河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期阶段性测试数学(理)试题(WORD文字版)

郑州市第一中学2018-2019学年高二上学第一次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（）A.对任意x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，使得20x < C.存在0x R ∈，使得200x <D.存在0x R ∈，使得200x ≥2.已知等比数列{}n a 的公比为2、前4项的和是1，则前8项的和为（） A.15 B.21 C.19 D.173.若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.a b c d > B.a b d c < C.a b c d < D.a b d c> 4.已知12,x x R ∈，则“11x >且21x >”是“122x x +>且121x x >”的（） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知命题p ：在ABC ∆中，若sin A>sin B ，则A>B.命题q:n S 是数列{}n a 的前n 项和，若n S 是关于n 的二次函数，则数列{}n a 为等差数列.下列命题中为真命题的是（） A.()p q ⌝∨ B. p q ∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D.()()p q ⌝∨⌝6.ABC ∆中，A=30°，AB=4，满足此条件的ABC ∆有两解，则BC 边长度的取值范围为（）A.()4 B.()2,4 C.()4,+∞ D.)4⎡⎣7.若不等式20ax bx c ++>的解集是（-4，1），则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（）A.4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()4,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.()1,4-D.()(),21,-∞-+∞8.对于数列{}n a ，定义：数列{}1n n a a +-为数列{}n a 的“差数列”。

河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，2,4a b A π===，则角B = （ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．56π2. “20x x ><或” 是“11x<” 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =（ ）A ．16B ．4C ．．454. 命题“0,x R n N *∀∈∃∈，使得20n x >”的否定形式是（ ）A ．0,x R n N *∀∈∃∈,使得20n x ≤B ．,x R n N *∀∈∀∈使得,2n x ≤ C. 00,x R n N *∃∈∃∈,使得 200n x ≤ D ．0,x R n N *∃∈∀∈,使得20n x ≤5. 《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把 120个面包分成 5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ． 16. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，8242,14S S ==, 则2016S = （ ） A ．25222- B ．25322- C.100822- D ．201622-7. 设,a b 是非零实数， 若a b > ，则一定有 （ ） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和 n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ， 都有n k a a ≥，则 k 的值为 （ ）A ．1006B ．1007 C.1008 D ．1009 9. 若实数,x y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值为（ ） A．2 B．24+ D．4-10. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立， 则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．1411. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC ∆的面积为（ ）A．D12. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ ，且存在正整数 n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 （ ）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为 __________. 14. 已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前 n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则 823746a ab b b b +=++ __________.15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,3,4a b c ===，则s i n2s i n CA= _________. 16. 已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的3,362n n N T k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 则实数 k 的取值范围 _________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根 ，且不等式21243a a x x +-≤-对任意的m R ∈恒成立；命题:q 不等式220x x a ++<有实数解． 若命题p q ∨为真，p q ∧为假， 求实数 a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）某人上午7时， 乘摩托艇以匀速()/840vkm h v ≤≤从A 港出发到距100km 的B 港去， 然后乘汽车以匀速()/30100wkm h w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是,xh yh .（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围;（2）如果已知所需的经费()()1003528p x y =+-+-（元），那么,v w 分别是多少时p 最小？ 此时需花费多少元？20. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值；（2）若 1cos 7A =,ABC ∆的面积为求BC 边上的中线长. 21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ， 长度为米， 另外两边,AB AC 使用某种新型材料围成， 已知120,,(,BAC AB x AC y x y ∠===单位均为米）．（1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？22. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. ABBDC 6-10.BCDDA 11-12. DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7+914 15. 1- 16. 2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：若p 为真,不等式21243a a x x +-≤-对任意的 m R ∈恒成立，243a a +-m R ∈恒成立，2432a a +-≤,解得51a -≤≤,若q 为真,不等式220x x a ++<有解，2440a ∆=->,解得1a <,因为命题p q ∨为真,p q ∧ 为假，所以,p q , 一真一假．（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.解：（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21nn n a b n ==+.19.解：（1）依题意得 100300525,,840,30100,310,22y x v w x y v w ==≤≤≤≤∴≤≤≤≤① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x y +应在9至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=--，上式表示斜率为32-的直线，当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得 104x y =⎧⎨=⎩，即当10,4x y ==时，p 最小． 此时，25,30,v w p ==的最小值为 93元． 20.解：（1）由条件知 22cos 15cos 2B B -+=，即22cos 5cos 30B B +-= ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又0B π<<， 3B π∴=.（2）由于11cos ,sin sin 3572A A S bc A bc =∴===∴=. ①又由正弦定理得，sinsin 33b cA ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又1sin sin cos ,5732214A A A b c π⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭， ② 由① ②知，7,5b c ==，由余弦定理得，8,a BC ==边上的中线AD ==21.解：（1）在ABC ∆中,由余弦定理，得222222cos ,2cos12030000AB AC AB AC A BC x y xy +-=∴+-=，即 2230000x y xy ++=，由正弦定理，得200,200sin ,060,0sin sin sin AB AC BC x C C x C B A ====∴=<<∴<<同理0y <<（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立． 所以()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=，所以200x y +≤，故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为 200米．22.解：（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+， 两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++ ，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+，所以111,1n a a a n n ==+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++， 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以12111 (22222)n n T b b b n n n =+++=+-<++.。

郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 直线x ﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．2． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[0，+∞）B ．[0，3]C ．（﹣3，0]D ．（﹣3，+∞）3． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0）4． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）A ．[5，10]B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）5． 函数f （x ）=2x ﹣的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B 2=ACB ．A+C=2BC ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）7． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）A B ．12 C ．12-D ．8． 已知平面向量与的夹角为，且，，则（）3π32|2|=+b a 1||=b =||a A ．B ．C ．D ．39． （文科）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）()2log 2g x x =()2log f x x =A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位10．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．212．若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．1413．函数在定义域上的导函数是，若，且当时，，()f x R '()f x ()(2)f x f x =-(,1)x ∈-∞'(1)()0x f x -<设，，，则（ ）(0)a f =b f =2(log 8)c f =A ．B ．C ．D ．a b c <<a b c >>c a b <<a c b<<14．已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 21z z A ．B ．C ．D ．1-54i -i 54【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题16．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．17．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为()2f x ax bx c =++,,a b c ，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．()f x 'x R ∈()()f x f x ≥'222b a c+18．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集为___________.19．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．三、解答题20．已知圆C 经过点A （﹣2，0），B （0，2），且圆心在直线y=x 上，且，又直线l ：y=kx+1与圆C 相交于P 、Q 两点．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若，求实数k 的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．21．已知a＞b＞0，求证：．22．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．23．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥＋.a b24．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.用反证法证明命题“可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，其反设正确的是（）A.都能被5整除 B. 不都能被5整除C.都不能被5整除 D. 不能被5整除【答案】C【解析】【分析】求中至少有一个能被5整除的否定即可.【详解】因为中至少有一个能被5整除的否定为都不能被5整除，选C.【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基础题.2.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求复数代数形式，再根据复数几何意义得结果,【详解】因为，所以，对应点为，选B.【点睛】本题考查复数代数形式以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.曲线在点处切线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.4.设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知，四面体S−ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S−ABC的体积为V，则R等于A. B.C. D.【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为，因此可知R＝，选B5.在的展开式中，含项的系数为（）A. 60B. 64C. 160D.【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式通项公式求特定项系数.【详解】因为，所以令，因此含项的系数为，选A.【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A. 种B. 37种C. 18种D. 16种【答案】B【解析】【分析】根据间接法求解甲工厂没有班级去的方法数即可.【详解】高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有种方法，若甲工厂没有班级去，则有种方法，所以所求不同的分配方案有种方法，选B.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知为虚数单位， ,若为纯虚数，则复数的模等于（ ）A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】先根据纯虚数概念得，再根据模的定义求结果. 【详解】因为为纯虚数，所以，即，因此，所以，选D.【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ） A.种B.种C.种D.种【答案】D 【解析】 【分析】剩余的4个空车位看作一个元素，由相邻问题用捆绑法求排列数. 【详解】剩余的4个空车位看作一个元素，则不同的停车方法有种，选D.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知曲线，轴与轴在第一象限所围成的图形面积为，曲线，曲线与轴所围成的图形面积为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据定积分求，即得结果.【详解】因为，由得,所以，因此，选A,【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.函数在内存在极值点，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】转化为导函数在内有变号的零点，分离参数，进而转化为求函数的值域问题.【详解】因为在有解，即求值域，因为在上单调递增，所以，选B.【点睛】本题考查函数极值，考查等价转化思想方法与基本求解能力，属中档题.11.在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，再确定有理项项数，最后根据排列组合方法计算，利用古典概型概率公式得结果.【详解】因为只有第五项的二项式系数最大，所以从而，所以时为有理项，有理项不相邻有种方法,因此所求概率为,选A.【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.12.定义：如果函数在区间上存在满足，则称函数是在区间上的一个双中值函数.已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】转化为函数有两个零点问题，再根据二次函数图象可得不等式，即得结果.【详解】由题意得在区间上有两个零点，即，因此或，解得或，即，选C.点睛】本题考查函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是________.【答案】【解析】试题分析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知，，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．考点：条件概率与独立事件．点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题．14.已知随机变量服从正态分布，若，则________.【答案】【解析】【分析】根据正态分布对称性求解.【详解】【点睛】本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题15.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】【解析】【分析】转化函数单调性，再利用导数求解.【详解】令，则当时，不等式恒成立,即在上单调递增，所以在上恒成立，，因为，所以当时，当时，从而当时【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数解决不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题16.已知，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】利用导数求函数最值.【详解】因，所以的最值在取得，当时，，对应值为，当时，，对应值为，综上的最小值为【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知复数，且．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若是实数，求实数的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得（Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数的值．【详解】解：（Ⅰ）由题意解之得．所以为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，是实数，，即为所求．【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题18.已知数列的前项和满足：且（Ⅰ）计算的值，并猜想的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据递推关系逐一代入求解，再根据规律归纳，（Ⅱ）根据和项与通项关系得递推关系式，再利用求根公式解得相邻项关系，最后根据数学归纳法证明.【详解】解：（Ⅰ）当时，，解得，又，．当时，，解得，又，． 当时，，解得，又，．猜想．（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）可知成立．假设（）时，成立，． 所以当时猜想也成立．综上可知，猜想对一切都成立．【点睛】本题考查数学归纳法求与证数列通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题19.（2013•重庆）设f （x ）=a （x ﹣5）2+6lnx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）． （1）确定a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间与极值． 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1）因为，故．令，得，，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得．（2）由（1）知，（），．令，解得，．当或时，，故的递增区间是，；当时，，故的递减区间是．由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0）），利用k＝求解．20.某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（Ⅱ）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外次未击中目标，则额外加分；若3次全部击中，则额外加10分.用随机变量表示射手射击3次后的总得分，求的分布列和数学期望.【答案】（I ）（II）故的分布列是【解析】试题分析：解：⑴设为射手3次射击击中目标的总次数，则.故,所以所求概率为.⑵由题意可知，的所有可能取值为,用表示事件“第次击中目标”，则，， ， ，.故的分布列是.考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题．21.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数，)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值．【答案】(1)L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元.【解析】试题分析:（1）先根据条件求出k，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y＝.将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，当且仅当a＝4，x＝35时取等号．所以L(x)在[35，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.②当4<a≤5时，L′(x)>0⇔35≤x<31＋a，L′(x)<0⇔31＋a<x≤41.所以L(x)在[35，31＋a)上单调递增，在[31＋a，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.综上所述当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．22.已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.试题解析：（1）定义域为，若，，在上单调递增若，，所以，当时，，当时，综上：若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，时，不可能成立；若，恒成立，，得综上，.（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即令，得，即，得证.点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。

郑州市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条2． 如图，棱长为的正方体中，是侧面对角线上一点，若 1111D ABC A B C D -,E F 11,BC AD 1BED F 是菱形，则其在底面上投影的四边形面积（ ）ABCD A ．B ．C.D12343． 已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………A.B.C.D.34381418【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.4． 设偶函数f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0，则不等式＞0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（0，2）　5． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．96． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2()45f x x x =-+[]0,m m A ． B ．C ．D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]0,27．已知向量||=， •=10，|+|=5，则||=（）A ．B ．C ．5D ．258． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（）A ．3B ．2C ．3D ．49． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数10．已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，C 28y x =F P C P是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）Q PF C PQ =PF A ． B ．C ．D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20x y ++=11．复数的虚部为（）A ．﹣2B ．﹣2iC ．2D ．2i12．已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）A ．﹣12B ．﹣10C ．﹣8D ．﹣6二、填空题13．设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，则实数m 的取值范围是 ．　14．已知函数，是函数的一个极值点，则实数 ．32()39f x x ax x =++-3x =-()f x a =15．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．16．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．17．已知，为实数，代数式的最小值是.x y 2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.18．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．　三、解答题19．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 过点P （1，0），斜率为，曲线C ：ρ=ρcos2θ+8cos θ．（Ⅰ）写出直线l 的一个参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|•|PB|的值．　20．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上12,F F C 22221(0)x y a b a b+=>>P成等差数列．1122|,|||PF F F PF （1）求椭圆的标准方程；、C （2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得l F C A B 、x Q 716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．Q 21．数列{a n }满足a 1=，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和；（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1． 22．已知f（）=﹣x﹣1．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．23．已知P（m，n）是函授f（x）=e x﹣1图象上任一于点（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数y=h（x）图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数ω（s，t ）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．24．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．郑州市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：假设存在过点P （﹣2，2）的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l 的方程为：，则．即2a ﹣2b=ab直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l 的方程为：，即x ﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．　2． 【答案】B 【解析】试题分析：在棱长为的正方体中，，1111D ABC A B C D -11BC AD ==AF x =x -=解得，即菱形，则在底面上的投影四边形是底边x =1BED F =1BED F ABCD 为，高为的平行四边形，其面积为，故选B.3434考点：平面图形的投影及其作法.3． 【答案】B 【解析】4．【答案】B【解析】解：∵f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x）不等式，即也就是xf（x）＞0①当x＞0时，有f（x）＞0∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；②当x＜0时，有f（x）＜0∵﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）＜f（2），∴﹣x＞2⇒x＜﹣2综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选B5．【答案】B【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．故选：B．【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．6．【答案】B【解析】m m 试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m[]2,4的右端点为，故的取值范围是.考点：二次函数图象与性质．7．【答案】C【解析】解：∵；∴由得，=；∴；∴．故选：C．8．【答案】A【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．9．【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．【答案】B【解析】考点：抛物线的定义及性质．【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．11．【答案】C【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．故选；C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．12．【答案】C【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．二、填空题13．【答案】　[5，+∞）　．【解析】二项式定理．【专题】概率与统计；二项式定理．【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，求得x 2在区间[，]上的最大值，可得m 的范围．【解答】解：由题意可得 f （x ）=x 6=x 3．由f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，由于x 2在区间[，]上的最大值为 5，故m ≥5，即m 的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．14．【答案】5【解析】试题分析：．'2'()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=考点：导数与极值．15．【答案】　90°　．【解析】解：∵∴=∴∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．　16．【答案】　（0，1）　．【解析】解：画出函数f （x ）的图象，如图示：令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．17．.【解析】18．【答案】 ．【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为，∴直线l的一个参数方程为（t为参数）；∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）把代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，∴．【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．下面证明时，恒成立．54m =716QA QB ⋅=- 当直线的斜率为0时，结论成立；l 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，l l 1x ty =+()11,A x y ()22,B x y 由及，得，1x ty =+2212x y +=22(2)210t y ty ++-=所以，∴．0∆>12122221,22t y y y y t t +=-=-++，，111x ty =+221x ty =+∴=＝112212125511(,)(,)()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+2(1)t +121211()416y y t y y -++．22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++综上所述，在轴上存在点使得恒成立．x 5(,0)4Q 716QA QB ⋅=- 21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n ，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．故tan 2a n+1==1+tan 2a n ，∴数列{tan 2a n }是等差数列，首项tan 2a 1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan 2a n }的前n 项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n ＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n =，，∴sina 1•sina 2•…•sina m =（tana 1cosa 1）•（tana 2•cosa 2）•…•（tana m •cosa m ）=（tana 2•cosa 1）•（tana 3cosa 2）•…•（tana m •cosa m ﹣1）•（tana 1•cosa m ）=（tana 1•cosa m ）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．【答案】【解析】解：（1）令t=，则x=，∴f （t ）=，∴f （x ）=（x ≠1）…（2）任取x 1，x 2∈[2，6]，且x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）=﹣=，∵2≤x 1＜x 2≤6，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）＞0，2（x 2﹣x 1）＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，∴f（x）在[2，6]上单调递减，…∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…23．【答案】【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以．解得．又n=e m﹣1，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．（2）ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|=，令u（s）=．则u（s），v（t）分别表示函数y=e x﹣1，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．由（1）知，u min（s）=v min（t）．而f′（x）=e x﹣1，令f′（s）=1得s=1，所以u min（s）=．故．【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．。

郑州市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ． C.D 2． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）3． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的长度为（ ）A ．B ．2C ．D ．34． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）A ．0B ．C ．D ．15． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆ ）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．6． 为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=sin （3x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位7． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．RB ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[2，+∞）8． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．10．给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为负的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ） A ．8 B ．5 C ．9 D ．2712．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.14．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．15．81()x x的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.16．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测1564的线性回归方程为附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．17．设MP 和OM 分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．18．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是 ．三、解答题19．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=，M 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ； （Ⅱ）求点D 到平面AMP 的距离．20．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），抛物线上一点Q （m，）到焦点的距离为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程（Ⅱ）设过点M （0，2）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且A 点的横坐标为n （n ∈N *）（ⅰ）记△AOB 的面积为f （n ），求f （n ）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A ，使对应不同的△AOB 的面积相等？若存在，求点A 点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数()()21+2||02()1()102x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．（1）画出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）根据图像求不等式3(x)2f ≥的解集（写答案即可）22．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()2ln R f x x ax x a =-+-∈.（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.23．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}． （1）若p=，求A ∩B ；（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．24．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．郑州市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】考点：正弦定理的应用.2．【答案】D【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．3．【答案】B【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，即AD•≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B ．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．4． 【答案】C【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos （45°﹣15°） =cos30°=．故选：C ．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5． 【答案】D【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PFPF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-， 2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =.c =，整理，得2()4ca=+1e =，故选D. 6． 【答案】A【解析】解：由于函数y=sin （3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x 的图象，故选：A ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．7． 【答案】C【解析】解：由于f （x ）=x 2﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数，又由函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1．故答案为：C8． 【答案】D【解析】解：∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面且PD ⊆面PDA ，PD ⊆面PDC ， ∴面PDA ⊥面ABCD ，面PDC ⊥面ABCD ， 又∵四边形ABCD 为矩形 ∴BC ⊥CD ，CD ⊥AD ∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面 ∴PD ⊥BC ，PD ⊥CD ∵PD ∩AD=D ，PD ∩CD=D∴CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PDC ，AB ⊥面PAD ， ∵CD ⊆面PDC ，BC ⊆面PBC ，AB ⊆面PAB ，∴面PDC ⊥面PAD ，面PBC ⊥面PCD ，面PAB ⊥面PAD 综上相互垂直的平面有5对 故答案选D9． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.10．【答案】B【解析】解：：①sin100°＞0，②cos （﹣100°）=cos100°＜0，③tan （﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cos π=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②， 故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．11．【答案】C【解析】解：令log 2（x 2+1）=0，得x=0，令log2（x2+1）=1，得x2+1=2，x=±1，令log（x2+1）=2，得x2+1=4，x=．2则满足值域为{0，1，2}的定义域有：{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，﹣，}，{0，1，﹣，}，{0，﹣1，1，﹣，}．则满足这样条件的函数的个数为9．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．12．【答案】B【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题13．【答案】120 【解析】考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，根据正弦定理，可设3,5,7a b ===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．14．【答案】．【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2）， 所以tan α=﹣2．===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．15．【答案】70【解析】81()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，所以当4r =时，常数项为448(1)70C -=.16．【答案】 y=﹣1.7t+68.7【解析】解： =， ==63.6．=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．=4+1+0+1+2=10．∴=﹣=﹣1.7.=63.6+1.7×3=68.7．∴y 关于t 的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．故答案为y=﹣1.7t+68.7．【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．17．【答案】②【解析】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．18．【答案】[4，16]．【解析】解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA∵△PCD为正三角形∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=∵平面PCD⊥平面ABCD∴PE⊥平面ABCD∵四边形ABCD是矩形∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形由勾股定理得EM=，AM=，AE=3∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°∴AM⊥PM（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P﹣ADM=V D﹣PAM∴而在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=∴∴∴，即点D 到平面PAM 的距离为20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q +=+=1，解得p=1，∴抛物线C 的方程为x 2=2y ；（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点， ∴直线l 的斜率存在，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 的方程为：y=kx+2，联立方程组，化简得：x 2﹣2kx ﹣4=0，此时△=（﹣2k ）2﹣4×1×（﹣4）=4（k 2+4）＞0，由韦达定理，得：x 1+x 2=2k ，x 1x 2=﹣4，∴S △AOB =|OM|•|x 1﹣x 2|=×2==2（*）又∵A 点横坐标为n ，∴点A 坐标为A （n ，），又直线过点M （0，2），故k==﹣，将上式代入（*）式，可得：f （n ）=2=2=2=n+（n ∈N *）；（ⅱ）结论：当A 点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB 的面积相等． 理由如下：设存在不同的点A m （m ，），A n （n ，）（m ≠n ，m 、n ∈N *），使对应不同的△AOB 的面积相等，则f （m ）=f （n ），即m+=n+，化简得：m ﹣n=﹣=，又∵m ≠n ，即m ﹣n ≠0，∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，此时A 点坐标为（1，），（4，8）．【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．【答案】（1）图象见答案，增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域：(],2-∞；（2）[]3,1--。

20届理科期末复习模拟试题第Ⅰ卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“，使得是真命题”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“，使得是真命题”，又，则,所以“”是“，使得是真命题”的必要不充分条件，故选B.2.已知椭圆的焦点在轴上，且离心率，则（）A. 9B. 5C. 25D. -9【答案】C【解析】椭圆的焦点位于轴，则，则：，求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3.在中，，，其面积为，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式可以求出，由余弦定理可以求出，结合，可以得到答案。

【详解】由题意知，，即，解得，由余弦定理得，即，由于，故答案为C.由正弦定理可知【点睛】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理及余弦定理的运用，属于中档题。

4.已知等比数列中，，则其前项和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，等比数列的公比：，则数列为常数列，其通项公式为：，据此可得其前n项和.本题选择D选项.5.当，满足不等式组时，目标函数最小值是（）A. -4B. -3C. 3D.【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得在点处取得最小值，本题选择B选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6.若，，则（）A. B.C. D. ，的大小与的取值无关【答案】B【解析】由题意结合函数的解析式有：据此可得：.本题选择B选项.7.如图，在平行六面体中，为，的交点.若，，则向量（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：。

故A正确。

考点：平面向量的加减法。

河南省郑州市第一中学 2018-2019学年高二上学期入学测试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分） 1.已知，，，的平均数为10，标准差为2,则，，，的平均数和标准差分别为A. 19 和 2B. 19 和 3C. 19 和 4D. 19 和 8【答案】C【解析】利用平均数及标准差的性质直接求解 本题考查平均数和标准差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、考查整体思想、转化化归思想，是基础题. 解： ，，，的平均数为10，标准差为2, ,,,的平均数为：，标准差为： .故选：C .2.在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为【答案】C【解析】解：在三棱锥的六条棱中任意选择两条，所有的选法共有 种，其中，这两条棱是一对异面直线的选法有 3种，即三棱锥的3对对棱，故所求事件的概率等于一 -， 故选：C . 所有的选法共有种，这两条棱是一对异面直线的选法有3种，即三棱锥的3对对棱，由古典概型公式可得所求事件的概率. 本题考查等可能事件的概率的求法，判断这两条棱是一对异面直线的有3种，即三棱锥的3对对棱，是解题的关键.A.-B.- D.-3. 函数单位后得到的函数为奇函数，则函数A.关于点一对称 C.关于直线一对称-的最小正周期为，若其图象向左平移-个的图象B.关于点一对称 D.关于直线 一对称【答案】C【解析】【分析】 本题主要考杳函数 基础题利用函数 论. 【解答】的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结解：函数 -的最小正周期为一 ，若其图象向左平移 -个单位后得到的函数为- - ，再根据-为奇函数，1，，即可取-•- ，且 -不是最值，故 的图象不关于点— 对称,也不关于直线一对称，故排除A 、D ;故 —时， —，是函数的最大值，故的图象不关于点对称，但关于直线—对称，故选C .4.满足条件 ，的 的个数是A. 1B. 2C.无数个D.不存在【答案】 D 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于基础题. 【解答】 解：,一，,由正弦定理可得： ____ _______ 二 - ，不成立.故选D .5.已知向量，向量 一 ，贝U 的最大值与最小值的和是A. -B. 6C. 4D. 16【答案】C 【解析】解：向量，向量 — ，当 一时, 由已知，利用正弦定理可求 -，从而可得满足此条件的三角形不存在.时, 取得最小值0, 取得最小值0 ；当- 时，取得最大值16, 取得最大值4；的最大值与最小值的和是4.故选：C.利用向量的坐标运算可求得一，从而可求得及其最大值与最小值的和.本题考查平面向量的坐标运算，着重考查两角和与差的正弦，突出考查正弦函数的最值，属于中档题.-，则6.的内角A、B、C的对边分别为a、b、已知A. -B. -C. 2D. 3【答案】D【解析】解：一，, -,由余弦定理可得：- ------------ -------- ，整理可得：，解得：或-舍去.故选：D.由余弦定理可得-------- ，利用已知整理可得，从而解得b的值.本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.7.在中，角A、B、C的对边分别为a, b, c,且其面积——，则角C的度数为A. -B. -C. -D.-【答案】A【解析】解：中，其面积求得则角故选：A.由条件利用余弦定理、正弦定理求得二，可得角C的值.本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题.8. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】解：在中， - _，代入，，解得的形状是等边三角形.故选：C.，利用余弦定理可得-，可得-由，利正弦定理可得：，代入，可得本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.9. 已知-，- -，贝V 的值等于A.—B. -C. -D.【答案】B【解析】解：故选：B.由于- -，利用两角差的正切即可求得答案.本题考查两角和与差的正切函数，考查观察能力与运算求解能力，属于中档题.10.化简A. 1B. 2C. 的值等于D.。

郑州市第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知集合A={x|﹣1≤x ≤1}，B={x|x 2﹣2x ≤0}，则A ∪B=（ ）A ．{x|﹣1≤x ≤2}B ．{x|﹣1≤x ≤0}C ．{x|1≤x ≤2}D ．{x|0≤x ≤1}2． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的右焦点F ，直线x=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4． 过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于、22(0)y px p =>F 2218-=y x A 两点，若，且，则抛物线方程为（ ）B >AF BF ||3AF =A ．B ．C ．D ．2y x =22y x =24y x =23y x=【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．5． 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则{}n a 12a =114n n n n a a a a ++-=+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n （ ）n =A ．B ．C ．D ．35361201216． 已知直线与圆交于两点，为直线上任意34110m x y +-=：22(2)4C x y -+=：A B 、P 3440n x y ++=：一点，则的面积为（ ）PAB ∆A ．B.C.D. 7． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．8． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．9． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）3x x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．10．已知向量，，，若为实数，，则（ ）(1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = λ()//a b c λ+λ=A ． B ． C ．1D ．2141211．已知三棱锥外接球的表面积为32，，三棱锥的三视图如图S ABC -π090ABC ∠=S ABC -所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．12．已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．﹣1或﹣7D ．二、填空题13．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）14．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．A B C D 15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是 ．17．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．18．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．三、解答题19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．20．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．21．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．（I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值；（II ）设点P 为单位圆上的一个动点，点Q 满足=+．若∠AOP=2θ，表示||，并求||的最大值．22．如图，四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形，点E 是A ′A 的中点，AA ′⊥平面ABCD ．（1）求证：A ′C ∥平面BDE ；（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．23．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数、的值；（Ⅱ）求证：函数存在极小值；（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.24．已知双曲线C：与点P（1，2）．（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程；（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．郑州市第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由x2﹣2x≤0，解得0≤x≤2．∴B={x|0≤x≤2}，又集合A={x﹣|1＜x≤1}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤2}，故选：A．2．【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣3）e x，∴f′（x）=e x+（x﹣3）e x=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，即（x﹣2）e x＞0，∴x﹣2＞0，解得x＞2，∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．3．【答案】C【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，所以共有4×6=24个，而在8个点中选3个点的有C83=56，所以所求概率为=故选：C【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．4．【答案】C【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为，设，则，所以，=y 00(,)A x y 02>px 0002002322ì=ïï-ïïïï+=íïï=ïïïïîy p x p x y px 解得或，因为，故，故，所以抛物线方程为．2=p 4=p 322->p p03p <<2=p 24y x =5． 【答案】C【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114n n n na a a a ++-=+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得2214n n a a +-={}2n a 44244(1)4n a n n =+-=0n a >．，∴数列的前项和为na=1112n n a a +==+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n，∴，选C．11111)1)52222+++=-= 120n =6． 【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心到直线的距离，之间的距离为，∴C m 1d =||AB ==mn 、3d '=PAB∆的面积为，选C ．1||2AB d '⋅=7． 【答案】C【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C ．【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．　8． 【答案】C【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C 选项．故选：C ．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．　9． 【答案】D【解析】当时，是整数；当时，是整数；依次类推可知当时，是整数，则3x =y 23x =y 3(*)nx n N =∈y 由，得，所以输出的所有的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．31000nx =≥7n ≥x 10．【答案】B 【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以(1,2)a = (1,0)b = ()()1,2a b λλ+=+ ()//a b c λ+，故选B. ()14160,2λλ+-==考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.11．【答案】A 【解析】考点:三视图．【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.12．【答案】A【解析】解：因为两条直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8，l 1与l 2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A ．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．　二、填空题13．【答案】D【解析】解：把抛物线y=x 2方程化为标准形式为x 2=8y ，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．　14．【答案】　27　【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32=18种，若A 方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．　15．【答案】②③【解析】试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =；③对；(,)2A B ϕ==≤；④错；(,)A B ϕ==11,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111]考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.16．【答案】　0　．【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n }是周期为6的周期数列，∴b2016=b336×6=b6=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．17．【答案】　y=cosx　．【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x的图象，把y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；故答案为：y=cosx．18．【答案】　[，1]　．【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0），∴f'（x）=e x﹣a，由f'（x）=e x﹣a=0得x=lna，由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增，由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减，即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，等价为f（x）min≥0，由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，设g（a）=a﹣alna﹣1，则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，由g'（a）=0得a=1，由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．20．【答案】【解析】【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．可得sinα=，cosα=，∴cosα+sinα=．（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以==（1+cos2θ，sin2θ），所以===2|cosθ|，因为，所以=2|cosθ|∈，||的最大值．【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．22．【答案】【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，又∵E为A′A的中点，∴ME为△A′AC的中位线，∴ME∥A′C．又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，∴A′C∥平面BDE．（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．23．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；试题解析：（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得，结合函数在是增函数有：）递减极小值递增∴函数存在极小值；（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……（*），令，，则，∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，∴，结合（*）有，即实数的取值范围为．24．【答案】【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点所以l的方程为…（ⅱ）当2﹣k2≠0，即k≠±时△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k），①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．所以l的方程为3x﹣2y+1=0…综上知：l的方程为x=1或或3x﹣2y+1=0…（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）…又∵x1+x2=2，y1+y2=4，∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）即k AB==，…∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在．…【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．　。