2019_2020学年高中数学2.3.1数学归纳法的原理课时作业(含解析)新人教A版选修2_2

2.3 数学归纳法课时作业20 数学归纳法的原理知识点一 数学归纳法的原理1.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 答案 C解析 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立． 2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 答案 D解析 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1(n∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.知识点二 用数学归纳法证明命题5.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2(其中n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．6．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)．那么当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k 2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．一、选择题1．证明“n ＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n ＜n ＋1(n ＞1)”，当n ＝2时，中间的式子为( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14 答案 D解析 当n ＝2时，中间的式子为1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.故选D.2．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n 的命题时，在由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中( )A ．必须运用假设B ．n 可以部分地运用假设C ．可不用假设D ．应视情况灵活处理，A 、B 、C 均可 答案 A解析 由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立 答案 D解析 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立”．4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( ) A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确 D ．命题、推理都不正确 答案 B解析 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.5．已知一个命题p (k )，k ＝2n (n ∈N *)，若当n ＝1,2，…，1000时，p (k )成立，且当n ＝1001时也成立，则下列判断中正确的是( )A ．p (k )对k ＝2004成立B ．p (k )对每一个自然数k 都成立C ．p (k )对每一个正偶数k 都成立D ．p (k )对某些偶数可能不成立 答案 D解析 由题意，知p (k )对k ＝2,4,6，…，2002成立，当k 取其他值时不能确定p (k )是否成立．故选D.二、填空题6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)，第一步要证的不等式是________．答案 1＋12＋13<2解析 当n ＝2时，左边为1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边为2.故应填1＋12＋13<2.7．若存在常数a ，b ，使等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)12(an ＋b )对n ∈N *都成立，则a 、b 的值分别为________、________.答案 3 5解析 因为存在常数a 、b ，使等式对所有的正整数都成立，所以当n ＝1,2时等式都成立，所以得a ＋b ＝8,2a ＋b ＝11，解得a ＝3，b ＝5.8．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324”的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 本题主要考查数学归纳法中从k 到k ＋1的递推关系．不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2).三、解答题9．用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时， 左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，故等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2. 当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3 ＝2k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3 ＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3， 故当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知对于n ∈N *等式都成立． 10．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)， 求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即当n ＝2时命题成立．(2)设当n ＝k (k ≥2)时命题成立，即 S 2k＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2，当n ＝k ＋1时， S 2k＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋＋k 2＋2k 2k ＋2k＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，当n ∈N *，n ≥2时，不等式S 2n >1＋n2都成立．。

课时分层作业(十二) 数学归纳法(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2D [因为f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，所以f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.故选D.] 2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [边数最少的凸n 边形是三角形．]3．已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，猜想a n 等于( )A.3n ＋2 B.3n ＋3 C.3n ＋4D.3n ＋5 D [a 2＝3a 1a 1＋3＝37， a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝3a 3a 3＋3＝13＝39，猜想a n ＝3n ＋5.] 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )＝2n×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B.2k ＋1k ＋1C ．2(2k ＋1) D.2k ＋2k ＋1C [当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·2(2k ＋1)．]5．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)等于f (k )加上( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．32π B [从n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π.] 二、填空题6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为________． [答案] 1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)27．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．[解析] ∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1”，∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设， 应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1.[答案] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－18．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被14整除，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________． [解析] 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋5＋52k ＋3＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝81×34k ＋1＋81×52k ＋1－56×52k ＋1＝81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1.[答案] 81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1三、解答题9．用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋)．当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·(k ＋1)2－1(k ＋1)2＝(k ＋1)k ·(k ＋2)2k ·(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，∴当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立．10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，整式a n－b n都能被a －b 整除． [证明] (1)当n ＝1时，a n－b n＝a －b 能被a －b 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，a k－b k能被a －b 整除，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1－bk ＋1＝ak ＋1－a k b ＋a k b －bk ＋1＝a k (a －b )＋b (a k －b k )．因为(a －b )和a k －b k都能被a －b 整除，所以上面的和a k(a －b )＋b (a k－b k)也能被a －b 整除．这也就是说当n ＝k ＋1时，ak ＋1－bk ＋1能被a －b 整除．根据(1)(2)可知对一切正整数n ，a n－b n都能被a －b 整除．[能力提升练]1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2D [因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.]2．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N ＋)的过程如下： 证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的：(2)假设n ＝k 时有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n ∈N ＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设B ．归纳假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．当n ＝1时，验证过程不具体A [证明(k ＋1)2＋(k ＋1)＜(k ＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k (k ＋1)＜k ＋1.]3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6－1(n ∈N ＋，且n ＞1)时，第一步应验证n ＝________，当n ＝k ＋1时，左边的式子为________．[解析] ∵所证明的等式为 22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6－1(n ∈N ＋，n ＞1)．又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)， ∴n 应为2.又∵当n ＝k ＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n 换成k ＋1， 即22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2. [答案] 2 22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)24．是否存在常数a ，b ，c 使等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．[解] 存在．分别用n ＝1,2,3代入，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0，故原等式右边＝n 44－n 24.下面用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时等式成立，即(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k4－14k 2. 则当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2，故n ＝k ＋1时，等式成立． 由(1)(2)得等式对一切n ∈N ＋均成立．。

2019-2020学年苏教版数学精品资料1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n ＞n 2成立时，n 应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n 3＋1≥4n ＋1时，n 所取的第一个值n 0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋121n ＜n (n ∈N *，且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)与f (n )之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N )时，第一步的验证为____________________．7．已知x ＞－1且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2，求证：(1＋x )n ＞1＋nx .8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n －3)＝2n 2－n .9．求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.10．已知函数31x f x x (x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，用数学归纳法证明1(31)2nn n b .参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).∵x＞－1，∴1＋x＞0.∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·（a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n ∈N*，命题成立.10答案：证明：当x ≥0时，f (x )＝1＋21x ＞1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2n n n b . (1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即1(31)2k k k b ，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝1(31)|3|31(31)122k kk k ka b a . 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N*都成立.。

课时作业20数学归纳法的原理知识点一 数学归纳法的原理1.用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n — 2) n ”时，步骤(1)中n o 的取值应为 ( )A . 1B . 2C . 3D . 4 答案 C解析 由凸边形至少有3条边，知n 》3,故n o 的取值应为3.2.已知 f (n ) = -+ 二^ + —…+ 2,则()n n +1 n +2 n1 1A. f (n )共有 n 项，当 n = 2 时，f (2)=空+ 31 1 1B. f (n )共有 n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = 2 + 勺 + 4 21 1C. f (n )共有 n — n 项，当 n = 2 时，f (2) = -+ 32 321 1 1D. f (n )共有 n — n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = - + - + 4答案 D解析 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1,分母为n , n +1，…，n 2的连续自然数2 *-,则当n = k + 1( n € N)时，等式左边应在n = k 的基础上加上(.2A. k + 12B. (k + 1)c k +1 4 + k +1 2C.2 2 2D. (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) +••• + 答案 D解析 当n = k 时，等式左边=1 + 2+・・・+ k ，当n = k + 1时，等式左边=1 + 2 +…+ k 2 + (k 2+ 1) +•••+(k + 1)2,故选 D.1 1 1 1 ( 1 1 1 \2共有n — n + 1个，且f (2)1 1 1=一 + 一+一2〒43•用数学归纳法证明 2(k + 1)4•已知n为正偶数，用数学归纳法证明 1 —- + 3 —4+•+ 7—7 = 2 匚4+…+ 2n 时，若已假设n = k(k>2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A. n= k + 1时等式成立B. n= k + 2时等式成立C. n= 2k + 2时等式成立D. n= 2( k+ 2)时等式成立答案B解析因为假设n= k(k>2为偶数)，故下一个偶数为k + 2，故选B.知识点二用数学归纳法证明命题5. 用数学归纳法证明：1X4+ 2X7+ 3X 10+-+ n(3 n+ 1) = n( n+ 1)2(其中n€ N).证明⑴当n= 1时，左边=1 X 4= 4，右边=1 X2乞4，左边=右边，等式成立.* 一 2(2)假设当n= k(k € N)时等式成立，即1X 4+ 2X 7+ 3X 10+・・・+ k(3 k+ 1) = k( k+ 1).那么当n = k+ 1 时，1X4+ 2X7+ 3X 10+…+ k(3k+ 1) + (k + 1)[3( k + 1) +1] = k( k+ 1)2+ (k+1)[3( k+1) + 1] = (k + 1)( k2+ 4k + 4) = (k + 1)[( k + 1) +1]2,即当n= k + 1 时等式也成立.根据⑴和⑵，可知等式对任何n€ N*都成立.1 *6. 用数学归纳法证明：1 + 4+ 7+-+ (3n—2)=歹(3 n—1)( n€ N).证明(1)当n= 1时，左边=1,右边=1,左边=右边，等式成立.* 一1(2)假设当n= k(k € N)时等式成立，即1 + 4+ 7 + …+ (3 k —2) = ^k(3 k—1).1 1那么当n= k+ 1 时，1 + 4+ 7+-+ (3k —2) + [3( k+ 1) —2] = ^k(3 k —1) + (3k+ 1)=㊁2 1 1(3 k2+ 5k+ 2) = 2(k+ 1)(3 k+ 2) = yk+ 1)[3( k +1) —1],即当n= k +1时等式也成立.根据(1)和⑵，可知等式对任何n€ N都成立.一、选择题n+2 1 1 1 11 .证明"一^V 1 +2 +3 + 4+…+歹< n+ 1( n> 1)"，当n= 2时，中间的式子为()1A. 1B. 1 + -21 1 1 1 1C. 1 + + 3D. 1 + + 3+4答案D1 1 1 1 1 1解析当n = 2时，中间的式子为 1 + + 3 +戸=1 + 2+ 3+ 4.故选D.2 •我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“ n= k时论断成立？n =k+ 1时论断也成立”的过程中()A. 必须运用假设B. n可以部分地运用假设C. 可不用假设D. 应视情况灵活处理，A、B C均可答案A解析由“ n= k时论断成立？n= k + 1时论断也成立”的过程中必须运用假设.3. 设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k) > k2成立时，总可推出2f(k+1) >( k + 1)成立”，那么，下列命题总成立的是()A.若 f (3) >9 成立，则当k>1日也: 均有 f (k) > k2成立B. 若 f (5) > 25 成立, 则当k >4时, 均有 f ( k) > k2成立C.若 f (7) V 49 成立, 则当k >8时, 均有 f ( k) V k2成立D.若 f (4) = 25 成立, 则当k >4时, 均为 f ( k) > k2成立答案D由题意只可得出当k>3时，均有f (k) >k2成立，故错解析对于A,若f (31) >9成立，误；对于B,若f (5) >25成立，则当k>5时均有f (k) > k成立，故错误；对于C,应改为“若f(7) >49成立，则当k>7时，均有f (k) > k2成立”.4 .已知命题1 + 2 + 22+…+ 2一= 2n- 1及其证明：(1) 当n= 1时，左边=1，右边=2 —1 = 1,所以等式成立.(2) 假设n= k(k> 1, k€ N*)时等式成立，即1 + 2 + 22+…+ 2k—1= 2k—1成立，则当n = k1 —2k+1+ 1 时，1 + 2+ 22+…+ 2k—1+ 2k= = 2k+1—1，所以n= k+ 1 时等式也成立.1 —2由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述()A. 命题、推理都正确B. 命题正确、推理不正确C. 命题不正确、推理正确D. 命题、推理都不正确答案B解析推理不正确，错在证明n=k+ 1时，没有用到假设n=k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选 B.5.已知一个命题p(k), k= 2n(n€ N)，若当n= 1,2，…，1000时，p(k)成立，且当n =1001时也成立，则下列判断中正确的是()A. p( k)对k= 2004 成立B. p ( k )对每一个自然数k 都成立C. p ( k )对每一个正偶数k 都成立D. p (k )对某些偶数可能不成立 答案 D解析 由题意，知p ( k )对k = 2,4,6，…，2002成立，当k 取其他值时不能确定 p ( k )是否成立•故选D.二、填空题1 +1+ 3 +•••+歹吕<n (n € N ,且n >1)，第一步要证的不等式是1111 11 解析 当n = 2时，左边为1 + ;+ —: = 1 + ；+；,右边为2.故应填1+二+ ;<2. 22 — 123 2 37.用数学归纳法证明 n + (n + 1) + (n + 2) +…+ (3n — 2) = (2n — 1)2(n € N)时，若记 f (n )=n +(n + 1) + (n + 2) +…+ (3n — 2)，贝U f (k + 1) — f (k )等于 _____________ .答案 8k解析 因为 f (k ) = k + (k + 1) + (k + 2) +…+ (3 k — 2) , f (k + 1) = (k + 1) + ( k + 2) +…+ (3k — 2) + (3k — 1) + 3k + (3k + 1)，则 f (k +1) — f (k ) = 3k — 1 + 3k + 3k +1 — k = 8k . 1 1 1 13 8.用数学归纳法证明不等式“ + +…+ >二”的过程中，由n = k 推导n n + 1 n + 2 n + n 24=k + 1时，不等式的左边增加的式子是 ____________12k + 1 2k + 2本题主要考查数学归纳法中从1 1 1+ —— =2k + 1 2k + 2 k + 1 2k + 1 2k + 2 '三、解答题9 .用数学归纳法证明： 11—扰-4 卜汀(1-> n +bz N).证明⑴当n = 1时， 亠丄 1 2 左边=1 —-=-,3 32 2 ....................右边=1+2 = 3，故等式成立.6•用数学归纳法证明答案 1 11 + 2+ 3<2答案 解析 1k 到k +1的递推关系.不等式的左边增加的式子是⑵假设n = k(k> 1, k€ N)等式成立，2(k+ 2)2—k + 2 k + 3 — k + 3，故当n = k +1时等式成立. 由⑴(2)可知对于n € N*等式都成立. ” 111*10.已知 S n = 1 +二+二+…—(n >1, n € N),2 3 n 求证：&>1 + 2(n 》2, n € N).111 25 2证明 (1)当n = 2时，$n = 1 + - + -+4 = 12>1 + 2，即当n = 2时命题成立.2 3 4 12 2⑵ 设当n = k (k >2)时命题成立，即当n = k + 1时，k1 1 1 1 1 k 1 11 k 2S2k +1 =1 + 2+3+…+ 戸+汀 + …+ 尹>1 + 2+?+!+ 予 +…+ 盯 >1 + 2+2+?故当n = k +1时，命题也成立.*n由(1)(2)可知，当n € N , n 》2时，不等式S^n >1 + ?都成立.1 1沖1+2+3+…+1 k尹1+21+k +2= 1+k + 121L 丄 k + 2 厂k + 2'。

2.3 数学归纳法(二)[学习目标]1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等． [知识链接]1．数学归纳法的两个步骤有何关系？答案 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？ 答案 与正整数n 有关的命题[预习导引] 1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．要点一 用数学归纳法证明不等式问题 例1 用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．跟踪演练1 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．证明 (1)当n ＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左>右，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式成立，即 ⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1> 2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1> 4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2(k ＋1)＋12，∴n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 要点二 用数学归纳法证明整除性问题例2 用数学归纳法证明：f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除． 证明 ①当n ＝1时，f (1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n ＝k (k ∈N *)时，f (k )能被36整除，即(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9 ＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)， 由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除， 而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除， 所以f (k ＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n ∈N *，f (n )能被36整除．规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n ＝k 时的项从n ＝k ＋1时的项中“硬提出来”，构成n ＝k 的项，后面的式子相对变形，使之与n ＝k ＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．跟踪演练2 用数学归纳法证明62n －1＋1(n ∈N *)能被7整除． 证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，62k －1＋1能被7整除． 那么当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1＝62k －1＋2＋1 ＝36(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．要点三 用数学归纳法证明几何问题例3 用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条．证明 ①当n ＝3时，12n (n －3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时结论正确， 即凸k 边形的对角线有12k (k －3)条，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1. ∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3] 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥3，n ∈N *，命题成立．规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．跟踪演练3 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立． 要点四 归纳—猜想—证明例4 在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1， a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可以得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立． 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1) ＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②，可知a n ＝n (n ＋1)， b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)证明1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1) ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，原不等式成立．规律方法 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．跟踪演练4 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27；S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1(n ∈N *)．下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1，那么， 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1) ＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．1．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( ) A ．n ＝6时该命题不成立 B ．n ＝6时该命题成立 C ．n ＝4时该命题不成立 D ．n ＝4时该命题成立 答案 C解析 ∵n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题成立．∴若n ＝5时，该命题不成立，则n ＝4时该命题不成立．2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确 答案 B解析 因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.3．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________． 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立．4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是________． 答案 (2k ＋2)＋(2k ＋3)解析 当n ＝k 时，左边是共有2k ＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，左边共有2k ＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)．1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n 0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n 0.3．从n ＝k 到n ＝k ＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设．一、基础达标1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3 D ．1＋2＋3＋4答案 D解析 等式左边的数是从1加到n ＋3.当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k＋1时，下列说法正确的是( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开________． 答案 (k ＋3)3解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________． 答案 S n ＝2n n ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1， ∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0， 解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.二、能力提升8．k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k D ．f (k )＋k －2答案 A解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．9．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 10．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． 答案122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3.11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56.则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与创新13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1－12a 1·⎝⎛⎭⎫1－12a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－12a n≤m2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d ＞0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)． 所以，a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32＞358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 ①当n ＝1时，12≤323＝12，成立．②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3，只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．即n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n≤322n ＋1恒成立．。

课时作业20 数学归纳法的原理知识点一数学归纳法的原理1.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 答案 C解析 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立． 2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 知识点二用数学归纳法证明命题5.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2(其中n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．6．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)．那么当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k 2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．一、选择题 1．证明“n ＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n ＜n ＋1(n ＞1)”，当n ＝2时，中间的式子为( ) A ．1 B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14答案 D解析 当n ＝2时，中间的式子为1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.故选D.2．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n 的命题时，在由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中( )A ．必须运用假设B ．n 可以部分地运用假设C ．可不用假设D ．应视情况灵活处理，A 、B 、C 均可答案 A解析 由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设． 3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立 答案 D解析 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立”．4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( ) A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确 D ．命题、推理都不正确 答案 B解析 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.5．已知一个命题p (k )，k ＝2n (n ∈N *)，若当n ＝1,2，…，1000时，p (k )成立，且当n ＝1001时也成立，则下列判断中正确的是( )A ．p (k )对k ＝2004成立B ．p (k )对每一个自然数k 都成立C ．p (k )对每一个正偶数k 都成立D ．p (k )对某些偶数可能不成立 答案 D解析 由题意，知p (k )对k ＝2,4,6，…，2002成立，当k 取其他值时不能确定p (k )是否成立．故选D.二、填空题6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)，第一步要证的不等式是________．答案 1＋12＋13<2解析 当n ＝2时，左边为1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边为2.故应填1＋12＋13<2.7．若存在常数a ，b ，使等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n n ＋1n ＋212(an ＋b )对n ∈N *都成立，则a 、b 的值分别为________、________.答案 3 5解析 因为存在常数a 、b ，使等式对所有的正整数都成立，所以当n ＝1,2时等式都成立，所以得a ＋b ＝8,2a ＋b ＝11，解得a ＝3，b ＝5.8．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324”的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案12k ＋12k ＋2解析 本题主要考查数学归纳法中从k 到k ＋1的递推关系．不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋12k ＋2.三、解答题9．用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时， 左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，故等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2. 当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3 ＝2k ＋2k ＋2k ＋3＝2k ＋3，故当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知对于n ∈N *等式都成立． 10．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即当n ＝2时命题成立．(2)设当n ＝k (k ≥2)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2，当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋＋k2＋2k2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，当n ∈N *，n ≥2时，不等式S 2n >1＋n2都成立．。

高中数学数学归纳法的原理及相关题目解析数学归纳法是高中数学中常见的证明方法之一，它在数列、恒等式、不等式等问题的证明中具有重要的应用价值。

本文将介绍数学归纳法的原理，并通过具体的题目解析，帮助高中学生掌握数学归纳法的使用技巧。

一、数学归纳法的原理数学归纳法是一种证明方法，它基于以下两个基本原理：1. 基本原理：若一个命题在某个特定条件下成立，且在满足这个条件的情况下，它的下一个条件也成立，那么这个命题对所有满足该条件的情况都成立。

2. 归纳假设：假设命题在某个特定条件下成立，即假设命题对第n个情况成立。

根据这两个基本原理，数学归纳法的证明步骤如下：1. 基础步骤：证明命题在第一个特定条件下成立，即证明命题对n=1成立。

2. 归纳步骤：假设命题对第n个情况成立，即假设命题对n=k成立，其中k为任意正整数。

3. 归纳证明：证明命题在第n+1个情况下也成立，即证明命题对n=k+1成立。

通过这样的证明过程，可以得出结论：命题对所有满足该条件的情况都成立。

二、数学归纳法的应用举例下面通过具体的题目解析，来说明数学归纳法的应用。

例题1：证明等差数列的通项公式。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

证明：首先，我们需要证明等差数列的通项公式对n=1成立。

当n=1时，an = a1 + (1-1)d = a1，等式左边为首项，等式右边也为首项，所以命题对n=1成立。

其次，假设等差数列的通项公式对n=k成立，即假设an = a1 + (k-1)d成立。

我们需要证明等差数列的通项公式对n=k+1也成立。

当n=k+1时，an+1 = a1 + (k+1-1)d = a1 + kd由归纳假设可知，an = a1 + (k-1)d将an代入上式，得到an+1 = an + d = a1 + (k-1)d + d = a1 + kd所以，等差数列的通项公式对n=k+1也成立。

根据数学归纳法的原理，等差数列的通项公式对所有满足条件的情况都成立。

§4.4 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.知识点 数学归纳法 1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立”为条件，推出“当n ＝k ＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的证明形式记P (n )是一个关于正整数n 的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P (n 0)为真；(2)若P (k )为真，则P (k ＋1)也为真． 结论：P (n )为真．3. 数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n ＝n 0时结论成立，即命题P (n 0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P (k )为真，则P (k ＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P (n 0)真，P (n 0＋1)真……P (k )真，P (k ＋1)真……，从而完成证明．1．应用数学归纳法证明数学命题时n 0＝1.( × )2．用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可．( √ ) 3．推证n ＝k ＋1时可以不用n ＝k 时的假设. ( × )一、证明恒等式例1 用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立． 反思感悟 用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n ＝n 0时，等式的结构．(2)n ＝k 到n ＝k ＋1时，两个式子的结构：n ＝k ＋1时的代数式比n ＝k 时的代数式增加(或减少)的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项(最后一个数)与n 的关系．跟踪训练1 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)． 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]， 所以n ＝k ＋1时，等式也成立． 综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．二、证明不等式例2 用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝122＝14，右边＝1－12＝12.明显14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时， 不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立． 反思感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n 取前k 个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立，得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．跟踪训练2 求证：12＋13＋14＋…＋12n －1＞n －22(n ≥2)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝12＞0＝右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立． 即12＋13＋…＋12k －1＞k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1＞k －22＋12k －1＋1＋…＋12k ＞k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立． 三、归纳—猜想—证明例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2，n ∈N *)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明． 解 ∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n (n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明猜想正确： (1)当n ＝1,2时易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. ∴当n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确．反思感悟 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．跟踪训练3 已知数列{b n }的首项b 1＝1，其前n 项和B n ＝12(n ＋1)b n ，求数列{b n }的通项公式．解 由已知条件b 1＝1，B n ＝12(n ＋1)b n ，得B 2＝b 1＋b 2＝32b 2，∴b 2＝2.B 3＝b 1＋b 2＋b 3＝2b 3，∴b 3＝3.B 4＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝52b 4，∴b 4＝4.由此猜想：b n ＝n (n ∈N *)为数列{b n }的通项公式． 下面用数学归纳法证明． (1)当n ＝1时，b 1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立． 即b k ＝k ，则当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝B k ＋1－B k ＝12(k ＋1＋1)b k ＋1－12(k ＋1)b k ，整理得b k ＋1＝k ＋1k ·b k ＝k ＋1，即当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝k ＋1.由(1)(2)知，对任意n ∈N *，都有b n ＝n .1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 答案 D解析 当n ＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.2．在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，则a k ＋1等于( )A ．a k ＋12k ＋1B ．a k ＋12k ＋2－12k ＋4C ．a k ＋12k ＋2D ．a k ＋12k ＋1－12k ＋2答案 D解析 a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，所以a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2. 3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N *) 答案 B解析 因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确． 4．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时，左端在n ＝k 时的左端加上 ． 答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析 n ＝k 时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时， 左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.5．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为 (n ∈N *)． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n21．知识清单： (1)数学归纳法的概念． (2)数学归纳法的步骤．2．方法归纳：归纳—猜想—证明． 3．常见误区：(1)对题意理解不到位导致n 0的取值出错； (2)推证当n ＝k ＋1时忽略n ＝k 时的假设．1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 答案 C解析 由题意知，n 的最小值为3， 所以第一步验证n ＝3是否成立．2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 因为已知n 为正偶数， 故当n ＝k 时，下一个偶数为k ＋2.3．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立 答案 B4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( ) A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12k ＋2，减少1k ＋1D ．增加12k ＋1，减少1k ＋1答案 C5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4归纳推测出数列{a n }的通项公式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3 D.22n －1答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5.6．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝ .答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 注意末项与首项，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.7．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任意n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为 ． 答案 缺少步骤归纳奠基 8．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，n ∈N *，则S 1＝ ，S 2＝ ，S 3＝ ，S 4＝ ，猜想S n ＝ . 答案 13 25 37 49 n2n ＋1解析 当n ＝1时，S 1＝13；当n ＝2时，S 2＝25；当n ＝3时，S 3＝37；当n ＝4时，S 4＝49.观察猜想得S n ＝n2n ＋1.9．证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立． 10．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时， 左边＝13＋14＋15＋16＝5760＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56.则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 ＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立．11．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设，不是数学归纳法．12．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋ .答案 π解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.13．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝ . 答案 12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 解析 f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 ＝f (2k )＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1， ∴f (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 14．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N )能被8整除，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为 ．答案 81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1(或25×(34k ＋1＋52k ＋1)＋56×34k ＋1)解析 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋5＋52k ＋3＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝81×34k ＋1＋81×52k ＋1－56×52k ＋1＝81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1.15．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．则这n 条直线将它们所在的平面分成 个区域．答案 n 2＋n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域为k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．16．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．解 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立．。

第二章 2.3请同学们认真完成练案[18]A级基础巩固一、选择题1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n ＝k＋1时论断也成立”的过程中(A)A．必须运用假设B．可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A，B，C均可[解析]由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．2．(2020·嘉峪关校级期中)用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(A)A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2kC．(5－2)(5k－2k)D．2(5k－2k)－3×5k[解析]假设n＝k时命题成立，即：5k－2k被3整除．当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k，故选A．3．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(D)A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D ．4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )>k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立[解析] 对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误． 对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误． 对于C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误．对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D ．5．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，则从k到k ＋1时左边添加的项是( D )A ．12k ＋1B ．12k ＋2－12k ＋4C ．－12k ＋2D ．12k ＋1－12k ＋2[解析] 当n ＝k 时，等式的左边为1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，当n ＝k ＋1时，等式的左边为1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2，故从“n ＝k 到n ＝k ＋1”，左边所要添加的项是12k ＋1－12k ＋2. 6．用数学归纳法证明“2n >2n ＋1，对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( B )A ．2B ．3C ．5D ．6[解析] ∵n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n >2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立；n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立，∴n 的第一个取值n 0＝3. 二、填空题7．(2020·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n ＝k (k ∈N )时命题成立可以推出n ＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__(填上所有正确命题的序号)①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．[解析]由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，可得P(n)对n＝9不成立，同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确．故答案为③.8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1增加的项数是__(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k__.[解析]当n＝k时成立，即f(k)＝1＋12＋13…＋12k－1，则n＝k＋1成立时，有f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋2k－1，所以增加的项数是(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k.三、解答题9．在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比数列(n∈N*)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论．[解析]由已知得2b n＝a n＋a n＋1，a2n＋1＝b n b n＋1，a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜想a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，可得结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即a k＝k(k＋1)，b k＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝2b k－a k＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，b k＋1＝a2k＋1b k＝(k＋1)2(k＋2)2(k＋1)2＝(k＋2)2.∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．10．(2020·汉阳期中)已知{f n(x)}满足f1(x)＝x1＋x2(x>0)，f n＋1(x)＝f1(f n(x))．(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想f n(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对f n(x)的猜想．[解析](1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1(x)1＋f21(x)＝x1＋2x2，f3(x)＝f1[f2(x)]＝f2(x)1＋f22(x)＝x1＋3x2猜想：f n(x)＝x1＋nx2，(n∈N*)(2)下面用数学归纳法证明，f n(x)＝x1＋nx2(n∈N*)①当n＝1时，f1(x)＝x1＋x2，显然成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即f k(x)＝x1＋kx2，则当n＝k＋1时，f k＋1＝f1[f k(x)]＝x1＋kx21＋(x1＋kx2)2＝x1＋(k＋1)x2，即对n＝k＋1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想f n(x)＝x1＋nx2对一切n∈N*都成立．B级素养提升一、选择题1．(多选题)用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n 2＝n 2(n 2＋1)2时，下列说法错误的是( ABC )A ．当n ＝1时，命题的左边为1＋1B ．当n ＝k ＋1时，命题的左边为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k ＋1)2C ．当n ＝k ＋1时，命题左端在n ＝k 的基础上增加的部分有(k ＋1)2－(k 2＋1)项D ．当n ＝k ＋1时，命题左端在n ＝k 的基础上增加的部分是(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2 [解析] 用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n 2＝n 2(n 2＋1)2时，当n ＝1时，命题的左边为1，所以A 不正确；n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，命题左端在n ＝k 的基础上增加的部分是(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.所以选项D 正确，C 不正确，选项B 不正确；故选ABC ．2．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．关于上述证法，下列说法错误的是( ABC ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[解析] 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设， 即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确． 故选ABC ． 二、填空题3．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为__当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立__.[解析] ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形． 当n ＝1时，左≥右，不等式成立．4．在证明1＋2＋22＋23＋…＋25n －1(n ∈N *)是31的倍数时，k 到k ＋1增加的表达式是__25k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4__.[解析] 当n ＝k 时，原式＝1＋2＋22＋23＋…＋25k －1，当n ＝k ＋1时，原式1＋2＋22＋23＋…＋25k －1＋25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4. 则从k 到k ＋1增加的表达式是25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋35k ＋3＋25k ＋4. 故答案为：25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4. 三、解答题5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N *)．(1)分别求出a 2，a 3，a 4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式； (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想． [解析] (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)．当n ＝1时，a 2＝2a 12＋a 1＝2×12＋1＝23； 当n ＝2时，a 3＝2a 22＋a 2＝2×232＋23＝12；当n ＝3时，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25；所以a 2＝23，a 3＝12＝24，a 4＝25，猜测 a n ＝2n ＋1；(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，21＋1＝1，所以a 1＝1，所以n ＝1时，等式成立； ②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝2k ＋1，则a k ＋1＝2a k2＋a k ＝22k ＋12＋2k ＋1＝42k ＋4＝2k ＋2＝2(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时，等式成立．综合①和②可知，对于任意的n ∈N *，a n ＝2n ＋1均成立． 6．(1)用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． [解析] (1)①当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×1×(1＋1)2＝1， 左边＝右边，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)－k 2 ＝(－1)k ·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n ∈N *等式成立．(2)①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)． 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．。