平面向量数乘运算教学文稿

6.2.3向量的数乘运算课标解读课标要求核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点)3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养.2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力.3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少?答案设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?答案-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个①向量记法λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向②相同λ<0λa的方向与a的方向③相反几何意义λa中的实数λ是向量a的系数λ>0λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ<0λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到特别提醒当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.思考1:实数与向量能否进行加减运算?提示不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa +μa; (3)λ(a+b )=λa +λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b. 思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示在形式上类似. 4.共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b =λa. 思考4:λ与向量a,b 的方向有什么关系?提示若λ>0,则a 与b 同向;若λ<0,则a 与b 反向.探究一向量的线性运算例1(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9(a +13b);②12[3a +2b -(a +12b)]-2(12a +38b); ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n 满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b 表示向量m,n. 解析(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=12(2a +32b)-a-34b=a+34b-a-34b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n ①,b=m-3n ②, 则①×3+②×2得3a+2b=11m, 即m=311a+211b. ①-②×3得a-3b=11n,即n=111a-311b. 思维突破向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=16×(4a+16b-16a+8b)=16×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb.探究二共线向量定理及其应用例2设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b 与a+kb 共线. 解析(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b, CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A 、B 、D 三点共线. (2)∵ka+b 与a+kb 共线, ∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb), 即ka+b =λa +λk b,∴(k-λ)a =(λk -1)b. ∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1. 思维突破用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b =λa(a 、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在线段BD 上,且有BN=13BD,求证:M,N,C 三点共线.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+13(b-a)=16a+13b,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b=3×(16a +13b)=3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M,∴M,N,C 三点共线.探究三向量线性运算的应用例3(易错题)已知点E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b.在△EFP 中,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12·a-12b =-12(a+b).易错点拨在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1已知四边形ABCD 是一个梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析解法一:如图,连接CN, 易知AN 与DC 垂直且相等, 所以四边形ANCD 是平行四边形. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,又因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+14a. 解法二:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以a+BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)+(-b)=0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, 又因为在四边形ADMN 中有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以b+14a+MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)=0, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b. 3-2设O 为△ABC 内任意一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若D,E 分别是BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求S△ABC S △AOC的值.解析(1)证明:如图,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14×S △ABC =13S △ABC ,∴S△ABC S △AOC=3.1.已知非零向量a,b 满足a=4b,则() A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反答案C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与b 的方向相同, ∴a 与b 的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是() A.a=2e,b=-2e B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 2答案ABCA 中,b=-a,则a,b 共线;B 中,b=-2a,则a,b 共线;C 中,a=4b,则a,b 共线;D 中,a,b 不共线.3.已知向量a=e 1+λe 2,b=2e 1,λ∈R,且λ≠0,若a ∥b,则() A.e 1=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或e 1=0或e 2=0 答案D4.已知x,y 是实数,向量a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=. 答案12;12解析由已知得{x +y -1=0,x -y =0,解得x=y=12.5.已知两个非零向量e 1、e 2不共线,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2.求证:A 、B 、D 三点共线.证明∵AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2 =12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A, ∴A 、B 、D 三点共线.数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知▱ABCD 的边BC,CD 上的中点分别为K,L,且AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =①, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ +KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,DL⃗⃗⃗⃗⃗ =12e 1-14a. 又AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得a+12e 1-14a=e 2, 解得a=②.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =③.解法二:设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n,则BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12m,DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12n. 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得④,得m=23(2e 2-e 1),n=⑤,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43e 1+23e 2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与AL 的延长线交于点E,则△DLA ≌△CLE.从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 由KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得32BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 2-e 1, 即BC⃗⃗⃗⃗⃗ =⑥. 同理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =⑦.思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案①12a ②43e 2-23e 1,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1 ③-43e 1+23e 2④{-n +12m =e 1m -12n =e 2⑤23(-2e 1+e 2)⑥43e 2-23e 1⑦-43e 1+23e 2如图所示,四边形OADB 是以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b 为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b. ∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a+23b, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a+23b-16a-56b=12a-16b.1.将112[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为() A.2a-bB.2b-a C.a-bD.b-a答案B2.在△ABC 中,如果AD,BE 分别为BC,AC 上的中线,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.23a+43bB.23a-23b C.23a-43bD.-23a+43b 答案A3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+4b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b-a,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a+b),则() A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线 C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 答案B4.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ等于() A.23B.13C.-13D.-23答案A 解法一:由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 解法二:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) C.λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) 答案A 因为P 是对角线AC 上的一点(不包括端点A 、C),所以存在λ∈(0,1),使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 6.已知向量a,b 不共线,实数x,y 满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=,y=. 答案3;-4解析因为a 与b 不共线,所以{5x =3y +27,8-y =4x,解得{x =3,y =-4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与a 反向,则a=b. 答案-32解析因为b 与a 反向,所以a =λb ,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b |=|λ|, 所以λ=-32,所以a=-32b.8.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形EFGH 为平行四边形.证明∵F,G 分别是AB,AC 的中点, ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理,EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG=EH,FG ∥EH,∴四边形EFGH 为平行四边形.9.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=() A.2B.3C.4D.5答案B 由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,M 为△ABC 的重心,故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即m=3.10.(多选题)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 可以是() A.-13B.-14C.0D.-√26答案BD 当点O 与点C 重合时,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-0)·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时x=0;当点O 与点D 重合时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 此时x=-13.因为点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),所以-13<x<0.故x 可以是-14,-√26.故选BD. 11.若对于△ABC 内部的一点O,存在实数λ使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,则△OBC 与△ABC 的面积比为. 答案1∶2解析如图所示,设D,E 分别是AB,AC 的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB 为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC 为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点O 在线段DE 上.又因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以△OBC 与△ABC 的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示下列向量:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案e 2+12e 1;14e 1-e 2解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2+12e 1.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2. 13.已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的取值范围.解析(1)证明:因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又λ∈R ,λ≠1,λ≠0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A,所以A,B,M 三点共线.(2)由(1)知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点B 在线段AM 上,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC 和一点O(如图),线段OA,OB,OC 的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a,b,c 表示向量EL⃗⃗⃗⃗⃗ ,FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明:线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.解析(1)因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a,OL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c),所以EL ⃗⃗⃗⃗⃗ =OL ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c-a). 同理可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+c-b), GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b-c). (2)证明:设线段EL 的中点为P 1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OL ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a+b+c). 设FM,GN 的中点分别为P 2,P 3,同理可求得OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),所以OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.。

【教学过程】 *揭示课题7.2.3 平面向量的数乘运算 *情境导入有一同学从O 点出发，向东行进，1秒后到达A 点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15*引入新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为（7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．当λ＝0时，λa = 0。

实数λ与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。

由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有（7．4）容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则： ()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数a a aaOA BC的运算的意义是不同的． *例题讲解例1 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．例2 计算： （1）（-3）×4a（2）5（a +b ）-2（a -b ） （3）（a +4 b -3c ）-（2 a -3 b -5c ）*练习强化1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． *揭示课题7.4.1 平面向量的内积 *情境导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j cos30sin 30=⋅+⋅F i F j ，Fs图7—21︒30O图7－16即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ） *引入新知力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．我们规定，0180θ≤≤两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知 a ·0＝0, 0·a ＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |. （2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .B*例题讲解60,求a·b．例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝︒-,求<a,b>．例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2*练习强化60，求a·b．1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒2. 已知a·a＝9,求|a|．30，求(2a＋b)·b．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒*归纳小结向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义.
(2)理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.
2.过程与方法
通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程,使学生形成数形结合的研究问题的方法,由λ的符号来判断λa与a的方向是否相同的过程,培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法.
3.情感、态度与价值观
通过对向量数乘运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养学生的探索精神和创新意识;通过数乘向量的实际应用,体会数学的应用价值,学会用数学的方式解决问题.
重点:向量的数乘运算及其几何意义,向量共线定理.
难点:向量共线定理的应用.
重难点突破:引导学生作出几个相同向量的和,再讨论它们的几何意义,得到向量数乘运算的直观感知,然后过渡到一般的向量数乘运算的定义.要强调λa是一个向量,λa也有长度和方向.
【例】如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.
分析:作直径BD,连接DA,DC,根据四边形AHCD是平行四边形求解.
证明:作直径BD,连接DA,DC,
则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
∴CH∥DA,AH∥DC.
故四边形AHCD是平行四边形.
∴.
又,
∴.
变式训练已知G为△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明:如图,由=0,
知=-().
以为邻边作▱BGCD,
则,即=-.
而在▱BGCD中,BC与GD相交于E,且,
则AE是△ABC中BC边上的中线.
又因为||=2||,所以G为△ABC的重心.。

第4课时 §2.2 向量的数乘【教学目标】一、知识与技能（1）向量数乘定义。

（2）向量数乘的运算律。

二、过程与方法在对有关数乘问题的解决中理解数乘概念和实际意义.三、情感、态度与价值观联系生活实际学习向量的数乘让学生感受数学美【教学重点难点】向量的数乘的定义和运算律一、复习：已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-．如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-二、讲解新课：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下： （1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）；a - E a a a O B A CD a -（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．3．向量共线定理：内容：三、例题分析：例1、计算：（1）(3)4a -⨯；（2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+例2、 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．例3、 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．A B C D E（3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．例4、设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．五、课时小结：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．理解向量共线定理，并会判断两个向量是否共线。

(完整版)教案平面向量的数乘运算一、引言平面向量是代数中一个重要的概念，而平面向量的数乘运算是对向量进行伸缩的操作，其在数学和物理中具有广泛的应用。

本教案将详细介绍平面向量的数乘运算及其性质。

二、定义1.1 平面向量平面向量是指具有大小和方向的量，在平面上由箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

常用大写字母表示平面向量，如向量A。

1.2 数乘运算数乘运算是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

若向量A与实数k进行数乘运算，记作kA，其中k为实数。

数乘运算可改变向量的大小和方向，具体规律将在后文中介绍。

三、性质与规律2.1 数乘运算的基本性质（1）零向量的数乘：0A = 0，其中0为零向量。

零向量的数乘结果仍为零向量。

（2）单位向量的数乘：1A = A，其中1为单位向量。

单位向量的数乘结果与原向量相等。

2.2 数乘运算的规律（1）交换律：kA = Ak，其中k为实数。

数乘运算满足交换律，即数与向量的顺序可以交换。

（2）结合律：(kl)A = k(lA)，其中k、l为实数。

数乘运算满足结合律，即数与向量的括号位置可以移动。

（3）分配律：(k + l)A = kA + lA，其中k、l为实数。

数乘运算满足分配律，即数与向量相加后再进行数乘，等价于先进行数乘再相加。

四、数乘运算的几何解释3.1 放缩效应数乘运算改变向量的大小，当k > 1时，数乘结果的向量放大；当0 < k < 1时，数乘结果的向量缩小；当k < 0时，数乘结果的向量方向发生反转。

3.2 平行效应数乘运算可以改变向量的方向，当k > 0时，数乘结果的向量与原向量方向相同；当k < 0时，数乘结果的向量与原向量方向相反；当k = 0时，数乘结果的向量为零向量。

五、数乘运算的应用4.1 向量的单位化将一个非零向量除以它的模长，得到的结果是一个方向与原向量相同的单位向量。

4.2 平面向量加法与数乘运算的关系在平面向量加法中，若向量A与向量B的和为向量C，即C = A + B，那么向量C也可以表示为C = kA + lB的形式，其中k、l为实数。

２.２．３向量数乘运算及其几何意义学习目标核心素养１．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．（重点）２．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．（重点）３．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．（难点）４．理解实数相乘与向量数乘的区别．（易混点）１．通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，发展学生数学抽象和数学运算素养.２．通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理素养.１．向量的数乘运算（１）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：１|λa|＝|λ||a|；２当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．（２）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：１λ（μ a）＝（λμ）a；２（λ＋μ）a＝λa＋μ a；３λ（a＋b）＝λa＋λb；特别地，有（—λ）a＝λ（—a）＝—（λa）；λ（a—b）＝λa—λb.２．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示] 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.３．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ１，μ２，恒有λ（μ１a±μ２b）＝λμ１a＋λμ２b.１．若|a|＝１，|b|＝２，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是（）Ａ．b＝２aＢ．b＝—２aＣ．a＝２bＤ．a＝—２bA[因a，b方向相同，故b＝２a.]２．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）Ａ．错误!＝３错误!Ｂ．错误!＝２错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!Ｄ．错误!＝２错误!D[由题意可知：错误!＝—３错误!；错误!＝—２错误!＝２错误!.故只有D正确．]３．化简：２（３a＋４b）—8a＝________.—２a＋8b[原式＝6a＋8b—8a＝—２a＋8b.]４．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，错误!＋错误!＝λ错误!，则λ＝________.２[由向量加法的平行四边形法则知错误!＋错误!＝错误!.又∵O是AC的中点，∴AC＝２AO，∴错误!＝２错误!，∴错误!＋错误!＝２错误!，∴λ＝２．]向量的线性运算【例１】x＝________.（２）化简下列各式：１３（6a＋b）—9错误!；２错误!错误!—２错误!；３２（５a—４b＋c）—３（a—３b＋c）—7a.（１）４b—３a[由已知得３x＋３a＋２x—４a—４x＋４a—４b＝0，所以x＋３a—４b＝0，所以x＝４b—３a.]（２）[解] １原式＝１8a＋３b—9a—３b＝9a.２原式＝错误!错误!—a—错误!b＝a＋错误!b—a—错误!b＝0.３原式＝１0a—8b＋２c—３a＋9b—３c—7a＝b—c.向量数乘运算的方法（１）向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．（２）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．错误!１．（１）化简错误!错误!；（２）已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式３x—２y＝a，—４x＋３y＝b，求向量x，y.[解] （１）原式＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a—错误!b.（２）错误!由１×３＋２×２得，x＝３a＋２b，代入１得３×（３a＋２b）—２y＝a，所以y＝４a＋３b.所以x＝３a＋２b，y＝４a＋３b.向量共线定理[探究问题]１．如何证明向量a与b共线？提示：要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa（a≠0）即可，一般地，把a和b 用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可．２．如何证明A，B，C三点在同一直线上？提示：要证三点A，B，C共线，只需证明错误!与错误!或错误!与错误!共线即可．【例２】（１）已知e１，e２是两个不共线的向量，若错误!＝２e１—8e２，错误!＝e１＋３e２，错误!＝２e１—e２，求证：A，B，D三点共线．（２）已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若错误!＝x错误!＋y错误!，求x＋y的值．思路点拨：（１）错误!→错误!→错误!（２）错误!→错误!→错误!→错误![解] （１）证明：∵错误!＝e１＋３e２，错误!＝２e１—e２，∴错误!＝错误!—错误!＝e１—４e２.又错误!＝２e１—8e２＝２（e１—４e２），∴错误!＝２错误!，∴错误!∥错误!.∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．（２）由于A，B，P三点共线，所以向量错误!，错误!在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使错误!＝λ错误!，即错误!—错误!＝λ（错误!—错误!），所以错误!＝（１—λ）错误!＋λ错误!，故x＝１—λ，y＝λ，即x＋y＝１．１．本例（１）中把条件改为“错误!＝e１＋２e２，错误!＝—５e１＋6e２，错误!＝7e１—２e２”，问A，B，C，D中哪三点共线？[解] ∵错误!＝e１＋２e２，错误!＝错误!＋错误!＝—５e１＋6e２＋7e１—２e２＝２（e１＋２e２）＝２错误!.∴错误!，错误!共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．２．本例（１）中条件“错误!＝２e１—8e２”改为“错误!＝２e１＋k e２”且A，B，D三点共线，如何求k的值？[解] 因为A，B，D三点共线，则错误!与错误!共线．设错误!＝λ错误!（λ∈R），∵错误!＝错误!—错误!＝２e１—e２—（e１＋３e２）＝e１—４e２，∴２e１＋k e２＝λe１—４λe２.由e１与e２不共线可得错误!∴λ＝２，k＝—8．３．试利用本例（２）中的结论判断下列三点共线吗？１错误!＝错误!错误!＋错误!错误!；２错误!＝—２错误!＋３错误!；３错误!＝错误!错误!—错误!错误!.[解] １中错误!＋错误!＝１，∴P，A，B三点共线；２中—２＋３＝１，∴P，A，B三点共线；３中错误!＋错误!＝错误!≠１，∴P，A，B三点不共线．１．证明或判断三点共线的方法（１）一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得错误!＝λ错误!（或错误!＝λ错误!等）即可．（２）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使错误!＝x错误!＋y错误!且x＋y＝１．２．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb（b≠0）．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例３】错误!＝（）Ａ．错误!a—bＢ．错误!a＋bＣ．a＋错误!bＤ．a—错误!b（２）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知错误!＝a，错误!＝b，试用a，b分别表示错误!，错误!，错误!.思路点拨：先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．（１）D[错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!＝a—错误!b.]（２）由三角形中位线定理，知DE错误!BC，故错误!＝错误!错误!，即错误!＝错误!a.错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—a＋b＋错误!a＝—错误!a＋b.错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＝—错误!a—b＋错误!a＝错误! a—b.１．本例（１）中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示错误!.[解] 因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因为DF＝错误!OD＝错误!×错误!BD＝错误!BD，所以错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!a＋b.２．本例（１）中，若点F为边AB的中点，设a＝错误!，b＝错误!，用a，b表示错误!.[解] 由题意错误!解得错误!所以错误!＝错误!—错误!＝错误!a＋错误!b.用已知向量表示其他向量的两种方法（１）直接法（２）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．错误!２．如图所示，四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，试用a，b，c表示错误!，错误!.[解] 错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—错误!＋错误!＋错误!＝—a＋b＋c；错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—错误!错误!—错误!＋错误!错误!＝—错误!c—b＋错误!a＝错误!a—b—错误!c.１．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ—a是没有意义的．２．λa几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量错误!表示与向量a同向的单位向量．３．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．４．注意记住以下结论并能运用（１）若A，B，P三点共线，则错误!＝x错误!＋y错误!且x＋y＝１．（２）在△ABC中，若D为BC的中点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（３）在△ABC中，若G为△ABC的重心，则错误!＋错误!＋错误!＝0.１．已知a＝５e，b＝—３e，c＝４e，则２a—３b＋c等于（）Ａ．５eＢ．—５eＣ．２３eＤ．—２３eC[２a—３b＋c＝２×５e—３×（—３e）＋４e＝２３e.]２．对于向量a，b有下列表示：１a＝２e，b＝—２e；２a＝e１—e２，b＝—２e１＋２e２；３a＝４e１—错误!e２，b＝e１—错误!e２；４a＝e１＋e２，b＝２e１—２e２.其中，向量a，b一定共线的有（）Ａ．１２３Ｂ．２３４Ｃ．１３４Ｄ．１２３４A[对于１，b＝—a，有a∥b；对于２，b＝—２a，有a∥b；对于３，a＝４b，有a∥b；对于４，a与b不共线．]３．设a，b是两个不共线的向量．若向量k a＋２b与8a＋k b的方向相反，则k＝________.—４[因为向量k a＋２b与8a＋k b的方向相反，所以k a＋２b＝λ（8a＋k b）⇒错误!⇒k＝—４（因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0）．]４．如图所示，已知错误!＝错误!错误!，用错误!，错误!表示错误!.[解] 错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!.。

平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。

2. 掌握平面向量的数乘运算规则。

3. 能够运用数乘运算解决实际问题。

教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入实数与向量的乘积，即数乘运算。

2. 讲解数乘运算的定义及性质。

二、平面向量的数乘运算规则1. 讲解数乘运算的分配律。

2. 讲解数乘运算的结合律。

3. 讲解数乘运算的单位向量。

三、数乘运算在坐标系中的应用1. 讲解二维坐标系中向量的数乘运算。

2. 讲解三维坐标系中向量的数乘运算。

四、数乘运算与向量长度的关系1. 讲解数乘运算与向量长度的关系。

2. 讲解数乘运算在求向量长度中的应用。

五、数乘运算在向量运算中的应用1. 讲解数乘运算在向量加法中的应用。

2. 讲解数乘运算在向量减法中的应用。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算的概念、规则及应用。

2. 利用多媒体演示，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。

3. 引导学生通过练习，巩固数乘运算的知识。

教学评估：1. 课堂练习：布置有关数乘运算的题目，检查学生掌握情况。

2. 课后作业：布置有关数乘运算的综合题目，要求学生在规定时间内完成。

3. 单元测试：进行有关数乘运算的测试，了解学生对知识的掌握程度。

教学资源：1. 教学PPT：展示数乘运算的概念、规则及应用。

2. 练习题库：提供丰富的数乘运算题目，供学生练习。

3. 坐标系软件：辅助展示数乘运算在坐标系中的应用。

教学建议：1. 在讲解数乘运算概念时，注意与实数的乘法进行对比，帮助学生理解。

2. 在讲解数乘运算规则时，举例说明，让学生更好地掌握。

3. 在数乘运算的应用部分，注重引导学生思考，提高解决问题的能力。

4. 针对不同程度的学生，合理安排课堂练习和课后作业，提高教学效果。

5. 及时进行教学评估，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

平面向量的数乘运算教学内容：六、数乘运算与向量坐标的关系2. 举例说明数乘运算在坐标系中的应用。

平面向量的数乘教案【篇一：《平面向量的加法教案》】《平面向量的加法》教案课题名称：平面向量的加法教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》年级：高一撰写教师：徐艳一、理解课程要求教材分析：(1)地位和作用《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用.（2）教学内容及教材处理教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情.教学目标：（1）知识目标①理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量；②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算.（2）能力目标①经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程；②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力.(3) 情感目标努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态.二、分析学生背景(1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础.(2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力.(3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。

《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计一、教学分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.本节学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A和某个向量a 表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、教学目标1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律.2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.四、教学重难点教学重点：1．实数与向量积的意义及其几何意义； 2．实数与向量积的运算律；3．两个向量共线的等价条件及其运算. 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用. 五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学. 六、教学过程 1、导入新课：一条细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是a 3吗？若蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是a3-吗?你能用图形表示吗？学生活动：独立思考.教师活动：提问、引导学生作答.设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过位移的实际背景引入新课. 2、推进新课：探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？学生活动：独立观察、思考、总结. 教师活动：提问、引导学生.设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出向量a a a++和)()()(a a a-+-+-，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性aa a认识做好铺垫.问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 从而推广到一般的向量数乘的定义.我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作aλ，它的长度与方向规定如下：（1）a aλλ=；（2）当0>λ时，a λ的方向与a 一致；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反.由（1）可知当0=λ时，0=a λ.设计意图：通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法. 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 学生活动：小组合作交流，学生单独作答.设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a的反方向放大λ倍或缩小λ倍.问题3：C 在线段AB 上，且25=CB AC ，则=AC AB ；=BC AB . 学生活动：独立思考并踊跃回答. 教师活动：评价.设计意图：通过简单口答题来巩固学生对向量数乘定义的理解及运用.通过活动过程的成功体验提高学生学习的积极性.问题4：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？归纳总结： （1）a a)()(λμμλ=（2）a a aμλμλ+=+)(（3）b a b aλλλ+=+)(问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？归纳总结：)()(a a a-=-=-λλλ， b a b a λλλ-=-)(.问题6：你能从形式上描述向量数乘运算律与思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？师生活动：通过类比得到向量数乘运算律；并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.设计意图：数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题.向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发.而数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律.向量具有明显的几何背景，所以向量的运算及运算律也具有明显的几何意义，尤其是涉及到长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.这样了解向量数乘运算律的几何意义就有必要了. 3、例题讲解:例1．计算： 1.a 4)3(⨯-；2.)23()32(c b a c b a +---+. 变式练习：（1）计算：---+)(2)(3；（2）已知：0)(4)2(2)(3 =+---++b a x a x a x 求x.学生活动：独立完成，学生单独回答. 教师活动：提问、及时评价.设计意图：心理学认为：概念一旦形成，必须及时加以巩固，通过例1及巩固练习加深学生对数乘向量运算律的理解.解以向量作为未知数的方程可与求解实数方程类比.归纳总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a2121)(λμλμμμλ±=±.设计意图：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算.问题7：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？ 师生活动：（分析总结）对于向量)0(≠a a 、b ，如果有一个实数λ，使a b λ=，那么由向量数乘的定义知a与b 共线，且向量b 是向量)0( ≠a a 模的λ倍，而λ的正负由向量)0( ≠a a 、b 的方向所决定.反过来，已知向量a 与b 共线，0 ≠a ，且向量b 的长度是向量a的长度的μ倍，即a b μ=，那么当a 与b 同方向时，有a b μ=；当a与b 反方向时，有a b μ-=.从上述两方面可知归纳总结：共线向量定理：向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.问题8:1) a为什么要是非零向量?2) b可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？ 学生活动：合作交流，独立作答. 教师活动：提问、引导、及时评价.设计意图：师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量)0( ≠a a 的前提下，向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=；且实数λ的唯一性是由向量a和b 的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. 例2.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b a==,，你能用b a ,表示,,,吗？师生互动：利用向量共线的定理及平行四 边形的性质定理，即平行四边形的对角线互相平分.∵b a AC AB AC+=+=， .b a-=-=结合平行四边形的性质：b a b a AC MA2121)(2121--=+-=-=，,212121b a +==.212121b a+-=-=-=设计意图：综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.尤其是应当注意到-=，-=从而可简化解题过程，并且在实际的解题中做到举一反三、融会贯通；通过例3的教学使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 4、课堂作业（1）.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若DB AD 2=，CB CA CD λ+=31，则λ的值为（ ）32.A31.B31.-C32.-D ,2121)(2121b a b a -=-==Aa（2.）计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a.（3）.若向量方程0)2(32 =--a x x ，则向量=x.（4）.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.（1）=； （2）BC AD 31=； （3）==,5、课堂小结一、①aλ的定义及运算律；②向量共线定理)0( ≠a ，⇔=a b λ 向量a与b 共线.二、定理的应用：（1）证明向量共线；（2）证明三点共线：⇒=λA 、B 、C 三点共线； （3）证明两直线平行. 三、你体会到了那些数学思想.特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化等数学思想. 设计意图：1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力. 6、课后作业P92 A 组习题11、12题。