反数是06.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正;绝对值⒈绝对值的几何定义一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|;2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.可用字母表示为：①如果a>0,那么|a|=a；②如果a<0,那么|a|=-a；③如果a=0,那么|a|=0; 可归纳为①：a≥0,<═> |a|=a 非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数;②a≤0,<═> |a|=-a 非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数;3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性;所以,a取任何有理数,都有|a|≥0;即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；⑶任何数的绝对值都不小于原数;即：|a|≥a；⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数;即：若|x|=aa>0,则x=±a；⑸互为相反数的两数的绝对值相等;即：|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|；⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数;即：|a|=|b|,则a=b或a=-b；⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0;即|a|+|b|=0,则a=0且b=0;非负数的常用性质：若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为04.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小,绝对值大的反而小；异号两数比较大小,正数大于负数;5.绝对值的化简①当a≥0时, |a|=a ；②当a≤0时, |a|=-a6.已知一个数的绝对值,求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数;有理数的加减法1.有理数的加法法则⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加,和为零；⑷一个数与零相加,仍得这个数;2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：a+b+c=a+b+c在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”;3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数;即：⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b<a ⑶当b=0时,a+b=a4.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数;用字母表示为：a-b=a+-b;5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算;在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式;如：-8+-7+-6++5=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：Ⅰ.把符号相同的加数相结合同号结合法-33--18+-15-+1++23原式=-33++18+-15+-1++23 将减法转换成加法=-33+18-15-1+23 省略加号和括号=-33-15-1+18+23 把符号相同的加数相结合=-49+41 运用加法法则一进行运算=-8 运用加法法则二进行运算Ⅱ.把和为整数的加数相结合凑整法++-+-+原式=++++++ 将减法转换成加法= 省略加号和括号= 把和为整数的加数相结合=4-10+ 运用加法法则进行运算= 把符号相同的加数相结合,并进行运算= 得出结论Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合同分母结合法 -53-21+43-52+21-87原式=-53-52+-21+21++43-87 =-1+0-81 =-181 Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合先统一后结合 +--343+-381--1032-+ 原式=+81++343+-381++1032+-141 =81+343-381+1032-141 =343-141+81-381+1032 =221-3+1032 =-3+1361 =1061 Ⅴ.把带分数拆分后再结合先拆分后结合-351+10116-12221+4157 原式=-3+10-12+4+-51+157+116-221 =-1+154+2211 =-1+308+3015 -307 Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69=0Ⅶ.先拆项后结合1+3+5+7…+99-2+4+6+8…+100有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三法则二：任何数同0相乘,都得0；法则三：几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数；负因数的个数是奇数时,积是负数；法则四：几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a ·a 1=1a ≠0,就是说a 和a 1互为倒数,即a 是a 1的倒数,a 1是a 的倒数;注意：①0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数;求一个数的倒数,不改变这个数的性质；④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0;3.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等;即ab=ba⑵乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等;即abc=abc.⑶乘法分配律：一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加;即ab+c=ab+ac4.有理数的除法法则1除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数;2两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数,都得05.有理数的乘除混合运算1乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果;2有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行;有理数的乘方1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂;在n a中,a 叫做底数,n 叫做指数;2.乘方的性质1负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数;2正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0;有理数的混合运算做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序：1.先乘方,再乘除,最后加减；2.同级运算,从左到右进行；3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行;科学记数法把一个大于10的数表示成na10⨯的形式其中10≤a, n是正整数,这种记数法1<是科学记数法;用字母表示数代数式代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc;单独的一个数或一个字母也是代数式;单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式;单独的一个数或一个字母也是代数式;单项式的系数：单项式中的数字因数单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数和多项式：几个单项式的和叫做多项式;每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项;多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数;常数项的次数为0;整式：单项式和多项式统称为整式;注意：分母上含有字母的不是整式;代数式书写规范：①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示,并把数字放到字母前；②出现除式时,用分数表示；③带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数；④若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来;合并同类项同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;合并同类项的法则：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变;合并同类项的步骤：1准确的找出同类项；2运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起；3利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变；4写出合并后的结果;去括号的法则1括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不变；2括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号都要改变;整式的加减：进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项; 整式加减的步骤：1列出代数式；2去括号；3合并同类项;一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一个未知数元且未知数的指数是1次的方程叫做一元一次方程;一般形式：ax+b=0a ≠0注意：未知数在分母中时,它的次数不能看成是1次;如x x=+31,它不是一元一次方程;解一元一次方程方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解;解方程：求方程的解的过程叫做解方程;等式的性质：1等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式；2等式两边都乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍是等式; 移项移项：方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项;移项的依据：1移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质1；2系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除,根据是等式的性质2;移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并;注意：移项时要跨越“=”号,移过的项一定要变号;解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1;注意：去分母时不可漏乘不含分母的项;分数线有括号的作用,去掉分母后,若分子是多项式,要加括号;解下列方程：1x x 2434-=-；2)9(76)20(34x x x x --=--；33136521--=+-+x x x ；435.0102.02.01.0=+--x x 用方程解决问题列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数元、列出方程、解方程、写出答案;关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程; 解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系 实际问题的常见类型：行程问题：路程=时间×速度,时间=速度路程,速度=时间路程 单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时工程问题：工作总量=工作时间×工作效率,工作总量=各部分工作量的和 利润问题：利润=售价-进价,利润率=进价利润,售价=标价×1-折扣 等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率走进图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形;立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形;平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形;2、点、线、面、体1几何图形的组成点：线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形;线：面和面相交的地方是线,分为直线和曲线;面：包围着体的是面,分为平面和曲面;体：几何体也简称体;2点动成线,线动成面,面动成体;3、生活中的立体图形圆柱柱体棱柱：三棱柱、四棱柱长方体、正方体、五棱柱、……生活中的立体图形球体按名称分圆锥椎体棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱;侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱;n棱柱有两个底面,n个侧面,共n+2个面；3n条棱,n条侧棱；2n个顶点;棱柱的所有侧棱长都相等,棱柱的上下两个底面是相同的多边形,直棱柱的侧面是长方形;棱柱的侧面有可能是长方形,也有可能是平行四边形;5、正方体的平面展开图：11种6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形;7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图;主视图：从正面看到的图,叫做主视图;左视图：从左面看到的图,叫做左视图;俯视图：从上面看到的图,叫做俯视图;平面图形的认识线段,射线,直线点、直线、射线和线段的表示在几何里,我们常用字母表示图形;一个点可以用一个大写字母表示,如点A一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示,如直线l,或者直线AB一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示端点字母写在前面,如射线l ,射线AB一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示,如线段l ,线段AB点和直线的位置关系有两种：①点在直线上,或者说直线经过这个点;②点在直线外,或者说直线不经过这个点;线段的性质1线段公理：两点之间的所有连线中,线段最短;2两点之间的距离：两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离;3线段的中点到两端点的距离相等;4线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的;5线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法线段的中点：点M 把线段AB 分成相等的两条相等的线段AM 与BM,点M 叫做线段AB 的中点;M 是线段AB 的中点AM=BM=21AB 或者AB=2AM=2BM直线的性质1直线公理：经过两个点有且只有一条直线;2过一点的直线有无数条;3直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小;4直线上有无穷多个点;MA B5两条不同的直线至多有一个公共点;角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边;或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的;平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角;终边继续旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角;角的表示：①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等;②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等;③用一个大写英文字母表示一个独立在一个顶点处只有一个角的角,如∠B,∠C等;④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等;注意：用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧;用一副三角板,可以画出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”;1°=60’,1’=60”把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”;把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””;角的性质1角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关;2角的大小可以度量,可以比较3角可以参与运算;角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线;1∠AOC或者∠AOC=2∠AOB=2∠AOB=∠BOC=2∠BOC余角和补角①如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角,简称互余,其中一个角是另一个角的余角;用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°,那么∠α与∠β互余；反过来,如果∠α与∠β互余,那么∠α+∠β=90°②如果两个角的和是一个平角,这两个角叫做互为补角,简称互补,其中一个角是另一个角的补角;用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补,那么∠α+∠β=180°③同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等;对顶角①一对角,如果它们的顶点重合,两条边互为反向延长线,我们把这样的两个角叫做互为对顶角,其中一个角叫做另一个角的对顶角;注意：对顶角是成对出现的,它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角;②对顶角的性质：对顶角相等如图,∠1和∠4是对顶角,∠2和∠3是对顶角∠1=∠4,∠2=∠3平行线：在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线;平行用符号“∥”表示,如“AB ∥CD ”,读作“AB 平行于CD ”;注意：1平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交;2当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行; 平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;推论：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; 补充平行线的判定方法：1平行于同一条直线的两直线平行;2在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行;3平行线的定义;垂直：两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直;其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足;直线AB,CD 互相垂直,记作“AB ⊥CD ”或“CD ⊥AB ”,读作“AB 垂直于CD ”或123 4“CD垂直于AB”;垂线的性质：性质1：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;简称：垂线段最短;点到直线的距离：过A点作l的垂线,垂足为B点,线段AB的长度叫做点A 到直线l的距离;同一平面内,两条直线的位置关系：相交或平行;。