数学课件：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义.

∵向量 ������������ 与 ������������共线,∴ 设 ������������ = ������������������ ,
即 λa+(1-λ)b=������
1 ������ 3
+ ������ =
1 ������ a+μb. 3
∵a 与 b 不共线 ,
1 1 ������ = ������ , ∴ 3 解得������ = 4.
分析 :由于 MN������ ������������ , 则用e1 与 e2 表示 ������������可得 ������������ ; 在△AMN 中 ,AO 是 MN 边上的中线 ,则可用 ������������ , ������������表示������������ .
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
证明 :如图 ,∵向量 ������������ 与 ������������共线,∴ 设 ������������ = ������������������.
1 ������, 3
������������ = ������������ + ������������ =b+������������������ =b+λ(a-b)=λa+(1-λ)b.
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2.向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律: 设λ,μ为实数,则 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb(分配律). 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.

合作探究 类型1 数乘向量的定义及其几何意义 例 1 (1)若两个非零向量 a 与(2x－1)a 方向相同，则 x 的 取值范围为___． (2)若平面内不共线的四点 O，A，B，C 满足O→B＝13O→A＋ 23O→C，则||BA→ →CB||＝______.
(3)已知点 C 在线段 AB 的延长线上(在 B 点右侧)， 且 AB∶AC＝2∶3. ①用B→C表示A→B； ②用C→B表示A→C.
∴a＝36λλ＋ －48bλ≠43， ∴a 与 b 共线． 当 λ＝43时，b＝0，∴a 与 b 共线．
探究 3 设两非零向量 e1 和 e2 不共线，是否存在实数 k， 使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线？ 【答案】 设 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2. ∵e1 与 e2 不共线， ∴只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0，则 k＝±1.

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1．掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点) 2．掌握向量共线定理的应用．(难点) 3．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)
基础·初探 教材整理 1 向量的数乘运算 1．定义：一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 __向__量__，这种运算叫做_向__量__的__数__乘__，记作__λ_a___． 2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当__λ_>_0__时，λa 的方向与 a 的方向_相__同___；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向__相__反__； 当 λ＝0 时，λa＝_0_．
课堂检测
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a
B．a＋3b

平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC
＋OD 等于
()
A．OM
B．2OM
C．3OM
D．4OM
答案：D
2．如图所示，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为邻边 的平行四边形．又 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a，b 表示 OM ，ON ， MN .
答案：OM ＝16a＋56b；ON ＝23(a＋b)； MN ＝12a－16b
2．向量数乘的运算律
设 λ，μ 为实数，则 (1)λ(μ a)＝ (λμ)a ； (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb . 特别地，(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ， λ(a－b)＝ λa－λb.
[化解疑难] 从两个角度看数乘向量 (1)代数角度： λ 是实数，a 是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0 的 条件是 λ＝0 或 a＝0. (2)几何角度： 对于向量的长度而言， ①当|λ|>1 时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量 a 的有向线段 在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍； ②当 0<|λ|<1 时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量 a 的有向线 段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍.
[例 3] (1)已知 e1，e2 是两个不共线的向量，若 AB＝2e1 －8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，求证：A，B，D 三点 共线．
(2)已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP ＝x OA＋y OB，求 x＋y 的值．
[解] (1)证明：∵CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2， ∴ BD＝CD－CB＝e1－4e2. 又 AB＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴ AB＝2BD，∴ AB∥ BD. ∵AB 与 BD 有交点 B， ∴A，B，D 三点共线．

C．a与λ2a方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
【解析】∵λ≠0，∴λ2>0，∴a与λ2a方向相同．故选C.
【答案】C
2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
【解析】4(a－b)－3(a＋b)－b＝4a－4b－3a－】D
随堂练习
1．若 G 为△ABC 的重心，D，E，F 分别为 AB，BC，CA
的中点，则G→A＋G→B＋G→C等于( )
A．6G→D
B．－6G→D
C．－6G→E
D．0
【解析】G→A＋G→B＝2G→D，G→C＝－2G→D，G→A＋G→B＋G→C＝0.
【答案】D
2．已知点 M 是线段 AB 上的一点，点 P 是平面上任意一
2．向量共线定理 共线定理有两方面的含义：向量b与非零向量a共线， 则有且只有一个实数λ使得b＝λa；若b＝λa(λ∈R)，则 向量a与b共线． 注意：如果a＝b＝0，实数λ仍然存在，此时λ并不唯一， 是任意数值．

(2)运算律：设μ，λ为实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．两个向量共线的条件 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ， 使b＝λa.
自主演练
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的
是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
点，P→M＝53P→A＋25P→B，若A→M＝λM→B，则 λ 等于( )
3
2
A.5
B.5
3
2
C.2
D.3
【解析】用P→A，P→B表示向量A→M，M→B. ∵A→M＝A→P＋P→M＝A→P＋53P→A＋25P→B＝－25P→A＋52P→B， M→B＝M→P＋P→B＝－P→M＋P→B＝－(35P→A＋52P→B)＋P→B＝－35P→A＋ 35P→B，∴A→M＝32M→B. 【答案】D

B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝ 5(e1＋e2)＝5(λ＋1)e2， 则B→D＝5A→B， 所以A→B，B→D共线，且有公共点 B. 故 A、B、D 三点共线．
归纳升华 1．本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共线 ⇔b＝λ a，因此用它既可以证明点共线或线共线问题， 也可以根据共线求参数的值． 2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向 量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(4)λ a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方 向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量|aa|表示与向量 a 同向的单位向量．
2．向量共线定理 (1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数 λ， 使 b＝λ a(a≠0)，则 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线(a≠0)， 则必存在一个实数 λ，使 b＝λ a. (2)定理中，之所以限定 a≠0 是由于若 a＝b＝0，虽然 λ 仍然存在，可是 λ 不唯一，定理的正反两个方面不成立．
(2)13(a＋2b)＋14(3a－2b)－12(a－b) ＝31＋34－12a＋23－12＋12b ＝172a＋23b.
归纳升华 1．向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数 运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式 等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在 这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量 的系数．
O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b. 所以M→N＝O→N－O→M＝32a＋23b－61a＋56b＝12a－16b.
2．方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法 则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向 量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

a
N M
a
Q
a
P
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
一般地，我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量， ，它的长度和方向 这种运算叫做向量的数乘，记作 a
规定如下：
（1）| a || || a |;
的方向与 （2）当 0时， a a 当 0时， a 的方向与 a
C
3b 2b
且有公共点Ａ
B
A
b
O
a
如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD ( A)
1 1 Ａ． BC BA Ｂ． BC BA 2 2 1 1 C． BC BA Ｄ． BA BC 2 2


解：（）原式 4a 12b 6c 9a 12b 6c 1
（2） 原等式可化为 3x 3a 2 x 4a 4 x 4a 4b 0 整理得 3a 4b 0 x 3a 4b x

1 a 1b 1 a 1b （ ）=
仍是向量
例1.计算：
(1)(3) 4a; (2)3(a b) 2(a b) a; (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
A
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
高一（1）部数学备课组
思考：已知非零向量 a，作出 a a a 和 (a) (a) (a)
你能说明它们的几何意义吗？
，
a a
O A
a
B
a

例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
证明：（1）对于向量 （a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律

当 λ＞0 且 λ≠1 时，如图， O→A＝a，A→B＝b，O→A1＝λa，A→1B1＝λb，
O→B＝a＋b，O→B1＝λa＋λb， 由作法知A→B∥A→1B1，所以|A→1B1|＝λ|A→B|， 所以|O→B1|＝λ|O→B|， 且O→B1与O→B方向也相同， 故有 λ(a＋b)＝λa＋λb 成立． 当 λ＜0 时，同理可证． 综上，λ(a＋b)＝λa＋λb 成立．
【解析】(1)由 2y－13a－12(c＋b－3y)＋b＝0 得 2y－23a －12c－12b＋32y＋b＝0，即72y－23a－12c＋12b＝0， 所以 y＝241a－17b＋17c. (2)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.
探究点二 向量共线的判定定理和性质定理
即B→C＝43e2－23e1. 由C→D＝－A→B，A→B＝e1－12x， 得C→D＝12x－e1＝1243e2－23e1－e1 ＝－43e1＋23e2.
互动探究 本例(1)中，若B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示向量M→N. 解：因为M→N＝M→D＋D→A＋A→N，M→N＝M→C＋C→B＋B→N， 所以 2M→N＝(M→D＋M→C)＋D→A＋C→B＋(A→N＋B→N)， 又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点， 所以M→D＋M→C＝0，A→N＋B→N＝0.所以 2M→N＝D→A＋C→B， 所以M→N＝12(－A→D－B→C)＝－12e2－12e1.
(1)【解析】①因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|， 所以A→B＝2D→C，D→C＝12A→B， 所以A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1. ②M→N＝M→D＋D→A＋A→N ＝－12D→C－A→D＋12A→B
＝－14e1－e2＋12e1 ＝14e1－e2. 故①填 e2＋12e1；②填14e1－e2.

题型二 向量共线的判定及应用 【例 2】 (2011·长春高一检测)已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、B、D 三点共线． (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
解 (1)∵A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线，且有公共点 B，∴A、B、D 三点共线． (2)∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλ－k－λ＝1＝0，0， ∴k＝±1.
3．三点共线的判定 对于平面内任意三点 A，B，C，若存在一个实数 λ，使得A→B＝λA→C(或A→B＝λB→C或A→C＝λB→C)， 则根据共线向量基本定理，可知A→B，A→C共线(或A→B，B→C共线或A→C，B→C共线)，又由于它 们具有公共点 A(或 B 或 C)，则可知 A，B，C 三点共线．除此之外我们又有： 对于平面内任意三点 A，B，C，O 为不同于 A，B，C 的任意一点，若O→C＝λO→A＋μO→B， 实数 λ，μ 满足 λ＋μ＝1，则三点 A，B，C 共线．
2．准确理解共线向量定理 共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论 依据．理解时应注意以下几点： (1)定量本身包含了正反两个方面：若存在一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)，则 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线(a≠0)，则必存在一个实数 λ，使 b＝λa. (2)定理中限定 a≠0 的原因是：若 a＝b＝0，虽然 λ 仍然存在，可是 λ 不唯一， 定理的正反两个方面不成立． (3)若 a，b 不共线，且 λa＝μb，则必有 λ＝μ＝0.

(2)
原式
r 3a
r 3b
r 2a
r 2b
r a
r 5b ；
(3)
原式
r 2a
r 3b
r c
r 3a
r 2b
r c
rrr
a 5b 2c .
对于向量 a (a 0) 、b，若有一个实数 ，使 b a，
那么由实数与向量的积的定义知，a 与 b 共线 .
反过来，若向量 b 与 a 共线(a 0)，且 | b | | a |，那么
AD 与 AB 共线. 又 AD 与 AB 有共同的起点A， A，B，D 三点共线 .
例例24 如图， ABCD 的两条对角线相交于点 M，且
AB a ，AD b ，用 a 、b 表示 MA 、MB 、MC 和 MD .
D
b
M
解：在 ABCD 中，
C
AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
1.
e
ee e e
a 4e
a a a a
2.
A
b 4e
.
C
B
AC
5 7
AB
BC
2 7
AB
3. (1) b 2a
(2)
b
7 4
a
(2)
b
1 2
a
(4)
b
8 9
a
4. (1) a b a 与 b 共线；
(2) b 2a a 与 b 共线；
课后作业
1.教材第96页 A组 6,9,10,12,13 B组 3,4 2.完成教辅练习册第22页2.2.3作业 3.预习教材93页~96页
证明：设 AB e1 ，AD e2 ，则